CC BY
15
Список литературы
1. Жалмагамбетова У.К., Жантлесова А.Б., Клецель М.Я., Майшев П.Н. Геркон как фильтр тока нулевой последовательности // Научные проблемы транспорта Сибири и Дальнего Востока. 2011. № 1. С. 300-303.
2. Пономарев А.В., Луцкий В.А., Хромов А.А. Геркон как источник упругих волн в лабораторном эксперименте // Сейсмические приборы. 2012. Т. 48. № 2. С. 58-66.
3. Новожилов Т.А. Датчик тока на герконе для релейной защиты // Омский научный вестник. 2017. № 156. С. 83-87.
4. Оганесян А.Т. Расчет гармонических затухающих колебаний в системе геркона // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2016. № 1-2. С. 125-128.
5. Косарева И.А. Оптимизация режимов работы ТЭЦ при прохождении пиков и провалов электрической нагрузки // Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. - Москва, 1984.
6. Нечаев Ю.Б., Зотов С.А., Макаров Е.С. Коррекция амплитудно-фазового распределения электромагнитного поля в задаче радиопеленгации // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. 2009. Т. 52. № 4. С. 60-72.
Керимбеков А., Таирова О.К.
О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
Кыргызско-Российский Славянский университет
Ключевые слова: колебательные процессы, синтез, оптимизация.
Аннотация. В статье исследована разрешимость задачи Коши-Беллмана-Егорова. Найдено решениебесконечномерной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка, для нахождения функции, определяющей интервалы, на которых полученное управление является оптимальным.
Keywords: oscillatory processes, synthesis, optimization.
Abstract. In this paper, the solvability of the Cauchy-Bellman-Egorov problem was investigated. It was found the solution of an infinite-dimensional system of ordinary linear differential equations of the first order, to find a function that determines the intervals at which the control obtained is optimal.
Рассмотрим задачу Коши-Беллмана-Егорова.
dS[t,W ]
i
+
0
= min {ß \ u(t)| +u(t) g (Xo)m2(t, xo) +
dt u(T)ep ^
J[Vt(t, x)m(t, x) - V(t, x)m2x(t, x)]dx - aV(t, 1)m2(t,1)}, ß > 0, S[T,W(T,x)] = J|W(T,x) -£(x)f dx, (2)
где W (t) =
- состояние колебательного процесса,
точке
'V (t
V '(t X
g (x<)) - известная функция
x0;m(t,x) = {m1(t,x),m2(t,x)}- градиент S[t,W],a,ß-
параметры. <%( x) = {^ (x), ^ (x)} - заданная вектор-функция.
Для ее решения найдем минимум правой части равенства (1). Минимум будет достигаться в том случае, если сумма всех слагаемые, зависящих от u (t), и, находящихся под знаком минимума, будет наименьшей. Следовательно, имеем следующую задачу минимизации: ß | u(t) | +u(t)A(t) ^ min; -1 < u(t) < 1 (3)
где
A(t) = g (xo)m2(t, xo) (4)
Возможны 3 случая: A(t) > ß, |A(t)| < ß и A(t) < -ß.
1. При A(t) > ß, оптимальным управлением является u(t) = — 1
2. При |A(t)| < ß, оптимальным управлением является u(t) = 0
3. При A(t) < — ß, оптимальным управлением является u(t) = 1 В дальнейшем будет рассматриваться первый случай, когда
A(t) > ß; u(t) = -1 (5)
Подставляя (5) в (1), получим dS[t,W ]
1
+
0
^ =ß- g(x0)m2(t, x0 ) -aV (t,1)m2 (t,1) + dt (6)
J V (t, x) m (t, x) - V (t, x)m2x (t, x) + Xm2 (t, x)J K(t, z)V(t, x)d z
0
dx,
Решение этого уравнения будем искать в виде:
Q
1 1 1 S[t, W] = J J W * *t, x)R(t, x, y)W (t, y)dydx+J W * *t, x)q (t, x)dx +t), (7)
0 0 0
где R(t, x, y) - симметричная матрица порядка 2 x 2 ; q (t, x) = jq (t, x), q (t, x) J - вектор-функция, j](t) -скалярная функция.
