Решения стационарного уравнения Шредингера на многообразиях с квазимодельными концами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА НА МНОГООБРАЗИЯХ С КВАЗИМОДЕЛЬНЫМИ КОНЦАМИ

© 2009 г. С.А. Корольков, А.Г. Лосев

Волгоградский государственный университет, 400062, Волгоград, пр. Университетский, 100, ob. otdel@volsu. ru

Volgograd State University, 400062, Volgograd, Universitetskiy Ave, 100, ob. otdel@volsu. r

Рассматриваются решения стационарного уравнения Шредингера на римановых многообразиях с концами специального вида. На основе спектральных свойств данных многообразий получены точные оценки размерностей различных пространств исследуемых решений.

Ключевые слова: теоремы типа Лиувилля, решения стационарного уравнения Шредингера, квазимодельные многообразия.

In this work we consider solutions of the stationary Schrodinger equation on Riemannian manifolds with ends of special type. Exact dimensions' estimates of some solutions' spaces are got by the spectral property of these manifolds.

Keywords: Liouville-type theorems, solutions of stationary Shrodinger equation, quasimodel manifolds.

В работе изучается поведение решений стационарного уравнения Шредингера

Ьи = Аи - с(х)и = О (1)

на римановых многообразиях M с конечным числом концов специального вида. Здесь с(х) - гладкая неотрицательная функция. Всюду в дальнейшем решения уравнения (1) будем называть Ь-гармоническими функциями. Целью работы является оценка размерностей некоторых пространств L-гармонических функций на рассматриваемых многообразиях.

Отметим, что оценки размерностей различных пространств решений эллиптических уравнений на некомпактных римановых многообразиях были получены в работах ряда математиков. Достаточно подробный обзор данной тематики приведен, например, в [1].

В работе рассматриваются многообразия М ,

р

представимые в виде М = В и { и А } > гДе В - некого

торый предкомпакт; - связные неограниченные компоненты, каждая из которых изометрична прямому произведению [г0,-к») х... х с метрикой

ds2 =dr2 + X . Здесь - компактные

М

римановы многообразия без края; (г) - положи-

о

тельные гладкие на [г0 ,-юо) функции; сЮч - метрика на Б у . Многообразия М будем называть многообразиями с квазимодельными концами Вр. В случае, когда некоторый конец изометричен прямому произведению [г0,-нх))х5', где 5" - компакт, конец называется модельным. Заметим, что в поведении решений эллиптических уравнений на многообразиях с квазимодельными и модельными концами есть отличия. Например, на многообразиях с модельными концами из выполнения теоремы Лиувилля для огра-

ниченных гармонических функций следует выполнение теоремы Лиувилля для ограниченных решений уравнения Lu=Au-qu = 0, где q = const>0 [2]. На произвольных многообразиях с квазимодельными концами данное свойство не выполняется [3].

Будем рассматривать пространства BHL (M),

Я'А (М) и конус IIJ(M), где BHL(M) - пространство ограниченных L-гармонических на M функций; HL (M) - пространство L-гармонических на M функций, ограниченных с одной стороны на каждом конце многообразия М ; Я^(М) - конус неотрицательных L-гармонических на M функций.

Всюду далее будем предполагать, что в (1) с(х) - ci (г) на каждом конце I), многообразия, причем ct(r)gtj(r) - ограниченные на функции, i = l j = l,...,k.

Пусть «у = dim Slf. Введем обозначения:

Si (0

g.jit)

1

1

Si (t) (,

Si (t)

dt

Si (t)

ft ^ J c(z)si (z)dz

Vo

A

dt;

\4ij (z)dz

r0

dt:

1

Si (t)

jqtj(z)dz dt, j = \,...,k.

V? У

Очевидно, что на каждом конце выполнено в точности одно из следующих условий:

а) < оо и существует у , 1 < / < к . такое, что

3 а <00;

Р) < оо, ,/г = со для всех/ = 1

у) 11 =оо и Ыг] =оо для всех ]'= \ ,...,к;

8) /, = х и существует у , 1 <] <к, такое, что ЛГу<оо.

Будем называть конец /), концом типа а ((3, у, 8 соответственно), если на нем выполнены условия пункта а ф, у, 5 соответственно).

В работе получены следующие оценки размерностей пространств ВНЬ (М), Н(М) и конуса

Н+Ь{М).

