О множестве положительных решений уравнения Лапласа Бельтрами на модельных многообразиях* Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

О МНОЖЕСТВЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА - БЕЛЬТРАМИ НА МОДЕЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ*

С. А. Корольков, А.Г. Лосев

В работе изучается асимптотическое поведение положительных решений уравнения Лапласа — Бельтрами на некомпактных римановых многообразиях, обобщающих сферически-симметричные. На основе спектральных свойств рассматриваемых многообразий получены точные условия разрешимости некоторых краевых задач.

Введение и основная теорема

В данной работе изучается поведение положительных решений уравнения Лапласа — Бельтрами на некомпактных римановых многообразиях некоторого специального вида, обобщающих сферически-симметричные. Классическая формулировка теоремы Лиувилля утверждает, что всякая ограниченная гармоническая в Мп функция является тождественной постоянной. Хорошо известна справедливость следующих утверждений, носящих название теорем типа Лиувилля.

1. Если гармоническая функция и в Мп имеет конечный интеграл Дирихле, то и ='сопз1:.

2. Если и е Ьр(Шп) является гармонической функцией и 1 < р < ос, то и = 0.

3. Если функция и — гармоническая в Кп и удовлетворяет неравенству |и(х)| < С( 1 + \х\)т, то и — гармонический полином степени, не превышающей т.

В последнее время осуществляется следующий подход к теоремам типа Лиувилля. Пусть на римановом многообразии М задан класс функций А и эллиптический оператор Ь. Будем говорить, что на М выполнено обобщенное [А, 1/)-лиувиллево свойство, если пространство решений уравнения Ьи = 0, принадлежащих функциональному классу А, имеет конечную размерность. Оценки размерностей различных пространств гармонических функций на некомпактных римановых многообразиях были получены в работах ряда математиков (см., напр., [1]—[9], [13]).

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект № 03-01-00304).

Ряд работ был посвящен изучению гармонических функций на модельных, или сферически-симметричных многообразиях. В частности, были получены точные условия разрешимости задачи Дирихле с непрерывными граничными данными на «бесконечности», условия выполнения теорем типа Лиувилля для ограниченных и положительных гармонических функций, а также найдены точные оценки размерности пространств гармонических функций, некоторого предписанного роста (см., напр., [6]—[10]). Опишем данные многообразия подробнее.

Фиксируем начало координат О € М" и некоторую гладкую функцию д на интервале [0, До) (Яо может быть оо) такую, что #(0) = 0 и </(0) = 1. Определим модельное риманово многообразие Мд следующим образом:

1) множество точек Мд является открытым шаром в Еп радиуса Я0 с центром в О (если Яо = оо, то все К");

2) в полярных координатах (г, в) (где г £ (0, До) и 9 е Б71-1) риманова метрика на Мд \ {О} определяется как

3) риманова метрика в О является гладким продолжением (*).

Примерами таких многообразий могут служить: евклидово пространство Мп, гиперболическое пространство ЕР, поверхности вращения и т. д.

В данной работе изучаются несколько более общие многообразия. А именно, пусть полное риманово многообразие М представимо в следующем виде: внешность некоторого компакта В в М состоит из т компонент связности Д,...,!}™, каждая из которых изометрична прямому произведению [г0, + со) х 5; с метрикой Зэ2 = (1г2 + д2(г)(Ю‘2, где Si — компактное риманово многообразие без края, д{(г) — положительные гладкие на [г0. оо) функции, — метрика на Зг.

Среди областей Д будем различать области параболического типа и гиперболического типа. Область Д называется областью параболического типа, если ее емкостный потенциал тождественно равен константе, и гиперболического типа в противном случае (см. [2]).

Замечание. Если Д — область гиперболического типа, то

сів2 — сіг2 + д2{г)ів2, где йв — стандартная риманова метрика на сфере 5П^1;

ОС

а если — область параболического типа, то

оо

где п — <1гтМ.

Доказательство легко получается из того, что функция

Т

4>х{г) = / 9г

д] n{t)dt

является емкостным потенциалом для области Д (см. [2], [6]). Определение 1. Пределом функции и по области Д назовем число

lim и(г,в)= lirn u(r,6),

Di i—>oo ,0&Si

если последний предел существует и не зависит от в.

Определение 2. Потоком гармонической функции и по области назовем число

где В(0,г) — п-мерный шар радиуса г, и — единичная внешняя нормаль к 5(0, г) (см., напр., [1]).

