О разностной схеме с равномерным по малому параметру разрешением степенного пограничного слоя Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.624.2 Т. Я. Ершова

О РАЗНОСТНОЙ СХЕМЕ С РАВНОМЕРНЫМ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ РАЗРЕШЕНИЕМ СТЕПЕННОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ1

(лабораторияразностных методов факультета ВМиК)

Для самосопряженного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с регулярной особенностью в точке х = 0 рассмотрена первая краевая задача на отрезке, расположенном на малом расстоянии е от особой точки. Для решения используется классическая трехточечная разностная схема. Построена сетка, гладко сгущающаяся к концу отрезка х = е, на которой разностное решение задачи имеет равномерную по е точность 0(ЛГ_2), где N — число узлов сетки.

1. Введение. Рассмотрим следующую задачу:

Ьи = —(хи')' + д(ж)и/ж = ж/(ж), 0 < е < х < 1, q{x) ^ г/2, г/ > 0, (1)

и{е)=д1, и{1)=д2. (2)

При численном решении этой задачи возникают определенные трудности, так как производная решения не будет ограничена при стремлении е к нулю. Задачи такого типа возникают, например, при определении перемещений и напряжений в телах вращения, имеющих узкий относительно характерных размеров области центральный вертикальный канал, находящийся под давлением. Напряжения около стенок канала быстро меняются вдоль радиуса, и эти изменения возрастают при уменьшении радиуса канала. При некоторых упрощающих предположениях система уравнений теории упругости преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка (задача Ламе для бесконечного цилиндра, находящегося под действием равномерного давления Р на внутреннюю поверхность радиуса г = е [1]):

= о, (3)

(2д + Х)и' + Хи/г = Р, г = е.

Решение задачи, ограниченное при г —> оо, есть и = —Ре2/2дг. Вторая производная этого решения неограничена вблизи границы г = е при е —> 0. Если уравнение (3) рассматривается на конечном интервале г 6 (е, 1) и заданы краевые условия первого рода: и(е) = 1, и( 1) = е, то решение есть и = е/г, ив этом случае его первая производная и' = —е/г2 неограничена около границы г = е при е 0.

В рассмотренных задачах особенность в решении возникает на границе области, связана она с изменением геометрии области при е —> 0, называется особенностью типа степенного пограничного слоя [2-4]. Задачи, аналогичные (1), (2), решения которых имеют степенной пограничный слой, рассмотрены, в частности, в работах [3, 4], где сгущающиеся сетки строятся исходя из условия, что искомое решение имеет в новых переменных равномерно ограниченные производные. Рассматриваемое нами уравнение (1) не относится к классу уравнений, исследованных в [3, 4], поскольку для него не выполнены условия, налагаемые в этих работах на коэффициенты уравнения. Соответственно оценки, полученные в этих работах для производных решения аналогичного (1) уравнения

-((е + х)и')' + с{х)и = (е + ж)/(е + ж), 0 < х < 1,

не верны в случае решения задачи (1), (2).

В данной работе показано, что решения, полученные по классической трехточечной схеме [6], аппроксимирующей уравнение (1), на гладко сгущающейся сетке, сходятся равномерно поев сеточной норме Ь^ со скоростью 0(ЛГ_2).

Основное содержание статьи:

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 99-01-01056 и № 02-01-01089).

- получены представления и оценки решения дифференциальной задачи и оценки производных решения;

- дана постановка разностной задачи и получена априорная оценка Ц^Ц^ь ^ с , используемая в дальнейшем наряду с оценкой, следующей из принципа максимума;

- построена сетка, гладко сгущающаяся к концу отрезка х = е;

- исследована сходимость разностного решения при любых е ж N ж показано, что разностное

решение на гладко сгущающейся сетке имеет равномерную по е точность 0(ЛГ_2) в сеточной норме т-и .

- приведены результаты численного решения задачи.

В работе через с обозначены положительные постоянные, не зависящие от N и е.

2. О представлении решения задачи. Для оператора Ь, определенного в (1), справедлив принцип максимума. Приведем два следствия из принципа максимума, которые будут использоваться в дальнейшем.

Утверждение 1. Если Ьик(х) = срк(х), ик(е) = = 0, к = 1,2, и ((^(ж)] ^ \<*р2(х)\, тоо

(ж)| ^ |и2(ж)|.

У т в е р ж д е н и е 2. Для решения и(х) задачи (1) справедлива оценка

х2/(х)

max\и(х) | ^ max < \gi | , |<72|> max [еД] I [£Д]

q(x)

Решение задачи (1) можно записать в виде суммы решений отдельных задач

и(х) = д2У1 (ж) + (ж) + и(х), Ш = х/(х), и(1\) = 0, и{12) = О, ЬУ1 = 0, У1(е) = 0, У1(1) = 1, ЬУ2 = 0, У2(е) = 1, У2 (1) = 0.

