Ограниченные решения стационарного уравнения Шредингера на модельных многообразиях* Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА НА МОДЕЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ*

С.А. Корольков, А.Г. Лосев

В работе рассматриваются решения стационарного уравнения Шредин-гера на многообразиях, обобщающих сферически-симметричные. На основе спектральных свойств рассматриваемых многообразий получены точные оценки размерностей пространства ограниченных и конуса положительных решений стационарного уравнения Шредингера.

Введение и основные теоремы

Классическая формулировка теоремы Лиувилля утверждает, что всякая ограниченная гармоническая в Еп функция является тождественной постоянной. Хорошо известна справедливость следующих утверждений, носящих название теорем типа Лиувилля.

1. Если гармоническая функция и в Rn имеет конечный интеграл Дирихле, то и = const.

2. Если и G i/(Rn) является гармонической функцией и 1 < р < оо, то и = 0.

3. Если функция и — гармоническая в R" и удовлетворяет неравенству Щя)| < С(1 + |х|Г, то и — гармонический полином степени, не превышающей

т.

В последнее время осуществляется следующий подход к теоремам типа Лиувилля. Пусть на римановом многообразии М задан класс функций А и эллиптический оператор L. Будем говорить, что на М выполнено обобщенное [А, £)-лиувиллево о свойство, если пространство решений уравнения Lu = 0, принадлежащих функцио-нальному классу А, имеет конечную размерность. Теоремам лиувиллева типа посвя-S щено множество работ. Достаточно подробно об этой тематике написано в обзорах А.А. Григорьяна [2], В.М. Миклюкова [8], S.T. Yau [10]. и В данной работе в качестве эллиптического оператора L рассматривается ассо-

<: циированный с оператором Лапласа — Бельтрами А оператор Шредингера А — С. о Решения стационарного уравнения Шредингера в дальнейшем будем называть L-g гармоническими функциями.

§“ В работах многих математиков рассматривались решения эллиптических урав-

^ нений на так называемых многообразиях с концами (см., напр., [1]—[6]). Пусть М —

и ----------------------------------

© * Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект 03-01-00304).

полное некомпактное риманово многообразие и В С М — компактное множество. Связную неограниченную компоненту Е С М \ В такую, что дЕ — компакт, будем называть концом М по отношению к В. Если число концов М относительно некоторого компактного множества равномерно ограничено сверху целым числом, то говорят, что М имеет конечное число концов. В этом случае существует положительное Я и целое к > 1 такие, что если О — некоторая ограниченная область, содержащая В0(Я), то М\П имеет ровно к неограниченных компонент. Здесь В0(Я) — геодезический шар радиуса Я с центром в точке о £ М.

В данной работе рассматриваются многообразия с модельными концами. Пусть полное риманово многообразие М представимо в следующем виде: внешность некоторого компакта В в М состоит из т компонент связности Д,..., Д„, каждая из которых изометрична прямому произведению [го, +оо) х Si с метрикой

с1з2 = (1г2 + д>(г)с1в1

где — компактные римановы многообразия без края, д^г) — положительные гладкие на [г0, +оо) функции, (16? — метрика на 5*. Компоненты связности Д будем называть концами многообразия М по отношению к В.

Ранее А.Г, Лосевым [4] были даны точные оценки размерностей пространства ограниченных и конуса неотрицательных гармонических функций на указанных многообразиях. Кроме того, в работе [5] была доказана разрешимость задачи Дирихле для ограниченных Ь-гармонических функций.

В данной работе изучаются ограниченные и неотрицательные решения стационарного уравнения Шредингера

Ьи = Аи — с(х)и = О,

где с(х) — гладкая неотрицательная функция, причем с(х) = с* (г) на каждом конце Д многообразия.

Целью работы является оценка размерности конуса неотрицательных и пространства ограниченных решений стационарного уравнения Шредингера на многообразиях М с модельными концами. В дальнейшем через И£(М) и НВь(М) будем обозначать конус неотрицательных и пространство ограниченных .^-гармонических функций на М.

Будем говорить, что конец Д имеет ^-гиперболический (или £-непараболи-ческий) тип (см. [3]), если для некоторого г\ > го разрешима следующая краевая задача __

{Ьи0г= 0 наД\Б0(г1);

иП1 = 0 на дВ0{г\) П Д;

вир «£>, = 1.

