О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ p-ЛАПЛАСИАНА НА МНОГООБРАЗИЯХ С МОДЕЛЬНЫМ КОНЦОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2024. №3

3

Математика

УДК 517

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ p-ЛАПЛАСИАНА НА МНОГООБРАЗИЯХ С МОДЕЛЬНЫМ КОНЦОМ

В. В Бровкин1

Получен критерий существования решений второй краевой задачи для p-лапласиана на римановых многообразиях с модельным концом.

Ключевые слова: задача Неймана, p-лапласиан, многообразие с модельным концом.

A criterion for the existence of solutions to the Neumann boundary value problem for the p-Laplacian on Riemannian manifolds with a model end is obtained.

Key words: Neumann problem, p-Laplacian, manifold with a model end. DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-3-1

1. Введение. Предположим, что M — связное n-мерное ориентированное полное риманово многообразие с краем (возможно, пустым). Рассмотрим задачу

Apu = f на M, (1)

= h, (2)

|v«ra£

dM

где Ари = Уг(дч|Уи|р-2У;и), р > 1, — оператор р-Лапласа, V — вектор внешней нормали к дМ, а / и Н — обобщенные функции из Т>'(М), причем вирр Н С дМ.

Как это принято, под д^ мы подразумеваем метрический тензор, согласованный с римано-вой связностью, а под дч — тензор, дуальный к метрическому, т.е. д^д^к = . При этом |Уи| = (д^ У*иУ^- и)1/2.

Говорим, что функция и является решением задачи (1), (2), если и € ^р(О) для любого открытого множества О С М с компактным замыканием и при этом

- J gij |Vu|p-2ViuVjp dV = (f - h, p)

M

для всех функций р € С) с компактным носителем, где — элемент объема многообразия М.

Будем также предполагать, что решение задачи (1), (2) удовлетворяет условию на бесконечности

У |Уи|р то. (3)

м

Если дМ = 0, то условие Неймана (3) предполагается выполненным автоматически. В этом случае во всех рассуждениях, приведенных ниже, будем считать, что Н = 0.

Краевые задачи в неограниченных областях и на гладких многообразиях традиционно привлекают внимание математиков [1—12]. В настоящей работе получен критерий существования решений задачи (1)—(3) в случае многообразий с модельным концом.

Определение 1. Емкость компакта В С О относительно открытого множества О С М определяется соотношением

сарр(В, О) = 1^У |Ур|р ¿У, п

1 Бровкин Вадим Вадимович — асп. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: brovvadim2015@gmail.com.

Brovkin Vadim Vadimovich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics,

Chair of Differential Equations.

© Бровкин В. В., 2024 © Brovkin V. V., 2024

4

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2024. №3

где т1 берется по всем функциям ^ € Сте(О), тождественно равным единице в окрестности В и имеющим компактный носитель, принадлежащий О. Если О = М, то пишем сарр(В) вместо сарр(В, О). Для произвольного замкнутого множества Н С М полагаем

capp(H) = supcapp(B), в

где sup берется по всем компактам B С H. Емкость пустого множества считается равной нулю.

Определение 2. Многообразие M называется p-гиперболическим, если его емкость положительна, т.е. capp(M) > 0. В противном случае многообразие M называется р-параболическим.

Под Lp(Q), где Q — открытое подмножество M, будем подразумевать пространство обобщенных функций u € D'(Q), таких, что Vu € Lp(Q) [13, c. 12]. Полунорма в Lp(Q) определяется равенством

1/p

|u|L(П) = \J |Vur dV * Vn

Для всех l € D'(Q) обозначим

Nn(l) = sup |(l,^)|,

v

где sup берется по всем функциям ^ € C°(Q) с компактным носителем, принадлежащим Q, таким, что (п) = 1- При этом мы не исключаем случай Nn(l) = то.

