Смешанная краевая задача для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии в L-образной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.624.2

Т.Я. Ершова1

СМЕШАННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ В L-ОБРАЗНОЙ ОБЛАСТИ

Рассмотрена смешанная краевая задача для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии в Ь-образной области в случае, когда решение имеет особенности в углах области. Найдено такое сгущение сетки Шишкина в окрестности внутреннего угла, где стыкуются разные краевые условия, при котором решение, получаемое по классической пятиточечной разностной схеме, равномерно по малому параметру сходится к решению исходной задачи в сеточной норме Ь^ почти со вторым порядком, т.е. так же как и гладкое решение. Численное исследование подтверждает теоретически полученный результат.

Ключевые слова: реакция-диффузия, сингулярное возмущение, угловые особенности, Ь-образная область, смешанные краевые условия, равномерная сходимость.

1. Введение. Рассмотрим смешанную краевую задачу для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии в Ь-образной области О = ( — 1,1)2 \ (О, I)2 (рисунок):

Ьи = -б2 А и + д(х, у)и = /(ж, у), (ж, у) е О, ^ (0,1], д(х, у) ^ 2а2 > О,

6

и = д{х1у)1 (х,у) £ Г в = Г1 У 1и = еди/дх\т2 = д2{у). (1)

к=3

Здесь Г& = Г& — отрезки, составляющие границу Ь-образной области О, параллельные либо оси ж,

6

либо оси у, так, что <90 = и ГОбозначим через а& = {х^-,Ук) угловые точки области, при этом

к = 1

= (0,0) — вершина внутреннего угла, образованного сторонами Г1 = {(ж,у) Е <90| у = 0} и Г2 = = {(ж,у) Е <90| х = 0}. Будем предполагать, что

деС5'А(П), /еС3'А(П), д£С(дП), Л 6 (0,1), (2)

д(х,у)\Гк =дк(з) еС5'А(Ги А; = 1,3,...,6, д(х,у)\г2 = д2(з) е С4'А(Г2). (3)

Известно, что решение задачи (1) может иметь особенности в углах области [1, 2], а при малых е может возникать экспоненциальный слой ширины О (б) около границ области [3]. Эти особенности решения должны учитываться при решении задачи. В работе не предполагаются дополнительные

1 Факультет ВМК МГУ, науч. сотр., к.ф.-м.н., e-mail: ersh@cs.msu.su

условия согласования в углах области [4] (см. также [5, 6]) и потому справедливо лишь включение и(х,у) € Cß(Q) П C5'A(fi), /i,A ё (0,1) [7, 8]. В подобной постановке задача исследовалась в работе [5] для прямоугольника со смешанными краевыми условиями и в работе [6] для L-образной области с условиями Дирихле.

В этих работах показано, что при определенном сгущении сетки Шишкина около углов области равномерная по малому параметру скорость сходимости сеточного решения есть 0(N~2 In2 N) (т.е. такая же, как в случае гладкого решения); здесь N — число узлов сетки по каждому координатному направлению. В данной работе указан закон сгущения сетки около внутреннего угла, при котором будет иметь место такая же скорость сходимости.

В статье сначала рассмотрена декомпозиция решения, затем в п. 3 дана постановка сеточной задачи, в п. 4 получен основной результат — оценка скорости сходимости сеточного решения, в п. 5 приведены результаты численного решения конкретной задачи, подтверждающие теоретические исследования.

2. Декомпозиция решения. Учитывая результаты работ [5] и [6], достаточно рассмотреть решения, имеющие особенности в углах а\, а,2 и а§. Будем предполагать, что в остальных угловых точках выполнены условия согласования и тем самым функция и(х, у) не имеет там особенностей. Особенности решения в углах а,2 и а6 рассматривались в работах [5] и [6], но в нашем случае степень сгущения сетки в окрестностях этих углов по осям ж и у различна, что не позволяет сослаться на ранее полученные результаты.

Обозначим е-окрестности угловых точек а^ через ä^ = fi П {ж, у| \х — Хк\, |у — Ук\ < се}. В области fi„ = fi \ (ai U &2 U öß), т.е. вне окрестности тех углов, где решение может иметь особенности, для решения и(х,у) задачи (1) справедлива оценка (см. [6])

М™'п)(ж,у)| CKm + n^4, (ж,у)еПи.

