О малом стабилизирующем возмущении сингулярного дифференциального уравнения с постоянным ограниченным оператором и вырождающимся коэффициентом общего вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.928.4

О МАЛОМ СТАБИЛИЗИРУЮЩЕМ ВОЗМУЩЕНИИ СИНГУЛЯРНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМ ОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ И ВЫРОЖДАЮЩИМСЯ КОЭФФИЦИЕНТОМ ОБЩЕГО ВИДА

© В.И. Фомин

Fomin V.I. On a small stabilisation perturbation of a singular differential equation with a constant bounded operator and a degenerate coefficient of the general type. The article analyses the application of the singular differential equation in the Banach space.

В банаховом пространстве E изучается уравнение вида

q>(t)x'(t)=Ax(t)+f(t), 0<t<oo, (l)

где x(t) - искомая функция со значениями в Е ,

А & L (Е), f(t) е С([0, °°У,Е), ф(/)еС((0,оо);(0.оо)), ф(+0) = 0 .

Рассмотрим стабилизирующее, то есть устраняющее вырожденность, возмущение уравнения (1) малым параметром £€ (0.£0], £0 = const , £0 >0:

ср(/ + е)*'е (0=Лхе(0 + /(0, 0 < г < «. (2)

хе(0) = х^0. (3)

Результаты настоящей работ1»1 базируются на оценке вида

||ехр(ЛГ )|| <А/ • е\р( Vg/), 0

(4)

где М >0 , = V + 8, V = тах{Не X \ о(,4)},

5 - произвольное сколь угодно малое фиксированное положительное число. В дальнейшем предполагается, что в оценке (4) \'5<0 в случае V < 0 и У8<-с в случае V < -с, где с > 0.

Оценка (4) следует из извес тного соотношения [ 1 ]

Цехриоі!

1ІІН

= V .

Л е м м а 1. При любом фиксированном Є є (0,Е0] задача (2), (3) имеет решение

/Е(0 = е.\р

с/%

оФ(т + е)

1 1 Ит

+ Jexp Aj- СП

0 I

ф(Т + е)

А*)

(5)

ф(.У + Є)

• ds.

Если v<0 и /(О ограничена на [о,<»), то /е(/) ограничено на [0,°°).

При доказательстве леммы 1 используются формула для производной операторной экспоненты, правило дифференцирования сложной функции, формула для производной от интеграла с переменным верхним пределом и замкнутость оператора А как ограниченного оператора [2|.

Пусть

1) ф(/) при / —» +0 является бесконечно малой величиной порядка а, где осе R , а > 1:

qX/)~A'-ru, где К = const , А.' > 0 .

JI е м м a 2. Пусть выполнено условие 1) и v < 0 Тогда определена функция вида

/0(/)= [exp Л ——— ds , t g ((),°°). (6)

0 ^ .v<PC0j<P(s)

Эта функция ограничена при /—»+(). Если АО ограничена на [0,°°),то /0(/) ограничена на (0.°о). Пусть

2) v < 0 в случае а > 1 и v < -К в случае а = 1 (здесь К - константа из условия 1)).

JI е м м а 3. При выполнении условия 2) подынтегральная функция

g(s, 0 = ехр

ch

ср(т)

As)

СР(5)

удовлетворяет условию

lim g(s,t) = 0 , /є (0.°°).

s—>+0

(7)

При доказательстве леммы 3 используется гот факт, чго для любого фиксированного / > 0 в случае а > 1

г ch

1

1

І ФСО АГ(сх — 1) sa 1

в случае ос = 1

І—---------—In—,

; ср(т) К s

(8)

(9)

при .V —> +0 . Соотношения (8), (9) следуют из условия 1).

Пусть

3) при е—>0 либо |к0|| ограничена, то есть существует такая постоянная О > О , что

КоИ- еб (°'е*1с(°-£о]-

где £* - произвольное сколь угодно малое фиксиро-ванное положительное число; либо Ця^оЦ являегся бесконечно большой величиной порядка (5 , причем

Р< а :

Е,0

где L = const , L > О .

Л е м м a 4. При выполнении условий 1) - 3) справедлив предельный переход

lim /е(О = /0(О, te (О.оо).

Є-»0

(10)

При доказательстве леммы 4 применяется теорема о предельном переходе под знаком интеграла [3].

Л е м м а 5. При выполнении условий 1), 2) предельная функция /0 (О являегся решением уравнения (1).

В силу лемм 1-5 справедливо следующее утверждение.

Т е о р е м а. При любом фиксированном ее (о,£0] задача (2), (3) имеет решение /е(/) вида

(5); если у<() и /(О ограничена на [о.°о)5 то /е(/) ограничено на [0,°°). При выполнении условий 1) - 3) справедлив предельный переход (10) и предельная функция является решением уравнения (1); это решение ограничено при /—>+(); если /(/)

ограничена на [0,°°),то /0(О ограничено на (0,°°).

Замечание. При /(/) = / , 0 </ < °° , решение задачи (2), (3) можно записать в виде

Ie(t) = ~А ‘/+ехр

с/т

0ф(Т + £)

|*е.0+Л '/)

и 1ш1 /е(/) = /0(/), 0 < / < оо , где /0(/) = -А '/ -

С —>0

стационарное решение уравнения ф(0*'(0 =

= Ах (/) + /, 0 < / < оо .

Доказанные выше утверждения обобщают результаты работы [4], в которой малые стабилизирующие возмущения уравнения (1) исследованы в

случае ср(I) = /а, осе II , ос > 1.

ЛИТЕРАТУРА

1 Донецкий ЮЛ.. Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве М.: Наука, 1970. С 42.

2. Треногим В.А Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. С. 162.

3 Фихтенгольц ГМ. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т 2. М.: Наука, 1970 С 748 4. Фомин В.И Малые стабилизирующие возмущения вырождающегося линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянным ограниченным операторным коэффициентом и переменным свободным членом И Вести. ТГУ. Сер Ес-теств. и технич. науки. Тамбов, 2000. Т. 5. Вып. I С 80-82.

Поступила в редакцию 28 июня 2001 г.