Параллельная работа импульсных повышающих преобразователей постоянного тока при наличии индуктивной связи дросселей Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Анатолий КОРШУНОВ

Параллельная работа импульсных повышающих преобразователей постоянного тока

при наличии индуктивной связи дросселей

Параллельная работа импульсных повышающих преобразователей постоянного тока с независимыми дросселями рассмотрена в статье [1]. Наличие отрицательной взаимоиндуктивности между дросселями позволяет скомпенсировать подмагничивание общего сердечника дросселей постоянными составляющими токов обмоток. Отсутствие постоянного подмаг-ничивания существенно уменьшает габариты дросселя. Исследование этого важного для практики варианта параллельной работы преобразователей выполнено в данной статье.

Математическое описание преобразователя

На рис. 1 представлена схема исследуемого преобразователя. При достаточной индуктивности рассеяния обмоток дросселя Др0 дроссели Др1 и Др2 не нужны. При недостаточной индуктивности рассеяния при одновременном включении нижних транзисторов ключей К1 и К2 скорость нарастания токов обмоток может достичь недопустимой величины. Для ограничения скорости нарастания токов и уменьшения размаха их пульсаций в этом случае дроссели Др1 и Др2 необходимы.

Ключи преобразователя работают с одинаковой частотой и фазовым сдвигом на полпериода коммутации.

Примем для простоты сопротивления ключей К1 и К2 и дросселей Др1 и Др2 одинаковыми. Это позволяет изобразить расчетную схему преобразователя в виде, представленном на рис. 2. Идеальные ключи К1 и К2 в течение времени т находятся в положении «1», а оставшуюся часть периода коммутации Т-т — в положении «2». Сопротивление г учитывает суммарное сопротивление дросселей и замкнутого ключа. Ключ К1 переходит в положение «1» в начале каждого периода коммутации, а ключ К2 — в середине каждого периода. В зависимости от величины т возможны два варианта распределения состояния ключей К1 и К2 в течение периода при 0<т<Т/2 и Т/2<т<Т, представленные на рис. 3а, б. На рис. 3 видно, что период коммутации распадается на четыре последовательных временных интервала, на гра-

нице каждого из которых происходит изменение расположения одного из ключей. При 0<т<Т/2 имеются два интервала, в которых оба ключа находятся в положении «2», то есть обе ветви одновременно отдают запасенную электромагнитную энергию в нагрузку. При Т/2<т<Т присутствуют два интервала, в которых обе ветви одновременно запасают электромагнитную энергию, поскольку оба ключа находятся в положении «1».

Общее потокосцепление параллельных ветвей у0 вызывает их взаимоиндуктивность (-М), а потокосцепление рассеяния и дросселей Др1 и Др2, в сумме составляющее у1 и у2, вызывают собственные индуктивности 11а и 12а (Ь1а = Ь2а = Ьа). Считая магнитные цепи линейными, можно записать:

V = М (¿1-^), V! = !стхг1, у = ¿ахг2- (1)

Напряжение на обмотках Др0, Др1 и Др2 (рис. 2) определяется следующими выражениями:

иМ1 ~

¿і

Ґ _ \ СІІ^ ¿/¿2

СІІ СІІ

“ю=--г-=м ш

-Т

° Л’

^2 а л'

ґсІі2

Л сії

V У

(2)

| и,-U,

jl2o

V |г 'н

-0 +

Т-т Нн

К2 С г

т П«н

+ h

tv

ь

Рис. 2

Суммарное напряжение на обмотке Др0 и последовательно включенном дополнительном дросселе (Др1 или Др2) можно представить в виде:

М.,

і г du . di\

= M--M—-+L„—- = dt dt dt

= L^-M^.

dt

dt

= M^-M^ + La^ = dt dt dt

= L^-M^, dt dt

В общем виде расчетную схему можно описать векторно-матричным дифференциальным уравнением:

ний в форме Коши для различных конфигураций схемы рис. 2.

В качестве примера рассмотрим случай г =1, ] = 2, соответствующий первому интервалу периода коммутации при 0<т<Т/2 и второму интервалу при Т/2<т<Т (рис. 3). На рис. 2 изображена соответствующая конфигурация схемы.

