CC BY
17
УДК 519.624.2
Т. Я. Ершова1
О СХОДИМОСТИ СЕТОЧНОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ С ОСОБЕННОСТЬЮ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ
Рассмотрена задача Дирихле для сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии в прямоугольнике в случае, когда на входе потока первая производная граничного условия разрывна, что порождает внутренний слой у решения. Показано, что на кусочно-равномерных сетках Шишкина, сгущающихся около регулярного и характеристических слоев, решение, получаемое по классической пятиточечной разностной схеме с направленной разностью, сходится равномерно по малому параметру к решению исходной задачи в сеточной норме /Д почти с первым порядком. Численное исследование подтверждает теоретически полученный результат.
Ключевые слова: конвекция-диффузия, сингулярное возмущение, внутренний слой, равномерная сходимость.
1. Введение. В прямоугольнике П = fi|J<9fi рассмотрим задачу Дирихле для сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии
Lu =—еАи + ади/дх + qu = f(x,y), (ж, у) G П, и = д(х,у), (х,у) €. dQ, (1)
4
где е € (0,1], а = const > 0, q = const > 0. Здесь П = (0,1) х (—1,1), <9fi = |J Г^, где Г^ = —
fc=i
отрезки, параллельные либо оси ж, либо оси у, и
Г! = {(ж,у) € х = 0}, Г2 = {(ж,у) € у = -1}.
Пусть / достаточно гладкая функция и д € C(dil). Положим д(х,у)\гк = gk(s) и будем предполагать, что gk(s) на Г^ для 2 ^ к ^ 4 и gi(y) на Ti \ {(0)} достаточно гладкие функции, но
dgi/dy\y=+Q^ dgi/dy\y=_Q. (2)
Известно [1-3], что решение задачи (1) при малых е может иметь:
а) регулярный слой ширины О(е) около границы Г3 = {(х,у) € х = 1}, через которую поток покидает область;
б) характеристические слои ширины 0(у/е) у границ Гз±1, параллельных потоку;
в) угловые слои около вершин на выходе потока;
г) угловые особенности, поскольку не предполагаются дополнительные условия согласования в углах области кроме минимальных [2, 4-6].
Все эти особенности нужно учитывать при построении метода решения задачи (1), (2).
Задача в подобной постановке, но при достаточно гладких граничных функциях на сторонах прямоугольника, рассматривалась рядом авторов, например, [1-3]. В работе [3] на кусочно-равномерных сетках Шишкина, сгущающихся в области регулярного и характеристических слоев, была получена сходимость сеточного решения к решению исходной задачи со скоростью 0(iV_1 In2 N) равномерно по е (N — число узлов сетки по каждому направлению) при условии достаточной гладкости решения в углах прямоугольника. В том случае, когда не предполагаются дополнительные условия согласования в углах области кроме минимальных, эта же оценка на кусочно-равномерных сетках Шишкина была получена в работе [2].
Задача с негладкими граничными условиями, когда имеется разрыв граничной функции или ее производных, для сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии в полуплоскости рассмотрена в работе [7], где даны оценки решения и его производных в зависимости от параметра е. Эти оценки показывают, что в окрестности точки (0, 0) — точки особенности граничной
1Факультет ВМК МГУ, науч. сотр., к.ф.-м.н., e-mail: ershQcs.msu.su
функции — решение близко к решению задачи без сингулярного возмущения, т. е. имеет такую же особенность, что и решение уравнения Лапласа в полуплоскости с разрывом производной решения на границе [6]. Сингулярно возмущенное решение задачи с разрывной производной граничной функции имеет слабый внутренний параболический слой, идущий от точки (0,0) параллельно субхарактеристике. Мы используем оценки решения, полученные в указанной работе, а также опираемся на результаты работ [2] и [3].
Структура статьи такова: в п. 2 приведена декомпозиция решения, в п. 3 дана постановка сеточной задачи, в п. 4 изложен основной результат — оценка скорости сходимости сеточного решения, а в п. 5 приведены результаты численного решения конкретной задачи, подтверждающие теоретические исследования.
В работе через с обозначается положительная постоянная, не зависящая от е и N.
