О гармонических функциях на римановых многообразиях с квазимодельными концами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №3(62).

УДК 517.95

175

О ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С КВАЗИМОДЕЛЬНЫМИ КОНЦАМИ

© 2008 С.А. Корольков, А.Г. Лосев]1 Е.А. Мазепа2

В работе рассматриваются гармонические функции на римановых многообразиях с квазимодельными концами. На основе спектральных свойств данных многообразий получены условия существования и единственности некоторых краевых задач, а также условия выполнения теорем типа Лиувилля.

Ключевые слова: риманово многообразие, квазимодельные концы, гармонические функции, спектральное свойство.

Введение и основные теоремы

Классическая формулировка теоремы Лиувилля утверждает, что всякая ограниченная гармоническая в К” функция является тождественной постоянной. В последнее время осуществляется следующий подход к теоремам типа Лиувилля. Пусть на римановом многообразии М задан класс функций А и эллиптический оператор Ь. Будем говорить, что на М выполнено обобщенное (А, Ь)-лиувиллево свойство, если пространство решений уравнения Ьи = 0, принадлежащих функциональному классу А, имеет конечную размерность. Оценки размерностей различных пространств решений эллиптических уравнений на некомпактных римановых многообразиях были получены в работах ряда математиков. Достаточно подробно об этой тематике написано, например, в обзоре А.А. Григорьяна [1]. Кроме того, во многих работах (см., например, [1-4]) рассматривался вопрос о разрешимости различных краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений на римановых многообразиях. Так, в [2] рассматривается вопрос разрешимости задачи Дирихле о восстановлении решения стационарного уравнения

1 Корольков Сергей Алексеевич (sergei.korolkov@rambler.ru), Лосев Александр Георгиевич (alexander.losev@volsu.ru), кафедра математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета, 400062, Россия, г. Волгоград, пр-т Университетский, 100.

2Мазепа Елена Алексеевна (lmazepa@rambler.ru), кафедра фундаментальной информатики и оптимального управления Волгоградского государственного университета, 400062, Россия, г. Волгоград, пр-т Университетский, 100.

Шредингера Lu = Au - c(x)u = 0 по граничным данным на ’’бесконечности”. При рассмотрении гармонических функций появляется возможность постановки краевых задач с условиями на потоки (см. [3]).

Ряд работ был посвящен изучению гармонических функций на многообразиях с концами. Пусть M — полное некомпактное риманово многообразие и B с M — компактное множество. Связную неограниченную компоненту D с M \ B такую, что dD — компакт, будем называть концом M по отношению к B (см., например, [1]). Различают концы параболического и гиперболического типа. Конец называется концом параболического типа, если его емкостный потенциал тождественно равен константе, и гиперболического типа в противном случае (определение см. ниже, также в [1]).

В работе [5] было доказано, что если многообразие M имеет m концов, то размерность пространства гармонических на M функций, ограниченных с одной стороны на каждом конце многообразия, не меньше, чем m. Там же было доказано, что если M имеет гиперболический тип, то размерность конуса неотрицательных гармонических на M функций также не меньше, чем m.

На многообразиях с регулярными концами А.А. Григорьяном [3] была доказана разрешимость некоторых краевых задач, содержащих условия на потоки, для положительных гармонических функций и были получены оценки размерности пространства ограниченных и конуса положительных гармонических функций. Здесь под регулярностью конца понимается выполнение неравенства Харнака для неотрицательных гармонических функций на соответствующем конце.

А.Г. Лосевым в работе [6] были получены условия выполнения теорем типа Лиувилля на многообразиях с модельными концами, а также даны точные оценки размерности пространства ограниченных и конуса положительных гармонических функций на таких многообразиях.

В данной работе рассматриваются гармонические функции на рима-новых многообразиях с квазимодельными концами D¡, т.е. каждый конец Di многообразия M изометричен прямому произведению [го, +œ) х S^X XS i2 X ... X Sik с метрикой

ds1 = dT2 + g2ñ(r)dQ2a + ... + g2k (r)dQ2k,

где Sij — компактные римановы многообразия без края, gij(r) — положительные гладкие на [го, +“) функции, dQi — метрика на Sij, k = k(i). В случае, когда некоторый конец Di изометричен прямому произведению [го, +“) X Si, где Si — компакт, конец Di называется модельным. Заметим, что в поведении решений эллиптических уравнений на многообразиях с квазимодельными и модельными концами есть отличия. Например, на многообразиях с модельными концами из выполнения теоремы Лиувилля для ограниченных гармонических функций следует выполнение теоремы Лиувилля для ограниченных решений уравнения Au - и = 0 (см. [7]). На произвольных

многообразиях с квазимодельными концами данное свойство не выполняется (см. [4]).