Составив по первому и второму законам Кирхгофа необходимое число независимых уравнений, равное размерности фазового пространства схемы, получаем, учтя (3) и (4):

т ¿Ц .. di1 .

Ь—--М—- + гц = и,,

Л dt 4 1

г dL .

—М—-+Ь—- + ги =и,-и,,

Л Л

Н ~ гс — гя = ьн^-+тн=и2-у.

. н л

(7)

-Х = Л,Х+й,Мі+£,К, *=1,2, 7 = 1,2,

(6)

Для представления (7) в форме Коши разрешим эту систему относительно

(3)

где Aj — 4x4 квадратная матрица, hj и gj — четырехмерные векторы, «j = Uj = const, У = const.

Матрицы и векторы несложно получить, записав систему дифференциальных уравне-

1

di.

dt

-—ir и

Ж. dt ’

сИ^ ¿/{*2 dt' dt

что дает (8).

Непосредственно из системы дифференциальных уравнений (8) получаем (9).

(4)

где I = !а+М>М.

Как известно, при достаточно высокой частоте коммутации пульсационные составляющие токов и напряжений импульсного преобразователя становятся практически незаметными на фоне их гладкой (полезной) составляющей. Преобразователь в этом случае можно представить его предельной непрерывной моделью, получаемой при Т^-0 (Т — период коммутации [1]). Для построения предельной непрерывной модели рассматриваемого преобразователя используем методику, изложенную в [1].

Для этого необходимо выбрать фазовые координаты, определяющие состояние преобразователя. Из теоретической электротехники известно, что таковыми являются токи в индуктивных элементах и напряжения на емкостных элементах. В рассматриваемом случае вектор фазовых координат Х преобразователя согласно расчетной схеме (рис. 2) имеет вид:

Х = [хl, х2, х4], (5)

где Т — знак транспонирования, х1 = г1, х2 = г2,

Х3 — 1^2, Х4 — .

В зависимости от положения ключей К1 и К2 на расчетной схеме преобразователя (рис. 2) возможны четыре ее конфигурации, которые удобно обозначать двузначным числом у, первая цифра которого (г) обозначает положение ключа К1, а вторая (;) — положение ключа К2.

Mr

М А . 1 п ТГ

И,+ 0Х2„Н------------u, + OxV,

dt 1} -М2 ^ L2 -М2 ‘2 Ь2-М2"2' ”'"н' L-М

di2 _ Мхг

dt L2-M2h L2-M2 12 L2-M2“2

^^ = 0xil+—i2+0xu2 ——ін+0хщ+0хУ, dt С С

^- = 0хі,+0хі, +—и2-^-ін+0хи,——V. dt 1 2 L„ 2 L„ н 1 L„

Lxr

rU—

L u^+Qxi„+—Mj+OxF,

L-M

(8)

An —

Lr Mr M 0

L2-M2 I 1 1 Г 0 1

Mr Lr L 0 1 с L-M 0 0 1

rs 1 о 4 L2-M2 1 С l2-m2 0 ’ ^12 1 L-M 0 II -si II =g-

0 0 1 RH 0 . LH

LH LH\ (9)

K2 \

«1» «2» I

«2» I i i i і «1» «2»

і i

K1

K2

«1» і «2» / / /1

/ / / «1» «2» i i i і «1»

і i

t T/2

И

T/2+т T

О г—T/2

T/2

E

Рис. 3

Аналогично получены и следующие матрицы и векторы:

А —

А,

Lr Mr L 0

—М2 1 IS) L2 —М2

Mr Lr М 0

—М2 1} —М2 1 * к>

0 0 0 1 с

0 0 1 ~L~h Rh LH

Lr Mr 1 0

■-м2 1 1

Mr Lr 1 0

■-м2 l2-m2 1

1 с 1 С 0 1 с

0 0 1 LH Rh LH

Lr Mr 0 0

—М2 і

Mr Lr 0 0

—М2 і

0 0 0 1 ~c

0 0 1 ~L~h Rh LH

(10)

X(t) = ЩіїхХо+А.ЩІіУБЩи^У),

(11)

В результате получаем:

Х((п+1)Т) = И22(Т/2-х)И21(х)И22(Т/2-х)И12(х)Х(пТ )+ +{Я22(Т/2-х)Я21(х)Я22(Т/2-х)А12-1[Я12(х)-£] +

+И22( Т/2-х)И21(х)А22-1[И22( Т/2-т)-Е] +

+ И22( Т/2-х)А21-1[И21(х)-Е]+А22-1[И22( Т-х)-ЩШ1-£П

0<т<Т/2, (12)

Х((п+1)Т) = И21(Т-х)И11(х-Т/2)И12(Т-х)хИ11(х-Т/2)Х(пТ)+ +{И21(Т-х)Ии(х-Т/2)И12(Т-х)А11-1[Ип(х-Т/2)-£] + +И21(Т-х)+Ип(х-Т/2)А12-1[И12(Т-х)-£] + +И21(Т-х)Ап-1[Ип(х-Т/2)-£]+А21-1[И21(Т-х)-£]}(йи1-^У), Т/2<т<Т. (13)

Дифференциальное уравнение предельной непрерывной модели

Для получения искомого дифференциального уравнения необходимо вычислить предел:

d_x= шХ((п+\)Т)-Х(пТ)

dt г->~ Т

при т = уТ, у = const.

Вычисление предела (14) дает следующий результат

— X = AX+hU1+gV, dt

где

А =

Л12у + Л21у + Л22(1-2у), 0<т <772,

Л12(1-У) + Л21(1-У)+4і(27 -1), Т/2<т<Т.

(14)

(15)

(16)

к21 = к22 = 11 = к, ¿21 = ¿22 = ¿11 = &.

Неизменность элементов векторов кц и объясняется тем, что при изменении положения ключей К1 и К2 характер приложения внешних напряжений не изменяется.

Из рис. 2 непосредственно следует, что расчетная схема преобразователя при 0<т<Т/2 описывается последовательно четырьмя дифференциальными уравнениями вида (6), соответствующими ц =12, 22, 21 и 22, а при Т/2<т<Т также четырьмя уравнениями, но соответствующими ц =11, 12, 11 и 21.

Для получения разностного уравнения, связывающего значения векторов фазовых координат в конце Х((п+1)Т) и в начале Х(пТ) произвольного (п-го) периода коммутации, воспользуемся методом припасовывания решений дифференциальных уравнений. Этот метод основан на известном из электротехники принципе непрерывного изменения токов в индуктивных элементах и напряжений на емкостных элементах в случае приложения конечных напряжений и токов.

Решение векторного дифференциального уравнения (6) при невырожденной матрице Ац и начальных условиях Х(0) = Х0 имеет, как известно, вид:

Определение матрицы А (16) с учетом формул (9) и (10) приводит к одинаковому результату в обоих случаях:

¿г

А =

1} —М2 Mr 1} —М2

Mr 1-у 0

} —M2 I

Lr 1-у 0

2 —M2 i

1-у 0 1

С С

0 1 Rh

LH LH

1-у

с

о

По векторно-матричному уравнению предельной непрерывной модели преобразователя можно записать соответствующую систему дифференциальных уравнений в форме Коши:

(17)

где Ну (£) = ехр( Ац £) — матричный экспоненциал, Е — единичная матрица размером 4x4.

Используя выражение (11), легко записать решение дифференциального уравнения на последовательных интервалах периода коммутации, считая начальное значение вектора фазовых координат на текущем интервале равным его конечному значению на предыдущем интервале.

Решение дифференциального уравнения на последнем интервале периода коммутации дает искомое разностное уравнение.

I}-Mlh l2-m2‘2 l-m“2 l-m

2 _

Mr

Lr

dij Lr . Mr

dt di dt du2 dt

di„ 1 R „ . 1

—~ = Щ-----------------—In-------------

dt LH 2 L„ H L

1-у

ті-,—.—-u.,+-

1

Uv

___________________1-У ■

L2-M2h L2-M2‘2 L-M

1-у. 1-у. 1 .

: ---*lH---h-----

С С С

1

L-M

и»

(18)

V.