2. Многообразия с модельным концом. Предположим, что многообразие M представимо в виде

M = ш U D х [ro, то), (4)

где ш — липшицева область с компактным замыканием, ro > 0 — некоторое вещественное число, а D — компактное риманово многообразие с краем, такое, что ш П D х [ro, то) = 0. Пусть также на множестве D х [ro, то) задана метрика

ds2 = a2(r) dr2 + b2(r)gij (0) d0W,

где a и b — положительные, бесконечно гладкие функции на [ro, то), gj — метрический тензор на D, 0г — локальные координаты на D. Назовем множество D х [ro, то) модельным концом многообразия M по отношению к области ш.

Тривиальным примером многообразия с модельным концом является пространство Rn. В качестве другого примера можно взять поверхность, полученную вращением графика функции v вокруг луча Or в Rra. В этом случае, очевидно, а(г) = д/l + (v'(r))2, b(r) = v(r), а дц — метрический тензор на единичной сфере D = Si.

Из явного выражения для емкостного потенциала компакта Ш можно увидеть, что многообразие M с модельным концом является р-гиперболическим в том и только в том случае, когда

оо

f a(s)

' ds < то,

J b(n-i)/(p-i)(s)

ro

и р-параболическим в том и только в том случае, когда

оо

[ a(s)

6("-i)/(p-i)(s)

dr = .

Г 0

Далее будем обозначать

МГ0 = ш и Мг = ш и Б х [г0,г), г > Го-

Теорема 1. Пусть М — р-гиперболическое многообразие с модельным концом (4). Тогда для существования решения задачи (1)-(3) необходимо и достаточно, чтобы

те

мМг1и-ю<то и (5)

г=2

где вещественные числа гг > r0 определяются из соотношений

оо

a(s) , 1 [ a(s) KJ ds = - ——±±—ds, г = 1,2,

J b(n-i)/(p-i) 2 J &(n-i)/(p-i)(s)

ri Vi-!

Теорема 2. Пусть M — p-параболическое многообразие с модельным концом (4). Тогда для существования решения задачи (1)-(3) необходимо и достаточно, чтобы имели место соотношения (5), где вещественные числа гг > r0 определяются из соотношений

V! Vi ri-l

f_rM_ds 1 f_rM_ds-2 i _^_ds г-2 3

ro ro ro

и при этом для некоторой последовательности функций п € Cо(М) с компактными носителями были выполнены условия

lim(/ - h,ni) = 0, lim ||n||шм) =0 и Пг|K = 1, i = 1,2,..., (6)

где K — некоторый компакт положительной меры.

Для доказательства теорем 1 и 2 нам потребуются следующие утверждения.

Теорема 3. Пусть p-гиперболическое многообразие M допускает локально конечное покрытие

M = Q а (7)

®=1

кратности т < то, где О® — липшицевы области с компактным замыканием, такие, что О® П Ог+1 = 0, г = 1, 2,..., и при этом 7 : М — (0, то) — измеримая функция, отделенная от нуля и бесконечности на каждом компактном подмножестве многообразия М, а ^ — разбиение единицы, подчиненное покрытию (7), такое, что

|У^г(ж)|р < 7(ж), х € О®, г = 1,2,.... (8)

Пусть также для любой функции р € Сх(М) с компактным носителем справедливо неравенство

У 7|р|р ¿V < С^ |Ур|р ¿V, (9)

мм

где постоянная С > 0 не зависит от р. Тогда для существования решения задачи (1)-(3) необходимо и достаточно, чтобы

(р-1)(/ - Н) < то. (10)

®=1

Теорема 4. Пусть р-параболическое многообразие М допускает локально конечное покрытие (7) кратности т < то, где О® — липшицевы области с компактным замыканием, такие, что О® П О®+1 = 0, г = 1, 2,..., и при этом 7 : М — (0, то) — измеримая функция, отделенная от нуля и бесконечности на каждом компактном подмножестве многообразия М, а ^ — разбиение единицы, подчиненное покрытию (7), удовлетворяющее условию (8). Пусть также для любой функции р € Сх(М), равной нулю на множестве О1, справедливо неравенство (9). Тогда для существования решения задачи (1)-(3) необходимо и достаточно, чтобы имело место (10) и при этом для некоторой последовательности функций п® € Сх(М) с компактными носителями были выполнены условия (6), где К — некоторый компакт положительной меры.

Доказательства теорем 3 и 4 приведены в работе [6].

