Малые стабилизирующие возмущения вырождающихся линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.917

МАЛЫЕ СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

© В.И. Фомин

Ключевые слова: банахово пространство; сильно вырождающееся уравнение; слабо вырождающееся уравнение; операторная экспонента; производящий оператор полугруппы; тип полугруппы; векторное уравнение Эйлера второго порядка.

Предлагается обзор результатов по тематике из названия данной статьи, полученных автором после работ [1], [2], вошедших в кандидатскую диссертацию (см. [3]), и работы [4].

ВВЕДЕНИЕ

Как правило, краевая задача для уравнения с частными производными сводится к задаче Коши для дифференциального уравнения в банаховом пространстве (см., например, [5]). Этим обусловлена актуальность дальнейшего развития теории дифференциальных уравнений, в частности, вырождающихся линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. С другой стороны, внутренние потребности развития такой теории давно превратили ее в самостоятельную область исследования (см., например, [6]). Для нахождения ограниченных в точке вырождения решений вырождающихся дифференциальных уравнений предлагается использовать метод малых стабилизирующих возмущений.

Рассмотрим в банаховом пространстве Е вырождающееся в точке ґ = 0 линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

<p(t)x'(t) = Ax(t) + f (t), 0 < t < да .

(1)

где х(ґ) - искомая функция со значениями в Е; А -линейный оператор, действующий из Е в Е; /(ґ) є С ([0,ю); Е), С([0,ю); Е) - линейное пространство непрерывных функций, действующих из [0,ю) в Е; ф(ґ)єС((0,ю);(0,ю)), ф(+0) = 0 .

Везде в данной работе под решением уравнения (1) понимается его сильное решение, т. е. функция

х(ґ) єС1 ((0,ю);Е), где С1 ((0,ю); Е) - линейное пространство непрерывно дифференцируемых функций, действующих из (0, ю) в Е, удовлетворяющая данному уравнению.

То обстоятельство, что в уравнении (1) исключается значение ґ = 0 , объясняется следующими причинами:

а) решение уравнения (1) может быть неограниченным при ґ ^ + 0 ;

б) в случае ограниченности решения уравнения (1) при Г ^ + 0 его производная может быть неограниченной при Г ^ + 0 .

1

Например, в скалярном случае решение x(t) = 1 + -

t

уравнения Г х'(Г) = - х(Г) +1 не ограничено при Г ^ + 0 ; решение х(Г) = уЦ уравнения Л х' (Г) = х(Г) - 47+ +0,5 ограничено при Г ^+ 0 , а его производная

х'(Г) = не ограничена при Г ^ + 0 .

2>/ Г

Если вырождающийся коэффициент ф (Г) имеет степенной вид, т. е. ф (Г) = Га, абР , а>0 , то уравнение (1) в случае а> 1 называется сильно вырождающимся, в случае 0 < а < 1 - слабо вырождающимся.

Если вырождающийся коэффициент ф (Г) имеет общий вид и существует конечный предел

lim Ф^ = K .

t^+о ta

(2)

где aeR , a> 0 ; K = const, K > 0 , то уравнение (1) в случае a > 1 называется сильно вырождающимся, в случае 0 < a < 1 - слабо вырождающимся.

Метод малых стабилизирующих возмущений состоит в следующем.

1) Рассматривается стабилизирующее, т. е. устраняющее вырожденность возмущение уравнения (1) малым положительным параметром ее(0,е0], е0 = const, е0 > 0 . Возмущенное уравнение можно рассматривать уже для 0 < t < ж и ставить для него задачу Коши:

Ф (t + є)xЄ (t) = A xє (t) + f (t), 0 < t < да .

x (°) = ^,0 .

(3)

(4)

2787

2) Выясняются условия, при которых задача (3), (4) разрешима, и находится ее решение.

3) Находятся условия, при которых существует

lim xg,(t) = x0(t) , 0 < t < да . є^о

(5)

4) Выясняются условия, при которых предельная функция х0^) является решением уравнения (1).