Ог\В0{ П)

В противном случае будем говорить, что конец .Д имеет Ь-параболический тип. В случае если Д имеет Ь-гиперболический тип, функцию и^ будем называть Ь-потенциалом конца Д. Если Сг(г) = 0, то функция ио!, есть не что иное, как емкостный потенциал конца Д (см. [2]).

В дальнейшем будем считать, что с* (г) ф 0.

Замечание. Конец Д имеет L-гиперболический тип тогда и только тогда, когда

оо t

J dl~n(t) J Ci(09?~\0^dt < оо-

Го го

Доказательство легко получается из того, что функция

Г t

(Pi(r) = const j g\~n{t) J Ci{£)g”;~l{£)d£dt

го ro

является L-потенциалом конца Д. Введем обозначение

ОО

Го \г0

= _/V"W і J(аГМ) + )<«,

где п = dim М, г = 1,т.

Легко показать, что на каждом конце Д выполнено в точности одно из условий:

a) Ii < оо;

ОО I ОО \

(3) и = оо и / g]~n(t) І /сі(О0Г-1(О# )dt < го \г0 /

оо /г \

7) / gl~n{t) ( 1 rft = оо.

Го \Г0 J

Ясно, что если на конце Д выполнено условие а или /3, то он имеет L-гиперболический тип. В данной работе нам удобно ввести некоторое уточнение. Будем говорить, что конец Д имеет строго L-гиперболический тип, если на Д выполнено условие пункта а; если же на Д выполнены условия пункта /3, то мы будем говорить, что Д имеет слабо L-гиперболический тип.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть риманово многообразие М имеет I > 1 концов слабо L-гиперболического типа, s концов L-параболического типа и не имеет концов строго L-гиперболического типа. Пусть также функции Сі(г)д?(г), і = 1,2,..., s + l ограничены на [го, +оо). Тогда

dimHBi(M) = I.

Теорема 2. Пусть риманово многообразие М имеет I > 1 концов слабо L-гиперболического типа, s концов L-параболического типа и не имеет концов строго L-гиперболического типа. Пусть также функции Ci{r)g}{r), г = 1,2, ...,s + l ограничены на [го, +оо). Тогда

dim И +{М) = 1 + з.

Заметим, что если М имеет хотя бы один конец строго Ь-гиперболического типа Д, то (см. [5]) для любой непрерывной на 5г функции Ф(0,) существует ограниченная //-гармоническая функция и на многообразии М такая, что

Кт и{г,вг) =Ф{вг).

г->оо,(г,е,)еА

С другой стороны, если все концы многообразия М имеют ^-параболический тип, то (см., напр., [3]) всякая неотрицательная (ограниченная) Ь-гармоническая функция тождественно равна нулю.

1. Доказательство теоремы 1 и теоремы 2

Изучим сначала поведение //-гармонических функций на одном конце. Переобозначим для фиксированного і объекты Д, діг 5*, 9і, а(г) и соответственно через Д д, 5, в, с(г) и I.

В координатах (г, 9) на И оператор Ь = Д — с(г) имеет вид

<Э2 р!(т) д 1

Ь=дт^ + {П~ 1]ф)д^ + Т^)Ав “ С(Г)’ ^

где Ае — внутренний лапласиан на 6'. Формула (1) проверяется непосредственно по определению оператора Ь = Д — с(г) (см. [9, с. 357]).

Пусть {г^} — ортонормированный базис в Ь2(5) из собственных функций оператора —Де, а — соответствующие собственные числа (0 = А0 < Аі < А2 < ...). Тогда для любого г имеем:

00

и(г, 9)ьк(г)гик(9), (2)

А:=0

где

ук(г) = у1 и(г,в)тк(9)сЮ, Ави]к(9) + А кгюк(9) = 0.

5

Из (1) следует, что для любого индекса к функция ук(г) является решением уравнения

<(г) + (п- 1)|^у^(г) - [Акд~2(г) + с{г)]ьк{г) = О, (3)

которое в дальнейшем будем называть спектральным.

