CC BY
18СОВРЕМЕННЫЕ ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ
УДК372.851 :37.026.9 : 514.113.5: 514.122.2
О РАЗВИТИИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО МЫШЛЕНИЯ СТУДЕНТОВ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ,
МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ И АРХИТЕКТУРНЫХ ФАКУЛЬТЕТОВ
Гончарова Оксана Николаевна,
доктор педагог. наук, профессор e-mail: oxanagon@gmail.com Стус Елена Александровна, магистрант e-mail: lfsn@yandex.ru ФГАОУ ВО «Крымский федеральный университет им. В.И. Вернадского», Таврическая академия, г. Симферополь, РК, РОССИЯ
Стус Валентина Дмитриевна,
учитель
e-mail: valentinapanova67@mail.ru МБОУ «Новосёловская школа», РК, РОССИЯ
Goncharova Oksana, Doctor of Pedagogical Sciences, Professor
Stus Elena, Graduate student Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol, RUSSIAN FEDERATION
Stus Valentina, Teacher
Municipal budgetary general education institution «School of Novosilovka»,
Simferopol, RUSSIAN FEDERATION
Пространственное мышление - одна из самых важных составляющих интеллекта человека. Необходимым условием успеха в любом виде предметной деятельности выпускника современной школы является сформированность мышления. Геометрия -математическая дисциплина, которая обладает наилучшим потенциалом для развития пространственного и логического мышления обучающихся.
Ключевые слова: пространственное мышление, геометрия, стереометрия, аналитическая геометрия, геометрический образ, геометрические преобразования.
Ü.......i
Постановка проблемы. Одной из ние оптимального развития творческих
функций образования является обеспече- сил и способностей человека. В связи с
этим одной из актуальных проблем педагогических исследований является поиск основных показателей, форм и методов развития пространственного мышления обучающихся.
Анализ актуальных исследований. Пространственное воображение сопровождает нас в течение всей жизни. Мы живём и двигаемся в трёхмерном пространстве, предметы в повседневной жизни занимают пространство. Пространственное мышление служит способом приобретения информации, вспомогательным способом мышления, формулировки задач, полезным средством или помощником при решении определенной проблемы. Оно является необходимым во многих профессиях.
Проблеме развития пространственного мышления уделяется много внимания в работах исследователей по теории и методике обучения математике, по педагогике (В.А. Далингера, В.В. Орлова, В.Л. Гусева, Г.Д. Глейзера, Ю.М. Колягина, А.Д. Сему-шина, Г.Н. Никитиной, Л.Ф. Культиной, В.С. Столетнева, Г.А.Владимирского,
А.Н. Пыжьяновой, Е.И. Рогова, Е.В. Попова и др.). Также немалое внимание уделено этому вопросу в работах отечественных и зарубежных психологов Г.И. Лернера, П.В. Зинченко, Ж. Пиаже, С.Л. Рубен-штейна, И.С. Якиманской.
Цель статьи - анализ основных показателей сформированности пространственного мышления студентов в процессе обучения математике и разработка заданий для студентов физико-математических факультетов, машиностроительных и архитектурных факультетов.
Изложение основного материала.
Овладение современными научными знаниями, успешная работа в различных областях деятельности во многом зависят от уровня развития пространственного мышления человека.
Математические дисциплины имеют ряд дидактических возможностей, которые можно использовать для развития образного (пространственного) мышления, с
одной стороны. А с другой стороны - успешное освоение этих дисциплин невозможно без опоры на образное мышление
[9].
Развитое образное мышление помогает овладеть такими методами научного исследования, характерными для технических наук, как абстрагирование, мысленный эксперимент, моделирование, метод идеализации и др. [14].
