О решении систем линейных уравнений с трехдиагональной матрицей Текст научной статьи по специальности «Математика»

38/2004 Н

Вестник Ставропольского государственного университета fiiMM

О РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕХДИАГОНАЛЬНОЙ

МАТРИЦЕЙ

П.К. Корнеев

ON THE SOLVING LINEAR EQUATION SYSTEMS WITH TRIDIAGONAL MATRIX

Korneev P.K.

The article presents the development of representation as the product of terminating chain fractions for the culculation of tridiagonal matrix determinants On its basis the first (last) coordinate of the vector of solving lnnear equation system with tridiagonal matrix factorize into terminating ascending chain fraction, the particular denomnnatorsof which are terminating vulgar chain fractions.

В статье для вычисления определителей трехдиагональных матриц строится представление в виде произведения конечных цепных дробейй. На этой основе первая (последняя) координата вектора решения системы линейных уравнений с трехдиагональ-ной матрицей разлагается в конечную восходящую цепную дробь, частные знаменатели которой являются конечными обыкновенными цепными дробями

Системы линейных уравнений с трех-диагональной матрицей решаются обычно методом прогонки (см. [1], [3]).

Можно показать, что метод прогонки эквивалентен вычислению конечной цепной дроби.

Огромное значение для вычислительной математики имеет свойство цепных дробей мало накоплять погрешность с ростом числа звеньев в цепной дроби.

Детальный анализ погрешностей при вычислении цепных дробей делается в [2].

В статье для решения указанных систем предлагается другой способ, заключающийся в том, что либо первая, либо последняя координата вектора решения разлагается в конечную восходящую цепную дробь, частные знаменатели которой являются конечными обыкновенными цепными дробями; для вычисления определителей трехдиагональных матриц строится представление в виде произведения конечных цепных дробей.

1. Найдем определитель трехдиаго-нальной матрицы

Д„ -

УДК 519.61

а1 \ 0 0 ... 0

с2 а2 Ъ2 0 ... 0

0 сз аз Ъз . 0

0 0 са п-1 п-1 Ъ п-

0 0 0 Сп ап

• (1)

111111

Иорнеев П.И.

«О решении систем линейных уравнений с трехдиагональной матрицей»

Вычитая первый столбец, умноженный на Ъх!«1 из второго столбца, и разложив полученный определитель по элементам первой строки, будем иметь

А п = «1 'А „-!#

где А п-1 - определитель того же типа, что и Ап. Продолжая этот процесс, получим сле-

дующий результат:

(

К = «1 •

ап -

Ъ1с:

Л (

«1 У

«о --

2с3 Ъ1с2

«1

(

«

Ъп-1Сп Ъп-2сп-1

Ъ1с;

л

(2)

«п-1 «п-2 «1 У

где каждый из сомножителей правой части представляет собой цепную дробь, составленную из элементов данного определителя.

Последующий сомножитель Д представления (2) связан с предыдущим Д._1 простым соотношением:

Д = «1,Д = « - ,, = 2,3,...,п. (3)

Для вычисления значения определителя (1) по схеме (2), (3) требуется 4п действий.

Для значения определителя (1) можно получить и другую формулу:

А =а •

п п

Ъп-1сп

V «п У

Ъп - 2сп-1 Ъп-1с

- 2

« - «

п-1 п

- Ъ1с2 Ъ2с3 Ъ

«2 - «3

X...

п-2 п-1

(4)

а„

п-1 п

а„

*п-1 "п У

Здесь последующий сомножитель 5г-1 связан с предыдущим таким соотношением:

Ъ с.

5п = «п ,5,-1 = «,--1 ТТ^ = п, п-1,...,2. (5) Вг

Формулы (2)-(5) становятся еще более простыми, если с, =—1, , = 2,3,...,п либо Ъ, =-1, , = 1,2,..., п -1.

2. Рассмотрим теперь вопрос вычисления определителей некоторых частных случаев почти треугольных матриц. Пусть дан определитель

А =

«1 Ъ1 0 0 к 0 /1

с2 «2 Ъ2 0 к 0 /2

0 с3 «3 Ъ3 к 0 /3

0 0 0 к сп-1 «п-1 /п-

0 0 0 к 0 сп /п

.(6)

Вычитая первую строку определителя (6), умноженную на с2 /«1 из второй и разложив полученный определитель по элементам первого столбца, получим

А = «1 • Д_1,

где определитель Ап-1 того же типа, что и Ап.

Продолжая этот процесс, получим следующее представление для определителя (6):

(

А =«,

«т -

Ъ1с

Л

(

«1 у

2с3 Ъ1с:

Л

«1 у

Ъп-2Сп-1

2с3 Ъ1с2

(6)

«1 у

- -^п-1 • с -^п-2 . с "' • с п Л п . п-1 . 2

Дп-1 Дп-2 Д1

или

А =

^ _ ?п-1. с п-2. с ■■■ Л_

А п Д п-1 Д

Дп-1 Дп - 2 Д

с о |Х

(6<)

П Д,

где последний сомножитель представляет собой восходящую цепную дробь; Д1 = «1, Д. = 2,3,..., п -1) вычисляются по

формулам (3).

