CC BY
29
УДК 535.14
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И НЕРАВЕНСТВО БЕЛЛА ДЛЯ СОСТОЯНИЯ КВАНТОВОГО КУБИТА
М. А. Анисимов1, А. А. Колесников1, В. И. Манько
Исследуется проблема нарушения неравенства Белла для частицы со спином 1/2 в рамках томографического подхода. Представлены два возможных способа построения функций распределения, ассоциированных с квантовым состоянием кубита, и исследовано значение максимума параметра Белла для каждого из предложенных распределений.
1. Введение. Запутанность квантовых состояний [1] связана с характерными квантовыми корреляциями между частями квантовой системы. Тем самым предполагается, что система является сложной, т.е. состоит из двух и более подсистем и в ней могут появляться сильные квантовые корреляции. Существует формулировка квантовой ме ханики, в которой квантовые состояния описываются стандартными распределениями вероятности, содержащими ту же информацию о состоянии системы, которая содержится в волновой функции (для чистых состояний) или в матрице плотности (для смешанных состояний). Функция распределения вероятностей по стандартным фор мулам теории вероятности позволяет вычислить все моменты, включая корреляции случайных величин. Поэтому в случае сложных систем процедура вычисления параметра Белла, определяющего известное неравенство Белла [2], сформулированное для квантовых корреляций, вычисляемых по формулам с использованием матрицы плотности и радикально отличающихся от формул стандартной теории вероятности, сводится в рамках вероятностного представления квантовой механики, включая вероятностное представление для спиновых систем, к процедуре вычисления корреляций с помощью
Московский физико-технический институт (государственный университет), Институтский пер. 9, Долгопрудный, Московская обл., 141700 Россия.
обычных распределений, задающих квантовое состояние. Таким образом, оказалось возможным связать проблему нарушения неравенства Белла с проблемой классификации свойств совместных функций распределения вероятностей, возникающих в любых задачах, как, например, в задаче двух кубитов [3].
В последнее время внимание исследователей было привлечено проблемой, аналогичной с точки зрения математического формализма "запутанности7' квантового состояния, рассматриваемого для отдельной частицы [4, 5]. Дело в том, что можно связать с состоянием отдельной квантовой системы, не содержащей подсистем, совместные функции распределения вероятностей, причем сделать это разными способами. Возникающие при этом совместные распределения вероятностей напоминают распределения, характерные для томографических распределений вероятности задачи о двух кубитах. В этой связи представляется интересным построить и изучить такие томографические распределения вероятностей, ассоциированные с состоянием одной частицы, и сравнить их свойства со свойствами томографических распределений состояний составных частиц (двух кубитов), в которых проявляется явление запутанности. Целью настоящей работы является исследование нарушения или выполнения неравенства, аналогичного стандартному неравенству Белла, исходя из совместных функций распределения вероятностей, построенных для состояния отдельного кубита. Распределение вероятностей в работе рассматривается на основе так называемого томографического подхода, в котором квантовое состояние описывается томографическим распределением вероятностей или томограммой.
2. Спиновая томограмма. Томографическое описание применимо к системам как с непрерывными степеняхми свободы (координата), так и с дискретными (спин). В данной работе исследуется случай спиновой системы на примере кубита, реализуемого, в частности, частицей со спином 1/2 в магнитном поле. Поэтому в этом случае для описания состояния кубита используется спиновая томограмма [3], см. также [6].
Для системы с заданным угловым моментом ] матричный элемент оператора плотности р в повернутом базисе {\т),т = —]..]} представим в виде:
ТП = ~]
где п - единичный вектор, определяемый углами Эйлера а, ¡3 (третий угол = 0). задает точку на сфере Блоха; К(т,п) - оператор с матричными элементами
(1)
(т'\К(т,п)\т } =
а
х ¿ (/|Д(»)|0)W'Jllm„JW^mJ, (2)
l=~j
зависящими от оператора поворота
D{ñ) = exp [~i{ajx + 0jy + 7 ;*)], (3)
а выражение
\WÍ 1,32,33 _ 1 \Jl-J2-TI3 m¡ ,7712,тз v /
(л + Í2 ~ 7зЖл - 72 + >з)К—>1 + J2 + х 0*1+Í2 +73 + 1)!
(-1)у(71 + Ш1)!(;! - т1)\{]2 + т2)!0'2 - гп2)\(]з + т3)!0'з - т3)!
Х г -j2 + t + тО^з - Л + * - ™2)Кл + 32 ~ 7з ~ ОКл " * " "иЖл - « + т2)!
(4)
задает - символы Вигнера [7], причем суммирование производится по всем целым числам t. Наконец, а;(т, Я) представляет собой томограмму, описывающую вероятность измерения определенного значения т проекции спина вдоль направления вектора п
и;(т, п) = (т\0^\п)р0^\п)\гп). (5)
Для любого вектора п томограмма удовлетворяет условию нормировки
3
Ц и(т,п) = 1. (6)
т——з
Томограмма (5) может рассматриваться как набор вероятностей определить проекцию спина в различных системах отсчета, полученных из исходной операциями поворота.
