О решении задачи Дирихле для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии в квадрате на сетке Бахвалова Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.624.2

Т.Я. Ершова1

О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО

ВОЗМУЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ

В КВАДРАТЕ НА СЕТКЕ БАХВАЛОВА*

Задача Дирихле для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии в квадрате решается при помощи классической пятиточечной разностной схемы и сетки, являющейся тензорным произведением одномерных сеток Бахвалова. Без требования выполнения дополнительных условий согласования в углах области показано, что сеточное решение задачи имеет равномерную по малому параметру точность в норме /Д . где N — число

узлов сетки по каждому направлению. Численное исследование подтверждает теоретически полученный результат.

Ключевые слова: реакция-диффузия, сингулярное возмущение, угловые особенности, сетка Бахвалова, равномерная сходимость.

1. Введение. Рассмотрим в единичном квадрате П = (О, I)2 задачу Дирихле для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии

Lu = —е2Аи + q(x, y)u = /(ж, у), (ж, у) € О, е G (0,1], д(ж,у) > 2а2 > О,

4

и = д(х,у), (ж,у) е <ЗП = Г = [J г*.

fc=i

(1)

Здесь Г*; = Г/; — стороны квадрата П, Г1 = {(ж, у) € Г| ж = 0}, Г2 = {(ж, у) € Г| у = 0} и Оф, = (%ктУк) — вершины квадрата, а\ = (0,0). Будем предполагать, что

д б <74'А(П), / б <72'А(П), (2)

д£С(дП), д(х,у)\Гк=дк(в)еС4'х(Гк), А е (0,1), * = 1,...,4, (3)

\дтдк(8)/д8т\^с(1 + е2-т), т = 0,...,4. (4)

Известно [1], что при малых е решение задачи (1) имеет вблизи границы экспоненциальный пограничный слой шириной 0(е). Известно также [2, 3], что решение может иметь особенности в угловых точках области. Если для решения задачи (1)-(3) в углах области выполнены дополнительные условия согласования [3] (см. также [4]), то решение и € С4'А(П). При численном решении подобных задач разностным методом хорошие результаты были получены при использовании специально подобранных сеток, например кусочно-равномерной сетки Шишкина [1] и сетки Бахвалова [5]. Так, если рассматривать классическую пятиточечную аппроксимацию задачи (1), дающую на равномерной сетке при е = 1 и и € С4'А(П) сходимость 0(Ж~2), то в этом случае при малых е равномерная по е сходимость в сеточной норме /Д на сетке типа сетки Бахвалова есть 0{Ы~2) [6], а на сетке Шишкина — 0(Ы~2 1п2 Ж) [7, 8]. При отсутствии условий согласования в углах области, когда решение задачи (1)-(3) принадлежит лишь С1,А(П), долгое время наилучшим был результат работы [6], где на сетке типа сетки Бахвалова получена равномерная по е оценка всего лишь 0{Н~2111). Совсем недавно в работе [9] на сетке Шишкина для этого случая получена равномерная по е скорость сходимости 0{И~2 1п2 И).

Цель данной работы — при отсутствии условий согласования в углах области получить для сеточного решения задачи, аппроксимирующей задачу (1)-(4) на сетке Бахвалова, равномерную по е скорость сходимости 0(Ж~2), используя при этом результаты работы [9]. Отметим, что в работе Е.А. Волкова [2] для уравнения Лапласа (без малого параметра) на равномерной сетке без требования

1Факультет ВМиК МГУ, н.с., к.ф.-м.н., e-mail: ershQcs.msu.su.

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 06-01-00267). 4 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4

выполнения дополнительных условии согласования в углах квадрата получена оценка скорости сходимости 0(Ы~2). Н.С. Бахваловым [5] в задаче Дирихле для уравнения Ьи = —е2д2и/дх2 + д2и/ду2 = = /(ж, у) при слабых условиях гладкости на данные / € С1,А(П), д(х, у) |г € С1'А(Г/;) и без требования выполнения дополнительных условий согласования в углах квадрата получена равномерная по е оценка скорости сходимости решения на сетке Бахвалова 0(Ы~2 1пЖ).