(4)

(5)

(6)

Обозначим Lv оператор L при q(x) = v2 = const, т.е. Luv(x) = — (xv')' + v2v/x.

Получим оценки решений Vk(x), используя равномерно по е ограниченные решения Vk(x) уравнения LuVk(x) = 0:

vi(x) = хи, v2(x) = ev ¡xv. Лемма 1. При q(x) £ С2[0,1] для решений Vk(x) задачи (6) справедливы оценки

хт\^т](х) <^cvk{x), к = 1,2, т = 0,...,4.

(7)

Доказательство. Из принципа максимума следует, что \гк(х) ^ 0. Возьмем функцию фк(х) = = Ук(х) — Ук{х). Тогда Ьфь = (д(х) — г/2)г>&(ж)/ж ^ 0, фк(е) ^ 0, <^(1) ^ 0. Согласно принципу максимума фк(х) ) 0 и, следовательно, \гк(х) ^

Получим оценки для хУ1(х). Проинтегрируем уравнение (6) для функции \гк(х):

xVl(x)-lkVl(lk) =

q(t)

Vk(t) dt.

(8)

Здесь 1\ = е, 12 = 1. Поскольку ) 0 и Ук{1к) = 0, то ( — 1)кУ1(1к) < 0, и из (8) следует, что

(-1)Ч'(*) <0.

Существует точка г\ £ [е, 2е\ такая, что У1(2е)~У1 (£) = У1(г\). Аналогично для функции У2(х) при фиксированном 6: 0 < 6 < 0,25 (например), существует такая точка г2 £ [1 — ¿,1], что т/2(1)-У2(1-<?) _ Из этих равенств с учетом оценок (7) (при т = 0) и граничных условий

следует, что \zkVKzk) | ^ сеи. Далее, из (8) при х = Хк заключаем, что \1кУк(1к) \ ^ сеи, поскольку

q(t)

Vk(t) dt

< сеи.

Тогда из равенства (8) следует, что (жУ^ж)] ^ сг>&(ж). Оценки следующих производных, а именно

жтУ^т'(ж), т = 2,3,4, получаем из (6) и далее последовательным дифференцированием этого тождества.

Получим оценки для решения II(ж) задачи (5).

Лемма 2. Пусть /(ж), д(ж) 6 С2[0,1] и д(ж) = А2 + жд1(ж). Тогда для решения II(ж) задачи (5) и его производных справедливы оценки

-А

хти{т)(х)

€ С

«А

+ жА + ж2 ) , если А ф 2,

еА

-г- + жА + ж2 |1п ж| ) , если А = 2,

т= 0,..., 4. (9)

Доказательство. Из (5) имеем

Ьхи(х) = ж/(ж) - д1(х)и(х)1 и{е) = и{ 1) = 0. (10)

Согласно утверждению 2, решение задачи (5) ограничено: |С/(ж)| ^ с. Пусть <~р{х) = ж/(ж) — д!(ж)С/(ж),

<¿5 = тах|(,о(ж)| и пусть С/(ж) есть решение задачи [еД]

£л[/(ж) = ф, и{е) = и (1) = 0.

Тогда, согласно утверждению 1, имеем оценку |С/(ж)| ^ |[7(ж)|. Для С/(ж) известно точное решение (постоянные ап, п = 1,.. .,4, определяются из граничных условий):

еЛ

ах—г + а2жл + при А ф 1,

С/(ж)=<| «А (11)

«з—V а^х — 0,5(рх 1п ж, при А = 1.

ж

Для оценки решения [/(ж) и его первой производной используем функцию Грина оператора Ь\\

Г(г

где

А(х) = жЛ — ел—г, Жж) = - елжл, х = 2Аел(1 - е2Л).

X X

Решение задачи (10) есть

1 X 1

и(х) = I ср(г)С(Ж, *) (И = 1 <р(г)А(г) м + J <и, (12)

а производная этого решения равна

X 1

х ] X ]

Для </?(£) справедлива оценка ^ с{Ь + II (Ь)). Используя ее, непосредственными вычислениями

получаем, что при А ф 1, А ф 2 (в этих случаях — отдельные ветви вычисления)

\и(х) | ^ с + жЛ + ж2^ , |жС/'(ж)| ^ с + жл + ж2^ .

Переписывая уравнение (5) в виде ж2II"(ж) = —жII' + д(ж)С/(ж) — ж2/(ж), получим оценку второй производной:

А

\х211"(х) | ^ с ( ^ + жЛ + ж2

Дифференцируя (5), получим оценку (9) для следующих производных решения II(ж)

Случай А = 1 отличается выражением для [/(ж) (11). Рассуждения, аналогичные предыдущим, дают оценку

хти(т) (ж) ^ с + х + х2 |1п х\ + ж2) ^ с + х + ж2) ^ с + ж) , т = 0,..., 4. При А = 2 оценки будут

ти[т){ ж) «С с + ж2 +ж2 |1пж|^ , т= 0,..., 4.