Теорема 1. Пусть М - многообразие с квазимодельными концами, имеющее / концов типа Р, т концов типа у и не имеющее концов других типов. Тогда с1ш1 ВНЬ (М) = I, йтН1(М) = йтН'ь(М) = т+1.

Замечание 1. В [4] показано, что в случае, когда М имеет хотя бы один конец типа а, пространства

ПН/ (М). Н'г (М) и конус Я£(М) являются бесконечномерными.

Замечание 2. В условии теоремы 1 допускается случай, когда 1 = О, т.е. когда многообразие М не имеет концов Ь-гиперболического типа.

Ь-гармонические функции на квазимодельных концах

Обозначим через (I),) конус неотрицательных Ь-гармонических на конце функций, через

ВНЬ (В) и И' ^ В) - пространства ограниченных и ограниченных с одной стороны Ь-гармонических на В функций соответственно.

Всюду в дальнейшем будем считать, что -

гладкое исчерпание конца В, т.е. последовательность предкомпактных открытых подмножеств конца с гладкими границами дВ1, , таких, что

Bl^B

к+1 =

dD, с дВ'к

для

всех

k

Dj\dDj =U"=iB'k. Пусть {uk} - решение следующей задачи Дирихле в Bl, к = 1,2,...

Ьик - 0,

ик = 1 ик= 0

Замечание 3. Квазимодельный конец Di имеет L-гиперболический тип тогда и только тогда, когда I, <оо [4].

Переобозначим для фиксированного i Dj через D , объекты B'k, gj {г), Sj (г), q^ (г), Sj, Ij , J j, Kj,

Ntj, 6tj, с, (r), rtjj соответственно через Bk , gj (r), s(r) , q} (r) , S J, I , J J, К , Nj , e} , c(r) , rij .

Определение 1. Будем говорить, что число b является пределом функции u(x) по концу D и использовать обозначение lim и(х) - Ъ , если для некоторого

D

исчерпания ! И¡.:! J:_\ конца D вьшолнено равенство lim sup |м(х) - = 0. Будем говорить, что предел

функции u(x) по концу D равен бесконечности и Ити(Х) =+оо (limM(x) =-со), если lim inf и(х) = +со

D

D

k^aoD\Bt

( lim sup u(x) = -oo).

<vD\Bk

Заметим, что данное определение предела не зависит от выбора исчерпания ! 1>/.: I [6].

Пусть {wj (ßj) I ¡~-(] - ортонормированный базис в L (Sj) из собственных функций оператора -Ау (где A j - оператор Лапласа-Бельтрами на S j) и Я/ -соответствующие собственные числа (0 = < Ц < Л]2<... ).

Обозначим О = (в\.....в/. ). Пусть и еЯ'£ (I)).

Поступая, как и в [4], получаем, что для любого г справедливо следующее разложение:

„ ( г \ \

и(г, в) = £ lk=1

где

I U=i А ) )

<№), (2)

Vh..lk (r)= i...

Si

j u(r,e)wf &k)dek

о к

...wj (el)del . (3)

на dB'k \dDt, на dDi.

Последовательность функций {uk } в силу принципа максимума убывает и ограничена снизу нулем. Тогда существует предельная функция пц (х) = lim щ(х),

' к—>со

которая является L-гармонической и 0 < и/ л (х) < 1. Функцию ud называют L-гармонической мерой конца Dг [5].

Говорят, что конец Dt имеет L-гиперболический тип, если его L-гармоническая мера не равна тождественно нулю. В противном случае будем говорить, что конец Dj имеет L-параболический тип [5].

Заметим, что функция V ^ (г) является решением следующего обыкновенного дифференциального уравнения:

d\...ik(r) 2

dr

k

J=igi(r)

I n

g'jir)

l J gj(r)

dVk...lk(r)

dr

-c(r)

(4)

\..ik(r)= 0.

Свойства решений уравнения (4) достаточно подробно описаны в приложении (см. ниже) и в [2-4, 7, 8].

Обозначим через | Sj | объем компакта S j, У = 1 ,...,к. Заметим, что из ортонормированности базиса {wJj{вj)} в следует, что

и

k

k

ш

7= \,...,к.

(5)

Пусть / = (/j.. ,lk) - мультииндекс, \l\ = l\ + ... + /£.