Определение 3. Говорим, что функция Е является решением задачи

Ар£ = 0 на М\Ш, (11)

д

— = 0 на дМ \ и, (12)

дv

о

где V — вектор внешней нормали к дМ \ со, если 8 € для любого открытого множества

П С М \ со с компактным замыканием и при этом

I дг* |УЕ|р-2Уг£^ = 0 (13)

М\ш

для любой функции 1р € С°°(М \ со) с компактным носителем, принадлежащим М \со.

Заметим, что для любой функции ф € И^(М \ со) с компактным носителем, принадлежащим М\со, существует последовательность функций гр^ € С°°(М\со), к = 1,2,..., имеющих компактный носитель, принадлежащий М\со, и таких, что Ц^ — Фк\\ш1(м\ш) ~~^ 0 ПРИ к —> то. Тем самым если Е является решением задачи (11), (12), то интегральное тождество (13) справедливо для любой функции 1р € Шр(М \со) с компактным носителем, принадлежащим М\со.

Лемма 1. Пусть непрерывная функция Е является решением задачи (11), (12). Тогда если 0 < 8 < 1 на М\со и 8(х) —> 1 при сИв^ж, со) —> 0, то для любой функции (р € С°°(М) с компактным носителем справедливо неравенство

/ ^МI \Vip\PdV, (14)

М\ш М\ш

где постоянная С > 0 зависит только от р.

Доказательство. Рассмотрим неубывающую функцию Л € Сте(М), равную нулю на (-то, 1/2] и единице на [1, то). Для любого вещественного числа т > 0 положим Лт(¿) = Л(£/т). Возьмем произвольную бесконечно гладкую функцию ^ на М с компактным носителем. Тогда, подставляя в интегральное тождество (13) пробную функцию

будем иметь

М\ш М\ш

М\ш М\ш

Так как функция Лт является неубывающей, то

1

-1

М\ш

Следовательно,

I I (15)

М\ш М\ш

Заметим, что Аг(1 — 8) —>■ 1 всюду на М\со при т —>■ 0. Тем самым, устремляя т к нулю в неравенстве (15), получим

/ < ^ / (16)

М\ш М\ш

Далее, применяя к правой части (16) неравенство Коши-Буняковского

д^'УгЕУ,-^ < |У£||УИ,

будем иметь

/ ^М^^у / Щ^ЬГ'ШЫ (17)

М\ш М\ш

Заметим теперь, что для любых вещественных чисел а, в € [0, то) и е > 0 существует число С£ > 0, зависящее только от е и р, такое, что выполнено неравенство

ав < еар' + С£вр,

где

1 1 ' Р

— + - = 1, т.е. р

Полагая

получим из (17)

р' р р — 1 р- 1

/ / /

м\ш м\ш м\ш

Таким образом, взяв

р — 1

£ =-1

2р

будем иметь неравенство (14). Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть непрерывная функция Е является решением задачи (11), (12). Тогда если 8 > 0 на М \ ш, 8(х) —> 0 при сЦв^ж,^) —> 0 и при этом для любого вещественного числа А > 0 множество ша = {% € М \ Ш : £{х) < А} предкомпактно, то для любой функции (р € С°°(М), равной нулю в окрестности множества ш, справедливо неравенство (14), где постоянная С > 0 зависит только от р.

Доказательство. Для любого вещественного числа т > 0 определим функцию Ат так же, как и в доказательстве леммы 1. Возьмем произвольную бесконечно гладкую функцию р на М, равную нулю в окрестности множества со, и зафиксируем вещественное число А > 0. Тогда, подставляя в интегральное тождество (13) пробную функцию

будем иметь

■г3 \Х7Р\Р~2Х7 -РХ7^ | 1 /4г

0 = 19гЦУ£Г2Уг£У, (^А. (1 - дУ = (1 -р) I ^тр\т (1 - МР^ +

шл шл

+р / ^т^т^г^г'у^Хг (1 -м - ± I (1 -§) м.

