Малые стабилизирующие возмущения векторного уравнения Эйлера второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами и нулевым операторным дискриминантом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.917

МАЛЫЕ СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ВЕКТОРНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА ВТОРОГО ПОРЯДКА С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И НУЛЕВЫМ ОПЕРАТОРНЫМ ДИСКРИМИНАНТОМ

© В.И. Фомин

Fomin V.I. Small stabilization perturbations of vector euler equation of the second order with unbounded operator coefficients and null operator discriminant. Applying the method of small stabilization perturbations, the bounded at the degeneration point of degenerate differential equation of the second order, the operator coefficients being unbounded in Banach space, is obtained.

Данная работа является продолжением исследований автором вырождающихся линейных дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве методом малых стабилизирующих возмущений ([1,2]).

В банаховом пространстве Е изучается вырождающееся уравнение вида

t х"(?) + tAx'(/) + Bx(t) = f(t), 0 < t < х>}

(1)

с замкнутыми линеиными неограниченными операторными коэффициентами А, В, области определения которых плотны в Е, и fit) е С([0;оо]; Е).

Рассмотрим стабилизирующее возмущение уравнения (1) малым параметром г е (0, е0], где s0 - некоторое фиксированное положительное число (возмущение вырождающегося уравнения называется стабилизирующим, если оно устраняет вырождаемость этого уравнения):

(;t+i)2xl(t) + (t + ?.)Ax'E(t) + BxE(t) = f(t) 0 < / < со, (2)

*е (°) = о; 4 (°) = К о; ое D(A)n D(B)>

:D(A).

(3)

Выясним, при каких условиях решение хЕ(/) задачи (2), (3) дает в пределе при г 0 ограниченное при ? -> +0 решение х0(?) уравнения (1) в случае, когда

операторный дискриминант Б = (А -I)2 - 4В уравнения

(1) равен 0, то есть, В = МА*(А -1)2.

Лемма 1 . Пусть

1) ЗА'1 е 2(Е);

2) -А является производящим оператором полугруппы класса С0;

3) £> = 0;

4)/(1) е В(А2), 0 < I < оо; А2М е С([0;оо]; Е);

V хе 0 е О(А3),х'е 0 е Б(А2)

Тогда задача (2), (3) при любом фиксированном е,е(0,80] имеет решение вида:

*,(0 = £/(1п—)

8

^.О+ОЦо-^.о)11!

t + Є

гТТ„ г+е., t + e f(s)

+ U (In--------------------)ln(-)J v 7

J s + є s + є

(4)

ds.

■S + Є 5+Є S+S

где Л = 1/2*(1 -А); 1](х) - полугруппа, порожденная оператором Л.

Утверждение леммы 1 проверяется непосредственной подстановкой функции (4) в уравнение (2) и проверкой для нее начальных условий (3). При этом используются:

а) принадлежность полугруппы £/(т), порожденной оператором Л = У2*(1 - А), классу С0, что следует из условия 2) ([3, с. 671]);

б) соотношения и(?рс = Ки(1)х, х е В(А);

и(1)Лх = КЩ)х, х е ДЛ); ([4, с. 41]);

в) замкнутость оператора Л, вытекающая из замкнутости оператораЛ;

г) условие_Д0 е ДА2), 0 < ? < оо; Л2_/(Г) е С([0;оо]; £);

хе 0 е £)(Л3),л^0 е £)(Л2), которые следуют из 4), 5);

д) условиеУ(() е ДЛ), 0 < ? < оо; АД() е С([0;оо]; Е); вытекающее из г) в силу 1);

е) правило дифференцирования композиции операторной функции и векторной функции ([5, с. 144]);

ж) правило дифференцирования произведения скалярной функции и векторной функции ([5, с. 144]);

з) формула дифференцирования интеграла по параметру ([4, с. 162]).

Пусть ш - тип полугруппы и(1). Тогда справедлива оценка

||гУ(/)||<МеШ5',?є[0,оо),

(5)

где М> 0, ш8 = со + 5, 8 - произвольное сколь угодно

малое фиксированное положительное число ([6]). Предположим, что

(О <-1.

(6)

Возьмем в оценке (5) число § настолько малым, чтобы со5<-1. Тогда

-ш5-1 >0.

(7)

Предельный переход

I L

lim J gs (s, ?)ds = JgO, ?)ds-,

(17)

Пусть

где

lim(\\Axa о s 0)5 In—) = 0 ,

E —>0 II ’ И g

lim(||xg olle1”03 8 In—) = 0 .

s->0 и n £

Из (8) следует, в силу условия 1), что

lim(||xe 0||е“®5 In—) = 0 .

е->0 II ’ II е

Из (10) вытекает, что Ит(|к0||е^) = °.

(8)

(9)

(10)

(П)

/ ГГ/1 ^ + £ /X5)

Яг С*,0 = и (1п----)1п----

5+8 5+85+8

§(я,0 = и(Ы-)1п-^-

5 5 5

доказывается с помощью техники го [6], при этом используется оценка (5), условие (7) и теорема о предельном переходе под знаком интеграла ([7, с. 748]).