В силу формулы Грина определение потока не зависит от г. Действительно, если Г! < г2, С? = В(о, г2) \ В(0. гх), то

где г0 = const > 0.

Очевидно, если її < оо, то область Di имеет гиперболический тип.

В дальнейшем предполагаем, что области Di,...,Ds имеют параболический тип, области Д.+1,Da+i+p имеют гиперболический тип, s + 1+p = т, причем на областях {А}^+1 интегралы U = оо, а на областях {A}”ls+;+i интегралы Ii < оо. Будем использовать следующие обозначения: А\ = Di,...,As = Д.; -51 Ds^.i,..., В[ Ds+[, С\ Ds^i^i,..., Ср Dm.

Основным результатом является следующая теорема.

сШ(0,г)Г10г

Q

dB(0,r2)nDi

8B(0,ri)nDi

(см. [1]).

Введем обозначение

Теорема 1. Пусть на М э областей имеют параболический тип, І областей имеют гиперболический тип с условием іі = оо, а р областей — гиперболический тип с условием іі < оо, в+1+р = т, 1+р> 1. Тогда для любого набора неотрицательных действительных чисел (аі,а2> • ••,<^,£>1,62, •■•М) и любого набора неотрицательных непрерывных функций (Фі(0),...,Фр(6)) существует единственная положительная гармоническая функция и на многообразии М такая, что

Пусть и(г,в) — произвольная положительная гармоническая функция на Д. Переобозначим для фиксированного і Д через Д ді(г), 5* и 7* соответственно через д(г), 5 и I.

Заметим, что в координатах (г, в) оператор Лапласа — Бельтрами на Б имеет

где Ад — внутренний лапласиан на 5. Формула (1.0) проверяется непосредственно по определению оператора Лапласа — Бельтрами (см. [11, с. 357]).

Пусть {и>к} — ортонормированный базис в Ь2(5) из собственных функций оператора —Ад, где Ад — оператор Лапласа — Бельтрами на Б, а — соответствующие собственные числа (0 = А0 < Аі < Л2 < ...). Тогда для любого г имеем

Из (1.0) следует, что для любого номера к функция ъ\{г) является решением следующего обыкновенного дифференциального уравнения

Аихгі = аі.і — 1, 2,..., я; Ити = = 1, 2,..., 1\

аі ' в,

Г—>00,(г,в)єСк

Нт и = Фк(0), к = 1,2, ...,р.

1. Доказательство существования

вид

(1.0)

ОО

где

(1.1)

5

(1.2)

(1.3)

где Г > Гі > г0 любые.

Утверждение 1. Если I = оо, vk — решения уравнения (1.2) с А = \к, то при к > 1 выполнены следующие свойства:

(a) Либо Hindoo г;*»(г) = 0, либо |wfe(r)| —> оо при г —> оо.

(b) Если Vk(r) —> оо при г —> оо, то limr_>00(wfe(r)/t>o(r)) = оо.

(c) Если Vk{r) — ограниченное решение уравнения (1.2), то либо vk(r) = v'k(r) = 0, либо vk(r)v'k(r) < 0 для всех г > г0.

Данное утверждение доказано в [6].

Пусть \S\ — объем компакта S.

Лемма 1. Если I — оо, то для любой положительной гармонической функции и(г, в) на области гиперболического типа D выполнено

ОО

П

Доказательство. Из (1.1) следует, что

г’о(г) = J u(r, 9)w0(9)d9.

s

Так как {г^} — ортонормированный базис в L2(S), то, учитывая uiq = const, получаем, что

1 = J (wQ)2d9 = (wo)2!^!,

s

откуда

1

w0 =

vW

Из ортонормированности базиса {wk(9)} следует, что

Mr) = ~щ J u{r,9)d9. (1.4)

Из (1.1) и положительности и(г,в) при г > г0 следует

KMI = I [ u(r,9)wk(9)de\ < sup\wk(9)\ I u(r,9)d9^= УММ7") sup\wk(9)\.