Пусть nij = dim Sij. Введем следующие обозначения:

*,(,) = s™«Л0--Ш.

gijW

Jij- ' s;,

ro

oo

/¿) f%iz)dz

ro ro

СЮ /

/¿)л- f“-1(z)dz

K;= .

s;(t) J J s.

ro ro

V t

dt,

где j = 1,...,k.

Введем понятие емкостного потенциала произвольного конца Di. Пусть [Bln}c^=i — гладкое исчерпание конца Di, т.е. последовательность предком-пактных открытых подмножеств конца Di с гладкими границами dBln таких, что dDi с дВ‘ю Bln \ dDi с В1п+1 для всех л и Д- \ dDi = U™=1В‘п. Пусть К)~1 — последовательность решений следующих задач Дирихле

Avn = 0 в B\,

vln = 1 на dBln \ Di,

vln = 0, на dDi.

Последовательность функций [vin}^=i в силу принципа максимума убывает. Кроме того, 0 ^ vln ^ 1 в Bin. Отсюда следует, что существует предельная функция vi(x) = lim vn(x), которая является гармонической и 0 ^ vi(x) ^ 1

n—— то

на Di. Функция vi(x) называется емкостным потенциалом конца Di.

Определение 1. Говорят, что конец Di многообразия M имеет параболический тип, если его емкостный потенциал тождественно равен нулю. В противном случае говорят, что конец Di имеет гиперболический тип.

Заметим, что конец Di имеет гиперболический тип тогда и только тогда, когда Ki < то (см., например, [2]).

Очевидно, что на каждом квазимодельном конце Di гиперболического типа выполнено в точности одно из следующих условий:

1) Ki < то, Jij = то для всех j = 1,...,k. В этом случае будем говорить, что конец Di имеет нестрого гиперболический тип.

2) Ki < то и существует номер s, 1 ^ s ^ k такой, что Jij < то для всех j ^ s и Jij = то при j > s. В этом случае будем говорить, что конец Di имеет строго гиперболический тип порядка (k, s).

Будем говорить, что конец параболического типа Di имеет строго параболический тип, если Nij = то для всех j = 1,...,k. В противном случае будем говорить, что конец Di имеет нестрого параболический тип.

Обозначим 0i = (0ц,..., Qik).

Введем понятие предела по концу многообразия.

Определение 2. Будем говорить, что функция Ф(0') является пределом функции u(x) по концу Di, и использовать обозначение limu(x) = Ф(0'), если

lim sup |u(r, 0') - Ф(0')| = 0.

r^“ S;iXS;2X...XS;i

Будем говорить, что предел функции u(x) по концу D' равен бесконечности lim u(x) = +то, (lim u(x) = -то), если

lim inf u(x) = +to (lim sup u(x) = -то).

r^“ Sil xSi2 X...XSik r^™ Sn XS '2 X...XS k

Определим поток гармонической функции по концу многообразия.

Определение 3. Потоком гармонической функции и по концу D' назовем число

flux и =

D¡

Г ди я '

J л"11'

dB‘nnD¡

где V — единичная внешняя нормаль к Bln, dyJ — элемент объема на дВ1п.

Заметим, что в силу формулы Грина определение потока не зависит от выбора Bin.

Обозначим через H(M) пространство гармонических на M функций, через H'(M), BH(M) и H+(M) — пространство гармонических на M функций, ограниченных с одной стороны на каждом конце многообразия M; пространство ограниченных гармонических на M функций и конус неотрицательных гармонических на M функций, соответственно.

Основные результаты работы содержатся в следующих утверждениях.

Теорема 1. Пусть M — многообразие с квазимодельными концами, имеющее l концов Di,...,Di параболического типа, m концов D/+i,...,Di+m нестрого гиперболического типа и p концов Di+m+i, ..., Di+m+p строго гиперболического типа порядков (ki, si), ..., (kp, sp), соответственно. Пусть m + p ^ 1. Тогда для любого набора (ai,...,ai, bi+i,...,b+m, Фl+m+l,...,Фl+m+p), где ai,...,ai, bi+i,..., bi+m — произвольные константы, а Ф; = Фí•(0í•l,..., 0;s¡) — непрерывные на S;i X ... X Sik функции, существует функция u е Н'(M) такая, что

flux u = ai, i = i,..., i;

Di

lim u = b;, i = i + i,..., i + m; (i)

lim u(r, 0') = Ф;(0;i, ..., 0;s¡), i = i + m + i,..., i + m + p.

При этом, если все концы параболического типа Di,...,Di имеют строго параболический тип, то данное решение краевой задачи (1) будет единственным в Н(M).

Заметим, что в [2] были найдены условия разрешимости краевой задачи, аналогичной (1), для ограниченных решений стационарного уравнения Шредингера, и, в частности, для обычных ограниченных гармонических функций без условий на концы параболического типа.