Вычислим дифференциал Фреше функционала S[t, W]. Согласно (7) легко подсчитать, что для любого допустимого приращения AW (t, x) , соответствующего приращению Au (t) уравнения
u 0(t) имеет место равенство
1 1
S[t,W(t,x) + AW(t,x)] -S[t,W(t,x)] = JAW'(t,x)J(R(t,x,y) +R'(t,x,y))W(t,y)dy +
0 0
1 1 1 +J aw '(t, x)q (t, x)dx + J J aw "(t, x)R (t, x,y)AW (t, y)dydx. 0 0 0 Отсюда с учетом симметричности матрицы
R(t, x, y) = R'(t, x, y), R* (t, x, y) = R(t, x, y)
находим, что градиент функционала S[t, W (t, x)] вычисляется по
формуле
1
m(t, x) = J 2R(t, x, y))W(t, y)dy + q (t, x), (8)
0
или
ml (t,x) = J[2R1 (t, x,y)V(t,y) + 2Rll(t, x,y)Vt (t,y)]dy + q(t,x), (9)
0
1
m2(t, x) = \[2R21(t, x, y)V (t, y) + 2R22(t, x, y)Vt (t, y)]dy + q2(t, x).(10)
0
Далее используя разложение функции по коэффициентам Фурье получим следующее
œ
V(t, x) = £V„ (t)Zn (x) = V*(t)z(x) = z\x)V(t), (11)
n=1 œ
V(t,x) = £Vn '(t)Zn(x) = V* '(t)z(x) = z*(x)V'(t), (12)
n=1
g(x) = ¿g zn ( x) = z'(x)g = g z(x), g2(x) = ££ zn (x) = z'(x)g = £ z( x)
Л (/,x,у) = ££ri(t)z„(хк(у) = г'(х)Л (t)z(у),, = 1,2,у = 1,2. (13)
п=1 т=1
Л1 (?) - бесконечномерная квадратная матрица
'л*(0 л*« ... (?) . ^ л* (0 л* (г) .. л2П(?) .
Л (г) =
Д*(0 ЛП2(г) ... ЛП,(?)
...у
Л(г, х, у) = х)Л(г) г(у) = г*(у)Я(г) г( х),
Л(г) =
12
Л (г) Л (г) чЛ21 (г) Л22 (г)у
Я (г, х) = X Яп (г) (х) = я* (г) г (х) = (х)ч, (г), , = 1,2, (14)
п=1
где 7( х) = (г (х)} - собственные функции краевой задачи г" (х) + Л2 г( х) = 0,
г/ (0) = 0, г/ (1) + (1) = 0.
Следует указать, что
1
| г (х) г( х)^ = Е,
0
где Е - единичная матрица,
1
Г г '(х)г '(х)^х = -аг (1)г (1) +
0, Л
т Ф п т = п
1
Г г'(х) г '*( х)^х = - а г (1) г*(1) + М (Л), (15)
0
где М (Л) =
Л 0
о Л2
00
о о
Л
(16)
V...............У
(9) и (10) перепишем в следующем виде
т (г, х) = 1'(х)[2 (я"(0¥(0+яиу)г '(о) + ^ (г)] = х*(х)т (г),
т (г, х) = 2 (х)[2 (Я2 (г)¥(г) + Я22 (Г)¥'(г)) + Цг (г)] = 2* (х)т (г). Пользуясь формулами (11)-(16) преобразуем следующие интегралы
1) 1 1 ^
х)¥(I,х)с!х = /£{£тКЪУ,,(О + КК'Ут '(О] +Ч1г1 (ОК(х) х
о о Г!=1 т =1
» 1
хЕ V '((')2, (х')^х =/2'(х) (2Яи(г)¥(г) + 2Я12(г)¥'(г) + ^ (г)) х)¥' (г)& =
1=1 о
1
= (2¥'(г)Яп(г) + 2¥ г'(г)Я12(г) + д*(г))/г(х) х)<±с¥ '(г) =
о
= (2¥\г)Яи(г) + 2¥'*(0Я12(0 + ч*(г))¥'(г) = ¥''(г)щ(г) (17) 2) / 2)¥хх)сы=/Е{¿:2[я2т(1)¥т(о+я2т№т хт ^ежх
о о И=1 т=1