3. Разностная задача и априорная оценка решения. Введем на отрезке [е, 1] неравномерную сетку и = {х^ е = жо < х\ < ... < Ж2дг = 1}- Обозначим /г¿ = ж¿ — = (/г¿ + ^)/2,

= (и, — г^^)//^, = (^¿+1 — Аппроксимируем задачу (1) на сетке и разностной задачей

Ь yi =-((х - О^к^ух)^^ + q(xi)yi/xi = xif(xi), Уо = 91, У2М = 92-

(13)

Пусть и(ж) — решение задачи (1) и ^ — решение разностной задачи (13). Погрешность решения XI = и(х^ — ^ является решением задачи

Ьп г, = Ф,:

ей, г0 = г2Н = О,

(14)

где = (L/ги)¿ — (Ьи){ — погрешность аппроксимации разностной схемы. Для данной разностной схемы справедлив принцип максимума [6, с. 45] и, следовательно, имеет место оценка

N1 Ьн ^ С '

(15)

где \\2\\Тк = тах Погрешность аппроксимации можно записать в виде [71 " [0,2ЛГ]

^¿+1 — hi

+ V с1А

12

24Я- АР + + -¿¿<#¿<^+1. (16)

Если решение задачи (1), (2) — достаточно гладкая функция, е ^ £о и сетка равномерная, то погрешность аппроксимации ^ сАг_2 и тем самым ^ сАг_2. Если же е < £о> то на равномерной

оо

сетке мы не сможем получить такую же оценку равномерно по е. Например, на решении и(ж) = е/х задачи (1), (2) при д(ж) = 1, /(ж) = 0, д\ = 1, д2 = г погрешность аппроксимации ^ + Таким образом, в точке х\ = е +Аг_1 будем иметь неравенство х\ |"Ф"]_ | ^ сеАг_2 (е + ^Аг_1)_3. На этом же примере можно показать [8], что вне конечной окрестности точки ж = е равномерная по е точность разностного решения на равномерной сетке есть только 0(Аг_1).

Докажем еще одну априорную оценку, которую будем использовать в дальнейшем. Теорема 1. Для решения разностной задачи (14) справедливо неравенство:

2ЛГ-1

IЫ

^ с||ф||ь? = с

(17)

¿=1

Доказательство. Для квадрата сеточной функции г^ справедливо представление = к

= из которого получаем неравенство

¿=1

2ЛГ-1 £

¿=1

2N-l 2N-l

~Ь ^х— \ | ^г — ^ ^ |л/ СХ ^/д/сЖ^ | ¿=1 ¿=1

2ЛГ-1

+ £ \гх,гу/с{хг - Q,5hi)zi-1/Л/c(xi - 0,5/г.,)

Далее, пользуясь тем, что ^ ^ 2(xi — 0,5/г^) и аЬ ^ 0,5(а2 + б2), получаем 2ДГ-1 . \ 2ДГ-1 . ?

У^ ( - 0,5^)4 ¿^Н---^г ) + 0,5 У^ ( - 0,5^)4 ¿^Н--

^ V ' схг ; ^ V '

2ДГ-1 ,

^ 2 V с(хг - 0,5Ы)г1 гЫ +

\ ' СХ;

¿=1 4 г

С другой стороны для разностного оператора V1 из (13) имеем неравенство 2ЛГ-1 2ЛГ-1

(18)

¿1\ — 1 ¿1\ — 1 / 2 (.Ьнг,г)= ^ {~((хг ~ 0,5Ы)гц;)х,г +д(хъ)гъ/хъ} = ^ I (ж^ - 0,5/^)4,А +

ь = 1 г = 1 ^ Жг

2ДГ-1 . \

^ (жг - 0,5^)4 ¿^ + ^ —М

г = 1 4 Жг У

Пусть в узле 6 (г, 1) решение ^ принимает максимальное значение. Согласно (18), положив с = г/ имеем

2ДГ

-1

¿=1

2 (|Ф«| , 1). Тем самым г\\ьи <С с(|Фг|,1) = с||Ф||ь? ,

¿=1

и, следовательно, г\ ^ 2/р(Ьь,г, г) ^ с\г^\ (|Ф^|,1). Тем самым

что и требовалось доказать.

4. Сгущающаяся сетка. При построении сетки, сгущающейся к точке х = е, используем метод, предложенный Н.С. Бахваловым [5]. Будем исходить из условия, что входящее в оценку (15) выражение жгФ(жг), где Ф — погрешность аппроксимации (16), для функции и = еа/ха + х13 не должно сильно зависеть от узла сетки, а именно что второе слагаемое в выражении для жФ при всех х есть величина порядка 0(ЛГ_2) равномерно по е.

Пусть узлы сетки задаются достаточно "гладкой" функцией ж(^) = /¿(¿¿), ti = ¿Д£, г = 0,1,..., 2И, = 1/(2А^). При этом ж(0) = е, ж(1) = 1. Поскольку /г¿ рй fJ,l{ti)At, то с точностью до членов высшего порядка малости уравнение для //(£) запишется в виде

х(1)^'(1)2 А^(еа/ха+3 + ж'3"3) = сА12.