К основным показателям развития пространственного мышления относятся следующие умения:
- создание исходного геометрического образа, т.е. передача в графической модели формы, размеров и взаимного расположения отдельных элементов объекта [16];
- выбор и произвольное изменение точки отсчёта;
- сохранение в памяти геометрического образа;
- анализ геометрических образов;
- синтез геометрических образов;
- рассмотрение геометрического объекта с разных ракурсов;
- мысленное произведение различных геометрических преобразований над исходным геометрическим образом;
- осуществление глазомерной оценки линейных размеров и угловых величин.
На основе этих показателей были разработаны диагностические задания для изучения фактического состояния пространственного мышления студентов технических факультетов в самом начале их обучения, на первом курсе.
Приведём два варианта этих заданий.
Вариант I
1. Начертите от руки квадраты с данными вершинами АиВ. Обозначьте другие вершины квадратов.
2. Мысленно проведите диагонали в каким-либо простроенном вами квадрате. Пусть точка О - точка пересечения диагоналей.
а) Сколько всего треугольников получилось на воображаемом чертеже?
б) Перечислите их.
3. Постройте от руки квадрат АВСБ. Пусть К - середина стороны АВ. Мысленно проведите отрезок БК. Представьте, что квадрат разрезан по линии БК и треугольник КАБ повернут вокруг точки К так, что отрезки КАи КВсовместились. Какая фигура получилась? Сделайте от руки чертёж этой фигуры [5].
Вариант II
1. Начертите на глаз отрезок АВ длиной 3 см. Начертите от руки прямоугольники со стороной АВ так, чтобы одна сторона прямоугольника была в два раза короче другой. Обозначьте другие вершины прямоугольников.
2. Мысленно проведите средние линии МРи КТ в каком-либо построенном вами прямоугольнике. Пусть О - точка их пересечения.
а) Сколько всего прямоугольников получилось на воображаемом чертеже?
б) Перечислите их.
3. Начертите от руки равнобедренную трапецию АВСБс углом при основании примерно 60°. Пусть К - середина стороны АВ. Мысленно проведите отрезок БК. Представьте, что трапеция разрезана по линии БК и треугольник КАБ повернут вокруг точки ^так, что отрезки КАи КВ совместились. Какая фигура получилась? Сделайте от руки чертёж этой фигуры [12].
Охарактеризуем задания I варианта с точки зрения диагностики пространственного мышления.
В первом задании предполагалось, что студенты изобразят, по крайней мере, два квадрата, в которых: а) вершины Аи В смежные; б) вершины Аи В противоположные. Для выполнения этого задания необходимо было уметь: создавать геометрический образ, выделять возможные случаи расположения данных фигур (вершин Аи В), оперировать геометрическим образом, давать глазомерные оценки длин отрезков.
Во втором задании требовалось сохранять в памяти геометрический образ; мысленно оперировать его элементами; выделять знакомые фигуры путем расчле-
нения целого на части и, наоборот, объединять несколько фигур в одно целое; выбирать точку отсчёта. Так, при перечислении всех получившихся треугольников сначала надо выбрать некоторую точку отсчёта (центр квадрата) и соединить с ней все вершины квадрата, получив четыре треугольника; потом мысленно опереться на «нижнюю» сторону квадрата и увидеть ещё два треугольника; рассмотрение фигур, у которых одна из сторон - «верхняя» сторона квадрата, даст ещё два треугольника. Так будут мысленно выделены все восемь треугольников.
В третьем задании необходимо было создать (с опорой на чертёж) новый геометрический образ путём изменения структуры исходного геометрического образа. Мысленно разрезав исходную геометрическую фигуру, требовалось произвести совмещение двух изображенных на чертеже отрезков. В результате правильного выполнения мысленных преобразований получится либо прямоугольный треугольник с катетом СБ (выполнена центральная симметрия треугольника АКБ с центром точке К), либо трапеция КВСБ, где ВК\\СБ (выполнена осевая симметрия треугольника АКБ относительно средней линии ^Мквадрата АВСБ).
С целью формирования и развития умений, связанных с более сложными мыслительными операциями были разработаны следующие методические приемы [8]:
- привлечение неплоских пространственных образов при рассмотрении вопросов планиметрии;
- создание целостного геометрического образа с опорой на наглядность;
- создание ситуаций, способствующих активному ориентированию геометрическими образами;
- творческое конструирование новых геометрических образов.