Заметим, что разложения (2) и (6) отличаются только последними сомножителями.

Пусть теперь дан определитель

Ъ1 0 0. 0

«2 Ъ2 0. 0

^3 с3 «3 Ъ3 . 0

А-1 1 0... сп-1 «п-1 Ъп-1

^ 0 0... 0 с„ «„

X

X

X

«3 -

X

X

п-

X

X

X

1=1

X

38/2004

Вестник Ставропольского государственного университета

Проведя преобразования, аналогичные преобразованиям в случае вычисления определителя (6), получим следующий результат:

Ъп-1спЛ

¿п=ап ■

ап - 2-

V

г

Ъп-2Сп-1 Ъп-1Сп

X...

п у

От --

Ъп-1Сп

п у

к - к - Ъ к • Ъ

5,

в,

к — к

п-1- • Ъ „ — • Ъ

5,

п-1

в„

или

А. =

^ к —к — — к ^ К - -2 • Ъ — • Ъ — • Ъ

к1 п Ъ1 п Ъ2 п Ъп-1

в,

в,

в„

(8)

(8<)

П в-.

Здесь последний сомножитель есть восходящая дробь, частные знаменатели которой вп = ап ,вг-1 (' = п, п-1,...,2) вычисляются по

формулам (5).

Разложения (8) и (4) отличаются только последними сомножителями.

3. Пусть дана система линейных уравнений с трехдиагональной матрицей

а1 Ъ1 0 0 к . 0. 0 0 " х1 ■ /1

с2 а2 Ъ2 0 к 0 0 0 х2 /2

0 С3 а3 Ъ3 к 0 0 0 х3 = /3

0 0 0 0 к • Сп-1 ап-1 Ъп-1 Хп-1 /п-

0 0 0 0 к 0 Сп Ъп _ _ хп _ _ /п

(9)

По формулам Крамера найдем хп:

*»=А,/Дп,

(10)

где А п и Ип - значения определителей (2) и (6). Подставив в формулу (10) разложения для А п и Ип, получим следующий результат:

^ - /" - /■

^ п ^ п-1 ^ ^ п-

х — — -* с —

п 4 4 п 4

лп 4п-1 Лп-

■ * с„

4

- * с

где Д = а1з 4 = ах -

Ъ,--1с,-

4-1 '

' = 2, 3,..., п.

Если Д Ф 0 (' = 1,2 ,...,п), то все действия, необходимые для вычисления цепной дроби (11) , выполнимы. Остальные координаты хп_1, хп-2, в, х2, х1 вектора решения х находятся методом обратной подстановки.

По формулам Крамера можно найти

сначала х1:

х1 = ¿п/ Ап =

=£~ А. ъ~ А• Ъ~... в1 в2 в$

" ^п-1 • Ъ "—• Ъ

Ъп - 2 п Ъп-1,

(12)

в

в

Ъ' _,С'

где вп = ап,вг_1 = аг_1 —^= п п-1,...Д.

в'

Остальные координаты х2, х3,..., хп вектора решения х найдем прямой подстановкой.

Если Bi Ф 0 (' = 1,2, ...,п), то все действия, необходимые для вычисления цепной дроби (12) , выполнимы.

4. Вычисление значения цепной дроби (11) в пакете МаШСаН после ввода исходной информации можно организовать следующим образом.

д := а1 г = 2-п д := а-1-

4-1

._ /г - Р-1

• с.

р := 0'; = 1..п -1 Р :=

^ - Р

р :_ J п п-1

Здесь в первой строке вычисляются частные знаменатели цепной дроби , во второй строке вычисляются значения Р цепной дроби.

Вычисления значения цепной дроби (12) можно организовать аналогично.

ЛИТЕРАТУРА

7. /осиное С.Л"., Рябенький $.С. Разностные схе+ы. -—.; .аука, 7/80.

2. ЗоСнарчук 6.7., Сксробогадаько $.9., лан^югое' фоби (а г* засдаосуеания. -Л"иее; Яаукоеа Су+ка, 7/7?.

х

п-1

х

х

3

4

х

х

Н Корнеев П.И.

ГЙИИ "О решении систем линейных уравнений с трехдиагональной матрицей»

Альмн $.6., А">>зне;ое Ю.А. Срехдмагоняль-ные и их ирмложенмя. - —.: Яаука,

7/85.

Об авторе

Корнеев Петр Кириллович, доцент кафедры прикладной математики и информатики СГУ. Область научных интересов - вычислительная математика.