Определим некоторое достаточно гладкое решение уравнения (1) подобно тому, как это сделано в работе [5], а именно продолжим функции q(x, у) и /(ж, у) с сохранением нормы и класса на плоскость Оху = Ж2 = {(ж,у)} и обозначим эти продолжения соответственно д*(ж, у) и /*(ж, у). Рассмотрим ограниченное решение v*(x,y) уравнения

Lv* = ^e2Av* +q*(x,y)v* = f*(x,y), (ж,у) Gl2. (4)

Функция v(x, у) = v*(x, ?/)|q является решением уравнения Lv = /(ж, у), (ж, у) € fi, и для нее, согласно теореме 1 из [5], уточненной для I = 5, справедлива оценка

Mcfñ) + Mc<>4ñ) ^ с(г + е2~г)> J = 0,...,5, A G [0,1).

Здесь — максимальный из коэффициентов Гельдера порядка А производных 1-го порядка; то

же при А = 0 есть Чтобы сосредоточиться на главном в исследовании, упростим задачу: будем

считать, что на границах Г4, Г5, Г6 и на части границы Г3, а именно, на Гз = {(ж, 1)| — 1 ^ ж ^ —0.5}-,

решение и(ж, у) совпадает с v(x, у), т. е. (и(ж, у) — v(x, у))\ 6 =0. Функция w(x, у) = и(ж, у) — v(x, у)

Гз U

к = 4

есть решение задачи

Lw = 0, (ж, у) € О;

Í0, к = 4,5,6, (ж, у) € Г*,

w = дк = <

[9k -V, к = 1,3, (ж, у) € Г*,

Из принципа максимума следует, что |ад(ж, у)| ^ с в fi.

Выпишем характер особенности решения w(x, у) в углах ai, аг и ав согласно работе [8]. В окрестности a, i внутреннего угла a i решение го (ж, у) задачи, соответствующей в растянутых переменных ж = х/е, у = у/е задаче (5), представимо в виде

w(x, у) = Pi(z^3, ¿У3, zi lnzi, z\ lnzi, zi, z\) + o(zf(6)

dw

92=92

e~dx' 2'

(5)

где = ж + гу, к > 0 — произвольно мало, а К определяется гладкостью входных данных задачи: д € С'К(П), 51 е Ск[0,1], д2 € Ск~1[0,1]. При этом

^т'п\х,у) = р}т'п) + ф

К—я—т—п 1

), т + п ^ К — 1.

(7)

Поскольку в дальнейшем нам будут нужны оценки производных ад*-4'0-5, ад*-0'4-5, то К = 5, и этим определяются требования гладкости (2), (3) для /(ж,у), д(ж,у), дк($)-В окрестности а,к угла а^, к = 2,6, решение го (ж, у) имеет вид

ад(ж,у) = .г™ г™ + ад0/г(ж,у),

где ^ = (ж* - ж) + г (у* - у) и € С4'л(а^), т = (к + 2)/4.

(8)

3. Сеточная задача. В П введем неравномерную сетку П = Пр](ц;л(ж) х шн(у)), где =

= — 1 = < 5-злг+1 < ••• < 5-1 < «о = 0 < «1 < ... < «здг = 1}- Определяя сеточную

область, мы будем исходить из кусочно-равномерной сетки Шишкина [3], но вблизи углов а\ и а2 нам потребуется дополнительное сгущение сетки, подобно тому как это сделано в работах [5, 6]. Пусть а = тт{2а-1£1п./¥; 1/3}. Отрезок [—1, —сг] разделим на 2/У частей, а отрезки [—сг, 0], [0, с], [а, 1 — а], [1 — а, 1] разделим на N частей. Для —а ^ ж*, у3 ^ а положим ж % = у% = а^/Ы^1) (гр1-1. При /01 = 1 эта сетка совпадает с сеткой Шишкина. Для аналогичного сгущения сетки около вершины а,2 возьмем У] = 1 — ст((ЗЖ — для 1 — а ^ у^ ^ 1. Введем обозначения: шаги сетки Н\,г = Хг-Хг-1, Н2^ = И Нк,г = + раЗНОСТНЫв ОТНОШвНИЯ = ^¿-Уг-

и = _ границы сеточной области дО,н = П П <ЭП, Г^ = Г^ Г) О , Г^ = Гд П П .