» 1 хЕ¥(г)2 '(х)ах = (2¥'(г)Я21(Г) + 2¥'"(г)Я22(Г) + д*(Г))/г' (х)г''(х)Лс¥(г) =
1=1 о
= ( 2¥ '(г )Я2\г) + 2¥ ''(г )Я22(г) + д*(Г) )(-а2(1)2\1) + М (Л) )¥ (г) = = -аг'(1) [ 2Я21 (г )¥ (г) + 2Я21(г )¥' (г) + д2 (г)] г '(1)¥ (г) + +(2¥ '(г )Я21(г) + 2¥ '"(г) Я22 (г) + д2(г)) М (Л)¥ (г) = -атг (г,1)¥ (г,1) + +¥ '(г)М (Л) (2Я21(г)¥ (г) + 2Я22(г)¥ () + д2 (г)) =
= -ат2 (Г,1)¥(1,1) + ¥'(г)М(Л)т (О (18)
Учитывая все вышеизложенное от (8) до (18), уравнение Беллмана-Егорова (1) преобразуем в следующий вид
д "
-2¥ '* (г)Я12 (г)¥ '(г) - 2¥'' (г)Яп (г)¥ (г) + 2¥ * (г)М (Л)Я22 (г)¥ '(г) +
+2¥* (г)М (Л)Я21 (г)¥(г)+¥''(г) ^^ )Я22 (I) ^) - ш] +
+¥' (г) ^^^ )Я2 (1)2(хо) + М(Л)д2 (0] + ^^^^^ У (хо )Ц2 (0 -0 (19)
Учитывая подстановки (11)-(14), возьмем частную производную от (7), как от функционала, по переменной г
] = Г Г Ж *(/, х)Л, (г, х, у)Ж (г, y)dydx +1Ж *(г, х)Я (г, х)& +
д 0 0 0
+^'(г) = Г* (г )Л" '(г)У(г) + V '*(г)Л21 '(г)К (г) + Г*(г)Л1/ '(г)К '(г) + +V )Л22 '(/)Г (г) + Г*(/)Я1 '(г) + V '(г )д2' (г) + У(г) = = Ж*(г) Л '(г)Ж(г) + Ж*(г)ч '(г) + у'(г) (20) В левую часть равенства (20) поставим (19). В этом случае,
приравнивая соответствующие выражения относительно
V (г) и V' (г) получили следующую бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
Л22' (г) = -2Л12(г) Л12' (г) = 2М (Л)Л22 (г) Л21 '(г) = -2Лп(? )
Л11 '(г) = 2М (Л) Л21 (21)
Я '(г) = 2g(Xo)z(Xo)Л2l(t) + М(Л)Я2(г) Я2'(г) = 2g (х0) г( х0)Л22(г) - Я!(г) у (г) = 2 g (х0) /( х0)Я2(г) -Р
Для решения этой системыдифференциальных уравнений нам не хватают «начальные» условия, которые найдем из «начального» условия (2) для уравнения Беллмана-Егорова.
^Г, Ж ] = Г ([ V (Т, х) - £ (х)]2 + [ V (Т, х) - ^ (х)]2) ах =
0
= V* (ТЕ(Т) + V'* (Т^'(Т) - 2V* (Т)£ - 2V'* (Т)£ + + (22) Теперь найдем £[Т, Ж] из (7)
5[Т,Ж] = V*(T)Л11(T)V(T) + Т-СОЛ^СТТ '(Т) + V' *Л21(T)V(T) + (23) +v '\Т)Л22(ТУ '(Т) + Г(ТШТ)+V '*(Т)Я2(Т)+у(Т) Приравнивая правые части равенств (22) и (23) имеем начальные условия для системы дифференциальных уравнений (21):
Ru (T ) = E, R12 (T ) = в, R21 (T ) = в, R22 (T ) = E,
q (T) = -2£, q2 (T) = -2£, rj(T) = + (24)
где в - нулевая матрица. Итак получили задачу Коши (21) и (24). Сначала находим решения первых 4 уравнений системы (21) с начальными условиями из (24)
R^(t) = 8/ cos 24 (T -1), Ri-2(t) = 84 sin 24 (t - T),
R2\t) = ! sin 24 (t - T), 4
R2(t) = 8i cos 24 (t - T).