Теорема 2. Пусть M — многообразие с квазимодельными концами, имеющее l концов D\,...Di строго параболического типа, m концов Di+i,... Di+m нестрого гиперболического типа и не имеющее концов других типов. Тогда

dim ВН( M) = m, dim Н'( M) = l + m,

l + m, если m ^ 1,

dim M+( M) =. ,

1, если m = 0.

Заметим, что в случае, когда M имеет хотя бы один конец строго гиперболического типа, пространства BH(M), H'(M) и конус H+(M) являются бесконечномерными (см., например, [2]).

1. Гармонические функции на квазимодельных концах

В данной части работы рассматриваются гармонические функции на квазимодельных концах многообразия. Через Н+(Б-) обозначим конус неотрицательных ¿-гармонических на конце Б- функций. Через ВН(Б-) и Н'(Б-) обозначим пространство ограниченных и пространство ограниченных с одной стороны гармонических на Б- функций.

Переобозначим для фиксированного і объекты Б- через Б, у-(х), В-п, £,у(г), si(r), д-у(г), Б-у, I-, З-і, К-, И-у, 0-у, 0і, п-у соответственно через у(х), Вп, £у(г), s(r), ду(г), Б у, I, Зу, К, Иу, 0у, 0, пу.

Пусть {^-(0у)} — ортонормированный базис в ¿2(Б у) из собственных функций оператора -Ду (где Ду — оператор Лапласа—Бельтрами на Б у) и Хі — соответствующие собственные числа (0 = Х0 < ХІ ^ Х^ ^ ...), т.е. для всех І выполнено Ду^у(0 у) + xуwу (0 у) = 0, у = 1,..., к.

Пусть и є Н'(Б). Поступая, как и в [4], получаем, что для любого г ^ го справедливо следующее разложение:

u(r, 0) = 2І-І2 Vh...ik (r)w/1i(0i)

Ik=0 V Vi =0

wlk (0k),

(1.1)

где

V/i.,4(r) = J'... J' u(r, 0i,..., 0k)wkh(0k)d0k

...wii(0i)d0i.

(1.2)

51 5

Кроме того, функция У\х...\к(г) является решением следующего обыкновенного дифференциального уравнения:

d V/i-kfr)

dr2

Л g'j(r)

dVh..Jk(r)

dr

+

Дважды интегрируя равенство (1.3), получаем

^..4 (г) = ^ ]=1

г ¡г

Ч-/

\п

йг

+

Г йг

+5(г1)^1..4(п) J ^ + ^..лСп),

Г1

где г > Г1 ^ Го любые. Выпишем полученную формулу отдельно для Уо...о(г)

г

, Г йг

Уо...оО) = 5(п)У0 0(п) J — + Уо...о(п), (1-4)

г1

где Г > Г1 ^ Го любые.

Отметим, что уравнение (1.3) играет существенную роль при изучении поведения гармонических функций на квазимодельных концах. Свойства решений данного уравнения достаточно подробно описаны в работах [2,4, 6,7] и в приложении (см. ниже).

Обозначим через |5]| объем компакта Б], ] = 1,..., к. Заметим, что из ортонормированности базиса {^?(0])} в Ь2(5;) следует, что

wJо =

, ] = 1,..., к.

(1.5)

Пусть Щ = ....1к) — мультииндекс, Щ = ¡1 + ••• + 1к.

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1.1. Пусть и е Н'^) и D — конец нестрого гиперболического или строго параболического типа. Тогда существует конечный или бесконечный предел

Ага и

Нт и(г, 0) = ———

и К’ ’ |51|...|5*и я(0

г1

СО / ... / и(Г1, 0)й0к

Г йг 51 5

]~+

...й01

511...|5 к|

где Г1 ^ го — произвольное фиксированное число.

Доказательство. Не ограничивая общности, считаем, что функция и(г, 0) ограничена на D сверху константой N. Тогда функция f(г, 0) = N --и(г, 0) является гармонической и неотрицательной на D. Представим функцию и в виде (1.1). Из формулы (1.2) следует, что

УН..Лк(г) ^ ... JN - f(г, 0)]wkk(0к)й0к

51 5

В случае Щ = 0 в силу формулы (1.5) имеем

..^(00^01.

(1.6)

/-(/(г'

51 5

0)й0к

...¿01 = #7й^[Л^#7й^- Уо...о(г)]. (1.7)

г

В случае \l\ ^ 1, используя неотрицательность функции f на D, из (1.6) и (1.7) получаем существование таких констант Ci и C2, что

\Vii...it(r)\ < Ci + C2\Vo...ü(r)\. (1.8)

Заметим, что в случае, когда u е BH(D), из (1.2) и (1.5) сразу следует справедливость оценки (1.8) для Ci = 0 и некоторой константы C2.