Справедливо следующее утверждение. Лемма 1. Если D - конец типа ß, то для любой функции и с Н'I (D) существует конечный предел

lim и . Если I) - конец типа у, то для любой функции

D

и с Н'I (D) существует конечный или бесконечный

предел lim u .

D

Доказательство. Пусть вначале и е Н'L (D) и и i. BHL (/У). Не умаляя общности, считаем, что функция u ограничена сверху на D неотрицательной константой N. Покажем, что на D существует неотрицательная ограниченная L-гармоническая функция и, такая, что и(г0,в)> N. Рассмотрим последовательность функций {tpk }, являющихся решением задачи L<pk= 0 iä Bk,cpk =N + \ ik дВк, где, как и ранее, {Bk} - гладкое исчерпание конца D . В силу принципа максимума последовательность {cpk} ограничена, монотонно убывает и сходится к искомой

ТТ+ ,

функции и , / = ^ -и^ (£>). Представим функцию и в виде (2). Из (3) следует, что Ук...1к{г) =

Y

í <¡-f(r,e)y¡ (ek)dek

Lk

\Sk

...w¡ {ß^de^

(6)

В случае |/| = 0 в силу формулы (5) имеем

...dd^-

( \ Í \

¡f(r,0)dek ..Яву = J... \и{г,в)с iok

Si KSk J Si \Sk У

-#14^0...0(г). (7)

В случае |/| > 1, используя положительность функций f и u на D , а также ограниченность u на D , из (6) и (7) получаем существование таких констант C и C2, что

\Vh...lk (r)|< C1 + C2|Vo.^o(r)|. (8)

Заметим, что в случае, когда и е ВНL (D), из (3) и (5) сразу следует справедливость оценки (8) для С| 0 и некоторой константы С2 .

Предположим, что | V ik (r)| —» °о при r —> оо .

Учитывая оценку (8), получаем, что |l () () (г)| —* х при г —> со . Из предложения 3 (см. приложение) следует, что lim (V/ i (г) / V(j о (г)) = со. Пришли к

г-*» 1"'к

противоречию с (8). Отсюда, учитывая предложение 2 (см. приложение), получаем, что lim К/ / (г ) - О

г-» оо 1"'к

при |/| > X. Из последнего, как и в [4], получаем, что ряд (2) для функции u(r,ß) сходится равномерно на [г0 ,+со) х ,S'| /... / S/(. откуда, учитывая (5), получаем

lim и (г, в) =

D

lim^«, V0 0 (г)

■ \Su

(9)

В случае, когда D имеет тип ß, из предложения 2 (приложение) следует, что limr^.ooF0 0(г) = const. Учитывая (9), получаем, что в этом случае существует

конечный предел lim u .

D

Если же D имеет тип у, из предложения 2 (см. приложение) следует, что при г —> со |(0 0(г)| >х

либо \V0 о (г)| —> const. Учитывая (9), получаем требуемое. Лемма доказана.

Следствие 1. Пусть многообразие М имеет т концов типа у и не имеет концов типа а и 8. Предположим, что / е ПН/ (М) и пределы функции / по всем концам типа ß равны нулю. Тогда /' = 0 на М .

Замечание 4. Если M не содержит концов L-параболического типа, то утверждение следствия 1 сразу следует из принципа максимума.

Доказательство. Пусть Dj7 i = \...,m - концы типа у. Представляя функцию / по формуле (2), а затем используя доказанную выше лемму и принцип максимума, несложно показать, что lim /(г, в) = О

А

для всех i = \...,т. Из последнего, в силу принципа максимума, следует требуемое.

Лемма 2. Пусть D - конец, имеющий тип у. Тогда для любой константы С существует L-гармоническая на D функция и(г,в), такая, что и(г0,#) = С и

lim u{r,ff) = +со. D

Доказательство. Построим искомую функцию u . Обозначим решение уравнения (4) при |/| = 0 с начальными данными V0 0(r0) = l, F'o...o Оо) = 0 через l(r). В силу предложения 1 (см. приложение) 1(г) —> +оо при г —> со . Из предложения 4 (см. приложение) следует, что при |/| _ о существует ограниченное решение уравнения (4), такое, что F'o...o (го) = 1- Обозначим его через т(г). Нетрудно

проверить, что и{г) = 1{г) +

С-1 т(г0)

m(r) является ис-

комой функцией.

Лемма 3. Пусть I) - конец, имеющий тип у. Пусть также иу, (£>), причем 1т|м2(г,6>)| = +оо.