Свойства решений спектрального уравнения описаны в Приложении. Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть с(г)д2(г) — ограниченная на [г0,+оо) функция и О — некоторый конец многообразия М, имеющий слабо Ь-гиперболический тип. Тогда для любой неотрицательной (ограниченной) Ь-гармонической на О функции и(г,в) существует конечный предел

Ііт и(г,9),

і—>оо ,(г,0)ЄГ>

не зависящий от в.

Доказательство. Пусть и(г,9) — неотрицательная L-гармоническая на D функция. Представим ее по формуле (2). Заметим, что w0(9) = —т=, где |5| — объем

vl^l

компакта S.

В силу неотрицательности функции и(г, в) на D имеем

KOOI = I f u(r,9)wk(9)d9\ < supK(0)| [u(r, 9)d6 = sup\wk(9)\.

J ees J 0es

s s

Таким образом, |и*;(г)| < const ■ v0(r) при r > r0.

Из определения конца слабо L-гиперболического типа и предложения 1 (см. Приложение) следует, что limr_oo Vo (г) = const. Учитывая, что

\vk{r)\ < const • Vo (г) и применяя еще раз предложение 1, получаем, что при k > 1 выполнено lim^oo Vk(r) = 0.

Отсюда, так же как и в [6], получаем vkix)wk{9) = 0 и, соответ-

ственно,

/ / ч ОО \

ШИ ЩГ, (7 1 = ШХ1 —==

r-*oo,(r,9)eD г-+ 00 ^ ^/IjSI

fc=l

что и требовалось показать.

В случае когда и(г,в) — ограниченная L-гармоническая на D функция, из предложения 1 мы получаем, что lim^oo Vk(r) = 0. Далее доказательство аналогично.

Лемма 2. Пусть D — конец, имеющий L-параболический тип, с(г)д2(г) — ограниченная на [го, +оо) функция. Пусть также и(г,9) — неотрицательная L-гармоническая на D функция такая, что lim^oo и(г, 9) = +оо на D. Тогда для любой константы С существует L-гармоническая функция щ(г,9) на D такая, что

щ{г0,9) = С, lim щ (г, 9) = +оо

Г—►оо

и

lim (u(r, 9) — Их (г, 9)) = +оо.

1—►оо

Доказательство. Представим функцию и(г,9) на D по формуле (2).

В силу неотрицательности функции и(г,в), как и в лемме 1, на D имеем

К(г)| < const • Vo (г).

Если Vk(r) —► оо при г —► оо, то \imr-+oo(vk{r)/vo(r)) = оо (см. предложение 3 в Приложении). Отсюда, учитывая предложение 1 из Приложения, получаем, что при k > 1 выполнено limr—oo Ufc(r) = 0. Кроме ТОГО, В [6] доказано, ЧТО ряд Y^k=QVk{r)wk(^) сходится абсолютно и равномерно. Отсюда, учитывая, что Нтг_юо м(г, 9) = +оо, получаем, что limr_>00?;o(r) =+оо.

Обозначим решение уравнения (3) при к = 0 с начальными данными г;о(г0) = 1, /уо(Го) = 0 через 1(г). В силу предложения 2 (см. Приложение) 1(г) —> +оо при г —■> оо. По предложению 4 (см. Приложение) при к = 0 существует ограниченное решение уравнения (3) такое, что ^о(го) = 1- Обозначим его через га(г). В силу ограниченности т{г) по предложению 2 из Приложения получаем, что т(г0) < 0. Решения 1{г) и т(г) образуют базис пространства решений уравнения (3) и справедливо

щ(г) = аг1(г) + а2т(г),

где ах, а2 — некоторые константы.

Из условия Нт^оо Уо(г) — +сю мы получаем, что ах > 0.

Нетрудно проверить, что

“‘М) = Л ( 2'”(Г) + 2С2'^„Г1т°(Г))

является искомой функцией.

Для оценки размерности пространства ограниченных и конуса неотрицательных //-гармонических функций на М перейдем к построению базисных функций.

Лемма 3. Пусть О С М — конец, имеющий слабо Ь-гиперболический тип. Тогда существует единственная ограниченная на М Ь-гармоническая функция /п такая, что

(a) Ііт /о(г, ві) — 0 для всякого другого конца О' С М,

Г—♦00,(г,бг)Є-0/

(b) ІІЇЇ1 /я(гД) = 1.