При малых значениях ж: е < ж < ж* главную роль в этом уравнении играет первое слагаемое и можно положить

£а

£

Учитывая, что ж(0) = е, получаем решение хх^) = -—^ /а' ж* < ж < 1 главная роль

переходит ко второму слагаемому, и в этом случае уравнение будет

ж2(£)д'(£)2ж = с, ж2(1) = 1,

и решение ж2(£) = (с2£ — с2 + I)2/'3. Константы определим из условий склейки сеток в точке t = 0,5: ж1(0,5) = ж2(0,5) и ж^(0,5) = ж2(0,5) (последнее условие справедливо при а = /3). Таким образом, задачу будем решать на сетке Ш, узлы которой при е ^ во задаются функцией = ж(^) = (1 — е)^ +£, а если е < то

= ж(^) = <

при 0 ^ ^ 0,5,

(1 - аи)2!« ^ " ^ - ^ (19)

(1 - а(1 - ¿¿))2//3 при 0,5 ^ ^ ^ 1,

где

ав

(3 = тт (а, 2), а = 2(1-ё), ё = е1, 1= 2{а + ^у (20)

Точка склейки двух сеток есть ж(0,5) = е2^. Отметим, что x't — возрастающая функция по t (кроме случая /3 = 2, когда x't = const для t > 0,5), а ж" — возрастающая функция по t при t < 0,5 и при t > 0,5, /3 ^ 1, и убывающая при t > 0,5, 1 < /3 < 2.

5. Оценка скорости сходимости.

Теорема 2. Пусть и(ж) — решение задачи (1), (2) при д(ж),/(ж) £ С2[0,1] и д(0) = А2. Пусть параметры сетки (19), (20) удовлетворяют условию V ^ а ^ /3, а если А = 2, то еще и /3 < А. Тогда решение задачи (13) на сетке (19), (20) равномерно по е сходится к и(ж) со скоростью 0(ЛГ_2) в сеточной норме ЬIIи^ — н ^ сН~2.

оо

Доказательство. 1. Выпишем некоторые представления и оценки, которые нам потребуются в дальнейшем. Для шагов сетки можно записать

= Х{ — хг-1 = х[(^г ~ (21)

где 0 < ^ < 1, г = 1,..., 2И. Поскольку х[ — неубывающая функция, то /г¿ ^ /¿¿+1, и

hi ^ x't(ti)At = <

-N

-1

=

а а

ii ^ 0,5,

(1-aij) a (1 - ai!)2/«+1' ЛГ-1(1-а(1-^))2//з-15 f. у о,5.

(22)

Разность шагов есть — }ц = ж"(^ + где —1 < ^ < 1, г ^ ./V. При /3 = 2 и ^ > 0,5 сетка

равномерная: hi+l = В остальных случаях справедливы оценки

hi+1 - hi ^

(1 - aii+1)V«+2'

Д£2ж^(;£г+1) <С ciV-2(e + a(ii+i - 0,5))2/^"2, /3 ^ 1, > 0,5, ^ Ai2<(ii_i) iC cN~2(e + a(i,_i - O^))2/'3"2, 1 < /3 < 2, tt > 0,5. Имеет место равномерная по е ограниченность следующих отношений:

1 ~ atj 1 ~ atj+1

1 - ati+1 ^ 1 - aij_i

1 — a(l — _ e + a(ti- 0,5)

1 — a(l — i,_i) e + a(i,_i - 0,5) 1 - a(l - ii+i)

= 1 +

^ с для г < N — 1, aAt

(23)

(24)

г + a(ij_i - 0,5)

^ с для г > iV + 1,

= 1 +

2aAt

1 — a(l — i,_i) г + a(i,_i - 0,5)

используя которые, получаем для ¿<JV-lni>iV+l

^ с для i > N + 1,

< с,

"г + 1

< с,

ж, + 0,50,

< с, -/ij < в, < hi+1.

(25)

^г —1 -)- I

Заметим, что для ¿ = ^-111 = ^+1 оценки (25) будут иметь место, если ЛГ_1 ^ се. Необходимость этого условия следует, например, из оценки отношений

1 - а(1 - tN+2) _ ё + а(^дт+2 ~ 0,5) _ ^ 2aAt

1 — а(1 — ¿дг) е + а(^дг-0,5) е

2. Разобьем погрешность аппроксимации и соответственно решение ^ = и(ж^) — изадачи (14) на две составляющие: = Ф^ + так, что

'фг, г = 1,...,ЛГ-2,ЛГ + 2,...,2ЛГ, 0, г = ЛГ-1,ЛГ,ЛГ+1,

= Фг - Ф1,г И ^ = + Так, ЧТО

Ь71^ = Ф^, = = 0, к = 1,2.