Предположим, что \Vib..ik(г)\ ^ то при r ^ то. Учитывая неравенство (1.8), получаем, что \Vo...o(r)\ ^ то при r ^ то. Кроме того, из предложения 3.2 (см. приложение) получаем, что lim^^V^ ...ik(r)/Vo...o(r)] = то. Пришли к противоречию с (1.8). Отсюда, учитывая предложение 3.1 (см. приложение), получаем, что Нт,-^то Vi1...ik(r) = o при \l\ ^ 1. Из последнего, как и в [2], получаем, что ряд в правой части равенства (1.1) сходится равномерно на [ro, +то) х S1 X ... X Sk. Тогда, учитывая (1.5), получаем

rlim Vo...o(r)

lim и(г. В) = г~>” . (1.9)

D У|5 i|...|S k\

В случае, когда D имеет нестрого гиперболический тип, из предложения 3.1 (см. приложение) получаем, что Нт,-^то Vo...o(r) = const. Учитывая формулу (1.9), получаем, что в этом случае существует конечный предел lim u.

D

Если же D имеет строго параболический тип, из предложения 3.1 (см. Приложение) следует, что при r ^ то \Vo...o(r)\ ^ то, либо \Vo...o(r)\ ^ ^ const. Из формулы (1.9) следует, что в этом случае существует конечный либо бесконечный предел lim u.

Найдем lim u(r, 0). Заметим, что из определения потока flux и и формулы Грина следует, что

Г du Г Г du(r1,0)

fluxи(т, 0) = J — d\i = I ... I ———s(ri)dQk

ÖBnnD

\Sk

...d0b

где r1 ^ ro — произвольное число. Из последнего получаем, что

' du(r1, 0)

flux u(r, 0) = 5(п) я/ *

S1 Sk

-dQk

.d0b

откуда, учитывая (1.4), (1.2), (1.5) и (1.9), получаем требуемое.

Лемма доказана.

Следствие 1.1. Если D имеет строго параболический тип, то предел lim и = то тогда и только тогда, когда flux и Ф 0. Если же D имеет нестрого гиперболический тип, то lim и < то. В частности, если v(x) — емкостный потенциал конца D нестрого гиперболического типа, то lim v = 1.

Следующее утверждение доказано в [3].

S

Лемма 1.2. [3] Пусть П — предкомпактное открытое множество в М, граница дП которого состоит из непересекающихся компактных гиперповерхностей F1 и F2. Пусть и — гармоническая функция в П, непрерывная в П, причем ы\р1 ^ 0, ы\р2 > 0. Тогда

Г ди Гди

J ^ =-J т/" >0'

Fl F2

где V — единичная внутренняя нормаль.

Лемма 1.3. Если D — произвольный конец параболического типа и u(x) е BH(D), то flux u(x) = 0.

Доказательство Пусть и е BH(D). Не ограничивая общности, считаем, что u(x) > 0 на D. Тогда существует такая константа Ci > 0, что

0 ^ inf и(x) ^ sup и(x) < Ci.

D D

Поступаем, как и в [3]. Пусть vn(x), x е D — последовательность гармонических функций таких, что

vnlóD = 0> vn\dBnnD = 1

Тогда, в силу того, что конец D имеет параболический тип, последовательность {vn} убывает и сходится к нулю. Из последнего получаем, что

dvn

I

-da' —> 0 при п —> со, dv

ÓBjnD

т.е. fluxvn ^ 0 при n ^ю. Так как функции

fi = Civn - u, /2 = u + Ci(vn - 1)

отрицательны на dD и положительны на dBn П D, то в силу леммы 1.2 получаем, что

flux(C1 vn - u) > 0, flux[u + C1(vn - 1)] > 0.

D D

Из последнего следует, что

-C1 flux vn ^ flux u ^ C1 flux vn.

D D D

При n получаем, что flux u = 0, что и требовалось показать.

Лемма 1.4. Пусть D — конец параболического типа. Тогда для любых констант a, b существует функция u(x) є H'(D) такая, что

u( x)|dD = b, flux u( x) = a.

Доказательство. Пусть u(x) — неотрицательная неограниченная гармоническая на D функция, равная нулю на dD и такая, что lim u(x) = +то

(существование такой функции показано, в частности, в [8]). В силу леммы 1.2 flux u(x) > 0. Очевидно, что искомой функцией является

a

“W = 5------ттм(х) + Ь.

flux u(x)

D

Следующие утверждения доказаны в работе [2].

Лемма 1.5. [2] Пусть D — квазимодельный конец строго гиперболического типа порядка (k, s). Тогда для любых непрерывных ограниченных на S1 X ... X Sk функций х(0) и Ф(01,..., 0s) существует функция u е BH(D) такая, что

u(ro, 0) = х(0), lim u(x) = Ф(01,..., Ф.5).