2. Сеточная задача. В квадрате П введем неравномерную сетку П^ = шн(х) хшн(у), где =

= {«¿1 0 = «о < «1 < ... < «4Лг = 1}. Обозначим /г,м = ж* - Ж*-!, Ъ2,% = У% ~ У%-1, %г = {Ьк,г + /г*,г+1)/2, = — и?—1,^')= — Аппроксимируем задачу (1) задачей на сетке П :

Ьии\,} = + + д(®г, Уз)иЬ = уД (ж*, € 0Л = ПЛ П П,

, -н (5)

Щ,з = 5(®г, 2/Д (Жг, е дПп = П П Ш.

Для получения численного решения используем сетку Бахвалова [5] (см. также [10]), которая определяется функцией £(£), 0 ^ £ ^ 1, для некоторого фиксированного £о при е ^ е0 положим £(£) = а при е < е0

0.5 - с1(0.5 -г), (6)

где

Условие выбора во: во ^ 2Ь/а [5].

Положим = 1/4Ж, ^ = и для определенности и простоты £дт = 0 = 0.25. Тогда параметр Ь определяется из нелинейного уравнения (7); важно, что для этого параметра справедливы неравенства в — ае ^ Ь ^ в + ае (в работе [11] было показано, что можно взять Ь = в + ае). Зададим узлы сетки:

шн(я) = ^ = £(гДг), г = 0,..., Ш}. (8)

Пусть и(х,у) — решение задачи (1)-(4) и и^ — решение сеточной задачи (5). Тогда

Ьн(и - ин) = Ф при (ж,у)еПЛ, (и-и11) |апЛ = О,

где Ф = Ф[и] = — Ьи) — погрешность аппроксимации схемы на решении и, которую запишем

через формулу Тейлора:

.т. г 1 2 (Кг+1 &и{х»Уз) , + Яг & , Л

фМ = "е ^-3--12йм +

г2 (^ К) дМхьУз ) д4 Л

^ 3 ду^+ 12н2,з (9)

где -кк,г < С к,г < к = 1,2.

Для рассматриваемой сеточной задачи справедлив принцип максимума [12]; мы будем использовать следствия из принципа максимума, теорему сравнения и априорные оценки. Так, для погрешности решения в норме = ^¡н-. = тах |иЛ(ж, у) \ справедливо неравенство

00 ( } (х,у)ёПк

||и(Хг,у^ — ^^Ц ^ с\\Щи]\\ . (10)

Здесь и далее "с" — константа, не зависящая ни от Ж, ни от е.

3. Декомпозиция и оценки решения. Выделяя особенности решения, представим решение

задачи в виде суммы функций, так же, как это сделано в работе [9], и при оценке производных решения будем опираться на теорему и леммы, доказанные там. Сформулируем одну из лемм этой работы.

Лемма 1. Пусть в полуплоскости Ж+ = {(ж, у)| ж > 0} с границей Ж1 = {(ж, у)\ ж = 0} го (ж, у)

есть решение задачи

-Aw(x, у) + д(ж, y)w(x, у) = /(ж,у), w(x,y)\M1 = g(y)\

Если 0 < 72 ^ д(ж, у) ^ 1 и |/(ж, у)| ^ се 7Ж, тогда

и + \д'ш/дх\ < ее_7Ж, \д'ш/ду\ < 0(1/1! + ^ + Ше-г*. Здесь и далее = Нсчк2^ Мснк2') = тах тах \дг+:'у(х, у) / дхг ду^ \.

Решение задачи (1)-(4) представим в виде суммы трех функций, выделяя гладкую составляющую

4

г>(ж, у), составляющую, связанную с пограничными слоями и) = wm, и составляющую, содержа-

т= 1

4

щую угловые слои г{х,у) = ^ %т{х,,у)~

т=1

и(ж, у) = v(x, у) + w(x, у) + z(ж, у).