Из формул (18) видно, что при у = const предельная непрерывная модель преобразователя описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решая ее при известных начальных значениях фазовых координат: г\(0), г2(0), «2(0), iH(0), входном напряжении «1(t) и противоЭДС нагрузки V(t),

несложно аналитически построить процесс в неуправляемом преобразователе.

На практике преобразователь используется в большинстве случаев в управляемом или стабилизированном источнике постоянного напряжения. Это предполагает изменение управляющего воздействия у = т/T. Как видно из системы дифференциальных уравнений (18), управляющее воздействие преобразователя оказывается не сигнальным, а параметрическим, поскольку изменяет некоторые коэффициенты системы (18). Решение такой нелинейной системы дифференциальных уравнений практически возможно только численными методами с использованием ЭВМ.

Установившийся режим предельной непрерывной модели преобразователя

При U1 = const, V = const, у = const существует частное решение системы линейных дифференциальных уравнений (18), соответствующее установившемуся режиму:

i1 = I1 = const, i2 = I2 = const,

«2 = U2 = const, iH = IH = const.

Для его определения достаточно положить в системе дифференциальных уравнений все производные равными нулю и решить полученную после элементарных упрощений следующую систему линейных уравнений:

L+M 1 L+M Mr т Lr т ,л чгг тт L+M1+L+M 2 2 ~ р

(1-у)/1+(1-у)/2-/я=0, U2-RhIh=V.

В результате получаем:

Ur V

1 г ’

2 (1-у)

СЛ 1 ГК

Ля+-

1 г

! _ (1-У) Г

'44 '

Характеристики рассматриваемого преобразователя в установившемся режиме, получаемые по предельной непрерывной модели, совпадают с характеристиками двух обычных преобразователей, работающих на общую нагрузку [2]. Статическая характеристика U2 = /(у) при U1 = const, У = const имеет максимум при:

,1 г V У~Ут~ +2RHUl \

Ґ, Тл2

1 ГУ

2RHUX

+RJ (23)

(19)

а при дальнейшем увеличении у резко падает до и2= У при у =1 [2, рис. 6], а при У =0 — до 0.

Оценка пульсаций токов и напряжений преобразователя

Для оценки пульсирующей составляющей токов параллельных ветвей ц и 12 примем обычные в таких случаях допущения. Пренебрежем пульсациями выходного напряжения преобразователя и активным сопротивлением дросселей, то есть будем считать

u2(t) = U2 = const, r = 0.

(24)

Ц= Я(1-У)'2(1-У)\ (21)

(22)

2 (1-У)2

Принятые допущения (24) не приводят к существенным ошибкам, поскольку в практически важных случаях допускаются весьма небольшие пульсации выходного напряжения щ(?), составляющие не более единиц процентов от полезной составляющей напряжения и2 (постоянной составляющей ы2($). Реально активное сопротивление дросселей также составляет единицы процентов от сопротивления нагрузки (г^Яи), поскольку КПД реальных преобразователей близок к 1.

Для оценки пульсаций токов дросселей ¡1 и г2 используем первые два уравнения системы дифференциальных уравнений преобразователя, которые с учетом принятых допущений (24), матриц Ац и векторов кц, (9)

и (10) оказываются независимыми и имеют вид:

di, тт 1 т т

— = аи U2+--------U,,

dt 4 2 L-M 1

di2 итт 1 гг (25)

— = b,,U2+--------U,,

dt " 2 L-M 1

где

ап = йц = 0;

М L _ L

Яп~ L2-M2',n~ L2-M2’ L г. _ М

a*~ l2-m2’ 21 “ l2-m2’

Сіпіу — Ьу

1

L-M

С учетом принятых допущений (24) выражения (20)-(22) принимают вид (26).

Подстановкой U2 = U1/(1-y) в уравнения (25) они приводятся к виду:

cl^ = c..u,,^=d..a, (27)

dt ,J l’ dt v *’

где

CU = 7 r,= ^11 >

L—M

c _ an , 1 _ (l-Y)L-yM

°12 (1-y) L-M (1-y ){L2-M2)'

d - bn , 1 _ O-PM-JL

12 (1-y) L-M (1-y )(L2-M2Y

_ 21

a2l , 1 (1-у) M-yL

(1-у) L-M (1-у)(L2-M2) 12’

_ b2l 1 _ (l-y)L-yM

21 (1-у) L-M (1-у)(L2-M2) 12’

_ 22

(1-у) L-M (1-у)(L-M)

— ^22-

Рассмотрим пульсации токов и напряжений отдельно при 0<т<Т/2 (0<у<1/2) и Т/2<т<Т(1/2<т<1).