Аппроксимируем задачу (1) задачей

-.е2{ин

УУ

+ д(хи Уз)щ, = /(Жг, Уз), 6 О = П П П

/г

Гк = еи£0у - е-

УУ,®3

2е

Н

= д2{уз) + ^-/(0

Пусть и(х,у) — решение задачи (1)-(3) и г^- — решение разностной задачи (9). Тогда

(9)

(10)

где = ЬЬ/и(хг,Уз) — Ьи{х1,Уз) — погрешность аппроксимации уравнения на решении и(х,у).

Представление Ф^-(и) по формуле Тейлора есть (см., например, [5, 6])

/¿1,г+1 - д3и к2,з + 1 ~ Н2,3 д3и + О4

<Эж3

<Эу3

12Й1 г дж4

7 + 1 + 94 \

■ 'т2), ' + (11)

где —кк,1 < (к,г < Нк,г+ 1, к = 1,2, (ж€ На границе при 1 < ^ < ЗЛ;

^о^ЫЬ*- = - = £и

х 0 j

= £

¡11,0 Ню . . Ню

:—Щу,0з + -^-Чо^ ~ 92{Уз) ~ =

Ко _ Ню Н2,з+1 - Н2,з д3и(0,уз)

6 Эх3 2 2 ду3

^Ко Яз+1 + (дМ0,Уз+^Н2,з+1) дМО,Уз^£Н2,з)

2 Н2,з \ %4 + %4

Для рассматриваемой разностной задачи справедлив принцип максимума [9]. 3 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 3

о < С < 1- (12)

4. Оценка скорости сходимости сеточного решения. Согласно представлению и г + и\ запишем сеточное решение в виде ин = Vй + «Д где Vй и гшн — решения задач

Ь1гу1г = /, (хиуз)€ ПН, = 1нун\гН=1у\гН,

Ьн'шн = 0, {хг^Уз)^^11, = ад|г/1 , 1н'изн\гп = 1'из\гп = д2. (13)

4.1. Исследуем скорость сходимости сеточного решения Vй к решению «(ж, у). Л е м м а 1. Пусть г>(ж, у) — ранее определенное сужение решения задачи (4) на область П в«'1 — решение сеточной задачи (13). Тогда

(Хг,Уз)€ ПН. (14)

Доказательство. Для оценки погрешности (у — Vл) построим барьерную функцию В,.), используя функцию Вг^ из работы [6] и добавив слагаемое, позволяющее учесть граничное условие Неймана. Сначала определим функцию

1, -г5 ,

В{х^х,) = { Й (1 + аЛи/е)-1> (15)

аналог функции тт{е~а(-х*о ~х*)/£- 1}. В работе [6, лемма 4.1] было доказано, что

ЬНВ{0,-®г)^0, Хг > 0.

I (У,£1\ 1 XI — Х,10 ,

Положим

В,..! = сМ~2[1 + X + В(^а;Хг) + В(а;Хг) + В(1 ^ а;Хг) + В(^а;уу) + В(а;уу) + В(1 ^ аууз)]. Тогда

= рВ^^сеМ-2. (16)

I Л: в остальных случаях,

Оценка погрешности аппроксимации (11), (12) на решении «(ж, у) есть [5, 6]

I Л; в остальных узлах, 2

Из (16), (17) и принципа максимума следует, что |г> — ун\ ^ ^ сЫ~2.

4.2. Исследуем сходимость гшн к решению ад(ж, у) в области П^ = \ (а,\ и йг и йб), где а^ = = П П {ж, у| |ж — Хк\, | у — у к | < с}; Для наиболее интересного случая а < 1/3. Ход доказательства, дающий при £7 = 1/3 такую же оценку, как и при а < 1/3, дан в [6].

Лемма 2. Пусть ад(ж,у) — решение задачи (5) и гик — решение сеточной задачи (13) при а < 1/3. Тогда для |го — и)11] в области П^ справедлива оценка

^ сЖ"21п2Ж, (жиУз)€П_. (18)

Доказательство. Получим поэтапно оценку для |го — 'шн| в подобластях П^.