Г—>00 ,(г,бг)еО

Доказательство. Как показано в [6], на М существует ограниченная //-гармоническая функция такая, что Ііт = 1 и Ііт /£>(?", #і) = 0

г—>оо,(г,ві)єО г—> оо,(г,0і)єГ>'

для всякого конца V слабо //-гиперболического типа.

Пусть ^ С М — концы //-параболического типа, і = 1, ...,з. Покажем, что

Ііт їо(г,в^= 0 Щ = 1,...,в,

г~*оо,(г,в^)еО^

откуда, в силу принципа максимума, будет следовать единственность функции /о на М.

Действительно, в силу ограниченности функции /о на М, ее можно представить в виде

/о(г,^) =

1

= + ук(г)Мвз) на И},

уР1 к=1

где Нт^оог^Дг) = 0 для всех к>1^ — (см. [6]). Из предложения 1 (см.

Приложение) и ограниченности функции /д на М следует существование пределов

Нт^оо гР0{г) = т^, ^ = 1, ....й. Тогда

ГГ) .

Ит /0.(г,^)= 3

г->оо ° \/[Щ

Пусть т = max -М=, a Dp (1 < р < s) — L-параболический конец, на

l<j<s,mj>0 yPj'l

котором

П ^АГА) = т-

г—>оо,(г,бр)е£)р

Предположим, что т ф 0. Тогда стандартными рассуждениями (см., напр., [3],

[4]) можно показать, что функция fD является нетривиальным L-потенциалом конца Dp, что противоречит его L-параболичности. Таким образом, т = 0и функция /р имеет нулевые пределы по всем концам многообразия М.

Лемма 3 доказана.

Лемма 4. Пусть М имеет хотя бы один конец слабо L-гиперболического типа. Пусть D С М — конец L-параболического типа. Тогда существует единственная (с точностью до умножения на константу) неотрицательная L-гармони-ческая функция ho на М такая, что:

(1) lim hr>(r, 9) = +оо;

г-оо,(г,0)60

(2) lim hD(r,9) = 0 для всякого конца D' С М слабо L-гипеаболичес-

г-оо ,(г,0)б£>'

кого типа;

(3) функция hD ограничена на M\D.

Доказательство. По доказанной выше лемме 2 на D существует L-гармоническая функция щ(г,9), удовлетворяющая условиям

м0(Пь 9) = 0, lim щ(г, 9) — +оо.

r,—*oo,(r,e)eD

Продолжим по непрерывности функцию и0(х) нулем всюду на M\D.

Рассмотрим последовательность функций, являющихся решением задачи

Г Lipk = 0 на Пк,

\ Рк\дПк — мо|эП*,

где {£^} — возрастающая последовательность предкомпактных подмножеств М, имеющих гладкие границы и исчерпывающих М, т. е. = М. Заметим, что в

силу принципа максимума, щ — неотрицательные функции.

Нетрудно показать (см., напр., [7]), что существует предельная функция ho = limfc_oo^fc, причем Lho = 0 на М и функция hp неотрицательна на М.

Покажем, что lim hr>{r,9) — оо.

г—>оо,(г,0)е£>

Пусть U\ = ттк£)(го,в), т. е. U\ < ho\dB■ Тогда для достаточно больших к

OSS

U\ — l< <Рк\эв-

Положим А = min{0, U\ — 1}. Из леммы 2 следует существование на D L-гармони-ческой функции щ(г,9) такой, что

и\(г0,9) = A, lim mi (г, 9) = оо, lim (uQ(r, 9) — щ(г, 9)) — оо.

Т—‘■ОО г—* оо

Из принципа максимума следует, что щ — щ > 0 на В, т. е.

и\(г,0) < щ(г,в) на /).

Тогда для достаточно больших к будет выполнено

щ(г, в) < <рк(г, 9) на Пк \ В.

Переходя к пределу при к —> оо, получаем

г^1 (г, 9) < }го(г,6) на £>.

Отсюда, учитывая, что щ(г, 9) = оо, получаем требуемое.