Следует отметить, что хотя уравнение (3) при в —— 0 переходит в уравнение (1), природа поведения решения уравнения (3) при в — 0 может быть различной. Например, в скалярном случае решение хв (Г) = -1/а + [(Г + е)/е]а (х0 +1/а) уравнения (Г + в) х'в (Г) = а хв (Г) +1, 0 < Г < ю , с начальным условием хв (0) = х0 , х0 *-1/ а , в случае а < 0 сходится при в — 0 к стационарному решению х0(Г) = -1/ а предельного (в = 0 ) уравнения Г х'(Г) = а х(Г) +1, 0 < Г < ю ; в случае а > 0 решение хв ^) при каждом Г > 0 не ограничено при в — 0 .

Уравнения вида (3), т. е. уравнения с малым положительным параметром в при производной искомой функции, переходящие при в = 0 в вырождающиеся дифференциальные уравнения того же порядка, что и исходные уравнения, условимся называть в целях краткости почти вырождающимися дифференциальными уравнениями. Такие уравнения представляют самостоятельный объект исследования, ибо они используются при построении математических моделей некоторых физических процессов, в частности, при решении ряда задач гидродинамики (см, например, [7]).

Задача отыскания условий, обеспечивающих сходимость решения почти вырождающегося линейного дифференциального уравнения при в — 0 к решению соответствующего предельного уравнения, была изучена в скалярном случае в работе [8]; в конечномерном случае в работах [9], [10]. Ниже такая задача решается для почти вырождающихся линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядка в банаховом пространстве.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Пусть Ь(Е) - банахова алгебра ограниченных линейных операторов, действующих из Е в Е; у = шах{Яе X | Хе ст(А)} , где ст (А) - спектр оператора А.

Теорема 1. При любом фиксированном ве (0, в0] задача (3), (4) в случае А е Ь(Е), ф (Г) = Га, а> 1, хв 0 е Е имеет решение:

(t) = expi A + J exp | A

1

a-1

(

1

1

є'"-1 (t + є)<х-1

a -1

(s + є)"-1 (t + є)"-1

x +

f (s) (s +є)"

ds .

< L0є

(б)

где L0 = const, L0 > 0 ; H - произвольное фиксированное сколь угодно большое положительное число, справедлив предельный переход (5), где

xo(t) = Jexp j A

1 I 1

1

f (s)

ds . (1.13)

Предельная функция х0 (ґ) является решением уравнения (1). Это решение ограничено при ґ ^+ 0 . Если функция /(ґ) ограничена на [0, ю), то х0^) ограничено на (0,ю) .

Теорема 2. При любом фиксированном єє (0, в0] задача (3), (4) в случае А є Ь(Е), ф (ґ) = ґ , хє0 є Е имеет решение

xf, (t) = expl A ln t + є J x.^ о + Jexpl A ln

При v < -1 и выполнении условия

t + є j f(s)

s + є ) s + є

ds . (7)

r < f P vs+p -%0 < L0є .

где L0 = const, L0 >0 ; v5=v + 6 ; 8 - произвольное сколь угодно малое фиксированное положительное число, такое, что V8<-1; р - произвольное сколь угодно малое фиксированное положительное число, справедлив предельный переход (5), где

x0(t) = J exp| A ln — j f (s) ds

хв (ґ) задается формулой (7). Предельная функция х0(ґ) является решением уравнения (1). Это решение ограничено при ґ + 0 . Если функция / (ґ) ограниче-

на на [0,ю), то х0^) ограничено на (0,ю) .

В случае слабой вырождаемости уравнения (1) для нахождения ограниченных в точке вырождения решений такого уравнения рассмотрим задачу вида:

Ф (t)x'(t) = A x(t) + f (t), 0 < t < да ;

lim x(t) = x0 .

t о

(8)

(9)

Теорема 3. Задача (8), (9) в случае A є L(E). Ф (t) = ta, 0 < a < 1, x0 є E имеет решение

x(t) = exp

( ,1-a^

a-------

1 - a

xo +

При v < О и выполнении условия

x

є.О

a-11 sa-1 ta-1

a

s

0

0

0

1

1

0

2788

+ і expl A

1-a 1-a f(s)

1 -а

ds.

Если у< 0 и функция /(Г) ограничена на [0, ю), то решение х(Г) ограничено на (0, ю) .

Рассмотрим случай, когда вырождающийся коэффициент ф (Г) имеет общий вид.