=

Заметим, что А ^ г/ и, значит, для ж £ [г, 1] верны неравенства: жА ^ (9) для погрешности аппроксимации (16) справедливы оценки

|Фг| «С С1 Фг[Л + с2Фг [Г-)"! + с3Фг,

И - < 4

В силу (7) и (26)

где

Фг[Л = {hl+1 - 1гг)хГ2 + h>+\+h>3 (li+Ш + 1 ) {х. + в.у-3

Ф,;

Ф, =

- (hi+i - К+ Xi

hi \ XÍ +

ev h¡+i3 + h¡ó f хг + 0,5вг

hi

+

+1

(хг + ег)»+з А ф 2,

+ + А = 2.

3. Для оценки будем использовать априорную оценку (15). При г < АГ — 1

5-+1 (хг + 0,50

-hi < вг < hi+1, (27) (28)

(29)

хгЧ!г[х"] ^ cN

-2 ^ + 1 ^-l+civ-2

+1 (xt + et)

v-2

(1-а^г+1)2 г (1-аЬг+1)2 \ хг + (

Учитывая (20), (24) и то, что (1 — а^+1)-1 ^ (1 — а£дт)-1 = е-1 = е г, получаем

г-2 • ' " г Л - г.У -.

+

хгЧ!г[х"] ^ cN~

(1 — aí¿+i)2 Xi(l — ati)2v!c

(30)

Далее, поскольку при г < N — 1 на сетке (19), (20) имеет место равенство — = (1 — а^)2гУ/а, то

Ф

< cN

-2 (1 — ati)2lJ!a | лЛГ_2 ^¿^¿+1 (1 — ati)2lJ!a

(1 - atl+lf

+ cN~

<

(1-аЬ1+1)2 {хг + вгу

<С cN-2( 1 - а^)2гу/а"2 <С сН~2. Теперь получим оценки в узлах г > АГ + 1 > 0,5). Поскольку г/ ^ /3, то

ЖгФ^] ^ сАГ

-2

'г + 1

„v-í , „лт — 2

(1 — а(1 — í¿+i))

2 г

+ сАГ"

c¿+i

<

< cN

-2

(1 — а(1 — í¿_|_i))2 (жг+0г)2

r_2(l-a(l-¿8))2^ (1 — а(1 — í¿_|_i))2

(1 — а(1 — í¿_|_i))2

< cN~

<С cN~ . (31)

Далее заметим, что при > 0,5 на сетке (19) отношение — преобразуется к виду

Хг

£и £(2иЦЗ + 2и/а) / ¿т \ 2^//3

х\ (1-а(1-^))2-//з {е + а(и - О,5))2"/0 — 0,5)

Учитывая оценки (22) и (23) при /3^1, будем иметь

2 и/а

сгфг

< сАГ

-2

< сАГ

-2

{ё + a(í¿+i — 0,5))2 е"

+ сАГ

-2

2

<

(г + a(í¿+i — 0,5))2ж^/_1

< сАГ

-2

(г + a(í¿+i — 0,5))2 х^+1

2¡V/3 -2 у/а

г + a(í¿_i — 0,5) / (e + a(tt+1- 0,5))2

2v ¡ /3 + 2

<

< сАГ

-2

-'"/" < r.V

+ 1 - 0,5).

Такие же оценки || получаются, если для (/¿¿+1 — /¿¿) использовать неравенство (23) при 1 < /3 < 2 или если = hi.

Оценка для ж¿Ф¿, согласно (29), при А ф 2 есть частный случай оценок (30) и (31) при г/ = 2: = ж¿Ф¿[ж2] ^ сАГ_2. Собирая вместе оценки для ж¿Ф¿[жгУ], ж¿Ф¿ ж?Фг ПРИ А ф 2, будем

иметь

сгФ1,г| ^ сАГ

-2

При А = 2иг<Дг-1 будет выполнено: ^ Xi(hi+l — /¿¿) |1п £¿1 + /г2+1 |1п |. Тогда

,гФг «С с1V-2 , Ж'+1 Ч9 ^па^ <С сдг-2£«(2-/з)/(а+/з) |1пг| <С сА^"2 |1пе| , (1 - «-¿¿+1)

и если /3 < 2, то ж¿Ф¿ ^ сАГ 2. При г > АГ + 1 получаются такие же оценки. Таким образом, верно неравенство

Н-г^и ^сЦжФ^кь ^ сАГ~2. (32)

оо оо

4. Чтобы получить оценки решения рассмотрим отдельно два случая: е ^ сАГ_1 и АГ_1 ^ се. В первом случае будем, по-прежнему, использовать априорную оценку (15), но другое представление погрешности аппроксимации Ф¿:

Ф¿ = L/ги(ж¿) - Ьи(х^ = 0,5/^ + 1)^^--— + (Xi - 0,5/^) ^ ^~1 + - Хг/(Хг).