1. Рассмотрим |го — 'шн \ в \ (—а, I)2. Продолжим с сохранением нормы и класса функцию дз(ж) на границу = {ж,у| |ж| <1, у = 1} функцией д£(ж) так, что = 0 при ж ^ 0.5. Определим *шз(ж,у) и Wз(xi,yj) как решения задач

= 0, (ж, у) € 03 = (-1,1)2, адз = 5з! (ж,у)еГ^, = 0, (ж, у) е <ЗП3 \ Г^;

Ьну,% = 0, (ж, у) е = П3 П {шн{х) х шл(у)), = (ж,у)€дП$.

Для функции ад3(ж, у) выполнены условия согласования [4] в углах области П3, и в силу условий (2), (3) функция ад3 (ж, у) € С4'А(Пз) [7]. Барьерные функции дают оценки

|ад3| < сехр(а(у - 1)/е), |ад^| < сБ(1,у<), (ж¿,у,) б (19)

Представим (ад — адл) в виде (ад ^ адл) = (ад — адз) + (адз — ад§) + (ад§ — адл) и оценим каждое из слагаемых. Для (и) — и)з) в области П и для (адл — ад|) в области имеем

|го —гоз| ^ стт{ехр(аж/е), ехр(ау/е)}, |адл^адз| ^ стт{.В(0, ж*), В(0, Уг)}.

Поскольку В(0, —о) ^ сЫ~2 при а < 1/3 (см. [6]), то в Ол \ (—а, I)2 справедливы оценки

|ад^ад3| ^ сЖ"2, \иик < сЖ"2. (20)

Теперь рассмотрим разность (ад3 — ад^), которая является решением задачи

Ьл(ад3 - адз) = Ьлад3, (ж, у) е ад3 - ад^ = 0, (ж, у) е <ЭПз-

В силу (19) разность (11)3 — 11)3) ^ гЛ; 2 в области Г&з\(—1,1)х(1 —с, 1). Получим оценку в оставшейся части области (—1,1) х (1 — с, 1) П где для погрешности аппроксимации (11) на решении ад3(ж, у) имеем

е2М Жг = —а, а, 1 — а, у$ € (1 — а, 1),

Ж-2 1п2 Ж в остальных случаях.

Построим барьерную функцию Ф(ж,у), используя функции В(х^,х^ (15):

Ф(ж, у) = с£-1аМ~2(В(-а; ж*) + В(а; ж*) + В{ 1 - а\ ж*)) + сМ~2 1п2 N.

Тогда

I [ гЛ; 1 1|1 /V. Xi = —ст, ст, 1 — ст, Уз € (1 — с, 1),

X/ Ф^ | ^ С\ 9 о

I Ж" 1п Я в остальных случаях.

Поскольку с^ЛГ11пЛГ)2 ^ Ф(ж,у) ^ С2^~1ЫМ)2, то Ьн'Шз ^ ЬнФ, и так как на границе при у = = 1 — 0", —1 ^ ж ^ 1 разность |ад3 — ад§| ^ гЛ; то в рассматриваемой области |ад3 — ад|| ^ сФ(ж, у) ^ ^ с(Ж-11пЖ)2. С учетом ранее полученной оценки во всей области имеем |ад3 — год | ^ сИ~2 1п2 N. Объединяя этот результат с (20), получаем

|ад^адЛК 1ц™ (ж€ ПЛ \ (-<т, I)2.

2. Область П2сг = {(—0", 0) х (с, 1 — с)} П Продолжим гладко с сохранением нормы и класса функцию <72(ж) на отрезок прямой Г2 = {(ж,у)| ж = 0, — 1 ^ у ^ 2} функцией <73(у) так! чт0 при у ^ ^0.5 и у ^ 1.5 функция д%(у) = 0. Определим ад2(ж, у) как решение задачи: Ь*и)2 = 0, (ж,у) е П^, 1п)*2 = д*2, (ж,у) е Г*, ад* = 0, (ж,у) е ЭЩ\ Г*. Функция ад^(ж,у) € С4>Х(П*2). Положим и)2(ж,у) = ад2(ж,у) в области П2 = (—1,0) х (—1,1). Определим ад^ж^у^) в области П2 = П как решение задачи ЬЛад2 = 0, (ж,у) € Од, /Лад2 |гл+_г*п{2л = /гиг, 1ап'1\г'1+ = Представим