Приведем примеры, которые иллюстрируют использование названных приемов в учебном процессе.
Пример 1. Тема: «Прямая в ортонор-мированном репере».
Задача. Через точку Р(—1; 1) проведите прямую I, равноудалённую от точек М(3,-1) и Ы(-2,1)[12].
Для решения этой задачи обычно используется универсальный аналитический аппарат. Рассматривается уравнение \2А - 2В\ = | - 3Л|, где Ах + Ву + С = 0 - уравнение искомой прямой I. В силу того, что Р Е I, получаем С = А — В.
Такой подход быстро даёт уравнения искомых прямых, но является формальным, ничего не прибавляющим к геометрическому видению студентов.
При обучении, ориентированном на развитие пространственного мышления сначала необходимо предложить мысленно представить прямую. Сразу определяется прямая, проходящая через точку Р и середину отрезка МЫ. Возникает вопрос: «Возможны ли другие случаи расположения искомой прямой?» Оперируя геометрическими образами и изменяя положение прямой в пространстве, а также удерживая в памяти созданную геометрическую конфигурацию можно довольно быстро отыскать еще одну прямую, которая проходит через точку Р параллельно отрезку МЫ.
Сравнение двух решений убедительно показывает эффективность аналитического метода, который позволяет избежать потери решений и развить одно из важнейших качеств студентов математического факультета - пространственное мышление.
Пример 2. Тема: «Касательная к линии второго порядка».
При определении касательной к кривой второго порядка студенты встречаются с понятием двух совпадающих точек. Возникает вопрос: «Как различить, когда прямая пересекает прямую в одной точке, а когда - в двух совпадающих точках?». Для того, чтобы однозначно ответить на поставленный вопрос, приведём наглядную модель. Это может быть некоторая кривая второго порядка, например, парабола и две прямые: прямая а, касательная к параболе, и прямая Ъ, не параллельная
прямой а (рис. 1). Затем берем модель прямой (тонкий карандаш, спица для вязания и т.п.) и перемещаем её параллельно одной из данных прямых (прямой а или прямой Ь). При движении модели параллельно прямойа (а | \ а) получаются прямые, пересекающие кривую в двух точках. Значит, в случае с прямой а мы наблюдаем две совпадающие точки. На рис. 1 точка А - пара совпадающих точек, а точка В - одна точка пересечения кривой и прямой. Отсюда прямая а - касательная к параболе, а Ъ - асимптотическая прямая.
v -э'
а
Рисунок 1
На втором этапе выделяется три типа оперирования пространственными образами:
I. Образ подвергается преобразованиям, связанным с изменением его пространственного положения (или с изменением положения его отдельных элементов).
II. Образ подвергается преобразованиям, связанным с изменением его структуры.
III. Образ подвергается преобразованиям, связанным одновременно как с изменением его положения, так и с изменением его структуры.
Рассмотрим более подробно задачи одного из вариантов по теме «Скалярное произведение».
Задача 1. Найдите вектор, являющийся ортогональной проекцией векто-
ра а (-14,2,5) на прямую с направляющим вектором Ь(2, -2,1).
При решении важно мысленно представить описанное проектирование, а это значит мысленно изменить положение исходного геометрического образа, введя в него орт е = щ. Здесь требуется оперирование 1типа.
Задача 2. Найдите вектор, являющийся ортогональной проекцией вектора а ( 8,4,1) на плоскость, перпендикулярную к вектору п (2, -2,1) [12].
Обозначим искомый вектор через а . Из анализа данного и исходного геометрических образов (рис. 2) следует, что векторы а, а и п компланарны, а векторы а и п перпендикулярны.