Пусть:

1) выполняется условие (2) с а > 1 ;

2) V < 0 в случае а > 1, V < -К в случае а = 1, где К - константа из условия (2);

3) справедливо неравенство:

Если у< 0 и функция /(ґ) ограничена на [0, ю), то решение х(ґ) ограничено на (0,ю) .

Рассмотрим случай неограниченного линейного оператора А: -О(А) с Е ^ Е .

Пусть:

а) А - производящий оператор полугруппы и(ґ) класса С 0 ;

б) /(ґ) є Б{А) , 0 < ґ <ю ; А / (ґ) єС ([0, ю); Е ).

Пусть ю - тип полугруппы и (ґ) .

Теорема 6. При выполнении условий а), б) задача (3), (4) в случае ф (ґ) = ґа, а > 1, хє 0 єБ(А ) при любом фиксированном є є (0, в0 ] имеет решение:

^,0

|<Lє P , Vєє (0,є*]с(0,є0]

(10)

где е* - сколь угодно малое положительное число, меньшее е0 ; L = const, L > 0; р - положительное число, удовлетворяющее условию р<а (здесь а -константа из условия (2)).

В дальнейшем используются следующие обозначения:

xє(t)=U

t

+ JU

О

1 Г 1

a-1

1

(t + є)а

^,0 +

а-1

(s + є)а-1 (t + є)а-1

f (s) (s + є)а

ds . (12)

При ю < О и выполнении условия (6) справедлив предельный переход (5), где

Іє<Аt) = J dт . . Io(s,t) = J

J Ф (т+є) J

d т

Ф (т) '

xo(t) = J U

1

1

-1 I sa-1

1

,a-1

f(s)

ds ,

Теорема 4. При любом фиксированном ве(0,в0] задача (3), (4) в случае А е Ь(Е), хв0 еЕ имеет реше-

t

1 є (t) = exp(A 1 є (0, t)) xє,0 + J exp(A 1 є (s, t))

f (s)

Ф^ + є)

ds .

При выполнении условий 1)-З) справедлив предельный переход

хв (ґ) задается формулой (12). Предельная функция х0(ґ) является решением уравнения (1). Это решение ограничено при ґ ^ + 0 . Если функция / (ґ) ограничена на [0,ю), то х0^) ограничено на (0,ю) .

Теорема 7. При выполнении условий а), б) задача (3), (4) в случае ф (ґ) = ґ , хє 0 є Д(А) при любом фиксированном є є (0,є0] имеет решение:

lim Іє(t) = Іo(t) . tє (0,да). (11)

є ^ 0

где

1 o(t) = Jexp(A Іo(s,t)) ds .

J Ф (s)

Предельная функция /0 (^) является решением уравнения (1). Это решение ограничено при ґ ^+ 0 . Если /(ґ) ограничена на [0, ю), то 10(0 ограничено на

(0,ю) .

Теорема 5. Задача (8), (9) в случае А є Ь(Е), х0 є Е при выполнении условия (2) с 0 < а < 1 имеет решение:

хе(t) = Ufln —1 хе 0 +fufln ds . (13)

l е у J I s + е у s + е 0

При ю < -1 и выполнении условия 1Ы1 < L 0ею8+р ,

где L0 = const, L0 > 0 ; Ю8=ю + 8 ; 8 - произвольное сколь угодно малое фиксированное положительное число, такое, что Ю8<-1; р - сколь угодно малое фиксированное положительное число, справедлив предельный переход (5), где

xo(t) = J

= \ UI ln ds .

x(t) = exp(A Іo(0,t))x0 + j"exp(A 10(s,t)) f(s) ds .

J Ф (s)

Ф ( s)

хв(^) задается формулой (13). Предельная функция х0^) является решением уравнения (1). Это решение

a

s

о

а-1

є

1

1

1

a

a

s

0

s

s

0

ss

О

о

2789

ограничено при ґ ^ + 0 . Если функция / (ґ) ограничена на [0,ю), то х0(ґ) ограничено на (0,ю) .

Теорема 8. При выполнении условий а), б) задача (8), (9) в случае ф (ґ) = ґа, 0 < а < 1, х0 є Б(А) имеет решение:

x(t) = U

1 -а

X0 +JU

t1-a-s1-a j

f(s)

ds .

Если ю< 0 и функция /(ґ) ограничена на [0, ю), то решение х(ґ) ограничено на ( 0, ю ) .