При 0<у<1/2 положение ключей на четырех последовательных интервалах периода коммутации: 0<Кт, т<кТ/2, Т/2<кТ/2+х и Т/2+т<кТопределяется, как уже отмечалось выше, значениями г;: 12, 22, 21 и 22.

Интегрирование уравнений (27) на периоде коммутации дает:

¿1М = ¡1(0)+{с12^[1(^)-1(^-х)] + + [с12х+с22(|-х)][1(^-х)-1(^-Т/2)] + [с12х+ +с22(Т/2-т)+с21(*-Т/2)][1(*-Т/2)--1(|-Т/2-х)] + [с12х+с22(Т/2-х)+ +с21х+с22(г-Т/2-х)]1(г-Т/2-х)}и1, (28)

Согласно (22) в установившемся режиме предельная непрерывная модель преобразователя представляет собой источник напряжения с ЭДС, равной и1/(1-у), и выходным сопротивлением, равным 0,5г/(1-у)2, что показано на рис. 4.

1Х=12=1 =

1

2(1—у)^

1-у

-V

1

2(1-у)Дя

[С/2-П,

и.

Л

1-у

-V

:^-[С/2-П = 2(1-у)/.

(26)

2| + С12+С21тти,-

2| . ..

2|-С12+С21ути,

1= ||н/(1-г)-:

I - yC12yTU

ч \w‘> ч

1+?С21уТ ¿г х Ч

-М!>1 1

I - iC21yTU

Т/2 T/2+т

Т+1

ЗТ/2

Рис. 5

21+ ^yTU, 21 21 — уС12уТи, Ї j = 12 22 21 22 12 22

' !'Ы‘) К 1 \ | \ \ \

г \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 V \ \ \ \ ч N

l + ±C12yTU, I - |lH/(1 У) 1-тС12уТи, If I . I

МЧ/ІЧ I 1 \ 1 / 1 Ч 1 / \ \ 1 \ 1

х-

і і 1 1 it

ГМ \ 1- Т/2+х Т Т+т ЗТ/2

Рис. 6

где 0<t<T, 1(t) — единичная функция:

Го ,t <о,

1(0 =

l,i>0.

Подстановкой t = Т-0 в формулу (28) находим:

¿1(Т) = г(0)+[(сі2+с2і)т+ +2с22(Т-2т)] U1 = ¿(0),

(29)

что подтверждает колебания тока ц($ около своего среднего значения 11 = 0,51Н/(1-у). Аналогичный результат несложно получить и для г2(£). Его анализ показывает, что кривая г2(^) совпадает с кривой г^), сдвинутой на Т/2. При изменении у = т/Т изменяется и характер пульсаций токов г1 и г2. На рис. 5 для 0<у<М/(!+М)<1/2 представлены кривые ¡1(^) и г2(^ с преувеличенными для наглядности пульсациями.

Возрастание тока г1 (г2) на интервалах, где г) = 21(12), объясняется тем, что при небольших у напряжение и1, действуя непосредственно и через взаимную индуктивность обмоток Др0, преодолевает действие небольшого при малых у напряжения и2= и1/(1-у).

Для определения пульсаций выходного напряжения и2й положим, что ток нагрузки

¿3(t) = S1i1(t) + S2i2(t),

(30)

где

5,=

0,г =1 1,1=2’

^2 =

0,7 = 1 1,7=2'

с увеличением 1Н. Пренебрегая пульсациями токов г^) и г2(£), что тем более допустимо, чем больше ток нагрузки, можно считать форму тока г3(£) прямоугольной:

h (0:

21,х <t<T/2’ 2 (1-у)

(31)

Вычитая 1Н из ц($, получаем прямоугольную переменную составляющую г3(£), равную гс (í):

г'с(0 =

2v-l

I~Ih = ~zt: 0<t <т,

21-1н =

2(1—у)

У

1-у

(32)

1н,т <t<TI2.