Лемма 1.6. [2] Пусть D — квазимодельный конец нестрого гиперболического типа. Тогда для любой непрерывной ограниченной на S1 X ... X Sk функции х(0) и любой константы C существует функция и е BH(D) такая, что

u(ro, 0) = Х(0), lim u( x) = C.

2. Доказательство основных результатов

Доказательство теоремы 1. Построим на многообразии M функцию u е H'(M), являющуюся решением задачи (1).

Зафиксируем произвольным образом индекс i = 1,...,l+m+p. Для данного i построим на M функцию u,-(x) е H'(M) такую, что

flux Ui(x) = ai, если 1 ^ i ^ l,

lim Ui(x) = bi, если l + 1 ^ i ^ l + m, (2.1)

lim Ui(x) = Ф;, если l + m + 1 ^ i ^ l + m + p.

(2.2)

flux Ui(x) = 0, 1 < j < l, j * i, lim Ui(x) = 0, l + 1 ^ j ^ l + m + p, j * i.

Dj

Если 1 ^ i ^ s, то, не ограничивая общности, считаем, что ai ^ 0. Пусть u0(x) е H'(Di) — такая функция, что u0idD¿ = 0 и

flux u°(x) = ai, если 1 ^ i ^ l,

D¡ 1

lim u0(x) = bi если l + 1 ^ i ^ l + m, (2.3)

lim u0(x) = Ф; если l + m + 1 ^ i ^ l + m + p.

Существование такой функции u0 непосредственно следует из лемм 1.4—1.6.

Пусть [Bn}c^=l — гладкое исчерпание M, т.е. последовательность пред-компактных открытых подмножеств многообразия M с гладкими границами дВп таких, что Вп с Вп+\ и М = U™=íBn. Рассмотрим последовательность функций [фп}^=1, определенных в Bn и являющихся решением задачи

Дфп = 0 в Bn,

фпЬп = U0|dBn,

и

где

í u0(x) на Di,

Uo(Х) = j О на Dj, 1 к j к l + m + p, j Ф i.

Для доказательства существования предела lim ф„ поступаем, как и

n—— ГО

в [6]-

Обозначим через Gn(x, y) функцию Грина в Bn. Пусть фо — финитная функция, равная нулю в B и равная единице вне некоторой окрестности

B. Положим U = иофо, AU = f. Заметим, что suppf лежит в окрестности B. Рассмотрим последовательность функций yn = фп - U. Для них выполнено A^n = -f, VnidBn = О. Тогда

¥n(x) = J Gn( x, y) f(y)dy.

Bn

Так как M — многообразие гиперболического типа, то существует предел функций Грина Gn(x,y) (см. [1]). Из существования предела функций Грина следует существование предела последовательности (уп| и, соответственно, существование предела последовательности {фп}. Пусть

Ui = lim фп.

n—ro

В силу того, что Афп = О в Bn, мы получаем, что щ е H(M).

Докажем, что функция щ-(x) удовлетворяет условиям (2.1) и (2.2). Действительно, в силу непрерывности функции иО существует

Ui = min Ui, U2 = max щ.

dDi dD¡

Тогда Ui к UiidDi к U2 и при достаточно больших n

Ui - 1 к фniдDi к U2 + 1.

Пусть

A1 = min(0, U1 - 1}, A2 = max(0, U2 + 1}.

Очевидно, выполнено

A1 к Щ\dDi к A2 и A1 к Фп^ к A2.

Согласно леммам 1.4—1.6, на D¡ существуют функции u¡(x) е Н'(D¡) и щ(х) е H'(Di) такие, что

Ui(x)\dD¡ ^ Аи щ(х)\т > А2 (2.4)

и

flux и.(х) = Ilux Ti¡(x) = a¡ если 1 k i k I,

D¡ ~l D¡

lim м(.(х) = lim u¡(x) = b¡, если l + 1 k i k l + m, (2 5)

lim u¡(x) = lim T¡¡(.

Из (2.4) получаем, что

limíí.(i) = lim u;(x) = Ф,-, если l + m + 1 k i k l + m + p.

D¡ D¡

U¡\dDi k u°i\dDi k UildDi- (2.6)

Рассмотрим сначала случай 1 к i к l. Покажем, что

flux Ui = ai.

D¡

В силу (2.5) и (2.3) имеем

fluх(м,- - И?) = fluх(м,- — U-) = lluxf«;’ - и ) = 0.

Di Di Di

Учитывая формулу (2.6) и лемму 1.2, получаем, что

и. к к м; на D,-, и при достаточно больших n на Di П Bn имеем

j£i к фп к

Переходя к пределу при n ^ю, получаем

и. к и,- к м,- на D¡, (2.7)

откуда следует, что щ е H'(D). Так как щ — м(. = const (см. доказательство леммы 1.4), то из (2.7) получаем, что

О k Ui - И. к Щ — м(. = const.