Пусть вырождающийся коэффициент ф (ґ) имеет общий вид.

Теорема 9. При выполнении условий а), б) и условия (2) с а > 1 задача (3), (4) с хє 0 єБ(А ) при любом

фиксированном є є (0, є0 ] имеет решение:

Іє (t) = U(Іє (0,t)) Xє о + Ju (Іє (s, t)) ^L- ds J Ф (s + є)

Ф (s + є)

(14)

Если ю < 0 в случае а > 1, ю < -К в случае а = 1, где К - константа из условия (2), и выполняется неравенство (10), то справедлив предельный переход (11), где

f(s)

І o(t) = Ju (І o(s, t)) ds

J Ф (s)

Ф (s)

Іє (ґ) задается формулой (14). Предельная функция 10(ґ) является решением уравнения (1). Это решение ограничено при ґ ^ + 0 . Если функция / (ґ) ограничена на [ 0,ю), то 10 (0 ограничено на (0,ю) .

Теорема 10. При выполнении условий а), б) и условия (2) с 0 < а < 1 задача (8), (9) с х0 є В(А) при любом фиксированном є є (0, є0 ] имеет решение:

x(t) = U

t

d т

Xo+JU J

d т Ф (т)

f(s)

Ф (s)

ds

Если ю< 0 и функция /(Г) ограничена на [0, ю), то решение х(Г) ограничено на ( 0, ю ) .

Рассмотрим в банаховом пространстве Е вырождающееся в точке Г = 0 векторное уравнение Эйлера второго порядка:

t x’(t) + tAx'(t)+Bx(t) = f (t) , 0< t <да .

(15)

где А, В - линейные операторы, действующие в пространстве Е; /(Г) е С ([0,ю); Е).

Везде в данной работе под решением уравнения

(15) понимается его сильное решение, т. е. функция

х(Г) е С 2 ((0,ю); Е), где С 2 (( 0, ю ); Е ) - линейное пространство дважды непрерывно дифференцируемых функций, действующих из ( 0, ю ) в Е, удовлетворяющая данному уравнению.

Запишем задачу Коши для возмущенного уравнения:

(t + є) x"z (t) + (t + є)A xЄ (t) + Bxє (t) = f (t). О < t< да ,

(1б)

(17)

где є - малый положительный параметр, єє (0, є0], є О = const , є О > О .

Заменой переменной t = є ет-є задача (16), (17) сводится к задаче вида

«Є(т) +(А-1)«Є(т)+B«є(т) = gє(т). 0 < т<да .

«є (0) = xs,o. «Є (0) = є XЄ,o .

где «є(т):: = x.^ (єет-є), g<i(т):: = f (єет-є), І - единичный оператор.

Рассмотрим характеристическое операторное урав-

Л2 + (А -1)Л + B = O

(18)

соответствующего однородного уравнения

и'е(т) + (A-1)и'е(т)+Вие(т) = 0 , 0< т<ю . (19)

Операторный дискриминант уравнения (18) имеет вид А = (A -1)2 - 4В .

Рассмотрим вначале случай A, В е L(E) .

Пусть:

1) А = F2, где F - некоторый оператор из L(E) , F Ф- O , где O - нулевой оператор;

2) AF = FA ;

3) v = max{Vj,v2} <-1, где Vj = max{ReX |Xe ест (Л:)}, v 2 = max{Re X | Хест (Л2)} , Л12 = 2-1(I --A+F) - характеристические операторы уравнения

(19);

4) начальные значения хе 0, хе 0 для любого ее (0,е*] с(0,е0] , где е* - произвольное сколь угодно малое положительное число, не превосходящее е0 , удовлетворяют условиям:

*є,0

|<Lnє^:

II Л V II < К pv8 + p • II Л1 -Чо || < K0 є 5

II у' II < Т pv3-1+p РЧо < T1є .

а

а

s

о

о

о

s

2790

где Ь0 , К0 , Т1 - константы; Ь0 , К0 , Т > 0 ; р - произвольное сколь угодно малое фиксированное положительное число; v1g=v1 +5, Vg=v + 5, 8 - сколь угодно малое фиксированное положительное число, такое, что V5 <-1 (такое 5 можно подобрать в силу условия V < -1).