1 ____„_о___. /. £\ [ 1

А

ШЛ ШЛ

Так как функция Ат является неубывающей, то

ШЛ

Следовательно,

/ ¿1^1рлт (1 -\tp\vdv < ^ I ^д^ег^е^г^Хг (1 -йу. (18)

ШЛ ШЛ

Заметим, что

всюду на со а \ со при т —> 0. Тем самым, устремляя т к нулю в неравенстве (18), получим

ШЛ ШЛ

Далее, с помощью рассуждений, аналогичных приведенным в доказательстве леммы 1, будем иметь

f^rMPdV4C j IV<p\pdV, (19)

ШЛ ШЛ

где постоянная C > 0 зависит только от р. Несложно увидеть, что множества (wa}a>0 образуют покрытие М \ со, другими словами,

(J соА = М \ со.

A>0

При этом для любых положительных действительных чисел Ai и A2, таких, что Ai < A2, имеем wax С wa2 . Следовательно, устремляя A к бесконечности, из неравенства (19) немедленно получим (14).

Доказательство теоремы 1. Положим Qi = МГ1, = Mri+1 \ Mri_21 i ^ 2. Тогда области Qi, i = 1, 2,..., образуют покрытие многообразия M кратности m = 3. Построим разбиение единицы подчиненное покрытию многообразия M областями Qi, i = 1, 2,..., и измеримую функцию Y : M ^ (0, то), отделенную от нуля и бесконечности на каждом компактном подмножестве многообразия M, удовлетворяющие условию (8). Всюду далее через C мы будем обозначать всевозможные положительные постоянные, не зависящие от Несложно проверить, что функция

00

1 a{s) ds

J b(n-1)/(p-1) (s)

ад = -^5-> (20)

b(n-1)/(p-1) (s)

ro

удовлетворяет условиям леммы 1. Из (20) следует, что ^^ (f dxidxj) aP{r) (<9r)

^-»-"(r) ¡ , , ds

W 1 ' b(n-1)/(p-1) (s)

на множестве M \ со. Положим

|VE|P Yo

7(г) = 7o-

ZJ,(n-l)/(p-l)/ Л I f Ф) 1

r ^ I / 6(n-l)/(p-l)(s)

на М \ со и 7 = 70 на и, где 70 > 0 — некоторое вещественное число. Покажем, что для построенной функции 7 и для любой функции ^ € С) с компактным носителем справедливо неравенство (9). В самом деле, имеем

J yMp dV = yo у MP dV + J yMP dV.

M w М\ш

1

P

P

При этом ввиду леммы 1

У 7|р|Р СУ < С I |Ур|Р СУ.

М\ш М\ш

Таким образом, чтобы показать справедливость неравенства (9), достаточно заметить, что

У Мр СУ < СI |Ур|Р СУ

ш М

согласно [6, лемма 2].

Будем строить г = 1, 2,..., в виде функций, зависящих только от г. Положим

1

на ш,

-1

Мг) =

а(«)

п-1

&Р-1 (8)

С8

а(«)

п-1

&Р-1 (8)

С8

, г € (г0, г1),

00 ( \ г ЬР-1 («)

(

-1

а(«)

С8

^г(г) = <

1,

00 «(«) / п-1-

(

\fi-1 а(«)

&Р-1 (8)

\

-1

Г € (Гг-2,Гг-1 ];

г € (Гг-1 ,Гг), г = 2, 3,...;

С8

&Р-1 (8)

Пусть п € С' промежутке (3/4, то]. Обозначим

- 1, Г € [Гг ,Гг+1).

Уг+1 - ^ )

неубывающая функция, равная нулю на промежутке (-то, 1/4] и единице на

^г(г) =

Фг{г) 0,

(г)

г = 1, 2,...

(21)

к=1

где ^г(г) = п(^г(г)). Несложно увидеть, что функции образуют разбиение единицы, которое подчинено покрытию многообразия М областями г = 1, 2,..., и для которого, взяв 70 > 0 достаточно большим, будем, очевидно, иметь неравенство (8). Таким образом, для завершения доказательства остается воспользоваться теоремой 3.

Доказательство теоремы 2. Как и ранее в доказательстве теоремы 1, положим О = Мг1 и Пг = Мп+1 \ МГ1_21 г = 2,3,.... При этом области г = 1,2,..., образуют покрытие М кратности т = 3.