(11)

1. Функция «(ж, у) является решением уравнения Ьу = /(ж, у), (ж, у) € О. Она построена так [9] что у(х, у) € С4'А(0), и для нее, в частности, справедлива оценка

1с'(П)

^ с(1 + е ), 1 = 0,

(12)

2. Построим функции адто(ж, у) так же, как это сделано в работе [9]. Продолжим д(ж, у) с П в и д(у) с Г1 на Ж1 с сохранением нормы и класса и обозначим продолжение д*(ж, у) и д*(у). Определим функцию (ж, у) как решение в полуплоскости Ж+ задачи

L*w\ = —e2Awl + д*(ж,y)w\ = 0, и^(ж,у) = д*(х,у) — v*(x,y), (ж,у) G Ж1.

(13)

Функция wi(x,y) есть сужение w\{x,у) на fi. Так же строятся функции wm{x,у). Нужные нам оценки производных функций wm(x,у) даны в работе [9, (2.23), (2.24)] для первых производных wm(x,у). Оценки старших производных получим так же, используя лемму 1.

Определим pm = min у/{х — £)2 + (у — т?)2; рж = тт(ж, 1 — ж); ру = min(y, 1 — у).

Лемма 2. Для функции wm(x,у) ы ее производных справедливы оценки: для т = 1, 3, j = 0,..., 4

Wr

dx-i

для т = 2,4, j = 0,..., 4 &>w.

£ c£-je~af>m/£ € c£~je~ap

&

Wr,

dyi

< c(l + e2-j)e-apm/£ < c(l + £2-Г)е~ар*1е

dx-i

< c(l + e2-j)e-apm/£ < c(l + e2-j)e-ap"'e

&

Wr.

dyi

< c£-je~apm/e € ce-U-^'

Доказательство. Достаточно получить требуемые оценки для «^(ж,у). В силу условий (1) и (2) продолжение д(ж, у) может быть сделано так, что а2 ^ д*(ж, у) ^ ф. Рассмотрим задачу (13) в растянутых переменных X = у^ж/е, у = ^/Цу/е:

L* * wl

^Awl + j-wl=Q, wl(X,Y) = g*(X,Y) - v*(X,Y), (Х,У)еЖ1. ц/

Тогда для 7 = a/^/Q согласно лемме 1: ^ се 7Х,

dw?

ах

si ее"7*.

öwi

OY

В переменных (ж, у) с учетом гладкости функций д(ж, у), д(х,у) и оценки (12) имеем

l^il ^ се

— ах je

dw\

dx

С c£~le~axle

dw?

<3у

< се

— ах je

5 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4

Далее дифференцируем уравнение (14) по У: Ь* = Так как

место оценка

ди>* д(д*(Х, У)-ь*(Х, У))

дУ К1 дУ К1

: ды* _ 1 дд*

эу ~ д ЭУ < се, то согласно лемме 1

гС сее~^х

и имеет

дУ2

или в переменных (ж, у): ференцируя уравнение (1

5$ с [ £

.-1

дд*

Э¥

.-1

дд* ду* ~д¥^~д¥

д -ш,*

^ се ах/£. Из уравнения (13) следует, что ^ се 2е ах/£. Диф-

ду2

) второй раз по У и действуя аналогично предыдущему, получаем оценки

а3

УЗл

дхду2

дг

У}л

ду3

€ се-1е~ах1е

Еще раз дифференцируем уравнение (14) по У и получаем задачу для

д и)

1..

д3'ш\ г , /¿А/* л , 0д2д* д'ш\ , 0дд* д2'Ш1

дуз /з, /з ' "ду дУ2

и

при ЭТОМ |/з| < С:-Л( Ч .

^с(е~2\Ы1 + \д*\1+е-

дуз ■

2„* 'Л„„* Я„* Я2„„* \ /

Я,

дг3

дг3

дк9* (У) дкг;*(Х, У)

дУк 1 дУк

^ сек( 1 + е2 к). Согласно лемме 1, получаем

< с(е+ 1)е~7Х,

се~4е~ах/£ полу-

2 д3д* 4- Р"2 д3у*

д¥3 Т с 1 д¥3

д и>.

дх3

£ се~3е~ах/е

и

8 №,*

"а?"

9Г4 ,

а в переменных (ж, у): Д^г- ^ се~2е~ах/£. Оценки

чим, дифференцируя исходное уравнение (13) по ж, используя ранее полученные оценки и действуя аналогично предыдущему. Поскольку функция у)\ есть сужение функции у;\ на область П, то для нее справедливы оценки, найденные для у;\. Лемма 2 доказана.