Другими словами, щ — и(. е ВН(М), откуда, в силу леммы 1.3, следует, что

flux(M; - И.) = О,

Di ~1

следовательно

flux ui = ai.

Di ‘

Заметим, что, рассуждая аналогично, несложно показать, что потоки функции Ui(x) по остальным концам параболического типа равны нулю.

Покажем, что lim u,-(x) = 0 для j = l + 1............l + m + p. Положим an =

Dj

= max фп. Заметим, что последовательность an ^ a = const при n ^ то в B

силу того, что существует предельная для последовательности (фп| функция. Положим ф„ = — на Вп. Тогда получаем, что каждая функция ф„

an

удовлетворяет следующим условиям:

Aqpn = 0 на Bn,

1

- Ч>п\дВп = -Uo\dBn,

an

max ф n = 1,

B

откуда в силу принципа максимума и того, что uo = 0 на Dj, заключаем, что

0 к фn к 1 на Bn П Dj,

причем фn = 0 на dBn П Dj, max фn = 1. Отсюда следует, что

B

0 к pn к 1 - Vj на Bn П Dj, (2.8)

где Dj — произвольный конец гиперболического типа, Vj(x) — емкостный потенциал конца Dj. Из (2.8) и следствия 1.1 получаем, что

0 k lim u¡(x) = lim lim anrnn k a lim(1 - vj) = 0,

Dj Dj n^“ Dj

откуда следует требуемое.

Таким образом, мы показали выполнение условий (2.1) и (2.2) для построенной функции Ui(x) в случае 1 k i k l.

Рассмотрим теперь случай l + 1 k i k l + m + p. Как и в [2], несложно показать, что в этом случае на M существует функция щ(х) е ВН(M) такая, что

lim Ui(х) = bi, если l + 1 k i k l + m, lim Ui(x) = Ф;, если l + m + 1 k i < l + m + p,

и

lim Ui(x) = 0, l + 1 k j k l + m + p, j Ф i.

Dj

Учитывая лемму 1.3, заключаем, что

flux Ui(x) = 0, j = 1,..., l.

Dj

Таким образом, функция u;(x) (l+1 k i k l+m+p) удовлетворяет условиям (2.1) и (2.2).

Очевидно, что функция

l+m+p

U(x) = ^ Ui(x) i=1

является искомой.

Докажем вторую часть теоремы 1.

Пусть U1 е H(M) и U2 е Н(M) — две функции, удовлетворяющие условиям (1). Заметим, что т.к. все концы параболического типа имеют строго параболический тип, из леммы 1.1 и принципа максимума следует, что U1 е H'(M) и U2 е H'(M).

Рассмотрим функцию w = щ - U2 е Н'(M). Очевидно, что ее пределы по всем концам гиперболического типа многообразия M равны нулю. Также равны нулю ее потоки по всем концам параболического типа. Покажем, что w(x)= 0, откуда будет следовать единственность.

Пусть Di — конец параболического типа, т.е. 1 k i k l. В силу леммы 1.1 существует конечный предел lim w(x).

Поступаем, как и в [3]. Положим

ti = lim w(x), i = 1,..., l + m + p

и

t = min ti.

i=1,...,l+m+p

Так как пределы функции w(x) по всем концам гиперболического типа равны нулю, то tj = 0 для j = l + 1,l + m + p.

Предположим, что t < 0. Пусть I — набор индексов таких, что

lim w(x) = t.

D¡,ieI

Тогда существует такое е > 0, что

t < —е < t¡, i ^ I.

Рассмотрим функцию

y( x) = w(x) + е.

Заметим, что fluxy(x) = fluxw(x) = 0 для всех i = 1,...,l. Рассмотрим при

достаточно больших n область, ограниченную сечениями D¡(n) = D¡ П dBn,

i = 1,..., l + m + p. Тогда

y(x)Id¡ (n),iei < 0, y(x)|d¡(n)MI > 0, откуда из леммы 1.2 следует, что

— flux y(x) > 0,

ieI D

что противоречит условию fluxy(x) = 0 для всех i = 1,...,l.

Таким образом, предположение о том, что t < 0, не верно, откуда в силу принципа максимума функция w(x) неотрицательна на M. Аналогично можно показать, что

T = max ti k 0,

i=1,...,l+m+p

откуда функция w(x) неположительна на M. Отсюда заключаем, что w(x) =

0 на M.

Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2. Рассмотрим сначала случай, когда m ^ 1. Из теоремы 1 следует существование на M гармонических функций hD1,...hD¡,ZD/+1,...ÍDl+m таких, что

flux Hd■ = 1, flux Hd■ = lim Hd■ = 0

Di i Dj i Dp i

для всех i = 1,..., l, j = 1,..., l, j Ф i, p = l + 1,... l + m и

lim fD¡ = 1, lim fDi=flux ¡Di = 0

для всех i = l + 1,..., l + m, j = l + 1,... l + m, j Ф i, p = 1,..., l. Очевидно, что

данные функции являются линейно независимыми. Заметим, что в силу

принципа максимума и леммы 1.1, указанные функции неотрицательны на M и, кроме того, функции {/d¡}l+m+1 ограничены на M.