Тогда существует такая константа Ъ, что функция щ -Ъи2 еВНь(0).

Доказательство. Представим функции Ыд(г,в), ^ = 1,2, на В по формуле (2). Как и в доказательстве леммы 1, на D имеем

lim К* о (г)

q = 1,2.

(10)

Рассмотрим решения 1(г) и m(r) уравнения (4) (см. доказательство леммы 2). В силу ограниченности

1

S

m(r) из предложения 1 (см. приложение) получаем, что от(г0) < 0 . Тогда решения /(г) и т(г) образуют базис пространства решений уравнения (4) при |/| = О и справедливо

V{¡ 0 (г) = a\l(r) + a\m(r), q = 1,2, (11)

где a}, aj2, a 2, a2 - некоторые константы. Заметим,

что так как lim | м2 |= +°о, то из (10) и (11) следует, что

D

2 1/2 a} Ф 0. Очевидно, что при Ъ = a} / a j функция

щ -bu2 е BHL (D). Лемма 3 доказана.

L-гармонические функции на многообразиях с квазимодельными концами

Пусть D¡ - некоторый конец L-гиперболического

типа. Заметим [5], что в этом случае существует * i и D е Н / (Dj) такая, что

i и D = 1 на dDi,

|inf и * =0.

I А '

Кроме того, если I), имеет тип ß, то в силу леммы

*

1 и принципа максимума lim и г, = 0.

Di '

Всюду далее будем рассматривать многообразия, которые не имеют концов типа а и 5. Для оценки размерностей пространств BHL (M), H'L (M) и конуса

Hi (М) перейдем к построению базисных функций.

Лемма 4. Пусть ВсМ - конец типа ß. Тогда существует единственная неотрицательная ограниченная L-гармоническая на M функция f d , такая, что

lim /м(г.0) = \: lim fD{r,ff) = 0 для всякого другого

D D'

конца /)' типа ß; существуют конечные пределы функции fD по всем концам типа у.

Доказательство. Как и в [4], на M существует единственная неотрицательная ограниченная L-гармоническая функция fD , такая, что

lim fD(r,ff) = 1 и lim fD(r,ff) = 0 для всякого другого

D П

конца D' типа ß. Существование конечных пределов функции по всем концам типа у следует из ограниченности функции fD на M и леммы 1. Лемма 4 доказана.

Лемма 5. Пусть ВсМ - конец типа у. Тогда существует единственная (с точностью до умножения на константу) неотрицательная L-гармоническая на

М функция А л, такая, что: a) \\mhD(r, 0) = +<х>; Ь)

D

limhD (г, в) = 0 для всякого конца 1У типа ß (если

п

М содержит хотя бы один конец типа ß); с) функция hd ограничена на M \ D.

Доказательство. Из леммы 2 следует, что на D существует L-гармоническая функция и() (г. О) такая, что

ii(j(r(j.O) - 0. limii(i(г,в) - +со. Продолжим по непре-

D

рывности функцию u0 (х) нулем всюду на M \ D.

Рассмотрим последовательность функций, являющихся решением задачи на В,

\L<pk= 0

\<Pk = ио

на

5B„

где {Вк \к 1 - гладкое исчерпание М, т.е. последовательность предкомпактных открытых подмножеств многообразия М с гладкими границами дВк , таких,

что Вк сЙ4+1 для всех к и М =

Докажем сначала, что последовательность (рк равномерно ограничена на дГ). Предположим противное. Тогда существует подпоследовательность

>оо. Пола-

(рк , такая, что ак = max <рк —»со при i dD

(Du

гаем к,■ = к и Фк = — на Вк . Тогда

ак

Ф*= —

Ф^ 0 ma^ = 1.

dD k

на на

dBkr\D,

dBk \ D,

Применяя принцип максимума для функции Ф/- -— сначала на Вк \£>, а затем на И/. п£>, по-

>к~ ак

лучаем, что

0<Ф^ <1

на B

'к

ак

Из последнего следует, что ¡Ф/; локально равномерно ограничена на М. Тогда существует подпоследовательность последовательности ¡Фк j. сходящаяся равномерно к некоторой предельной функции Ф на любом компактном подмножестве многообразия М, причем ЬФ = 0 на Ми 0 < Ф < 1 на М. Заметим также, что выбирая подходящим образом подпоследовательность последовательности [Ф^. j.