Посленахождения решений (25) переходим к решению последующих двух дифференциальных уравнений. Решение которых имеет вид
q1¿ = C cos 4t + C sin 4t - Pi¿ cos 24 (t - T), q2¡ = -4C sin 4t + 4c2 cos 4t + P2¡ sin 24 (t - T), i = 1,2,3,... где
( 2 1 I ( 4 12
Pu = 2g (xo)z, (x0) + -I, p2, = 2g (xo)z, CxO I ^r -Y+3"
A = P^2 ; /2=-2 ,
cosX¿T 4
C = (A + 4 )cos4T, c = A - (A + h )sin 4T. Отсюда имеем функцию
t
* J- \ _ J- \ лХ J (s С** I
(26)
?(0 = \{2g(x0)z\x0)q2(s)— p) ds + + . (27)
0
Итак, из полученных (25)-(27) будет известно функционал S[t,W ], т.е. решение задачи Коши-Беллмана-Егорова (1)-(2), также
градиент m(t, x) = [щ (t, x), m2 (t, x)} функционала
щ (t, x) = ¿ [2 (cos 24 (t - Г)V (t) + 4 sin 24 (t - T)V (t)) + +C cos 4tt + C2 sin 4t — pu cos 24 (t — T)}zf (x),
от
2(t, x) = jj {21 — sin 24 (t - T V (t) + cos 24 (t - T) V '(') I -
n=i ^ 4 )
-4C sin 4 + 4C cos 4t + P2, sin 24 (t - T)}zt (x),
определяеющий точки переключения оптимального управления.
Список литературы
1. Дубинин В., Борохова Н.В., Пашков А.В., Ремизов А.В. Плоская статика. Варианты курсового задания. - Москва, 2015. - 48 с.
2. Калмыков В.Н., Волков П.В., Мещеряков Э.Ю. Разработка интегрированных технологических схем интенсивного освоения запасов приграничных зон карьеров // Комбинированная геотехнология: комплексное освоение и сохранение недр земли материалы международной научно-технической конференции: сборник трудов. 2009. С. 31-33.
3. Палеев Д.Ю., Лукашов О.Ю. Программа расчета вентиляционных режимов в шахтах и рудниках // Горная промышленность. 2007. № 6 (76). С. 20-23.
4. Тимирязев В.А., Хостикоев М.З., Дудко С.В., Таиров И.Е., Вэй Пью Маунг Эффективность комплексной технологии изготовления деталей сложной геометрии на современных многоцелевых станках // Технология машиностроения. 2014. № 11. С. 11-15.
5. Федорчук Ю.М. Азработка способов вовлечения сульфаткальциевых отходов фтороводородных производств в круговорот промышленного использования // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2013. № 11-2. С. 151155.
6. Хостикоев М.З. Управление геометрией инструмента в процессе обработки // Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). 2011. № 4. С. 319-321.
Кручок Д.Н.
ОЦЕНКА РЕЧЕВОЙ МАСКИ МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ СПЕКТРАЛЬНОГО ВЫЧИТАНИЯ
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники
Ключевые слова: речевая маска, спектральное вычитание, отношение сигнал-шум.
Аннотация: В статье рассмотрена оценка речевой маски зашумленного сигнала, для задачи идентификации диктора. В качестве метода оценки используется модифицированный алгоритм спектрального вычитания. Спектр сигнала получается с помощью слухового банка фильтров в шкале Мел. Оценка маски выполняется