Нам нужно оценить ж^Фг,«- В силу (4)

Жгфг =52ЖгХ/г(У1(Жг)) + ЛЖгЬ/г(У2(Жг)) + ЖгХ/г(С/(Жг)) -ж2/(жг). (33)

Рассмотрим каждое слагаемое, входящее в это выражение, в точках I = N — 1,АГ, Аг + 1:

\х>ЬнУкД «С ^ (7^ + 0,5^ (^,¿+1 + Ук,г) + (^ - 0,б) (Т4,г + Т4,г_1)Л) +агТ4,г. (34)

Ъ I I и * I ^ I ' к.,// I 1 т

я,: \ \ ^¿+1 / \ /г,:

^а^ОИГ^ГПП |~1гт1тп~1ттт0тттт сг - -

Покажем, что входящие в это неравенство отношения ^ ] и гЕпт ПРИ е ^ с^ 1 равномерно ограничены. Согласно (21),

2(2 £ 2(2 а (£ + а(АЬ + г]М_1))2/а+1 /3

Тогда

ждг_1 _ а £ (£ + а(А^ + ??лг-1))2/а+1 ^ё+сА^-1 /ё + а(А* + ^-1) \ 2/" < ^

/гдг_1 2а (1 — а£дг_1)2/а гД£ ^ Аг~1 V е + аА^

ждг+1 ё2//3 + /гдг+1 /3 ё / ё х 2//З-1

л I . + 1 ^ С.

пдг+1 /гдг+1 2а АЬ \£ + ат]N+1.

Из этих оценок следует равномерная ограниченность других аналогичных отношений, входящих в (34), например:

ЖДГ-1 , Ждг-1 Ждг-1 2ждг_1 Ждг Ждг-1

— ^ I-^ с' *-^ 1-^ с' Г~ = "Т— + 1 ^ с-

Ядг ">N-1 ">N-1 ">N-1 "ЛГ "ЛГ

Теперь нетрудно получить оценку для |, & = 1,2, при г = Аг — 1, Аг, Аг + 1:

Ь^Ум! ^ + К+1 + 0 + (< + <-1)} + ^

«С сж^+2 <С с(£ + 2аАг)2и/13 <С сАг~2.

В частности, ^¿¿^ж2] ^ сАг_2,

<С с—^— <С с (г + 2аАЬ)21,/а <С сА^"2.

^ N — 2

Поскольку жА ^ хи и ^ (х)", то, согласно (9), при А ф 2 из оценок для ^¿¿^Уа^] будет следовать

неравенство ж¿ [Ь^^] ^ сАг_2 при г = Аг — 1, Аг, Аг + 1. Последнее слагаемое в (33) в рассматриваемых точках будет иметь такую же оценку: \х2/(х{) \ ^ сАг_2.

Собирая все оценки при е ^ сИ 1 и А ф 2, получаем, что |а^Ф2,г| ^ сN 2. Если А = 2, то согласно (9) и при условии /3 < 2 будем иметь

хг \ькиг\ ^ с ^ж2 + + ж2 |1пжг|^ <С с(ё + Д^)4//3 |1п(ё+ Д*)| + с]У"2 <С сЛ^"2.

Таким образом, при е ^ сА^1 верно неравенство

\\г2\\ьн ^ с||жФ2||ь, ^ сМ~2. (35)

оо оо

5. Пусть Л^"1 ^ се. В этом случае используем априорную оценку (17). Рассмотрим

ЛГ+1

11Ф2||Ь?= ^ |Фг|Яг-

г = ЛГ-1

Исходя из (26)-(28) имеем

№[*"] < /г2+1хГ2 + 2/г3+1 {^Щ1 + 1) + Ог)

и-3

/г,:Ф,:

.2 ^ , о,3 ((Хг + 0,5вг)

^ *, + ! + г + 1 ( {Хг + 0г) + ^ {Хг + вгГ+3

Заметим, что (xi + 0,50,) < c(xi + в г) при г = ЛГ — 1, А^ А?' + 1 и нашем условии N ^ се. Кроме того, напомним, что хм = ё2!(\ /гм = ^Аг и = + <дт+1 Д£)2//3_1. Получим

оценки в узле I = N — 1:

Ядг_1ФДГ_1

,2 е" ,, е" 2 ^//3+4/« (е + аД£)4/а+2гу/а ^ сНЬ—пг + с/г3 --—-—- <С с1V"2 , ^ л „ , , 0 1 ^ _л11л1„,-+

-■N-1

(Жлг_1 +0лг_1)-+3 ^ (ё+<ДгД£)4/а+2 £4//3+4/С

л, з ё6/^6/« (е + 2аА^)6/а+2гУ/а дг 2/ л ч2 , 2/ ё + аА1 \4/а+2

+ сМ~2 (ё+2саА!)6/а+2 (е- + 2аА^-2 ^ сМ~2.