Нетрудно убедиться, что функция

г

е(г) = i

а(«)

ь(п-1)/(р-1) («)

с«, г ^ г0,

(22)

го

удовлетворяет условиям леммы 2. Из (22) следует, что

\vs\p = (^ д£ д£ ^2

1 (дгу

джг дж^/ аР(г) \ дг / ¿р(п-1)/(р-1) (г)

на множестве М\ш. Положим 7 (г) = 70

7о

ьр(п-1)/(р-1)(г)

а(«)

Ь(п—1)/(р-1) («)

С8

1

2

2

и

0

1

Р

на М\со и 7 = 70 на со, где 70 > 0 — некоторое вещественное число. Тогда, используя лемму 2, получим, что для любой функции ^ € С), равной нулю в области справедливо неравенство (9). Будем строить г = 1, 2,..., в виде функций, зависящих только от г. Положим

Mr) =

1

1 -I

п-1

г0 b~(s)

на со, ds, r € (r0, ri),

-1

\ro

a(s)

TL — 1

ftp-1(s)

ds

№(r) = S 1

1

a(s)

TL — 1

ftp-1(s)

ds

V

a(s)

TL — 1

ftp-1(s)

ds

a(s)

TL — 1

ftp-1(s)

ds

/

r € (r¿-2,r¿-ij;

r € (r¿-i,r¿), i = 2, 3,...;

r € [r¿,ri+i).

Тогда, определяя функции г = 1, 2,..., по формуле (21), получим разбиение единицы которое подчинено покрытию многообразия М областями г = 1,2,..., и для которого, взяв 70 > 0 достаточно большим, будем иметь неравенство (8). Таким образом, для завершения доказательства остается воспользоваться теоремой 4.

В заключение автор приносит благодарность научному руководителю профессору А. А. Конькову за постановку задачи и внимание, проявленное к автору при ее решении.

и

r

2

r

2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Cheng S.Y., Yau S.T. Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications // Communs Pure and Appl. Math. 1975. 28, N 3. 335-354.

2. Korolkov S.A., Losev A.G. Generalized harmonic functions of Riemannian manifolds with ends // Math. Z. 2012. 272, N 1-2.459-472.

3. Losev A.G., Mazepa E.A. On solvability of the boundary value problems for harmonic function on noncompact Riemannian manifolds // Пробл. анал. Issues Anal. 2019. 8(26), N 3. 73-82.

4. Pigola S., Rigoli M., Setti A.G. Aspects of potential theory on manifolds, linear and non-linear // Milan J. Math. 2008. 76. 229-256.

5. Pigola S., Rigoli M., Setti A.G. Some non-linear function theoretic properties of Riemannian manifolds // Rev. Mat. Iberoamericana. 2006. 22, N 3. 801-831.

6. Бровкин В.В., Коньков А.А. О существовании решений второй краевой задачи для p-лапласиана на римановых многообразиях // Матем. заметки. 2021. 109, № 2. 180-195.

7. Гадыльшин Р.Р., Чечкин Г.А. Краевая задача для лапласиана с быстро меняющимся типом граничных условий в многомерной области // Сиб. матем. журн. 1999. 40, № 2. 271-287.

8. Григорьян А.А. О размерности пространств гармонических функций // Матем. заметки. 1990. 48, № 5. 55-61.

9. Кондратьев В.А., Олейник О.А. О параболических по времени решениях параболических уравнений второго порядка во внешних областях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1985. № 4. 38-47.

10. Коньков А.А. О размерности пространства решений эллиптических систем в неограниченных областях // Матем. сб. 1993. 184, № 12. 23-52.

11. Коньков А.А. О пространстве решений эллиптических уравнений на римановых многообразиях // Диф-ференц. уравнения. 1995. 31, № 5. 805-813.

12. Кудрявцев Л.Д. Решение первой краевой задачи для самосопряженных эллиптических уравнений в случае неограниченных областей // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1967. 31, № 5. 1179-1199.

13. Мазья В.Г. Пространства С. Л. Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

Поступила в редакцию 23.11.2022