можно считать, что тахФ = 1. Пришли к противоре-

8D

чию с принципом максимума.

Таким образом, предположение о том, что

ак = max<рк —»со при г—»со не верно, откуда сле-

5D

дует, что последовательность (рк равномерно ограничена на dD. Из последнего получаем локальную равномерную ограниченность последовательности {(рк -м0} на М, откуда следует, что существует hD = lim (рк .

к—ух,

Положим а - sup к ак. где, как и ранее,

ак - max г/);.. Применяя принцип максимума для

8D

функции (рк —Uq

на

Вк ^D,

получаем, что

"о - 'Рк - "о + а на 11к Г) I). Переходя к пределу при

a

k

U

0

к —>со, получаем lim/?/) — м в силу того, что

D

lim uo =°о. Свойство а) функции hD доказано.

D

Пусть М содержит хотя бы один конец типа ß.

Так как /р/( = 0 на дВ^ \D и /р/( < а на 3D, в силу

_ *

принципа максимума получаем 0 < ср^ < auD< на Вк г\ /)' для всякого конца D' типа ß. Отсюда следует, что 0 <hD < au ¡у на 1У. Из равенства lim uD< = О

D'

следует, что limhD — О для всякого конца D' типа ß.

п

Свойство Ь) доказано.

Заметим, что (р/. = 0 на dBk \ I) и /р/( <ä на DI). В силу принципа максимума имеем <а на

BfrXD. Переходя к пределу при к —> со, заключаем, что функция hD ограничена и неотрицательна на

M \ D. Свойство с) доказано.

Таким образом, искомая функция построена. Покажем, что она будет единственной (с точностью до умножения на константу). Предположим, что сущест-

I I О

вуют две функции: hDeHL(M) и hD<=HL{M),

пределы которых по концам типа ß равны нулю (если M содержит такие концы), пределы по концу D равны бесконечности, и на M \ D эти функции являются ограниченными. Из леммы 3 следует существо-

2 1

вание такой константы а, что функция h = hD - ahD является ограниченной на D . Очевидно, что пределы функции h по концам типа ß равны нулю, и функция h является ограниченной на М. Тогда, в силу следст-

2 1

вия 1, получаем, что h = О на М, откуда hD=ahD. Лемма 5 полностью доказана.

Таким образом, для произвольного многообразия М, имеющего /> 1 концов Di,...,Di типа ß, т концов Dl 11,..., Df т типа у и не имеющего концов других типов, мы можем построить набор неотрицательных L-гармонических функций fDl,...,fDr кВм,..., hDi+m .

Очевидно, что построенные функции являются линейно независимыми на М.

Доказательство теоремы 1. Покажем, что набор

функций {/D j является базисом пространства

BHL (M). Пусть f - произвольная ограниченная L-гармоническая на М функция. Тогда из леммы 1 следует, что на каждом конце Z)j,...,Z)/ типа ß существуют конечные пределы функции f . Пусть (^1,...,ai) - набор этих пределов. Тогда функция

f = f-^ajfD имеет нулевые пределы по концам

i=1

типа ß и ограничена на М . Из следствия 1 получаем,

*

что / = 0, откуда, в силу линейной независимости функций { /)) | . следует, что dim BHL (М) = I.

Пусть теперь f eH'L (М). В силу леммы 1 существуют пределы (ai,...,ai) функции f по всем концам

типа р. Рассмотрим функцию /* =/ - ¿аг/д П- Очс_

1=1

*

видно, что пределы функции / по всем концам типа Р равны нулю. Из леммы 3 следует, что можно подобрать такие константы Ь^,...,Ьт, что функция

т

будет ограниченной на М, а ее

f=f - z b}hD

з=1

пределы по концам типа ß будут по-прежнему равны

нулю (в силу равенства нулю пределов функций h

'Dl+J '

/ = 1...../и. по таким концам). Из следствия 1, учитывая линейную независимость функций fDi,..., fD , hp ,...,> получаем, что dimH'L (M) = m + l.

Заметим, что так как fj^ &Hj^iM), i = \,...,l, и

h

D,

ю

iHl(M), j = \...,m, то dimH2(M) = m + l.

Теорема 1 доказана.