3. Получим оценки для функции г и ее производных. При построенных функциях у(х,у) и го (ж, у)

4

составляющая г = ^ гт должна быть решением задачи т= 1

/ 4 4

Ьг(ж,у) = 0, (ж,у)еО, ( ^ гто + ^ адто

т=1,тфз

= 0, ¿ = 1,

,4.

Определим гт так же, как это сделано в работе [9], а именно: Zfл есть решения уравнения Л — О при (ж, у) € О и гто удовлетворяют следующим граничным условиям:

т=2 ' Г1 \ гп=1,тф2 '

Н2 + X ^таС1^^^)))

^ т=1,тф2 '

= ¿3

! 4 т=1,гпфЗ

4

"I + ^ »т(1 - Ч(У))

= ¿1 = ¿1 = 0,

Г2 Г3 г4

4 \

Е и>ту(у) =

т=1,гпфЗ / Г3

/ 4

Е У1 то (1 _

1П=1,тф4

= 0,

г4

= 0,

т=2

= =

Г1 г2

Г3

"I + ^ гОто7?(ж)

то=1

= 0.

г4

Здесь функция г?(£) € С°°([0,1]) и

тК*) =

1, О < * < 1/3,

0,

Так определенные функции гт не имеют угловых особенностей в углах а,:1 при ] ф т.

Достаточно рассмотреть составляющую г\. Выделим окрестности Пц и Г210 угла а\\ возьмем точки £ = ¿Дг и г = такие, что 0.50 - М < I < 0.50 и 0.250 - М < г < 0.250:

Пи = {(ж,у)| 0 < ж < жи = £(*), 0 < у < уц = £(*)} , ^10 = {(ж,у)| Жи < ж < Жю = Уи < у < Ую = £(1)} •

Заметим, что жю = О(е) и ую = О(е). Обозначим П° = П \ (Пц и Пю). Введем срезающую функцию г]\(х,у) € С°°(П), чтобы выделить угловую особенность решения ¿1,

ш(ж,у) =

1, (ж,у)еПц,

^0, (ж,у) G П ,

и представим zi = 771^1 + (1 — 771)^1 = z\ + ¿1, где zi = rftzi и ¿1 = (1 — r]i)zi. Тогда

0, (ж, у) G Пц U П°,

Lzi = Ff =

F10 =-L(riizi), (ж ,у)еП

10;

где

Fio = -Цгцгг) = е2

д2г] 1 _ д2щ\ drjidzi dr/idzi

Z\ -т z ^ -+- z-

qviz1-

(15)

(16)

дх2 ду2 J ~L ' ~ дх дх ~ ду ду Таким же образом введем для m = 2,3,4 е-окрестности Птоi и Пто0 углов ат, функции г]т и

представим гто = гто + ¿то, где гт = г)тгт и 2т = (1 - Цт)*™^

Согласно работе [3] (см. также [4]), функции гт € С4'А(П) и справедливы оценки

д zm д zm

дхк 1 дук

< се

-к

~к—2

Гт 2\

Ж, у)

1 ) , к — 3,4, Г2п(х,у) — (ж — хт)2 + (у — Ут)"

(17)

Лемма 3. Функции zm(x,y) можно представить в виде zm(x,y) = ^ (m — j)zmj так, что для

3 = 1

каждой составляющей zmj(x,y) и для самой функции zm(x,y) справедливы оценки

\zmi | < се-«(1-*)/ге-а(1-1/)А ||то2| <с се-ах/£е~а(1-у)/£,

|*тз| < се~ах/£е~ау/£, \zmA\ < се-а(1-х)/£е~ау/£, I < Гр~арх1£р~ару1£

¿sfYi С- »

Доказательство. Доказательство проведем для ¿1, в остальных случаях доказательство аналогично. Представим z\ = ¿12 + ¿13 + ¿14 так, что z\k есть решения задач

Lzi2 = 0, (ж,у)еП, ¿i2|ri = -(1 - ШЖУН^з + гу4)|Fi Lzi3 = = -F?, ¿131= (Vi ~ l)v(y)w2\ri, ¿131p2 = (m ~ l)r?(ic)wi|r Мы = 0, (ж,у)еП, zi4|r = -(1 - r]i)r](x)(w3 + ад4)|Гг

Z12 J p =0, n = 2, 3,4

¿13

1

= 0;

Г3иг4

¿i4|r =0, n = 1,3,4.