2. Декомпозиция решения. Определим на прямой Ж = {(ж,у)\ ж = 0} функцию дЦу) = = gi(y)rj(y), где функция г](у) € С°°(Ж), такая, что
М < 1/3, М ^ 2/3.
В полуплоскости = {(ж,у)\ ж > 0} рассмотрим ограниченное решение и\ задачи
Lu\ = —eAul + адиЦдх + qu\ = 0, (ж,у) G Ж+, (0,у) = дЦу). (3)
Решение задачи (1), (2) представим в виде и = и\ + и2, где и\ — сужение решения и\ на П, а «2 — решение задачи
-еАи2 + adu2/dx + qu2 = /(ж, у), (ж, у)еП,
(4)
и2(х,у) = д(х,у) - щ(х,у), (ж,у) € дП.
Заметим, что граничная функция для решения и2 не имеет особенностей на IV
Для оценки решения и\ используем уточненные результаты работы [7]. Сформулируем основную теорему этой работы в необходимом для нас объеме, используя следующие обозначения: г = sjх2 + у2, Ж_|_ и Ж_ — интервалы (0, оо) и (—оо, 0).
Теорема 1. Пусть g\{y) G Н7(Ж+ |JЖ_). Тогда существует постоянная С, такая, что при 0<е<1, О^п^З ига = 0,2,3 для и\ справедливы неравенства
|D>i| < C(l + r~m+1) при г^ 2е, \D^ul\^C(l + r-n+1) при г^ 2е,
|ВД| <C(l + lnr), (5)
|D>i| < C(l + ^r-m+1/2e~cy2/£r +г-т+1е-сг/£) при 2е < г < у/2,
IDllul | < C(l + £(-n+l)/2r(-n+l)/2e-cy2/er + е~сгjе^ щи 2£ ^ Г ^ V2.
3. Сеточная задача. В области П введем сетку как прямое произведение одномерных сеток ш\{ж) и ш2(у), где
ж) = {жг| 0 = Ж0 < Ж1 < . . . < Ждг = 1},
й%(у) = {уг| - 1 = У-И < У-К+1 < • • • < У-1 < Уо = 0 < У1 < ... < УИ = !}•
Определяя сеточную область, будем использовать кусочно-равномерную сетку Шишкина [1], сгущающуюся около границы Г3, где решение имеет регулярный слой, и около границ Гз±1, где у решения могут быть характеристические слои. Пусть
N = 4п, о\ = тт{а~ еЫЫ, 1/4} о2 = тт{д"
В случае (ж) отрезки [0,1 — 01] и [1 — сг1? 1] разделим на 2п частей, а в случае ш2 (у) отрезки [—1, —1 + а2], [—1 + 02, 0], [0,1 — о2] и [I — 02,1] разделим на п частей.
Введем следующие обозначения: = П^ П П, дО,н = П^ П <ЭП,
К^г = Хг - Хг-1, 1ъ2,з = У:) ~ У3-1, Ч* = (Ч* + Чй-ОА
и аппроксимируем задачу (1) задачей для сеточной функции и^ на сетке П^:
Ь и= + иуу)г,] + О-ищ^ ЯЩ,з = Л^'гчУз)-! {хгчУз) £ ^ ч
и.
1,3
= 9{^,Уз), (хиуз) € дПк.
(6)
Разность — и^ является решением сеточной задачи
- и^) = Фг^'(м), (Жг, £ - = 0, (ж», у,) €
где = и{х1,Уз) и Ф^-(и) = — Ьщ^ — погрешность аппроксимации уравнения на реше-
нии и. Для этой задачи справедлив принцип максимума [8]. Разложение решения и по формуле Тейлора дает
Ъх,3 («) = - б I ~Г~ д.+ ?мЧ»+1' ) ~ "Г" ~«2,»4», Уз ) + (®г, //.; . 1 )-
\
„.. .л « а/гм д2
Ч.? дУ3
где 0 < < 1 для 1 ^ к ^ 5.