Состоянию кубита соответствует значение углового момента 1 = 1/2. Оператор проекции спина в случае кубита определяется матрицами Наули = ах/2, ]у = ау/2, 3» = о-г/2.
3. Нелокальность кубита. Известно, что проще интуитивно интерпретировать значение физической величины в классической механике, чем в квантовой. Преимущество томографического подхода состоит в том, что при его использовании несколько облег чается обсуждение проблемы физических наблюдаемых [8]. В частности, проблема коллапса волновой функции при измерениях сводится к классической проблеме редукции распределения вероятности (измерение распределения в одной повернутой системе отсчета влияет на распределения в других системах). Таким образом, нелокальный характер квантовой механики (т.е. зависимость от параметров системы отсчета) оказывается
присущим отдельной системе (имеет место возникновение корреляций между распределениями вероятности в различных системах отсчета). При рассмотрении неравенств Белла этот аспект обсуждается в рамках теории скрытых параметров [9].
4. Вероятность измерения проекций спина на разные направления. Рассмотрим измерение проекции спина вдоль двух направлений, определяемых векторами а, Ь 6 И. В [5] показано, что в этом случае проектор, связанный с измерением физических величин в схеме с использованием положительной операторнозначной меры, задается выражением
ПГ)5(а, Ь) = + гва • Ь^ I + (га + вЬ) • а/2, (7)
где г = в = ±1/2 - возможные результаты измерения; о = (сгх,ау,а2) - вектор, элементами которого являются матрицы Паули; / - единичная блочная матрица. Из-за особенностей измерения на векторы а и Ь налагается ограничение [4]:
||а + 6|| + ||а-6|| <2. (8)
Для состояния кубита с матрицей плотности р вероятность измерения значений г = ±1/2, 5 = ±1/2 вдоль направлений векторов а, Ь определяется выражением:
Рг,в(а,6) = ГфПг,5(а,6)]. (9)
Тогда, написав функцию корреляции для проекций спина
Е(а,Ь)= £ 4гз • (10)
г,а=±1/2
можно протестировать нелокальный характер кубита, используя неравенство Белла [2, 10] в форме СНЭН ((Лаивег-Ногпе-ЗЫтопу-НоН) [11]. Для четырех произвольно напра-вленных векторов а, 6, а', Ь' параметр Белла В определяется выражением, удовлетворяющим следующему неравенству:
В= \Е(а, Ь) + Е(а, ?) + Е(а, Ь) - Е(а , 6')| < 2. (11)
Рассмотрим вектор состояния кубита |0), определяемый выражением
д д
\ф) = собЧО) +мп-|1), 0 < < 2тг. (12)
£ &
В работе состояние т = —1/2 обозначено |0), а состояние т = 1/2 обозначено |1). Выделив направление, параллельное х-г плоскости, рассмотрим векторы
а ос (0,0,1), . (13)
Рис. 1. Параметр Белла В((р, т9).
а = Ь ос (sin 0, cosí¿>), Ь' ос (sin 2t¿>, 0, cos2ф)
(14)
(15)
при 0 < <р < 7г/2. Для вычисления параметра Белла (11) состояния (12) необходимо определить четыре возможных функции корреляции (10). В каждом случае мы предполагаем выполнение неравенства (8) и одинаковую норму векторов (13)—(15):
cos ф
1
у/1 + sin(¿> 1
(0,0,1), 6 =
1
у/1 4- sin ср 1
(sin 0, cost/?) =ф- Е(а,Ь) = —
1) а =
2) а = ,_;
' у/1 + sin 2 ip
3) а' = (sin 0, cosy?), b = (sin t¿>, 0, cost/?) E(a', b) = 1,
-f sin <p
cos2 <p
(0,0,1), b'= (sin 2y>, 0,cos2v?) fe') = J
V1 + sin 2<¿> 1 + sin
4) a' =
(sin <p, 0, cost¿>), b' = =(sin 2y?, 0, cos2ty?) E(a,b') =
eos tp
y/1 4- sin V?
y/1 + sin V?
1 4- sin tp
Подставляя вместе уравнения (l)-(4) в (11), легко видеть, что неравенство Белла всегда выполняется для состояния (12). На рис. 1 представлен параметр Белла как функция от углов <ри д. Максимальное значение параметра Белла Bma,x — ^ ^Р^ нулевых углах.