Заметим, что сходимость несобственного интеграла в правой части (17) следует из менее ограничительного предположения, чем (6), а, именно, из условия со < 0.

Действительно, в этом случае можно считать, что со д < 0, следовательно, - со 5 > 0. Тогда, в силу (5),

Лемма 2. При выполнении условий (6), (8), (9) справедлив предельный переход Нт хЕ(?) = х0(?),? £ (0,оо) , (12)

е-»0

где

х() (?) = Г U (In—) In— ds

J s s s

(13)

Предельная функция х0(1) ограничена при I —> +0. Если/(£) ограничена на [0, оо) тох0ф ограничена на (0, оо).

Доказательство. Возьмем произвольное фиксированное ? 6 (0,оо). В силу (5), (8)- (11),

ТТП { + вЛ

[у (In------)х£0

S

Л f + S , / + 8

U (In----------)ех о In-------------

е &

£3 0

In

t "Н 8

х^оЦ-е1-"* In-)----^^0,

ln-

Г Г/t ^ + S\ Л 1 f + e

Г/(In---------)ЛхЕ о In-----------

8 8

x (||xs оII - s In— + |UxB o|| -e ®4n-)x

’ ~ ’ 8

(16)

In

? + 8

0,

In-

in

? + 8

ибо lim

0 1 1 In

= 1.

r t

J* ||g(j, ?)j|ds’ < МЛ j* ||/(5)|5~“s 4 ln-

ds1 <

(18)

<M-M(t)-tas ji

s “8 1 In— d? =

s coi

где

M(t) = max||/(s)||.

0<i<r 11

Тогда, в силу (18),

e~ras) —» 0 , (14) h (ss/)ds

£->0 0

M

Получили оценку (15) ||х0(?)||<^-Л/(?),?е(0,оо).

(19)

В сипу (19), функция х0(?) ограничена при t —» +0; если fit) ограничена на [0, оо), то х0(?) ограничена на (0,оо).

Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Предельная функция (13) является решением вырождающегося уравнения (1).

Доказательство. Возьмем произвольное фиксированное t > 0. Придадим ему приращение At > 0. Используя полугрупповое свойство U{h)U(t2) = U(t1 + f2); 0 < h> h < 00, получаем:

x0(? + A/)-x0(?) _ 1

t+At

■ = — f UQn At At J

t

,/w

ds + j^U((20)

В силу (14) - (16), внеинтегральные члены в (4) сходятся к нулю при е —> 0.

д/

*о(0-

С помощью техники из [6] получаем, что в правой части (20) при At —» 0 предел первого слагаемого равен нулю; предел второго слагаемого равен выражению 1 It*Jit), где

J(t)= f (У (In-) civ;

j 5 s

0

предел третьего слагаемого равен Vt*Ax$). Следовательно, функция x0(Z) имеет правую производную V0(Y) и

+ x'0(t) = ^[Ax0(t) + J(t)]

В сипу условий а)-д) и оценки (5), V0(/) непрерывна. Следовательно ([4, с. 167]), x0(t) непрерывно дифференцируема и

x'0(t)=l-{AXo(t) + J(t)}. (21)

Известно ([6]), что Л0=у[А/(0 + /(0]. (22)

В силу (21), (22),

4 (t) = \ [(Л2 - Л)х0 (?) + (2А - I)J(t) + ДО] ■ t

Тогда

t2xl (t) + (Ахд (t) + Bx0 (t) = (A2 - A + AA + B) x X x0 (0 + (2A - / + A)J(t) + f(t) = f{t),

ибо на D(A) A2 - A + AA. + В = 0, 2Л -1 + A = 0 , в

1 1 2

силу равенства Л = — (I - A), В = — (A -1) .

Лемма 3 доказана.

Получили следующее утверждение.

Теорема. При выполнении условий 1)-5) задача

(2), (3) имеет решение (4). Если дополнительно выполняются условия (6), (8), (9), то справедлив предельный переход (12), при этом, предельная функция (13) является ограниченным в точке вырождения решением вырождающегося уравнения (1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Фомин В.И. // Малые возмущения векторного уравнения Эйлера второго порядка с ограниченными операторными коэффициентами: Тез. докл. / «Понтрягинские чтения - VIII». Воронеж: Изд-во ВГУ, 1997. 204 с.

2. Фомин В.И. // Метод малых регулярных возмущений исследования вырождающихся линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве: Тез. докл. / «Понтрягинские чтения -IX». Воронеж: Изд-во ВГУ, 1998. 238 с.

3. Данфорд Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 896 с.

4. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.

5. ТреногинВ.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

6. Фомин В.И. Малые возмущения сингулярного дифференциального уравнения с постоянным неограниченным операторным коэффициентом и переменной правой частью // Вестн. ТГТУ. 1997. Т. 3. №4. С. 435-454.

7. Фихтенголъц ГА4. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1970. 800 с.

Поступила в редакцию 30 января 1999 г.