Стандартными рассуждениями (см. [6]) можно показать, что построенная функция будет ограничена на других концах //-параболического типа, а ее пределы по концам слабо Ь-гиперболического типа будут равны нулю.

Таким образом, искомая функция построена. Покажем, что она будет единственной (с точностью до умножения на константу).

Предположим, что существуют две неотрицательные //-гармонические функции к1п и Ь?в, пределы которых по концам слабо //-гиперболического типа равны нулю, пределы по концу /} равны бесконечности и на М\И эти функции являются ограниченными.

Учитывая (2), можем записать

0) = Vk(r)Wk(e) Н3 А

к=О

e)=Yl Vk(r)Wk(e) На А

к=О

vlk = J hlD{r, 9)wk(9), i = 1,2.

5

Как и выше, для всех к > 1 linv^oo^r) = 0, г = 1,2 и ряды YlkLi vk{r)wk{9),

г

1,2 сходятся абсолютно и равномерно. Тогда

lim /iV>(r, 9) = —т= lim иг0(г) на D, і = 1, 2.

г-кх, Vl^l Г

г—+оо

Заметим, что как и в доказательстве леммы 2, существует такая константа а, что функция

Mr) = vo(r) vo(r)

имеет конечный предел при г —> оо:

lim t)o(r) = const.

т—►СЮ

Рассмотрим функцию

И —

Очевидно, что пределы функции к по концам слабо /-гиперболического типа равны нулю и функция Н является ограниченной на всем многообразии М. Тогда, в силу принципа максимума (как и в доказательстве леммы 3),

И = 0 на М,

откуда

= аЬ}в{г,в).

То есть окончательно получаем, что функция /&£) является единственной с точностью до умножения на константу.

Лемма 4 полностью доказана.

Замечание. При доказательстве леммы 4 нами было показано, что для любой неотрицательной //-гармонической на М функции и(х) такой, что

Нт и(г,в) = +оо, где /? имеет //-параболический тип,

г—»оо,(г,0)б£>

существует константа Ь такая, что функция и-Ь-Но является ограниченной на /).

Таким образом, для произвольного многообразия М, имеющего I > 1 концов слабо //-гиперболического типа Д, Д,Д, в концов //-параболического типа Д+1, Д+2, Д-н и не имеющего концов строго //-гиперболического типа, мы можем построить набор неотрицательных /-гармонических функций

/©1 ) 1 ''' 1 Л?;) 1 ) ^£>(+2 > " ‘'

Очевидно, что построенные функции являются линейно независимыми на М. Перейдем к доказательству теоремы 1. Для этого покажем, что набор {/о*}*=1 будет являться базисом пространства ограниченных /-гармонических функций на М.

Пусть / - произвольная ограниченная /-гармоническая на М функция. Тогда из леммы 1 следует, что на каждом конце Д, Д,..., Д слабо /-гиперболического типа существуют конечные пределы функции /, не зависящие ОТ 9г- Пусть (а1, а2,щ) — набор этих пределов. Тогда функция

I

Г = /-5>/£>,

1=1

имеет нулевые пределы по концам слабо /-гиперболического типа. Так же как и при доказательстве леммы 3, мы получаем, что пределы функции /* по концам /-параболического типа равны нулю. Отсюда получаем, что /* = 0 и, соответственно,

I

/ =

г=1

что доказывает теорему 1.

Перейдем к доказательству теоремы 2.

Пусть теперь / — неограниченная неотрицательная на М //-гармоническая функция. Так же как и выше, существуют пределы (аг,а^) функции / по всем концам слабо //-гиперболического типа. Тогда функция

I

Г / У>,Л,

г=1

имеет нулевые пределы по концам слабо //-гиперболического типа. Из замечания к лемме 4 следует, что можно подобрать такие константы 61,621 •••Ж, что функция

^'=1

будет ограниченной на М, а ее пределы по концам слабо /^-гиперболического типа будут по-прежнему равны нулю (в силу равенства нулю пределов функций , у = 1,2, ...,5 по таким концам). Тогда, как и выше, заключаем, что

/ = о.

Отсюда

/ - + ]Гб;/гр(+.,

І=1 3=і

что и требовалось доказать.