(ад — адЛ) = (ад — ад2) + (адг — ) + (ад2 — Используя соответствующие барьерные функции, получаем оценки

— -Ш21 ^ с(ехр(^а(1 — у)/е) + ехр(^ау/е)), (ж,у) € 02 = (—1,0) х (0,1), ^-^КсО.й-Ч + В^-й)), (хиу^£П'2н = П'2ПП\

откуда следуют неравенства |ад — ад2| ^ сЫ~2 при (ж, у) € 02 = (—1, 0) х (а, 1 — а) и |адЛ — ад2 | ^ сМ~2 при (жг, Уз) € 02Л = П2 П Пн. Оценка для (ад2 — ад2) в области П2 следует из работы [5]: |ад2 — ад2 | ^ ^ гЛ; 2 1п2 N. Тем самым

|ад^адлК сЖ"21п2Ж, (хиуз) € 02л.

3. Аналогично получается оценка (18) в области П {(с, 1 — а) х (—с, 0)}. Теперь нужно получить оценки в ст-окрестностях углов сц, а2 и а^.

4.3. Для оценки в П^ = (—а, а)2 П Пн используем следующее утверждение [4-6]. .. Ее

Теорема 1. Если при е = 1 для сеточной функции справедливы неравенства

'(Г!

\1нин\ <с(г0"} + 1), (Хг,У1)€т* ПГ1 (Хг,Уз)€дП2\ Г*,

где Гг^ = у!'х2 + у2, тогда ^ с, (ж*,^-) € О^.

В области П^ разность (го ^гйл) есть решение задачи: Ьн{'ш — 'шн) = ЬНгш = Ф^(гй), 1Н(1Л — гшн)\рн = = 1н,ш — 1и! = Я>Qj(w), (гй — го/г)|рЛ = 0 и |го — ^о^хга и гл ^ 1п^)2. Получим оценки Ф^(гй),

дающие на основании теоремы 1 оценку для (гй — гйл).

Лемма 3. В области П^ при /?1 ^ 6 на решении го однородного уравнения (5) в растянутых переменных справедлива оценка |Ф^-(гй)| ^ сН~2(г~2 + 1)1п1//3Ж. Доказательство. 1. На границе для 1 < ] < Ж

М - — I-^---^-+

О < С < 1, < 0 < ^'+1,

У1 <

Кроме того, согласно (6), (7), в области (^<7,<7)2 имеют место оценки

< с(г^3"2 + 1) < с(г~2а^ + 1).

(21)

а2гй(жг,%) а2гй(жг,%)

дх2 т ду2

С учетом этого получаем, что

ду2

< + 0Г2*1/3 + 1) < сСугДа^з + 1} ^ с(2Лу-2а1/3 + 1)

и поскольку шаг сетки Л,1)0 = = стЖ-'31, то для 1 < < Ж

|#0,^)| < с/ц,о(г0-| + 1) = + 1)^4/3.

к

Рассмотрим Ф0д (гй) = (1лго — /гй)од. Согласно (9), запишем 1ну) = го| — —^гй^

скольку Г01

= Л.1,о = то

|гй§|0д < < с(стЖ-Л)4/3г(

2

(22) дго", и по-

Ь,

-2 ОД

1,0

—-^гй-2 2/г/

51/3

од

Л-1,0

-2 1'

Оценка третьего слагаемого есть

Л-1,0 -

-дго

<: сЫ-3/31г-2а3

и аналогично |/гй|о1 ^ с ^ сЫ 2131га2а2. Тем самым оценка (22) верна и при ] = 1.

2. Рассмотрим погрешность аппроксимации Ф^(гй) во внутренних точках области П^ в растянутых переменных исходя из представления (11). Заметим, что

- ¿м = + 1)Л - + (г - 1)Л) < саЛГ^1"2 < сН~2о21г]'2'^.

Для первого слагаемого в (11) (для второго слагаемого аналогично) при Д ^ 6 получаем

|(Лм+1 - ¿м)«#0)| < сЫ-2®2^1 (гЦ3~3 + 1) < сЛГ2(г,? + ^а1/3.