При этом пульсации выходного напряжения имеют пилообразную форму с размахом пилы:

2Аи2 =

у(1-2у) І„Т „ 1

—-----tZ-H— ,0<у<-. (33)

2(1-у) С 2

H(t) = -H = const. Это весьма близко к реальности, поскольку индуктивность нагрузки LH практически полностью подавляет пульсации iH (t), вызванные незначительными пульсациями U2(t). Это позволяет считать, что пульсации U2(t) вызваны пульсационной составляющей тока i3(t) (рис. 2), замыкающейся через конденсатор C.

Согласно изменению структуры схемы, вызываемому изменением состояния ключей К1 и К2 (рис. 2), можно записывать выражение для ij(t):

Очевидно, что логические переменные 5] и 52 принимают значение 0, когда соответствующий ключ находится в положении «1», и значение 1, когда ключ — в положении «2». Ток г3(^), построенный по выражению (30), представлен на рис. 5 пунктиром. На рис. 5 видно, что частота пульсаций г3(£) вдвое выше частоты коммутации. Переменная составляющая тока ц($, равная г3(<)-1Н, возрастает

Несложно показать, что при заданном токе нагрузки 1Н максимальный размах пульсаций напряжения «2(£) имеет место при

у = 1—]= = 0,293 >/2

и составляет 8,58х10-21НТ/С.

В граничном случае при у = М/(!+М) характер пульсаций токов ц($ и г2(£) показан на рис. 6. Постоянство тока ц($ (г2(£)) на интервалах, где ) = 21 (12), объясняется тем, что при указанном у напряжение и1, действуя непосредственно и через взаимную индуктивность дросселя Др0, точно уравновешивает напряжение и2 = и1/(1-у). Там же пунктиром построен график г3(^). Ток конденсатора при достаточно больших токах нагрузки 1Н можно также считать прямоугольным (32), а пульсацию выходного напряжения определять по формуле (33).

Кривые токов г^), г2(^) и г3(£) при дальнейшем увеличении у(М/(1+М)<у<1/2) представлены на рис. 7. В этом случае ток г1 (г2) на интервалах, соответствующих г) = 21 (12), уменьшается, поскольку и2 = и1/(1-у) преодолевает и1, действующее непосредственно и через взаимную индуктивность обмоток дросселя Др0.

Особое положение занимает случай т = Т/2 (у = 1/2), при котором период коммутации состоит не из четырех, а из двух отрезков длительностью Т/2 каждый. На первом из них ) = 12, а на втором — ) =21. Кривые токов г^), г2(£) и ц(£) для этого случая представлены на рис. 8.

Как видно на рис. 8, при у = 1/2 прямоугольная составляющая тока ¡(¿) = 13({)-1Н отсутствует. Вследствие этого нет и основной пилообразной составляющей пульсаций

выходного напряжения [72~(£). Осталась только параболическая составляющая, вызванная пилообразными пульсациями гс (£). Размах пульсаций выходного напряжения составляет:

і17V1 '

2М2=-\\-с12ихТ-сх1Щ

СІІ =

_ схр{[2 _ и (Г2 ~ 32С _ Ъ2(Ь+М)С

(34)

Интересно, что пульсации входного тока преобразователя г4 = г1+г2 в этом случае полностью отсутствуют (при принятых допущениях), что легко понять при анализе рис. 8.

Рассмотрим теперь токи г^), г2(£), г3(^ при Т/2<т<Т(1/2<у<1). Положение ключей на четырех последовательных интервалах периода коммутации (рис. 3б) 0<Кт-Т/2, т-Т/2<кТ/2, Т/2<Кт, т<кТ определяется значениями г) =11, 12, 11, 21 соответственно. На рис. 9, 10, 11 построены кривые г^), г^), г3(£) для случаев: с12>0 (1/2<у<!/(!+М)), с12 = 0 (у = !/(!+М)), с12<0 (!/(!+М)<у<1) соответственно.