Оценим размерность пространства ВН(M). Покажем, что набор функций {¡d¡ }i+m+1 будет являться базисом пространства ограниченных гармонических на M функций.

Пусть f — произвольная ограниченная гармоническая на M функция. Тогда из леммы 1.1 следует, что на каждом конце Dl+i,...,Di+m существуют конечные пределы функции f. Пусть (¿i+i, ..., bi+m) — набор этих преде-

l+m

лов. Тогда функция f*= f - 2 bifDi имеет нулевые пределы по концам

i=l+i

гиперболического типа и нулевые потоки по концам параболического типа (в силу леммы 1.3). Как и в доказательстве теоремы 1, получаем, что

l+m

f* = 0 и, соответственно, f =2 bifDi’ откуда, в силу линейной независи-

i=l+i

мости набора {f^.til+z+i, следует, что dim ВН(M) = m.

Перейдем к доказательству оценки размерностей конуса H+(M) и пространства H'(M). Пусть f е H'(M). В силу леммы 1.1, существуют конечные пределы (bl+i ’...’ bl+m) функции f по всем концам гиперболического типа. Пусть («i’...’«l) — потоки функции f по концам параболического типа. Очевидно, что функция

r l l+m

f * = f - Yj aihDi + Yu bifDi

i=1 i=l+1

имеет нулевые потоки по всем концам параболического типа и нулевые пределы по всем концам гиперболического типа. Точно так же, как и выше, получаем, что в этом случае dim H'(M) = l + m.

Заметим, что в случае, когда f е H+(M), все числа ai’... al, bl+i’...’ bl+m являются неотрицательными, откуда, в силу неотрицательности и линейно независимости функций {f^}l=^+i и {Hdj}j=i, следует, что dim H+(M) = m + l.

Рассмотрим теперь случай m = 0, т.е. когда все концы многообразия имеют строго параболический тип.

Так как все концы имеют параболический тип, то и все многообразие M имеет параболический тип (см., например, [1]). Отсюда сразу получаем (см. [1]), что dimН+(M) = i.

Покажем, что dim H'(M) = l.

Заметим, что в работе [5] было доказано, что

dim M'(M) ^ l. (2.9)

Из оценки (2.9) получаем, что на M существуют линейно независимые,

не равные тождественно константам функции щ е Н'( M), i = i’...’ l - i. Так как функции щ не равны тождественно константам, то набор

{i’ ui’...’ ul-i} (2. i0)

будет линейно независимым. Покажем, что набор функций (2.10) будет яв-

ляться базисом пространства H'(M), откуда будет следовать утверждение теоремы 2.

Пусть {ai’a2’...’al_i} — потоки функции щ по концам Di’D2’...’Dl-i,

i = i’2’...’l-1. Заметим, что в силу формулы Грина наборы потоков функции щ по концам Di’...’Dl-i однозначно определяют поток функции щ по концу Dl.

Отметим также, что система векторов = й , al2,..., a1¿_j), i =

= 1,2,..., l - 1 является линейно независимой в силу линейной независимого

сти набора функций (2.10). Действительно, если, например, = £ п(-^(-,

i=2

где «i — некоторые константы, не равные одновременно нулю, то

1-1

flux uj =^ «i flux и,-, j = 1,2,..., l - 1. (2.11)

Dj i=2 Dj

Из (2.11) получаем, что функция

г-1

U = их - ^ «iUi i=2

имеет нулевые потоки по всем концам многообразия M. Тогда в силу леммы 1.1 и того, что все концы многообразия имеют строго параболический тип, существуют конечные пределы функции U по всем концам многообразия M. Отсюда U — ограниченная на многообразии M гармоническая функция. Так как M имеет параболический тип, то U = const, откуда

г-1

U1 = const + ^ nUi,

i=2

где не все ni равны нулю. Пришли к противоречию с линейной независимостью набора функций (2.10). Таким образом, система векторов {?¿}l=1 линейно независима.

Пусть U е Н'(M) — некоторая функция. Пусть п, Г2, ..., ri-1 — ее потоки по концам D1, D2, ..., Di-1.