(23)

(24)

Для третьего слагаемого при г ^ 2 (при г ^ —2 аналогично) и /3\ ^ 6 имеем

(Кг+1 ~ Кг+1Ы + ^)|гЙ(4'0)(®» + См,%)| <

Следовательно, для 2 ^ |г|, ^| ^ N и /?! ^ 6 верна оценка

\Ъг,з(™)\ < сЛГ2(гГ2 + ^ст1/3. (25)

3. Теперь рассмотрим приграничную область: г = —1, < Ж. Согласно (6), (7), представим го в виде п; = П1р + гЬ3, где у}рп'п\х,у) = р(гп'п\ у)^т'п\х,у) = 0 ^ т + п ^ 4, 0 < ж < 1.

Запишем Ф(гй) в виде Ф(гй) = ЬНгш — ¿го = (ЬНгшр — Ь'йр) + (ЬНгш3 — ¿гйв). Оценка (25), в частности, верна на го8 и при г = — 1, < N. Оставшуюся часть погрешности аппроксимации представим в виде

¿2,3 + 1 - 1ъ2,з д3'й)р _ ^2,3 + 1 + ,3 д4

3 ду3 12П2,з дУА

'йр{хиУз + ¿¡2,3 )

где —Ь,2,з < (,2,з < ^2,3+1- Для выражения во второй круглой скобке верна оценка (25) (при < Н). В разложении

из

н д2гар Л-1,г+1 — Л-1,г ^ (3,0) , - ^1,г+1^1,г + Щ^ л (4 0) ? ; -

Р,хх - -{¡-г =-§-п,р,а +-12- р ^ < См < лм+ь

первое слагаемое оценено ранее (24). Для второго слагаемого имеем

- ^1,0^1,-1 + /г?)_1)44'0)(ж_1 +С1,-1,%)| < сК^г1^-4^-! + С1,-1,%).

Поскольку г2(ж_1 + (д,-ъ Уз) ^ У^-, то при ] ^ 2, согласно (21),

*2(х_! + С. ,.//.,) > 2-2^у2+1 = 2"2^2 I* + 1

'(7

2/31

>

Ж

/ Х 2/3!

>2 (4)

Ж /

Таким образом, для второго слагаемого, учитывая (23), получаем при ] ^ 2 оценку:

(К1о - к,оК-1 + + Сх,-ъУз)\ <

< сЛТ2*2^!"^^3-4^-! + Сг,-ъУз) < сЛГ2(гГ2 + ^а1/3.

Теперь получим оценку для I го,

92«)г

д2т

в случае, когда I = —1, j = 1. При Д ^ 6

дх2

< СГ-1,Т2 < сЖ"2г!2 1а1/3.

Поскольку и)р,1,з ^ СГ^3, то

«г - <

^р,1+1,3 ^р,г,з Ш р,1,3 ^р,1 — 1,з < с| ( г1/3 1,3 Г 1-1,3

т -

Заметим, что г0д = у\ < г_ 1д = л/2&Ы , г_2д = + у2 = стЖ 131 т/2^1 + 1 ^ сг_1д и /г1)0 = 1,-1 = дН — 1). Таким образом, при ¡3\ ^ 6 справедливо неравенство

I чЪп Л , ,<г Г~1Д ,'1'1л - • -у <■/••«,:• -' л-1/з _ гм-2г~2 Я1/3

которое будет верно и в узле (—1,0). Такие же оценки будут при ] = —1, 0 ^ г < N. Все случаи рассмотрены, оценка (25) справедлива во всей области П^.

Теперь на основании теоремы 1 можно записать, что в области П^ при /01 ^ 6

¡т^и)?1]^^-1!!!^2. (26)

4.4. Получим оценку (го — 'шн) в ст-окрестности П2сг = (—х (1 — с, 1) угла а2. В отличие от предыдущего случая сгущение сетки около угла а2 различно: по оси ж — с параметром /?1 ^ 6, а по оси у — с /02 ^ 2, поэтому доказательство аналога теоремы 1 иное.

Для простоты изложения заменой ж = —ж, у = 1 — у отобразим области П2сг и 0,2(Т = ^2<т П в области Б = {ж, у\ 0 < ж, у < с} и С Б с узлами сетки жг = а^/Ы)^1, у^ = и границами

Г дг = {(ж, 0) б Г % = дОн \ Т%. Справедливы оценки

11н{и1 - = < сЖ~2(е2г~2 + 1) 1п2 Ж,

- ^)1*=о = |Ф0,ф)| < сЛГ2(егад + 1) ЬЛГ,

(27)

доказательство которых аналогично доказательству оценки погрешности аппроксимации в лемме 3. Следующая лемма — аналог теоремы 1 для рассматриваемой сетки.