Теорема 11. При выполнении условий 1), 2) задача (16), (17) с хв0, хв0 еЕ при любом фиксированном

ве (0, в0] имеет решение

t + е

Хе (t) = exp I Л! In —— I Хе,0 + 1Хе (t) +12е (t), (20)

x0(t) = f exp |л01п — I ln — f (s) ds . J l s) s s

(24)

Положим v = max{ Re X | X е ст(Л0)}.

Пусть:

1) спектр оператора A удовлетворяет условию ст(A)сCx>3 , где Cx>3 = {ХеО|ReX> 3};

2) начальные значения хе 0, х'е0 для любого ее (0,е*] с(0,е0] , где е* - произвольное сколь угодно малое положительное число, не превосходящее е0 , удовлетворяют условиям:

где

г <7" pv8 + p ■

хе,0 < L 0 е ;

Ье (t) =

I2е(t) =

11 expf Л 2 ln —— 1 expf Л1 ln

x + s + е 1 f (s)

-dx

s + е ) x + s + е

0 L 0

ds

При выполнении условий 3), 4) справедлив предельный переход

lim хе(t) = x0(t) , tе (0,ж), е ^ 0

где x0(t) =

(21)

= f fexp (A2h-U exp |л1 In x+s 1 Ж dx JJ l x+s) l s ) x+s

dx_ .(22) s

Предельная функция x0 (t) является решением уравнения (15). Это решение ограничено при t ^ + 0 . Если функция f (t) ограничена на [0,ж), то x0(t) ограничено на (0,ж).

Пусть А = O и A ф I. Тогда Л1 = Л2 = Л0 = = 2- '(I - A), следовательно, exp^t) = exp^21) = = exp (Л01). Формулы (20), (22) принимают вид:

хе (t) = expl Л0 ln

t + е

хе,0 +(е х

(е х'е,0 -Л0 хе,0 )ln

t + е

+ Jexpl Л0 ln t + е I ln

t+е Vt+е f(s)

ds;

s + е ) s + е s + е

(23)

II г' II <Т оУ5-1+Р

|| хв ,0|| < Т 1в ,

где £0 , Т1 - константы; £0 , Т > 0 ; р - сколь угодно малое фиксированное положительное число; V5 =v + 8 , 5 - сколь угодно малое фиксированное положительное число, такое, что V5 <-1 (такое 5 можно подобрать в силу условия 1), из которого следует неравенство

V < -1).

Теорема 12. Задача (16), (17) в случае А = О; А е Ь(Е) ; А *I; хв 0, х'в0 еЕ при любом фиксированном ве(0,в0] имеет решение вида (23). При выполнении условий 1), 2) справедлив предельный переход (21), где хв ^), *0(0 задаются, соответственно, формулами (23), (24). Предельная функция х0(Г) является решением уравнения (15). Это решение ограничено при Г — + 0 . Если функция / (Г) ограничена на [0,ю), то х0(Г) ограничено на (0,ю).

Рассмотрим случай А, В е N(Е) , где N(Е) - множество замкнутых неограниченных линейных операторов, действующих из Е в Е, с плотными в Е областями определения.

Пусть:

а) А = К2 , где ^ - некоторый оператор из N(E) ;

б) характеристические операторы Л^2 = 2-1 (I --А + К) являются производящими операторами полугрупп и^), и2(Г) класса С0;

в) АКх = КАх , хеБ(Л2), где Б(Л2):: = Б(л2) =

= Б( Л2) = Б( Л! Л2) = Б( Л2 Лх) = П(А2) п П( В ) п пБ( АК) п Б( КА);

2

г) /(Г)еД(Л ) при каждом Ге[0,ю);

д) А/(Г), К/(0 , А2/(Г), АК/(Г), В/(Г) е е С([0,ю);Е);

е) хв,0 е, хв,0 еВ(Л2) , где ^ = £>(А2)п пО( АВ) п В( АК) п В( КА) п В( КВ);

0

0

X

х

s + е

0

0

+

е

е

2791

ж) типы ю1, ю2 полугрупп Uj(t), U 2(t) удовлетворяют условию ю = max {ю1, ю2} < -1;

з) начальные значения хе 0, х'е0 для любого ее (0,е*] с(0 ,е0] , где е* - произвольное сколь угодно малое положительное число, не превосходящее е0 , удовлетворяют условиям:

Рє,о < L о ^18+p;

UixJI < Ko єffl8+p ;

II т' \\<T Pffl8-1+p

\\xe.,о <Tiє .