V • <\А/У у ' • <\Д/

Далее рассмотрим Ядт_1Фдт_1 [ж^] и Ядг-1Фдг-1:

^4//3 + 4/а ^6//3 + 6/а ^

Я^Фд^Л сЛГ» (е- + + а ^ + сЛГ» (£- + ^Д06/а + , ^

< сМ~2ё2^~2 { ( ё У/а+2 +

^ \ V • < N Л/ / ^//3 + 4/а +

/ £ \6/а+2 М-1 ё6'Р(ё+2аАг)6/а\ 2

+ г + <дгД£ ^//з+б/а

В частности, при Хф2 согласно (29) имеем /гдг_1Фдг_1 = /гдг_1Фдг_1 [ж2] ^ сМ~2. Если А = 2, то

2 ,1,2 4 11 I , /1,3 , , 3 А /ждг_1 + О,50дг_1 \ |1п(ждг_1 + 0дг—1)'

1 Ф]У—1 ^ + |1п Ждг_1 I + с(/г3дГ_1 + , ' + 1 ' У " ^

V жЛГ-1 + "N-1 / Ждг-1 + РЛГ-1

,2 II I , „и2 ,, / .. , М / „ЛГ-2 ^4//3 Л , ^ЛГ

^ с/гдт |1п ждг_11 + с/гдг-—-|1п(ждг_1 + ^лг—1)| ^ т~-—л 1 Н--|Ье| ^

Ждг_1 + 0дг_1 (е + а4дгД^)2 V Ждг_2 ) < СЛГ-2^-2 Л +С]У-1_—__|1п£| < сДг-2^4//3-2 и |

Если при А = 2 взять /3 < 2, то Ядг_1Фдг_1 ^ сМ~2. Собирая оценки при Лг_1 ^ се, получаем Ядг_1 |Фаг_1 | ^ сМ~2. Оценки в точках ¿ = Агиг = Аг + 1 доказываются аналогично.

Таким образом, при Лг_1 ^ сё будем иметь Ц^гЦ^л ^ ^ сИ~2 при условии, что если

А = 2, то /3 < А. Вместе с (32) и (35) получаем утверждение теоремы.

Замечание 1. Оценки, полученные в теореме 2, будут верны и в том случае, когда сетка по £ будет неравномерной, но при условии, что для Ati = ti — справедливы отношения С!^"1 ^ Агг ^ С2М~1 и Ati+l - Агг = 0(М-2).

6. Пример численного решения. В таблице даны результаты численного решения задачи (1), (2) при д(ж) = А2 = 4, /(ж) = —4ж, решение которой есть и(х) = ж21п х + е2 (ж2 — 1/ж2). Заметим, что V = А = 2. Разностная задача (13) решалась на сетке (19), (20). Результаты счета приведены на сетках с тремя вариантами параметров: « = /3 = 1, й = /3 = 2ий = 3, /3 = 1. В таблице для каждого значения Л^ = 10, к = 1,..., 6, (Л^ — число узлов сетки на к-м шаге) дана строка с погрешностью решения г(Нк,е) = тах |и(х^ — при уменьшающихся значениях е и строка отношений г(Нк,е)|-1,г),

характеризующая скорость сходимости. Из таблицы видно, что на сетках с параметрами а = /3 = 1, удовлетворяющими условиям теоремы 2, и а = /3 = 2, почти удовлетворяющими условиям теоремы 2, решение сходится со скоростью 0(ЛГ_2), что согласуется с теоретическими результатами. При а = 3, /3 = 1, когда не выполнено условие теоремы V ^ а, скорость сходимости значительно меньше, чем Лг_2. Заметим, что условие на параметр /3 при А = 2, а именно если А = 2, то нужно брать /3 < 2, при решении большого числа задач было несущественно, т.е. результаты счета с параметрами а = /3 = 2 и, например, а = 2, /3 = 1,9 практически совпадают.

Автор благодарен В.Б. Андрееву за постановку задачи, внимание к работе и ценные замечания.

Таблица

Погрешность решения в зависимости от N, £ и параметров сетки

а = 1, /3 = 1 а = 2, /3 = 2 а = 3, /3 = 1

N £ = 10" -2 £ = 10" -3 £ = 10- 5 £ = 10" -6 £ = 10_ 7 £ = 10" -8 £ = 10- 7 £ = 10- 7

20 2,3 • 10" 4,0 -3 3,4 • 10" 4,0 -3 4,5 • 10" 4,0 3 4,8 • 10" 4,0 -3 4,9 • 10" 4,0 -3 5,0 • 10" 4,0 -3 1,0 • 104,0 2 4,0 • 102,7 2

40 5,8 • 10" 4,0 -4 8,4 • 10" 4,0 -4 1,1 • 10" 4,0 3 1,2 • 10" 4,0 -3 1,2 • 10" 4,0 -3 1.2 • 10" 4,0 -3 2,5 • 104,0 3 1,5 • 102,8 2