Лемма 4. Если для функции го^- в области имеют место неравенства

\ЬН'шп\ < с(е2гИ2 + 1) для (х^уу) € |гол| < с для (х^у^) € Г

< ф^1 + 1) йыг (0, уз) € Гл

гс>е гг2- = ж2 + у2, то во всей области справедлива оценка |го|^-| ^ с.

Доказательство. Покажем, что при определенном выборе параметров Ъ ж Н функция

В(ж, у) = (я- + 5) arctan

У

arctan

У

х + ЬН

1, 5 > О,

ЬВ(г',<р') = —е2

, , / /ч ^В

Щг,<р) = -£— = -£

х + ЬН \

ля решения Сделаем з. . Тогда В(ж, у) = В (г', <£>') = (ж + 5)ср' — ср'2 + 1, в рассматри-

1 д2В 1 2е2

используемая в работах [5, 10], является барьерной для решения го|^. Сделаем замену ж' = ж + ЪН,

__у

у' = у, г' = л/ж'2 + у'2, ш' = агсйап --——

х + ЬН

ваемой области с\ > В (г', ср') > с2 > 0 и

1 а / , ав

г

дВ ^

„/2 '

У

Поскольку

а2в

дх'2

ж'2 + у'2

У,у')

2 arctan . - (тг + 5) ] ^ ^-<5. х + ЬН к ') г'

д2в

ду

12

У, у')

с

то при достаточно малом для разностного оператора на границе ж = 0 справедливо неравенство

(при о < еъ е2 < 1)

1 - ~£д* + 2е

д2В д2В \ \ £

~2 1 + у',] + 02к2,з+1) \ + д<уВол) ) с~, •

дх'2

ду

Так как

д3в д3в

дх'3 1 ду'3

«с

Съ_

то можно записать (при 0 < < 1, к = 1,..., 4)

Х^В^- — ЬЪ

¿?3в ¿?3в \

+^■+1^3 +03^+1) - Кз-^г^у'з - в^,з)) >

> ГВ - ^ / __ +_+ 1_ \ Г28,

При Н = с/Ж2, Ь ^ 2сь(2сь + 3)/9 и достаточно большом N верно неравенство

Сь ( , \ 1

V- .л

I ^

1 — 1,3 г,з~1 } гз

Е2

из которого следует, что В^- ^ ——, и так как г' ^ (1 + Ь)2г, то (Ь^ад^дл

г,]1 ^

и тем самым, утверждение леммы доказано.

Замечание 1. Вычисления в (28) при Ь = ж, 6 = 0.01 и различных комбинациях значений

е2

показывают, что ЬНЪ^ — при любых N > 2.

Из леммы и неравенства (27) следует, что |ад — 'шн\ ^ с{Ы~11пЖ)2, (ж*,^-) € О^.

Аналогично получается оценка (ад — и;*1) в ст-окрестности угла а^.

Объединяя две последние оценки с (14), (18) и (26), получаем основной результат.

Теорема 2. Пусть и(х,у) — решение задачи (1)-(3), а ин(х, у) — решение сеточной задачи

(9) в области П с параметрами сетки ¡3\ ^ 6, /?2 ^ 2 и а < 1/3. Тогда

11« - ин\\ть ^н-, < с(М~1ЫМ)2.

^оо*.5' )

Замечание 2. Утверждение теоремы остается в силе и в том случае, когда решение имеет особенности во всех углах области.

Л =6, /32 = 2 II €1 /3 2=2

£ Л? Л?