где Ь0 , К0 , Т - константы; Ь0 , К0 , Т1 > 0 ; р - произвольное сколь угодно малое фиксированное положительное число; ю15=ю1 +5, Ю5=ю+8, 5 - сколь угодно малое фиксированное положительное число, такое, что Ю5 < -1 (такое 5 можно подобрать в силу условия ю < -1).

Теорема 13. При выполнении условий а)-е) задача

(16), (17) имеет решение

t + Є

хє (t) = U I !n^— I -*Є,0 + І1є (t) +12є (t) .

где

(25)

xє (t) = U Г ln

t + є

I + (є x' fi - ЛпXe

з)ln

t + є є

■J1

s + Є

+ i и ilntlnt+є m ds ■

s + Є s + Є

(27)

х0(ґ) = Ги[ 1пґ] 1пШ?! а? . (28)

J І з) з з 0

Пусть:

а) операторный дискриминант А = (А -1)2 - 4В является нулевым оператором, т. е. В = 4-1(А -1)2 ;

б) оператор Л0 = 2-1(І - А) является производящим оператором полугруппы и(ґ) класса С0 ;

2

в) /(ґ)єВ(А ) при каждом ґє[0,ю);

г) А/(ґ), А2/(ґ) є С ([0,ю); Е);

д) хє,0 є В( а3) , хє,0 є В( а2) ;

е) тип ю полугруппы и(ґ) удовлетворяет неравенству ю < -1;

ж) для начальных значений хє 0 , х'е0 выполняются условия:

lim I є1 “81\хє 01 l= 0

є О

є —— 0

(t) = JU2 Гln -~Vl Iln ^+^1(є 4,0 -Л1Xє,0) —

J І s + є) І є ) s + є

о

12є(t) = t Г t - s

А + є 1ттГі„т + s + Є1 f(s)

U11 ln

-dr

s+є )т+s+Є

ds s + Є

При выполнении условий ж), з) справедлив предельный переход (21), где

т+ sj f(s)

ch

ds

(26)

хв (Г) задается формулой (25). Предельная функция х0 (Г) является решением уравнения (15). Это решение ограничено при Г — + 0 . Если функция / (Г) ограничена на [0,ю), то х0(Г) ограничено на (0,ю).

Пусть А = О . Тогда Л1 =Л2 =Л0 = 2-1 (I - А), следовательно, и1 (Г) = и2 (Г) = и (Г), где и ^) - полугруппа, порожденная оператором Л0 , и формулы (25), (26) с учетом полугруппового свойства и (Г1)и (Г2) = = и (Г1 + Г2) принимают вид:

lim

є — 0

lim

є — 0

Лп xP

*8 ln —

= 0 і

B1-ffl8 ln —

= 0.

где Ю5=ю + 5 , 5 - произвольное сколь угодно малое фиксированное положительное число, такое, что Ю5 < -1 (такое 5 можно подобрать в силу условия ю < -1 ).

Теорема 14. При выполнении условий а)-д) задача (16), (17) имеет решение вида (27). Если дополнительно выполняются условия е), ж), то справедлив предельный переход (21), где хв ^), х0(Г) задаются, соответственно, формулами (27), (28). Предельная функция х0 (Г) является решением уравнения (15). Это решение ограничено при Г — + 0 . Если функция / (Г) ограничена на [ 0 , ю ) , то х0 (Г) ограничено на ( 0 , ю ) .

Решения задачи Коши (16), (17) и уравнения (15) в терминах косинус и синус оператор-функций найдены в работе [11].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как показано в данной работе, в случае почти вырождающихся линейных дифференциальных уравнений удается применить конструктивные методы, т. е.

+

x

є

о

є

є

x

є,0

є

о

о

s

о

о

2792

найти решения изучаемых уравнений в аналитическом виде. В нелинейном случае придется больше полагаться на качественные методы исследования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фомин В.И. Сингулярное дифференциальное уравнение с малым параметром в случае переменного ограниченного операторного коэффициента // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 8. С. 1350-1354.

2. Фомин В.И. Малые возмущения сингулярного дифференциального уравнения с постоянным неограниченным операторным коэффициентом // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 9. С. 1629-1630.