Поскольку жю,ую = О(е), то ^ се ах!£е аУ/£. Согласно оценкам функций и;т (лемма 2), на границе области справедливы неравенства

Мг < се-ах1£е~а^-у)1£, |¿131р < с£-ах/£е~ау/£, |214|г < се~а^-х)/ее~ау/£.

Используя соответствующие барьерные функции, заключаем, что

|¿121 < се-ах1£е-а{1~у)1£, |¿131 < се-ах/£е~ау/£, < се-«(1-*)/ге-«1//е

и тем самым (¿1! ^ се-^рх/ее-ару/е_ демма доказана.

Поскольку гт € С4'А(П), то имеют место неравенства (см., например, [6])

(18)

dk+jzm(x,y)

dxkdyi

6 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4

< се k j, 0 < k + j < 4, ж G П,

(19)

которые непосредственно можно использовать для оценки погрешности аппроксимации в е-окрестно-сти вершин ат, например в области Пто = Г2то1 иПтоо. В остальной области потребуются менее грубые оценки производных 2т, которые будут получены в лемме 4.

Лемма 4. Для производных функции 2т(х,у) справедливы оценки

дк1.

дхк

С се-ке-ар*/£

дк1

дук

С с£-ке~ару/£

к = 1,... ,4.

Доказательство. Достаточно получить оценки производных для Сначала рассмотрим в области = {(ж,у)\ жю < х < 1, 0 < у < 1}, где функция ^ = 0 и справедливы уравнения

дх

дхк

Ьг 1 = 0 и ¿т^г = —Обозначим границы области Гю = {(ж,у)\ ж = жю, 0 ^ у ^ 1}

ак у. (к) (к) (к) (к)

Гпо = Гп П 01Ж, п = 2,3,4. Представим = р^ + р\2 и определим составляющие р\г и р\2 как решения задач:

(к) р\/

(к) Р и

дкц дхк

= (2-Я

к-1

Тп(к) _ Опд 7о Х^гпдк '"Я М _ 1 о I. _ 1 А (<г „Л с О,

~ дхк ^ дхк~п ^ ' ~~ 1,..., 1Х,

п= 1

дхк

(к) р\/

Гзо

дк дхк

;(1 - т)г){х)у}1]

0'- дхк 5 Гзо

дк

Р12 Г20 дхк

(к)

= 0, 3 = 1,2,

Г40

[(1 - г]1)г](х)(и}з + го4)]

Здесь = ¿12 + ¿13, Щ = ¿14.

Согласно (19) и лемме 2, на границе дО,\х для р^ и р^ справедливы неравенства

/'и

£ с£~1с~ах/е

С£ дП1х

«С с£~1е~ах/£

€ с£-1с~а{-1-'х)1е

ЬР(3

дП1х

< с£~1е~а(1~х)/£

тем самым

Ри

/ с£-1е-ах/е

а из (18) следует, что

р[^ ^ и следовательно,

тельно дифференцируем по ж уравнение для ¿1, тем же путем получаем оценки следующих производ-

< с£-1{е~ах1£ + е~а{>1-х^£) < с£~1е~аРх/£. Последова-

ных: ^Д1, к = 2,3,4. Оценки для в области П1у = {(ж,у)| 0 < ж < 1, у10 < у < 1} получаются так же. Осталось принять во внимание оценки (19), и тогда утверждение леммы будет верно во всей области П.

4. Оценка скорости сходимости сеточного решения. Соответственно (11) возьмем сеточное пение ин = V решения задач

решение и11 = Vй + 'шн + хн и определим г>л, гн и погрешности решений V — Vй, го — гшн, г — гн как

=/(ж,у), у,1\апн=у

= (уз-УЗ'1)

"/г/- _ 1ТгГ~1 {~

Ь V = О,

Ьнгн = 0, = =0.