5. Распределение, построенное из матричных элементов матрицы плотности. Существует еще один метод построения функции распределения вероятностей, не использующий томограмму. Рассмотрим его для того же кубита. С этой целью выпишем матрицу плотности в общем случае
Р =
(16)
При этом матричные элементы удовлетворяют условию положительности главных миноров
О < я,г/ < 1, ху - (г - Н)(г - И) > 0, (17)
а также условию нормировки
® + у=1. (18)
Выполнив преобразования поворота, получим матрицу плотности в повернутом базисе
р{а,Р, 7) = . Л . а ч . . а . , [ A2i(a,/S,y) А22(а,/3,у) J
с матричными элементами, зависящими от углов Эйлера а,(3,7:
л , а Ч 20, • 20 . Р Р ¡у, Л . Р Р ^ Л\
Лц(а, р, 7j = xcos — + у sin - - sin -cos-eiy{z - it) - sin -cos-e [z + zt),
(19)
A12(a,0,7) = xcos^sin — (z — sin2 ^ -fcos2^-e~,t7+0,*(z-f ¿i) — у sin ^cos^eta,
2
. p p
—cos— 2 2
A2l(a,(3,7) = zcos|sin |e,0[ + cos2|e*(a+%-it)-sin2 it)-ycos^ sin
¿j ¿4 ¿u
Л22(а,/?, 7) = x sin2 ^ + ycos2^ + sin ^cos—en(z — it) + sin 7-cos—e + it).
. & a
Л . ___Л , ____Л cos—e•(z — 11) ■+■ sin — cos—
2 2 2 2 v ; 2 2
В этом случае сформулируем неравенство Белла (11) на языке распределений веро ятности. Для этого рассмотрим стохастическую матрицу
М(а, 6, а1, Ь') =
( Rn&b) Rn(S,P) Ли(а',6) Rn(a\b'))
Ru(a:b) R\2(a, b') R12(a\b) R12(a',b')
R2l{a,b) Я21(а,6') R21(a':b) R2l(a',b')
\R22(a,b) R22(a,b') R22(a',b) R22(a',b') )
(20)
элементами которой являются распределения вероятностей Rjk
Rjk =
i^I2
И„р+|л1гр+|д21|2.+ |A22|2>
(21) 23
зависящие от элементов 1,2 и углов Эйлера. Очевидно, что распределения
положительны и нормированы. Функции корреляций (10) в этом случае совпадают с моментами стохастической матрицы М(а, 6, а', 6'), см., например, [3]:
^(а, 6) = Яп(а, 6) - Я12(а, 6) - Я21(а, 6) + Я22(«, Ь), (22)
ад?) = Я„(а,6') - Я12(а,6') - Ди^Р) + Я22 (£,?), (23)
ад б) = Яи(а ,6) - Яп(а,Ь) - Я21(а',Ь) + /М^А (24)
Е^[а\ Ь') = Лц(а', ?) - Я12(а', 6') - Л21(а', 6') + Я22(а', ?). (25)
Рис. 2. Параметр Белла В(а,Ь) с параметрами х = у = 1/2, z = 1/3, t = 0, а = 0, 71 = 21л|а|, fa = е"62 sin а, 72 = тг/4, Д = |6|е'в1. Втлх = 1.41.
Рис. 3. Параметр Белла В(а,Ь) с параметрами х = у = 1/2, г = 1/3, t = 0, а = 0, 7! = б2, /?! = lnIct1, 72 = cosó sin а, /?2 = 0. 5max = 1.97.
Используя величины (22)—(25), можно вычислить параметр Белла (11). Представленный метод иллюстрируют рис. 2 и 3. Видно, что неравенство (11) и в этом случае не нарушается, максимальное значение параметра Белла составляет Втах = 1.974.
6. Заключение. Подведем итоги. В работе представлено два возможных метода по иска аналога известного для двух кубитов явления нелокальности для случая одного кубита. Несмотря на обнаруженное отсутствие нарушения неравенства Белла в рассмотренных примерах, вопрос об аналогии эффекта нелокальности одного кубита в предложенной постановке остается открытым, и мы рассмотрим другие примеры в последующей работе.
В. И. Манько благодарит РФФИ за поддержку (грант N 07-02-00598).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Е. Schrödinger, Naturwissenschaften 23, 807 (1935).
[2] J. S. Bell, Physics 1, 195 (1965).
[3] V. A. Andreev, V. I. Man'ko, О. V. Man'ko, E. V. Shchukin, Teor. Mat. Fiz. 146, 172 (2006).
[4] M. A. Anisimov, M. Caponigro, S. Mancini and V. I. Man'ko, Journal of Physics 70, 012002 (2007).
[5] P. Busch and P. J. Lahti, Nuovo Cimento 18, 4 (1995).
[6] О. V. Man'ko and V. I. Man'ko, JETP 85, 430 (1997).
[7] Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Квантовая механика (M., Физматлит, 2002).
[8] Ю. Б. Белоусов, В. И. Манько, Матрица плотности: представление и применения в статистической механике (М., Москва, 2004).
[9] A. Einstein, В. Podolsky, N. Rosen, Phys. Rev. 47, 777 (1935).
[10] J. S. Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics (Cambridge, 1987).
[11] J. F. Clauser, M. A. Home, A. Shimony, R. A. Holt, Phys. Rev. Lett. 23, 880 (1969).
Поступила в редакцию 26 сентября 2008 г.