3. Фомин В.И. Малые возмущения сингулярных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1989.

4. Крейн С.Г., Фомин В.И. Малые возмущения сингулярных дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами // ДАН СССР. 1990. Т. 314. № 1. С. 77-79.

5. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М., 1978.

6. Favini A., Yagi A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces. USA. New York: Marcel Dekker Inc., 1998. 336 p.

7. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М., 1976.

8. Ломов С.А. Степенной пограничный слой в задачах с сингулярным возмущением // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. 1966. Т. 30. С. 525-572.

9. Зюкин П.Н. О зависимости решения задачи Коши для системы сингулярных дифференциальных уравнений от параметра // Математические заметки. 1987. Т. 42. № 3. С. 403-410.

10. Ломов С.А. Приближенное решение некоторых уравнений с параметрами // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 7. С. 11931206.

11. Фомин В.И. О векторном уравнении Эйлера второго порядка с ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Вестник ТГТУ. 2004. Т. 10. № 3. С. 731-746.

12. Фомин В.И. Малые возмущения сингулярного дифференциального уравнения с переменным неограниченным операторным коэффициентом // Вестник ТГТУ. 1997. Т. 3. № 3. С. 275-290.

13. Фомин В.И. Малые возмущения сингулярного дифференциального уравнения с постоянным неограниченным операторным коэффициентом и переменной правой частью // Вестник ТГТУ. 1997. Т. 3. № 4. С. 435-454.

14. Фомин В.И. Метод малых регулярных возмущений при исследовании сингулярных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. № 12. С. 1712.

15. Фомин В.И. Малые стабилизирующие возмущения вырождающегося линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянным ограниченным операторным коэффициентом и переменным свободным членом // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2000. Т. 5. Вып. 1. С. 80-82.

16. Фомин В.И. О малом стабилизирующем возмущении сингулярного дифференциального уравнения с постоянным ограниченным оператором и вырождающимся коэффициентом общего вида // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2001. Т. 6. Вып. 3. С. 306-307.

17. Фомин В.И. О слабо вырождающемся линейном дифференциальном уравнении первого порядка с постоянным ограниченным опе-

раторным коэффициентом в банаховом пространстве // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2003. Т. 8. Вып. 2. С. 227-228.

18. Фомин В.И. О слабо вырождающемся линейном дифференциальном уравнении первого порядка в банаховом пространстве с вырождающимся коэффициентом степенного вида // Вестник ТГТУ. 2003. Т. 9. № 2. С. 267-270.

19. Фомин В.И. О малом стабилизирующем возмущении сингулярного дифференциального уравнения с постоянным оператором и вырождающимся коэффициентом общего вида // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. № 2. С. 183-190.

20. Фомин В.И. О слабо вырождающемся линейном дифференциальном уравнении первого порядка в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. № 10. С. 1433-1435.

21. Фомин В.И. Малые стабилизирующие возмущения векторного уравнения Эйлера второго порядка с ограниченными операторными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. № 11. С. 1568-1569.

22. Фомин В.И. О решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. № 8. С. 1140-1141.

23. Фомин В.И. О решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. № 8. С. 1130-1133.

24. Фомин В.И. Об уравнении Эйлера второго порядка с ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. № 4. С. 483-488.

25. Фомин В.И. О линейном дифференциальном уравнении второго порядка в банаховом пространстве в случае негативного операторного дискриминанта // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2008. Т. 13. Вып. 1. С. 38-42.

26. Фомин В.И. Об одном семействе решений линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44. № 3. С. 427-428.

27. Фомин В.И. О решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве в терминах косинус и синус оператор-функций // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. Вып. 2. С. 519-525.

28. Фомин В.И. О векторном уравнении Эйлера второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2012. Т. 17. Вып. 2. С. 517-526.

Поступила в редакцию 23 августа 2013 г.

Fomin V.I. SMALL STABILIZING PERTURBATIONS OF DEGENERATED LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS IN BANACH SPACE

The overview of results on the title of the article after the work of the author [1], [2], included in his thesis (see [3]), and [4] is offered.

Key words: banach space; strongly degenerated equation; weakly degenerate equation; operator exponent; generator of semi-group; type of semi-group; vector Euler equation of second order.

2793