Согласно априорной оценке (10), нам нужно получить оценки для Ф[г>], Ф[го], Для г>(ж, у) и

4

го (ж, у) = X] п;т{х-,у) оценки погрешности аппроксимации можно получить так же, как это сделано тп=1

в работе [5, § 3] для одномерной задачи, поскольку для них получены оценки производных (см. (12) и оценки леммы 2), аналогичные оценкам работы [5]. Таким образом, на сетке (6)-(8) справедливы утверждения

||Ф[«]|К сЖ"2, ||Ф[ад]|| < сЛГ2.

Рассмотрим теперь погрешность аппроксимации на функции z = (гт + 2т). Согласно лемме 4,

т=1

оценки производных функций |то аналогичны соответствующим оценкам работы [5], и следовательно,

справедливы оценки погрешности аппроксимации

||Ф[гто]|К сЖ"2, т = 1,..., 4.

Нам осталось оценить погрешность аппроксимации на решениях 2т(х,у) = г]тгт(х,у). Достаточно рассмотреть случай т = 1. Определим области П1 = Пц и Пю и П^ = П1 П и сеточные функции и = ¿1 — х^-.

= 1 при (х,у)(Е0.1, г\ = ¿1 г\ = ¿1 = в! = 0 при (ж, у) € 0Л \ П^,

Ьпв1 = при (х,у)е0.1, в1

Выпишем оценки для шагов сетки (см. [10]). При ^ 0

= 0.

ап?

(1Р

/ц,, = $'(*?) А* ^лг1 ¿г-1 г = 1,...,я,

О Р

- = ПС)А*2 < _ ¿.)2 , ¿г-1 < С < ¿г+1, » = 1, • • • , ^ " 2.

Исходя из этих оценок шагов сетки, оценок производных для ¿1 (17) и выражения для погрешности аппроксимации (9) нетрудно показать, что в области П^ для погрешность аппроксимации на

решении ¿1 оценивается следующим образом:

|ФИ|^сЖ-2(е2/г2(ж,у) + 1). (20)

В случае г,^ с заметим, что г\{хг,у^) ^ се2Ж~2, и потому

|Ф[г1]| < се2тах(|а2г1/аж2| + 1д2.г1/%2|) < С < сЖ"2е2/г2(ж, у). (21)

Для оценки в1 используем лемму 5 (см. работу [9, лемма 6]). Лемма 5. Пусть е(ж, у) — решение при е = 1 задачи

Ьне(х, у) = .Р(ж, у), (ж, и |е(ж, у)|апл ^ с.

-Беды |^(ж,у)| ^ г1"2(ж,у) + 1, г\(х,у) = х2 + у2, то |е(ж,у)| ^ с при (ж,у) € О^.

В области П^ введем растянутые координаты ж = ж/е, у = у/е ъ будем снабжать значком "крышечка" все, что связано с этим преобразованием. Функция ё\ будет решением уравнения Ц1е\ = Ф^] при (ж, у) € О^, |ё(ж, у)|5^/1 = 0. Здесь оператор V1 совпадает с оператором Ьн при е = 1 и Ф[.§1] — погрешность аппроксимации на решении ^(ж,у) = г\{х,у). Согласно (20), (21), Ф[.§1] ^ сИ~2{г^2 + 1) и из леммы 5 следует оценка

|в1(ж,у)| = |в1(ж,у)| < сЖ"2 при (ж,у)еП1-

Все оценки для погрешности сеточного решения получены, и тем самым доказана Теорема. Пусть и(х,у) — решение задачи (1)-(4), а ил(ж,у) — решение сеточной задачи (5)-(8). Тогда равномерно по е справедлива оценка 11« — ^ сМ~2.

5. Пример численного решения. Численно решалась задача (1) при д(ж) = 1 + ж2у2, /(ж) = 0 и граничных условиях = 1 — у, = (1 ^ ж)2, и|г = = 0 (эта задача рассматривалась в работах [8] и [4]). Решение имеет угловые и погранслойные составляющие. Скорость сходимости оценивалась по приближенному значению погрешности решения ёдг = \и% — где — решение

задачи (5)-(8) на сетке с числом узлов N по каждому направлению. Таким образом, решение и^, полученное на сетке с Н2 узлами, сравнивается в узлах этой сетки с решением и^, полученным на сетке с удвоенным числом узлов по каждому направлению. Заметим, что узлы первой сетки являются также и узлами второй сетки.