Убывание тока ц^) (г2(£)) на интервале, где ) = 12 (21), объясняется тем, что напряжение и2 с ростом у увеличилось до такой величины, что, действуя через взаимную индуктивность обмоток Др0, преодолевает напряжение и1. При у = 1/(1+М) их действие уравновешивается, и ток в ветви, подключенной к входному напряжению и1, не изменяется.

Пренебрегая пульсациями токов г^) и г^), как и выше, можно считать ток конденсатора прямоугольным с периодом Т/2:

*с(0 :

-Ін,0 < ї <т - Г/2, 2у-1

2(1 _У)

Iн ,х - Т/2<і<Т/2.

(35)

Размах пилообразных пульсаций выходного напряжения преобразователя, вызываемых прямоугольными пульсациями тока конденсатора определяется напряжением:

„А 1НТ 2Ди, =

2 С

У~:

1

1

у>-.

2

(36)

Зависимость основной составляющей пульсаций выходного напряжения преобразователя (пилообразной) от у при постоянном токе нагрузки 1Н, построенная с учетом принятых допущений по выражениям (33) и (36), представлена в относительных единицах на рис. 12.

Постоянство 1Н при увеличении у предполагает соответствующее увеличение сопротивления нагрузки КН. Не меньший интерес представляет случай постоянного сопротивления нагрузки КН, при котором с ростом у увеличивается и ток нагрузки, определяемый при принятых допущениях выражением:

21 + Сі2+С21„Тм ц = 12 22 21 22 12

2|-С12+С21тТи1 І+4с21уТи, 1' • / % |\|3Ю ¡\ ^ [\ \ !' ! \ '\

I 1 ! !■ ■' ! !

I — уС21уТи, 2ДІ

і= ¿ін/П-г) ¡.ж ! ' ~ -СІ ! !

!

1 + 2 С2-'/Ти 1 \ у' \ 1

I —тС12уТи, 1 1 II IIі

т Т/2 Т/2+т Т Т+тЗТ/2

Рис. 7

Рис. 8

І- ІС2,(1-г)Ти,

и=Х\ 12 11/Х 21 11/і\ 12

|+(^с21(1—уі+с^^-^мти, 1= ±і„/(і -г) 1 £ 1 / і \2<*> / і\ / 1 \ 2ДІ /___ } . /

1 \

./ічМ 'у /\ \ \ \ Xі \

І+ |с21(1—у)Ти, / \ ! \ / 1 \ / \/ і \/

1 | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' ! 1 ! 1 і і J і і

т—Т/2 Т/2 т Т Т/2+т ЗТ/2

Рис. 9

1- |с21(1-у)Ти,

ІІ=7ТЧ^2 1УА 21 11 \ 12

|= ||н/(1-у) / 1 V / 1 1 / ! \ ш/ 2ДІ / \ /

у/і

І+ ^С21(1-у)Ти, / 1 1

! Т ! і ■ і і ■ і і ■ і і і і і і і і I- і і і і 1 »

т—Т/2 Т/2 т Т Т/2+т ЗТ/2

Рис. 10

1- |c2l(1-y)TU, i= iiH/(i-r) 1 1

II 4 21 11 /\\ 12 ✓ і \

^2Д1 у

TN. У У I /

|_<2С21<1—»')+C1l(y—2)>TU1 1+ ±C21(1-y)TU, / [ і V ✓ 1 \ /

1 Т 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 1 1 1 1 1 1 1 1 і ! ! ! ! ‘

т-Т/2 Т/2 т Т T/2+т ЗТ/2

Рис. 11

и,

(1 -y)RH

(37)

Постановка (37) в (33) и (36) дает зависимость размаха пилообразной составляющей пульсаций «2 от у при RH = const в виде:

^П=Щ ,0< 1

2А и2 =

RHC у(1-у) _ 1

ихт Л'

2(1-у) 2

(38)

На рис. 13 в относительных единицах представлена зависимость (38), по характеру на-

2Л/ =

ci2iUlT

ихТ у

1-М 1-у

L+M

и,Т у

La 1-У

1 + ^-

__м.

2+^-

М

L-M

Y-

М

L+M

_Ц{Г ~ L„

У-

1

2+—

М.