Замечание 5. Теми же методами, что и в [7], можно ослабить условия на потенциал c(x). А именно, для справедливости полученных результатов достаточно, чтобы на каждом конце Di существовала такая функция сд(г), что еЛ(г)gj(r) - ограниченные на

[г0,-нсо) функции, / = 1.....р. / - 1.....к. и

А1сц(г)<с(х)<А2сц(г) для некоторых неотрицательных констант A и Л2 .

Замечание 6. Как и в [8], несложно показать справедливость полученных утверждений в случае, когда каждый конец Di является скрещенным произведением порядка k, т.е. когда каждый конец Di изомет-ричен прямому произведению [r0 ,+со) х х... х Sik с метрикой

ds2 = П f,j(e,j)dr2 + ï g2 (г) П f^e^dûtj .

7=1 7-1 q*j

Здесь gy (r) - положительные гладкие на [г0 ) функции; Sj - компактные римановы многообразия

о

без края; dO^ - метрика на .S';/ ; /;/ - положительные гладкие функции на S i .

Приложение

Приведем необходимые утверждения, касающиеся решений уравнения (4). Данные предложения доказываются теми же методами, что и аналогичные утверждения, приведенные в работах [2-4, 7, 8].

Будем использовать те же обозначения, что и выше.

Предложение 1. Пусть Vi ^ (r) - решение уравнения (4). Предположим, что выполнено хотя бы одно из следующих условий lt > 0 и ./, = х : I = со .

Тогда, если при некотором i) > г0 вьтолнено v'k...lk(ri)-vk...lk(ri>-°> причем V'h (rj) и

Vh . (r) не равны нулю одновременно, то

К-4(r)l= °°.

Предложение 2. Пусть V...ik (r) - решение уравнения (4). Тогда если / < со и •/, = л при фиксированном i = \,...,k, lj> О, то либо

lim r^o | V (r)| = со, lim ^ Vh .Jk (r) = 0;

если / = со, то либо limiv.ik (r)|=oo, либо lim.

ir^.oo .. ./, ('') = const. При этом, если Nt = со при фиксированном / = 1...../г. /, > 0. то

lim г^ V/1 .jk (г) = 0, либо lim ^ I Vi (г)|

= со;

если / < со , то lim,

Ро...о(г) = const.

о

Предложение 3. Пусть c(r)g, (г), i = \...,k, -ограниченные на [го,-н») функции, а I )t.../k ('') - решение уравнения (4), причем lim V i (r) = со и

r->ool l"'k I

/( > 0 при фиксированном / = 1.....к . Пусть также

вьтолнено хотя бы одно из следующих условий:

J i = со, К < со; / = со и Nj = <х).

Vt,(r)

Тогда lim ——-= со .

vo...o(r)

Предложение 4. Пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий: Jj = со при фиксированном

i = \,...,к и lj > 0; / = со.

Тогда для любого мультииндекса / = (l\.....I/. ) и

для любого числа c существует по крайней мере одно ограниченное решение m ..4 (г) уравнения (4), такое, что nil 1 (го) = с ■

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта ВолГУ (номер проекта 56-2009-а).

Литература

1. Grigor^yan A. Analitic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds // Bull. Amer. Math. Soc. 1999. Vol. 36. P. 135-249.

2. Лосев А.Г. О взаимосвязи некоторых лиувиллевых теорем на римановых многообразиях специального вида // Изв. вузов. Математика. 1997. № 10. С. 31-37.

3. Лосев А.Г. О некоторых лиувиллевых теоремах на некомпактных римановых многообразиях // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 1. С. 84-90.

4. Лосев А.Г., Мазепа Е.А. Ограниченные решения уравнения Шредингера на римановых произведениях // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, вып. 1. С. 84-110.

5. Kim S. W., Lee Y.H. Generalized Liouville property for Schrodinger operator on Riemannian manifolds // Math. Z. 2001. Vol. 238. P. 355-387.

6. Мазепа Е.А. Краевые задачи для стационарного уравнения Шредингера на римановых многообразиях // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 43, № 3. С. 591-599.

7. Лосев А.Г. Уравнение Шредингера на искривленных римановых произведениях // Тр. по анализу и геометрии. Новосибирск, 2000. С. 350-369.

8. Лосев А.Г. Гармонические функции предписанного роста на квазимодельных римановых многообразиях // Укр. мат. вестн. 2004. Т. 1, № 2. С. 230-243.

Поступила в редакцию

15 апреля 2008 г.