Таким образом, теорема 2 доказана.

2. Приложение

В ряде работ решения спектрального уравнения (3) исследовались достаточно подробно. Приведем необходимые утверждения, касающиеся решений данного уравнения, доказательства которых можно найти в работах [6, 7].

Предложение 1. Пусть I — оо. Если Ук{г) — решение уравнения (3), тогда:

(a) при к > 1 выполнено в точности одно из условий: либо Нт^оо г^(г) = 0, либо \Ук(г)\ —> оо при г —► оо;

(b) если Цд^{Ь) (£ос(£)0п_1(О#)<Й = оо, то существует такая константа т, что выполнено в точности одно из условий: |уо(г)| > 00 пРи г —* оо,

либо Нтг^оо ь0(г) — т;

(c) если дх~п(1) (1г0 с(Одп^ (0^) ^ < оо, то всегда существует такая константа т, что Нт,.-^ Уо(г) = т.

Предложение 2. Пусть I — оо. Если Vk(r), к > 1 — решение уравнения (3) такое, что при каком-то гх > г0 выполнено ?4(ri)wfc(ri) > 0, причем v'k{ri) и vk{ri) не равны нулю одновременно, то |г;^(г)) —> оо при г —* оо. Если для какого-то Г\ > го v'k(ri) = vk{f\) = 0, то vk(r) = 0. Аналогичное свойство выполнено и для решения

Vq(г) в случае, когда gl~n{t) (Д c(C)pn_1(0^) dt = °°-

Предложение 3. Пусть I = оо, c(r)g2(r) — ограниченная на [г0, +оо) функция, а v\x и v\2 — решения уравнения (3), причем Л2 > Ai > 0 и НгПг^оо v\2 — оо. Тогда

г-+оо (г)

Предложение 4. Если I — оо, то для любого к > 0 и для любого числа с существует, по крайней мере одно, ограниченное решение тк(г) уравнения (3) такое,

что т'к(г0) = с.

Summary

BOUNDED SOLUTIONS OF THE STATIONARY SHRODINGER EQUATION

ON THE MODEL MANIFOLDS

5.Л. Korolkov, A.G. Losev

In this paper we consider solutions of the stationary Shrodinger equation on the non-compact Riemannian manifolds which is the generalized spherically symmetric manifolds. By the spectral properties of such manifolds the exact estimations of the dimension of the space of bounded and the cone of non-negative solutions of the stationary Shrodinger equation were obtained.

Список литературы

1. Григорьян А.А. О множестве положительных решений уравнения Лапласа — Бельтрами на римановых многообразиях специального вида // Изв. вузов. Ма-тем. 1987. № 2. С. 30-37.

2. Grigor’yan A. Analitic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds // Bull. Amer. Math. Soc. 1999. V. 36. P. 135-249.

3. Kim S.W., Lee Y.H. Generalized Liouville property for Shrodinger operator on Riemannian manifolds // Math. Z. 238 (2001). P. 355-287.

4. Лосев А.Г. Некоторые лиувиллевы теоремы на римановых многообразиях специального вида // Изв. вузов. Матем. 1991. № 12. С. 15-24.

5. Лосев А.Г., Мазепа Е.А. Ограниченные решения уравнения Шредингера на

некомпактных римановых многообразиях специального вида // ДАН. 1999.

Т. 367. № 2. С. 166-167.

6. Лосев А.Г., Мазепа Е.А. О поведении ограниченных решений уравнения

Шредингера на некомпактных римановых многообразиях // Вестник ВолГУ.

Сер. 1, Математика. Физика. Вып. 3. 1998. С. 32-43.

7. Лосев А.Г., Чебаненко В.Ю. Решения стационарного уравнения Шредингера предписанного роста на модельных римановых многообразиях // Вестник ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. Вып. 8. 2003-2004. С. 62-72.

8. Миклюков В.М. Некоторые признаки параболичности и гиперболичности граничных множеств поверхностей // Изв. РАН. Сер. Матем. 1996. Т. 60. № 4. С. 111-158.

9. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990.

10. Yau S.T. Nonlinear analysis in geometry // L’Enseigenement Mathematique. 1987. V. 33. P. 109-158.