7 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4

Е 32 64 128 256 448

3.4 - Ю-5 8.5- 10-® 2.1 -10-® 5.3-Ю-7 1.7- Ю-7

1 0.0348 0.0348 0.0348 0.0348 0.0348

2.0 2.0 2.0 2.0

1.6 - Ю-3 3.9- Ю-4 9.6 - Ю-5 2.7- Ю-5 9.2 - 10-®

2 -6 1.63 1.58 1.57 1.75 1.84

2.05 2.01 1.84 1.91

2.1 - Ю-3 4.9- Ю-4 1.2 - Ю-4 3.1 - ю-5 1.1 - ю-5

2 -8 2.13 2.01 1.98 2.04 2.16

2.09 2.02 1.96 1.90

2.8 - Ю-3 5.3- Ю-4 1.3 - ю-4 3.2 - Ю-5 1.1 - ю-5

2" -12 2.86 2.15 2.11 2.12 2.25

2.41 2.02 1.99 1.89

4.0 - Ю-3 5.7- Ю-4 1.3 - ю-4 з.з - ю-5 1.1 - ю-5

2" -24 4.14 2.33 2.12 2.13 2.26

2.83 2.13 2.00 1.89

В таблице для каждого рассмотренного значения е в первой строке дана норма ЦёдгЦ, во второй строке даны величины этой нормы, умноженные на N2, т.е. ЦёдгЦ N2, в третьей строке приводится значение р = ln(||êjv|| / pdjv||)/lnd, характеризующее скорость сходимости, т.е. ЦёдгЦ = 0(N~P). Из таблицы видно, что результаты численного решения задачи подтверждают равномерную сходимость решения со скоростью N~2, а именно: для каждого значения е при достаточно больших значениях N вторая и третья строчки мало изменяются и р близко к 2. С другой стороны, для каждого N ^ 64 при уменьшении е мало изменяется норма погрешности ЦёдгЦ, что говорит о равномерной сходимости по е.

Автор благодарен В.Б. Андрееву за постановку задачи, внимание к работе и ценные замечания и И.Г. Белухиной за консультации при численном решении задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: УрО РАН, 1992.

2. Волков Е. А. О методе регулярных составных сеток для уравнения Лапласа на многоугольниках // Труды МИАН СССР. 1976. 140. С. 68-102.

3. Han H., Kellogg R.B. Differentiability properties of solutions of the equation -е2Д« + ru = f(x,y) in a square // SIAM J. Math. Anal. 1990. 21. N 2. P. 394-408.

4. Андреев В.Б. О точности сеточных аппроксимаций негладких решений сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии в квадрате // Дифференц. уравн. 2006. 42. № 7. С. 895-906.

5. Бахвалов Н. С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // ЖВМиМФ. 1969. 9. № 4. С. 841-859.

6. Шишкин Г. И. Аппроксимация решений сингулярно возмущенных краевых задач с угловым пограничным слоем // ЖВМиМФ. 1987. 27. № 9. С. 1360-1374.

7. Shishkin G.I. An improved piecewise uniform mesh for a singularly perturbed elliptic reaction-diffusion equation // Proc. of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl. 2. 2003. P. S138-S147.

8. Clavero С., Gracia J.L., O'Riordan E. A parameter robust numerical method for a two dimensional reaction-diffusion problem // Math. Comp. 2005. 74. N 252. P. 1743-1758.

9. Андреев В. Б. Равномерная сеточная аппроксимация негладких решений смешанной краевой задачи для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии в прямоугольнике // ЖВМиМФ. 2008. 48. № 1. С. 92-116.

10. Андреев В. Б. О равномерной по малому параметру сходимости модифицированной монотонной схемы Самарского на гладко сгущающейся сетке // ЖВМиМФ. 1998. 38. № 5. С. 101-114.

11. Коптева Н. В. О равномерной по малому параметру сходимости схемы с центральной разностью на сгущающихся сетках // ЖВМиМФ. 1999. 39. № 10. С. 1662-1678.

12. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.

Поступила в редакцию 23.01.09