Так как система векторов (Ш-=1 линейно независима, то существует единственное решение (С1, С2, ..., Q-1) системы

12 l- 1

Г1 = c a1 + С2а1 + ... + ci-1 a. ,

11 12 l1 1

Г2 = С1 а2 + С2й2 + ... + ci-1 а2 ,

1 2 l— 1

ri-1 = С1 а\_1 + С2й2-1 + ... + ci-1al-1,

т.е. существует единственный набор действительных чисел (С1, С2, ..., С1-1) такой, что

l-1

flux U = ^ сi flux u¿, для всех j = 1,2,..., l - 1. (2.12)

Dj i=1 Dj

Рассмотрим функцию

l-1

U = U — c¿u¿.

i=1

В силу формулы (2.12), как и выше, получаем, что

U = C = const,

откуда

1-1

і сіЩ. і=1

Таким образом мы доказали, что набор функций (2.10) является базисом пространства Н'(М).

Теорема 2 доказана.

Приложение

Приведем необходимые утверждения, касающиеся решений уравнения (1.3). Данные предложения доказываются теми же методами, что и аналогичные утверждения, приведенные в работах [2,4,6,7].

Будем использовать те же обозначения, что и выше.

Предложение 3.1. Пусть Vi1...ik(г) — решение уравнения (1.3). Тогда

(1) если K < œ и Ji = œ при фиксированном i = 1,...,k, li > 0, то либо lim^œ |Vi1...ik(г)| = œ, либо lim Vi1...ik(г) = 0;

r^œ

(2) если K = œ, то либо limr^œ |Vi1...ik(r)| = œ, либо lim Vu.l (г) = const.

r^œ

При этом, если Ni = œ при фиксированном i = 1,...,k, li > 0, то либо lim Vi1...ik(г) = 0, либо limr^œ |Vi1 ...ik(г)| = œ;

r^œ

(3) если K < œ, то limr^œ Vo...o(г) = const.

Предложение 3.2. Пусть Vi1 ...ik(г) — решение уравнения (1.3), причем limr^œ Vi1...ik = œ и li > 0 при фиксированном i = 1,...k. Предположим также, что выполнено хотя бы одно из следующих условий:

(1) K < œ и Ji = œ;

(2) K = œ и Ni = œ.

rpi V Vh..Jk(r)

1огда lim--------- = oo.

^œ Vo...o(г)

Литература

[1] Grigor‘yan, A. Analytic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds / A. Grigor‘yan // Bull. Amer. Math. Soc. - 1999. - V. 36. - P. 135-249.

[2] Лосев, А.Г. Ограниченные решения уравнения Шредингера на рима-новых произведениях / А.Г. Лосев, Е.А. Мазепа // Алгебра и анлиз. -2001. - Т. 13. - Вып. 1. - С. 84-110.

[3] Григорьян, А.А. О множестве положительных решений уравнения Ла-пласа-Бельтрами на римановых многообразиях специального вида / А.А. Григорьян // Изв. вузов. Матем. - 1987. - №2. - С. 30-37.

[4] Лосев, А.Г. О некоторых лиувиллевых теоремах на некомпактных римановых многообразиях / А.Г. Лосев // Сиб. мат. журн. - 1998. -Т. 39. - №1. - С. 84-90.

[5] Li, P. Harmonic functions and the structure of complete manifolds / P. Li,

L.F. Tam // J. Diff. Geom. - 1992. - V. 35. - P. 359-383.

[6] Лосев, А.Г. Некоторые лиувиллевы теоремы на римановых многообразиях специального вида / А.Г. Лосев // Изв. вузов. Матем. - 1991. -№12. - С. 15-24.

[7] Лосев, А.Г. О взаимосвязи некоторых лиувиллевых теорем на римановых многообразиях специального вида / А.Г. Лосев // Изв. вузов. Матем. - 1997. - №10. - С. 31-37.

[8] Nakai, M. On Evans potential / M.Nakai // Proc. Japan. Acad. - 1962. -

V. 38. - P. 624-629.

Поступила в редакцию 3/VI/2008; в окончательном варианте — 3/VI/2008.

ON HARMONIC FUNCTIONS ON RIEMANNIAN MANIFOLDS WITH QUASIMODEL ENDS

© 2008 S.A. Korolkov, A.G. Losev3 E.A. Mazepa4

In the paper harmonic functions on Riemannian manifolds with quasimodel ends are considered. Conditions of existence and uniqueness some boundary problems based on spectral properties of these manifolds and also conditions of Liuville type theorems are obtained.

Keywords: Riemannian manifold, quasimodel ends, harmonic function,

spectral property.

Paper received 3/VI/2008. Paper accepted 3/VI/2008.

3Korolkov Sergei Alekseevich (sergei.korolkov@rambler.ru), Losev Alexander Georgievich (alexander.losev@volsu.ru), Dept. of Mathematical Analysis and Theory of Functions, Volgograd State University, Volgograd, 400062, Russia.

4Mazepa Elena Alekseevna (lmazepa@rambler.ru), Dept. of Fundamental Computer Science and Optimal Control, Volgograd State University, Volgograd, 400062, Russia.