4. Оценка скорости сходимости сеточного решения. Согласно декомпозиции решения и 1шем сеточное решение в виде ин = и^ + где есть решение задачи
ьНик,1,з = Ьик{хг,Уз), 11 Уз) е = ик(хиуз), (хиуу) € до!1. (8)
4.1. Оценка скорости сходимости //','. Из (7) и оценок (5) для и\ следует, что
-Ь2 Ь2 Ь2 Ь2
ч>л ¿-1-1 о 'И »' о "о ох1 о
1,г+1 -2 I 1,г -2 , -2 , ^М. ~2 \ х», -1
V Ч» ^ Ч»^"1'' Ч* ^
(жьу,)еПЛ, (9)
где г?- = х2 + у2. Рассмотрим подробно случай, когда у ^ 0, для у < 0 рассуждения и выкладки аналогичны.
Для преобразования оценивающего выражения докажем (по аналогии с [2]) существо-
вание постоянных г,.. гц € (0,1), таких, что при определенных условиях на шаги сетки и за некоторым исключением будут справедливы неравенства
гг — 1 ,з Схгг,зч гг,з~1 Суг1,з~ (Ю)
Первое неравенство запишем в виде (ж* — Ч«)2 + (1 — с2х)у2 ^ с2ж| и заметим, что если неравенство верно при у0 = 0 и то оно верно и при любых у,]. При ] = 0, г = 1 (уо = О, Ж1 = 40 эт0 неравенство неверно, но при ] = 0, г = 2 имеем —-—2 ^ и следовательно, для рассматриваемой
1 - сж '
задачи при сж ^ 1/2 на сетке, равномерной по х около х = 0, неравенство справедливо, и это верно также при г ^ 3, ] ^ 0.
При ¿ = 1,^ = 1 первое из неравенств (10) будет справедливо в том случае, если для шагов сетки по ж и по у будет выполнено соотношение /12,1 ^ ж 2Чь Итак, неравенство тч-^ ^ сжГг):г'
у ж
будет верно во всех узлах сетки за исключением узла (1, 0).
3 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4
Аналогично доказывается, что второе неравенство из (10) будет иметь место для всех узлов сет-
ки, равномерной по у в окрестности у = 0, для 0 < су ^ 0.5 и при условии, что /11,1 ^
,Ь
2,1 •
Поскольку 0 < г,.. гц ^ 0.5 и при этом справедлива оценка 0 <
< 1/л/З, то для любых
к 1, Л-2,1 найдутся такие сх и Су, что необходимое соотношение между Л-хд и Л.2,1 будет выполнено. Таким образом, для всех (ж^у^-) € за исключением точки (/11,1,0) для погрешности аппроксимации (9) на решении щ будем иметь
|Ьк(щ - и\) | = |Ф^(«х)| < с\е(к14+1г^ + ¡12,3+1^]) + /ц + к2,з+1Г^
(Н)
Оценим погрешность аппроксимации в узле (1,0). Можно показать, что в малой окрестности точки (0,0) решение и\ представимо в виде и\ = й\ + щ, так что в силу оценок (5) будем иметь
ди
\и\{х, 0)1 ^ сж|1пж| и —— ^ с. Используя формулу Тейлора, заменим в уравнении (6) разности
дх
производными и получим |Ф1,о(«1)| = < с
(|«1(2/ц,1,0) + 2«х(/ид, 0)1) + а М, 4 и п 1
¿1,1
, дщ, ,
2Й-
'2,0
+ '54^2,1) ) + дИ1(жЬ0)
где 0 < ^ < 1 для 1 ^ к ^ 4. Согласно оценкам (5) и (10) и тому, что /11Д = г^о, получаем
|Ф1,оЫ| < сЬЖ
1,0
г1,0
Таким образом, имеет место
Лемма 1. В области для погрешности аппроксимации задачи (8) на решении щ верно
( £ 1 \
представление 1Ф; 7(^1)! ^ сN 11пЛМ —I--.
Для оценки — и,11 используем барьерную функцию. Следующая лемма — аналог теоремы 1 из работы [2] для рассматриваемой сетки.
Лемма 2. Если для функции ад^- имеют место неравенства
5$ с(ег^ + Г^.1 + 1) для (х^Уз) € О*
ад
^ С для {х,г,Уз) €
то во всей области П справедлива оценка |ад^| ^ с1пЖ.