48 96 192 384 48 96 192 384

0.035 0.011 0.003 0.0008 0.021 0.009 0.004 0.0017

0.5 80.3 99.6 108 117

5.36 4.78 3.92 3.30 3.26 4.13 5.43 6.92

2.12 2.29 2.25 1.49 1.46 1.54

0.107 0.045 0.013 0.0034 0.097 0.029 0.011 0.0049

2-б 247 413 462 493

16.5 19.8 16.7 13.9 14.8 13.0 14.7 20.3

1.58 2.23 2.27 2.15 1.72 1.40

0.118 0.047 0.013 0.0035 0.101 0.031 0.011 0.0049

2-8 272 434 490 520

18.1 20.8 17.7 14.7 15.5 13.7 14.9 20.5

1.66 2.22 2.28 2.15 1.79 1.40

0.121 0.048 0.014 0.0036 0.103 0.031 0.011 0.0049

2-ю 278 440 497 528

18.5 21.1 18.0 14.9 15.9 13.9 14.9 20.6

1.68 2.22 2.28 2.16 1.81 1.40

0.121 0.048 0.014 0.0036 0.104 0.032 0.011 0.0049

2-12 279 441 499 530

18.6 21.1 18.1 15.0 16.0 13.9 14.9 20.6

1.69 2.22 2.27 2.16 1.82 1.40

5. Пример численного решения. Результаты численного решения задачи (I) (3) при </ I. / = 0, §2 = у — 1, (?5 = х2 — 1, = 0, к = 1, 3,4, 6, представлены в таблице.

Скорость сходимости оценивалась по значению ёдг = — u2N |, где — решение задачи (9) на сетке с числом узлов N = 6N по каждому направлению. В таблице для каждого рассмотренного значения е в первой строке дана норма pjv||, во второй строке для fii = 6 даны pjv||iV~2, в третьей строке pjv||iV2/ In2 N, в четвертой строке приводится значение р = 1п(рдг||/р2лН1)/ ln(2 InN/ ln2iV), характеризующее скорость сходимости, т.е. pjv|| = 0((N~1\nN)p). Из таблицы видно, что для /3i = 6 численное решение задачи подтверждает равномерную по е сходимость со скоростью N~2 In2 N; при Pi = 4 решение сходится равномерно по е, но со скоростью меньшей, чем при fii = 6.

Автор благодарен В.Б. Андрееву за постановку задачи, внимание к работе и ценные замечания и И.Г. Белухиной за консультации при оформлении статьи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ВолковЕ. А. О методе регулярных составных сеток для уравнения Лапласа на многоугольниках // Тр. МИАН. 1976. 140. С. 68-102.

2. Han Н., Kellogg R. В. Differentiability properties of solutions of the equation -е2Д« + ru = f(x,y) in a square // SIAM J. Math. Anal. 1990. 21. N 2. P. 394-408.

3. Шишкин Г. И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: УрО РАН, 1992.

4. В о л к о в Е. А. О дифференциальных свойствах решения краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на прямоугольнике // Тр. МИАН. 1965. 77. С. 89-112.

5. Андреев В.Б. Равномерная сеточная аппроксимация негладких решений смешанной краевой задачи для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии в прямоугольнике // ЖВМиМФ. 2008. 48. № 1. С. 92-116.

6. Andreev V.B., Kopteva N. V. Pointwise approximation of corner singularities for a singularly perturbed reaction-diffusion equation in an L-shaped domain // Math. Сотр. 2008. 77. N 264. P. 2125-2139.

7. Ладыженская О.А., Уральцева H. H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

8. Wig ley N. М. Asymptotic expansions at a corner of solutions of mixed boundary value problems //J. Math, and Mech. 1964. 13. N 4. P. 549-576.

9. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. M.: Наука, 1976. 10. Andreev V. В. Pointwise approximation of corner singularities for singularly perturbed elliptic problems with

characteristic layers // Int. J. of Numer. Anal, and Modeling. 2010. 7. N 3. P. 416-427.

Поступила в редакцию 19.12.11

A MIXED PROBLEM FOR A SINGULARLY PERTURBED REACTION-DIFFUSION EQUATION IN AN L-SHAPED DOMAIN

Ershova T. Ya.

A mixed problem for a singularly perturbed reaction-diffusion equation in an L-shaped domain is posed when solution may have corner singularities. The problem is examined by means of the classic central finite difference scheme on the tensor-product Shishkin mesh that is further refined in the neighbourhoods of the corners, where boundary values first kind and second kind are connected. It is established that the convergence of our numerical solution has almost second-order in the discrete maximum norm lJ'K uniformly in the small diffusion parameter. The same convergence takes place for smooth solutions. Numerical results are presented that support this theoretical estimate.

Keywords: reaction-diffusion, singularly perturbed, corner singularities, L-shaped domain, mixed problem, uniformly convergence.