80 1,4 • 10" 4,0 -4 2,1 • 10" 4,0 -4 2,8 • 10" 4,0 4 3,0 • 10" 4,0 -4 3,1 • 10" 4,0 -4 3,1 • 10" 4,0 -4 6,2 • 104,0 4 5,1 • 103,0 3

160 3,6 • 10" 4,0 -5 5,3 • 10" 4,0 -5 7,0 • 10" 4,0 5 7,5 • 10" 4,0 -5 7,7 • 10" 4,0 -5 7,7 • 10" 4,0 -5 1,6 • ю- 4,0 4 1,7 • 103,1 3

320 9,0 • 10" 4,0 -6 1,3 • 10" 4,0 -5 1,7 • 10" 4,0 5 1,9 • 10" 4,0 -5 1,9 • 10" 4,0 -5 1,9 • 10" 4,0 -5 3,9 • 104,0 5 5,4 • 102,7 4

640 2,3 • 10" -6 3,3 • 10" -6 4,3 • 10" 6 4,7 • 10" -6 4,8 • 10" -6 4,8 • 10" -6 9,7 • 10- 6 2,0 • 10- 4

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975.

2. Ломов С. А. Степенной пограничный слой в задачах с малым параметром // ДАН СССР. 1963. 148. № 3. С. 516-519.

3. Лисейкин В.Д. О численном решении уравнений со степенным погранслоем // ЖВМиМФ. 1986. 26. № 12. С. 1813-1820.

4. Лисейкин В.Д., Петренко В.Е. Адаптивно-инвариантный метод численного решения задач с пограничными и внутренними слоями. Новосибирск, 1989.

5. Бахвалов Н. С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // ЖВМиМФ. 1969. 9. № 4. С. 841-859.

6. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

7. Андреев В. Б. О равномерной по малому параметру сходимости модифицированной монотонной схемы Самарского на гладко сгущающейся сетке // ЖВМиМФ. 1998. 38. № 5. С. 101-114.

8. Andreev V. B. Numerical solution of singularly perturbed boundary value problems with power and logarithmic boundary layers // Analytical and Computational Methods for Convection-Dominated and Singularly Perturbed Problems / Eds.: J.J.H. Miller, G.I. Shishkin, L. Vulkov. N.Y.: Nova Science Publishers, 2000. P. 1-5.

Поступила в редакцию 05.05.06

УДК 517.958:535.14

П. В. Догадушкин, В. А. Трофимов

КОНСЕРВАТИВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ ЗАДАЧИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФЕМТОСЕКУНДНОГО ИМПУЛЬСА В СЛОИСТОЙ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ С НЕОТРАЖАЮЩИМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ1

(кафедра вычислительных методов факультета ВМиК)

1. Введение. Компьютерное моделирование распространения световых импульсов в слоистой (периодически) поглощающей среде широко анализируется в задачах взаимодействия лазерного излучения с веществом. Это прежде всего распространение оптического излучения в фотонных кристаллах [1]. Подобные же задачи имеют место при рассмотрении конденсата Бозе-Эйнштейна [2-4] и при анализе конверсии оптических частот в средах с периодическими свойствами [5, 6]. Как правило, рассмотрение этих проблем базируется на нелинейном уравнении Шредингера с периодическими параметрами, характерной чертой эволюции решения которого является многократное отражение световых импульсов на границах раздела сред. В результате этого временной интервал, на котором анализируется решение, становится достаточно большим. Как следствие этого нулевые краевые условия для комплексной амплитуды необходимо задавать на границе, которая значительно удалена от нелинейной среды. Таким образом, эффективность компьютерного моделирования существенно снижается, так как решение вне области, занятой периодической средой, не представляет большого интереса. Поэтому необходимо уменьшить расчетную область, используя неотражающие краевые условия. Они применяются для многих задач нелинейного взаимодействия лазерного излучения с веществом [7-9]. Однако неотражающие краевые условия для нелинейного уравнения Шредингера практически не обсуждались в литературе, за исключением [10], где предложен один из возможных типов данных условий для прозрачной среды. В настоящей же работе рассматривается задача распространения светового импульса в периодически поглощающей среде, для которой предложены несколько видов неотражающих краевых условий и проведено их сравнение.

Следует подчеркнуть, что при построении неотражающих краевых условий для данного круга задач важным требованием является непревышение максимума модуля комплексной амплитуды отраженной волны некоторого значения, чтобы отсутствовало влияние отраженной волны на динамику взаимодействия падающей волны с нелинейным (и даже линейным) кристаллом. Эмпирически установлено, что максимальная амплитуда отраженной волны не должна превышать 0,1% от падающей амплитуды. Известные же в литературе неотражающие краевые условия, применяемые, например, для линейных уравнений Максвелла, дают коэффициент отражения по амплитуде, равный 3-5%. Таким образом, строящиеся нами неотражающие условия позволяют в 30-50 раз уменьшить коэффициент отражения.

1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант № 05-01-507).