® _____ t ^ п
/ /
Рисунок 2 Эти условия позволяют составить систему, решение которой даёт координаты исходного вектора. Заметим, что если вектор а отложить от точки А, принадлежащей плоскости а (рис. 3), то получим а = а — к, где к - проекция вектора а на ось с направляющим вектором п. Способ отыскания вектора к найден при решении предыдущей задачи.
t \ п
/
I
Рисунок 3 Данное оперирование изменило структуру исходного геометрического образа (от рис. 2 пришлось перейти к рис. 3), т.е. это оперирование II типа.
Задача 3. Даны три вектора
¿1(8,4,1), Ь(2, -2,1) и с(1,1,9). Найдите вектор, являющейся ортогональной проекцией вектора с на плоскость, определенную векторами а и Ь.
Здесь необходимо выполнить композицию ориентирований, связанных с изменением положения и структуры исходного геометрического образа: сначала изменить структуру геометрического образа (наглядно это означает, что от рис. 4 перешли к рис. 5), затем изменить структуру геометрического образа (на рис. 6 вектор с - искомый). Очевидно, что это III тип оперирования образами.
Рисунок 5 В период времени межу изучением аналитической геометрии на плоскости и в пространстве можно провести двух-этапную обучающую самостоятельную работу. Задания, представленные в ней, разбиты на три группы в соответствии с тремя типами оперирования пространственными образами (изменение положения исходного геометрического образа, изменение его структуры, изменение его структуры и композиция этих изменений).
А п
Рисунок 6
Приведем примеры заданий по одному из каждой группы.
1. Верно ли утверждение: если прямаяа скрещивается с прямой Ъ, а прямая Ъ скрещивается с прямой с, то прямая а скрещивается с прямой с? Ответ обосновать.
2. Как составить из четырёх равных правильных треугольников правильную треугольную призму той же высоты? Изобразите сконструированную Вами призму.
3. Существует ли четырёхугольная пирамида, две противоположные грани которой перпендикулярны её основанию? (Если да - изобразите её, если нет - дайте обоснование).
Целью выполнения этих заданий является:
- выявление типа оперирования пространственными образами [15];
- обнаружение трудностей в оперировании пространственными образами и пробелов в знаниях студентов [11];
- оказание помощи в преодолении возникающих у студентов проблем.
Следующая часть самостоятельной работы состоит в домашнем выполнении уровневых заданий. Приведём один из вариантов.
Вариант I
1. Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна лежащим в этой плоскости:
a) двум сторонам трапеции;
b) двум радиусам окружности.
Ответ обосновать.
2. Верно ли утверждение: если прямаяа скрещивается с прямой Ъ и прямая Ъ параллельная прямой с, то прямая а скрещивается с прямой с? Ответ обосновать.
3. Пересекаются ли в пространстве прямые АВи СБ, отрезки которых изображены на рис. 7? Ответ обосновать.
4. Какие фигуры можно получить, проектируя на плоскость объединение двух непараллельных отрезков?
5. От куба плоскостью а отсечён трехгранный угол так, как показано на рис. 8. Изобразите развёртку поверхности оставшегося многогранника.
6. Постройте многогранник, имеющий ровно 11 рёбер.
Рисунок 8
Выводы. Овладение современными научными знаниями, успешная работа в различных областях деятельности во многом зависят от уровня развития пространственного мышления человека. Систематическое внедрение в учебный процесс методики развития пространственного мышления на всех этапах изучения геометрии способствует формированию пространственного воображения и образного мышления.
Были выявлены основные показатели пространственного мышления. Приведены варианты разработанных комплексных заданий для студентов, которые не привязаны к конкретному материалу и определяются программными требованиями за курс средней школы. Разработаны методические приемы формирования знаний и умений, которые необходимы для развития пространственного мышления обучающихся.
1. Арнольд В.И. Математика и математическое образование в современном мире / В.И. Арнольд. - М. : Математическое образование, 1997. - №2. - С. 109-112.
2. Борисенко И.Г. Информационные технологии в преподавании начертательной геометрии при формировании профессиональных компетенций / И.Г. Борисенко.- М. : Вестник ИрГТУ, 2011. - 400 с.