Доказательство. Предполагая, что Ь ^ 1, сделаем замену
ж' = ж + ЬН, у' = у, г = \/х'2 + у'2, 9?' = arctan ■
У
./• + Ы1
и покажем, что при определенном выборе параметров Ь и Н введенная в [2, 4] функция В(г',ср') =
1» — + (тг/2 ^ (р')(ж/2 + ср' + 1) + 1 является барьерной для ад^ •. Н "
В рассматриваемой области имеем С1\ЫН\ > В(г',(р') > ^ 1 и
ЬВ(г',<р') = -е
1 д ( ,эв
г
Так как
д'в д'в
дх" 1 ду'1
дг'
Сь
дг'
1 д2В
г'2 д(р'2
со яср
,дВ вику?' дВ
дг'
г' дер'
„ ^ 2- а
^ —7, I = 2, 3, то при 0 < дк < 1 для 1 ^ к ^ 5 будем иметь
е ( д3В д3В
1пВ^ = ЬВ - - ( (ж- + 01^1^+1,ур - - в2к 1,и'у'з) +
дзв д3В \ ah ■ д2 В
+h2J+l^{x'i,y'j + e3h2,j+1) - - e4h2,j)J + -Y1-^(x'i ~ >
> LB _ i^t ( , | ась hiti
3 \(^/iM)2 + yf)3/2 (af + Щ - hvj)2)*!2 ) 2 {{x'.-h^ + yfY
Здесь h*kA+1 = max{hk,i,hk,i+i}, к = 1,2.
Покажем, что существует такое b, что при H ^ /^д будут справедливы неравенства
cbh\,i+i 3 Cbh2J+i ^^ 3 _Cbhi,j_ 1
y/(x'i-hi,J2 + y? " 8' y/x? + (yl-h2,i)2 " 8' y/W-hîrf+y'2 " 2'
Первое неравенство будет справедливо при b ^ 8сь/3, а третье — при b ^ 2q>. Второе нера-
8с& /ii 1
венство будет справедливо при b ^ - — 1, где о^ = Таким образом, при H ^ h\ i
Зод h2,i
ni») max < — 1, 2r,„ 11 будет выполнено неравенство
l3aft 3 J
,• Js LB , ,0 , ,
Ы \ о /2 о /2 д„/
По аналогии с доказательством неравенств (10) нетрудно показать, что если сх ^ 0.5, су ^ 0.5, Ь ^ 1 и Я ^ /гм, то имеют место неравенства
(ж- - hhi)2 + у'2 ^ с|(ж-2 + yf ), ж-2 + (y'j - h2,j)2 ^ с2(ж-2 + у'2),
справедливые при всех i, j в том числе и при j = 0, г = 1. Тем самым, получаем необходимую оценку
LhBid>LB-( + >JL + JÎ- + q.
Теперь покажем, что существует постоянная с' G (0,1), такая, что ж2 + у2 ^ с'2 {х'2 + у'2). Для этого запишем неравенство в виде ж2 — с'2х'2 ^ — (1 — с'2)у2. При у = 0, х\ = /г^д и H ^ /г,1д
1
для с' получаем оценку с' ^ -- ^0.5. При этих же значениях с' неравенство будет справедливо
1 + 0
для всех г и j.
Итак, LhBiyj ^ и, тем самым, ^ cBiyj ^ clniV. Лемма 2 доказана.
Используя (11) и лемму 2, получим оценку погрешности решения_и\ задачи (8). Лемма 3. Пусть щ — сужение решения задачи (3) на область Q и и\ — решение сеточной задачи (8). Пусть gi(y) G iî7({—2/3 ^ у < 0} |J{0 < у ^ 2/3}). Тогда на сетке Q,h справедлива оценка — I ^ ciV-1 ln2 N.
4.2. Оценка скорости сходимости и2. Как и решение и задачи (1) решение и2 задачи (4) может иметь регулярный пограничный слой при ж = 1, характеристические слои при у = ±1, а также угловые слои и угловые особенности. Оценка скорости сходимости решения и2 задачи (8) на сетке при достаточно гладких правой части и граничных условиях получена в [3] и имеет вид
|«2 < сЖ"1 Ь2 Ж, (Хг,Уз) € Т?.