,-<у<1.

(39)

образователя, имеют значение и пульсации токов параллельных ветвей г1 и г2 (рис. 2). Они увеличивают потери в дросселях и ключах, а также снижают использование транзисторов ключей К1 и К2 по току, поскольку максимальный ток транзисторов тем больше полезного среднего значения тока ветви, чем больше пульсации тока (рис. 1).

Анализ временных диаграмм токов г1 и г2, построенных на рис. 5-11, позволяет определить размах их пульсаций выражением (39).

При у =1/2 оба выражения (39) дают одно и то же значение:

2AI =

поминающая зависимость, изображенную на рис. 12, при постоянстве тока нагрузки. Отличие — в большем значении экстремума, составляющего 0,125, который двигается при большем значении у, равном 1/3. Кроме того, при у—— 1 2Д«2—<х>, поскольку при RH = const IH—<x при принятых допущениях.

Разумеется, полученные результаты имеют приближенный характер. Точность их уменьшается с ростом у, поскольку из-за влияния отличного от нуля сопротивления дросселя r возрастает отличие U2 = U1/(1-y) от реального меньшего значения U2. Можно ожидать, что реальные пульсации выходного напряжения окажутся меньше расчетных при том же у.

Помимо пульсаций выходного напряжения, учитываемых при оценке качества пре-

_ ихт _ ихт

2 (L+M)

2М

/ Т v 2+=2-

v М;

(40)

Зависимость (39) на первом интервале изменения у (от 0 до 1/2) в случае

L_/M<2,

(41)

при значении у

_ / М 1 У Ут іь+м \2+l^

м

(42)

имеет максимум, определяемый выражением:

Ґ F------ V

2+^-

М

(43)

Из выражений (39) и (40) очевидно, что при любом значении у, кроме у = 1/2, уменьшение собственной индуктивности параллельных ветвей вызывает неограниченное увеличение размаха пульсаций токов г1 и г2.

Рис. 14

При у = 1/2 размах пульсаций, согласно выражению (40), имеет конечное значение даже при Ьа = 0. Объясняется это тем, что при у = 1/2 в течение каждого полупериода коммутации между началом и концом обеих обмоток дросселя Др0 действуют одинаковые напряжения. В одном полупериоде эти напряжения равны + и1, а в следующем полупериоде -и1.

На рис. 14 представлены зависимости размаха пульсаций, отнесенного к величине и1Т/Ьа, для различных значений отношения !а/ М: 1, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, ю. Все кривые ограничены сверху прямой, соответствующей предельному значению /М—ю, а снизу — ха-

рактеристикой, соответствующей другому предельному значению /М——0. Верхняя граница соответствует отсутствию индуктивной связи, а нижняя — отсутствию собственной индуктивности ветвей. Очевидно, /М— 0 соответствует 2Д1—ю.

Выводы

1. Индуктивная связь параллельных ветвей повышающего преобразователя не влияет на его статические характеристики.

2. При достаточно высокой частоте коммутации преобразователь при изменении входного напряжения можно рассматривать как линейную цепь с постоянными параметрами, а при изменении относительной длительности включения транзисторов у = т/Т — как цепь, параметры которой зависят от у.

3. Взаимоиндуктивность параллельных ветвей преобразователя изменяет характер пульсаций токов в них и зависимость размаха пульсаций от у. При изменении у меняется и форма пульсаций.

4. Уменьшение собственной индуктивности параллельных ветвей преобразователя вызывает неограниченное увеличение размаха пульсаций при всех значениях у, кроме у = 1/2.

5. Пульсации выходного напряжения преобразователя имеют две

составляющие: пилообразующую и параболическую. Пилообразная составляющая пульсаций наиболее существенная. При у = 1/2 наблюдается только параболическая составляющая, поскольку в том же случае пилообразная составляющая пропадает. ■

Литература

1. Коршунов А. И. Методика построения непрерывных моделей импульсных преобразователей напряжения постоянного тока // Компоненты и технологии. 2006. № 8.

2. Коршунов А. И. Анализ параллельной работы импульсных повышающих преобразователей напряжения постоянного тока // Компоненты и технологии. 2007. № 8.