3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский. - 8-изд. перераб. и исправл. - М.: Наука, 1966. -870с.
4. Геометрия 7 - 9 классы: учеб. для об-щеобразоват. организаций / Л. С. Атанасян,
B.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 2014. - 383 с.
5. Геометрия 10 - 11 кл.: учеб. для обще-образоват. организаций: базовый и углубл. уровни / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов,
C.Б.Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 2014. -255 с.
6. Глейзер Г.Д. Развитие пространственных представлений школьников при обучении геометрии / Г.Д. Глейзер. -М. : Педагогика, 1976. -104 с.
7. Гончарова О.Н. Связь математики с другими предметами школьного курса / О.Н. Гончарова, Е.А. Стус // Учёные записки Крымского инженерно-педагогического университета.- Симферополь : РИО КИПУ, 2017. - Вып. 2. - С. 75-79.
8. Гончарова О.Н. Связь теории с практикой в преподавании математики / О.Н.Гончарова, Е.А. Стус // Дидактика математики: проблемы и исследования: международ. сборник науч. работ. - Донецк : ДонНУ, 2016. - Вып. 44. - С. 12-17.
9. Евсеева Е.Г. Формирование образного мышления студентов технического университета при обучении математике / Е.Г. Евсеева, Б.В. Забельский // Дидактика математики: проблемы и исследования: международ. сборник науч. работ. - Донецк : ДонНУ, 2017. - Вып. 46. - С. 38-47.
10. Левитан К.Е. Геометрическая рапсодия /К.Е. Левитан. -М.: Знание, 1984. -176 с.
11. МамалыгаР.Ф. Развитие пространственного мышления у студентов педагогического ВУЗа при формировании понятий в курсе геометрии: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / Мамалыга Раиса Федоровна. - Екатеринбург, 2015. - 200 с.
12. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике / В.П. Минорский. - М. : Наука, 1987. - 350 с.
13. Никитина Г.Н. Некоторые приёмы развития пространственного мышления студентов педвуза / Г.Н. Никитина// Математика в школе. -1993. - №5. - 35 с.
14. Прач В.С. Формирование инженерного профессионального мышления студентов технического университета в процессе обучения высшей математике / В.С. Прач // Дидактика математики: проблемы и исследования: международ. сборник науч. работ. - Донецк: ДонНУ, 2016. - Вып. 43. - С. 58-65.
15. Русинова Л.П. Развитие пространственного мышления у студентов в начале изучения курса «Начертательная геометрия» / Л.П. Русинова. - М. : Молодой ученый, 2012. -№3. - С. 391-394.
16. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников / И.С. Якиманская. - М. : Педагогика, 1980. -240 с.
Abstract. Goncharova О., Stus Е., Stus V. ABOUT THE DEVELOPMENTOFSTUDENTS' SPATIAL-THINKINGIN THE PHYSICAL, MATHEMATICAL, ARCHITECTURAL AND ENGINEERING DIRECTIONS OF TRAINING. Spatial thinking is one of the most important components of the human intellect, so the necessary condition for success in any kind of objective activity of a modern school. Geometry is the school discipline of the mathematical cycle, which has the best potential for the development ofspatial and logical thinking ofstudents.
One of the functions of education is to ensure the optimal development of man's creative powers and abilities. In connection with this, one of the topical problems ofpedagogical research is the search for basic indicators, forms and methods for developing spatial thinking ofstudents.
Spatial imagination accompanies us throughout life. We live and move in three-dimensional space, objects in everyday life occupy space. Spatial thinking serves as a way of acquiring information, an auxiliary way of thinking, formulating tasks, a useful tool or an assistant in solving a particular problem. It is necessary in many professions.
Key words: mathematics, geometry, spatial thinking, stereometry, analytical geometry, geometric image, geometric transformations.
Статья поступила в редакцию 26.12.2017 г.