Такая же оценка скорости сходимости решения получена в [2] для того случая, когда не предполагаются дополнительные условия согласования в углах области кроме минимальных. Заметим, что граничная функция для и2(х,у) содержит решение и\. Из теоремы 1 следует, что решение и\ и его производные равномерно по е ограничены на сторонах Гз±1 (верхняя и нижняя границы). Но в окрестности точки (1,0) на границе Г3 (т.е. при выходе из области) решение имеет вторую и последующие производные по у, неограниченные при е —> 0: \DyUil ^ + I2е~су !ег).
Тем не менее, эта особенность граничной функции не мешает использовать результаты работы [3]
для получения оценки скорости сходимости решения и^ • В указанной работе при получении оценок для адд — одной из составляющих декомпозиции решения задачи, связанной с регулярным пограничным слоем при ж = 1, — используются локальные оценки решения, учитывающие граничную функцию [3, лемма 2]. Из этих оценок следует, что такие особенности решения, как у щ на Г3, не влияют на оценку адд, а следовательно, и на оценку решения и2 задачи (4).
4.3. Оценка скорости сходимости решения ин. Из последних двух оценок следует основной результат.
Теорема 2. Пусть / на П и д^ на Г*; для 2 ^ к ^ 4 являются достаточно гладкими функциями и д\{у) € -Н^7({—2/3 ^ у < 0}У{0 < у ^ 2/3}). Пусть и — решение задачи (1), (2),
а ик — решения задали (6) на сетке П^. Тогда равномерно по е справедливо неравенство
^и{Хг,Уз) — ^ сЖ-1 1п2 Ж, (Жг, у^-) е П^.
5. Численное исследование. В качестве примера рассмотрим следующую задачу:
- еАи + 2ди/дх + 3» /(ж, у), (ж, у) G fi = (О, I)2, Цж,у) = 0, (ж, у) GÖfi\{(0,y)},
,n , М 0<у^0.5,
«(О,У) = \(Л ч3 пк .
[(1-уУ, 0.5
Поскольку на границе ж = 0 первая производная граничной функции разрывна в точке (0, 0.5), то решение имеет слабый внутренний слой, горизонтально идущий от этой точки. При /(ж, у) = 0 решение имеет относительно небольшой регулярный слой около границы ж = 1, не имеет характеристических слоев вдоль границ у = 0иу = 1и особенностей в углах квадрата. При численном исследовании регулярный слой разрешался на сетке, сгущающейся около правой границы в полосе шириной о\ = min {0.5е IniV, 0.25}.
Норма погрешности решения е\ = чглк\и\ — и ее корректировки на N и N/ In N
£ N
32 64 128 256
Ю-2 3.15-Ю-3 1.01-10-1 2.91-Ю-2 1.63-Ю-3 1.04-Ю-1 2.51-Ю-2 0.80-10-3 1.02-10-1 2.11-Ю-2 0.39-10-3 0.98-10-2 1.78-10-2
Ю-4 1.49-Ю-3 4.76-Ю-2 1.37-Ю-2 3.96-Ю-з 1.10-Ю-3 7.05-Ю-2 1.69-Ю-2 4.07-Ю-3 0.70-10-4 8.95-Ю-2 1.84-10-2 3.80-10-3 0.37-10-4 9.41-Ю-2 1.70-10-2 з.об-ю-3
Ю-5 1.08-Ю-3 3.44-Ю-2 0.99-Ю-з 2.87-Ю-3 0.63-Ю-4 4.04-Ю-2 0.97-Ю-3 2.33-Ю-3 0.43-10-4 5.54-Ю-2 1.14-10-2 2.35-10-3 0.31-10-4 7.87-10-2 1.42-10-2 2.56-Ю-3
10-® 1.02-Ю-з 3.28-10-2 9.46-Ю-3 0.54-Ю-4 3.43-Ю-2 8.24-Ю-3 0.29-10-4 3.69-10-2 7.60-10-3 0.17-10-4 4.46-Ю-2 8.05-Ю-3
Ю-7 1.02-Ю-3 3.26-Ю-2 9.41-Ю-3 0.53-Ю-4 3.36-Ю-2 8.07-Ю-3 0.27-10-4 3.43-10-2 7.07-10-3 0.14-10-4 3.54-10-2 6.39-10-3
Ю-8 1.02-Ю-3 3.26-Ю-2 9.40-Ю-3 0.52-Ю-4 3.35-Ю-2 8.06-Ю-3 0.27-10-4 3.40-10-2 7.01-10-3 0.13-10-4 3.44-10-2 6.20-10-3
Скорость сходимости оценивалась по значениям а = тах|г^(г, j) — iigjvC^, 2j) I, где —
i,j
решение задачи на сетке с числом узлов N по каждому направлению, а и2N — решение на сетке с удвоенным числом узлов при том же значении о\. В таблице для каждого е приведены следующие значения: а в первой строке, е\N во второй, e\N/Xa.N в третьей строке. Для е = Ю-4 и е = Ю-5 в четвертых строках приведены значения е\N/ In2 N.
Расчеты, проведенные для / = 0, показывают, что наибольшие ошибки в решении имеют место во внутреннем слое в его средней части. Как видно из таблицы, при е = Ю-2 скорость сходимости 0{N~l), а при е ^ Ю-6 — 0{N~l IniV). С уменьшением е погрешность решения стабилизируется, что свидетельствует о равномерной сходимости по е. Использование кусочно-равномерной сетки Шишкина шириной 2= 2 min {S-^y^lniV, 1/8}, сгущающейся около внутреннего слоя, дает уменьшение ошибки и сходимость со скоростью 0{N~l).
Когда / = 1, решение имеет характеристические слои и более серьезный регулярный слой. В этом случае максимум погрешности приходится на область регулярного пограничного слоя. При этом скорость сходимости есть 0{N~1 In2 N), что согласуется с полученными в теореме 2 оценками.
Автор благодарен В. Б. Андрееву за постановку задачи, внимание к работе и ценные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шишкин Г. И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: УрО РАН, 1992.
2. Andreev V. В. Pointwise approximation of corner singularities for singularly perturbed elliptic problems with characteristic layers // Intern. J. Num. Anal, and Modeling. 2010. 7. N 3. P. 416-427.
3. O'Riordan E., Shishkin G. I. Parameter uniform numerical methods for singularly perturbed elliptic problems with parabolic boundary layers // Appl. Numer. Math. 2008. 58. P. 1761-1772.
4. Андреев В.Б. Равномерная сеточная аппроксимация негладких решений смешанной краевой задачи для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии в прямоугольнике // ЖВМиМФ. 2008. 48. № 1. С. 92-116.
5. Andreev V.B., Kopteva N.V. Pointwise approximation of corner singularities for a singularly perturbed reaction-diffusion equation in an L-shaped domain // Math. Сотр. 2008. 77. N 264. P. 2125-2139.
6. В о л к о в Е. А. О дифференциальных свойствах решения краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на прямоугольнике // Труды МИАН. 1965. 77. С. 89-112.
7. Kellogg R., StynesM. A singularly perturbed convection-diffusion problem in a half-plane / / Applicable Anal. 2006. 85. P. 1471-1485.
8. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.
Поступила в редакцию 30.03.16
ON CONVERGENCE OF THE DIFFERENCE SINGULAR DIRICHLET PROBLEM FOR SINGULARLY PERTURBED CONVECTION-DIFFUSION EQUATION
Ershova T. Ya.
Consider a Dirichlet problem for singularly perturbed convection-diffusion equation in a rectangular domain as the first derivative of boundary function is discontinuous. A solution of this problem with small parameter has an interior layer. The equation is approximated by means of the classic five-point upwind difference scheme on the Shishkin meshes that are refined in the neighbourhoods of the regular and the characteristic boundary layers. It is established that convergence the difference solution has almost first-order in the discrete maximum norm L%o uniformly with respect to the small parameter. Numerical results are presented that support this theoretical estimate.
Keywords: convection-diffusion, singular perturbation, interior layer, uniform convergence.