J ees J e<=s

s s

Таким образом, !?Л.(г)| < const ■ vo(r) при г > r0. Но. с другой стороны, если Vk(f) —> оо при г —> оо, то Нтг_^00(г^(г)/г?о(г)) = оо (см. свойство (Ь) в утверждении 1). Отсюда, учитывая свойство (а) в утверждении 1, получаем, что при k > 1 lirrv^oo vk{r) = 0 и что на каждой компоненте D для любого г > г0

u(r,9) L=S) ^^ + £\*(r)w*(0), (1-5)

VPi к=1

где Нт ук(г) = 0 при к > 1. Абсолютная и равномерная сходимость ряда

Г—»оо

52^=1'ик(г)гик(6) доказана в [6]. Из полученного результата и равенства (1.3) вытекает утверждение леммы 1.

Заметим, что (1.5) имеет место и для произвольной ограниченной снизу функции и(г, в), ряд ^2к>=1г1к(г)ъик(@) сходится в этом случае также абсолютно и равномерно.

Лемма 2. Для любой положительной гармонической функции и(г, в) на области параболического типа О выполнено

Аихи(г,в) = £п-1(г1).

Доказательство. Заметим сразу, что т.к. область О имеет параболический тип, то 1 = 00.

Найдем Аихьк(г)и!к(в).

/ ^ (п\ С дьк(г)гик{в) 1

Йих ук (г )яик (в) = / ----—------ф = / ---------—-------д (г)йв.

Так как

эв(о,г)пг> дук(г)и)к(в) дук(г)шк(в)

Ык{0)у'к{г),

то

ди дг

Них ук(г)юк(в) = дп~\г)у'к{г) I гик(6)<Ю.

5

Так как {ь]к(в)} — ортонормированный базис, то, учитывая (1.3), получаем

а , N ,П\ / ^о(Г1)^/5'-5,П 1(Г1)Д' = 0;

йих^(г)^(0) = | 0°^ 0 а V

Как и в лемме 1, ряд Ук(гУУк{в) сходится абсолютно и равномерно, откуда следует утверждение леммы 2.

Следствие 1. Пусть И — область параболического типа, /гг (г, в) и Ь-2{г,6) — две гармонические функции на И такие, что разность (Ь,\{г,6) — Ь,2(г.в)) — ограниченная на И функция. Тогда Аихд Дх(г, в) = Аих/) /^(г, в).

Доказательство. Положим и(г. в) = /^(г, в) —/г2(г, в). Тогда по условию следствия и(г,в) — ограниченная на Б функция.

Учитывая (1.5), можем записать:

и(г,в) = + 'У'ук(г)<шк{в) на Д

у\3\ к=1

где, в силу ограниченности u(r,9), lim vk(r) = 0 при к > 1. Из (1.3) получаем

т—*оо

г

Vo (г) = v0(ri) + v'0(ri)gn~l(r i) j

n

Из леммы 2 следует, что

Mr) = Mri) + «ЧГ /V n{t)dt. (1.6)

П

Тогда, если fiuxpu(r, в) Ф 0, то из (1.5) и параболичности типа области D следует, что Пгпг^оо и(г, 9) = оо, а это противоречит ограниченности функции и(г, 9) на D. Таким образом, fluxDu(r,9) = 0, откуда получаем утверждение следствия 1.

Следствие 2. Пусть и(г, 9) — неотрицательная гармоническая функция на области параболического типа D такая, что fluХ£>и(г,9) = 0. Тогда существует конечный предел Итои(г,9). Кроме того, если существует точка г1 > г0 такая, что u(r',6) = const, то функция и(г,д) является тождественной постоянной.

Доказательство. Докажем первую часть следствия 2.

Учитывая (1.5), можем записать:

Мг)

и(г’в) = + ^2Mr)wk(9) на D,

VPi k=i

оо

где, как было показано в лемме 1, lim vk{r) = 0 при k > 1 и ряд ^ vk(r)wk(9)

k=i

сходится абсолютно и равномерно. Из (1.3) получаем

Г

Щ(г) = t’oCn) + v,0(r1)gn~1(rl) J g1~nit)dt.

n

Из леммы 2 следует, что

Mr) = Vo(n) + j g^i^dL

ri

Учитывая, что по условию flux^ufr, в) = 0, получаем

vo (n)

и(г, в) =

+ Ha D> vPl k=l

где Нш ук{г) = 0, откуда следует существование конечного предела функции и(г, 9)

Г—+00

на П.

Если существует точка г' такая, что и(г',в) = const, то функция и(г,9) — тождественная постоянная, так как в противном случае она была бы нетривиальным емкостным потенциалом области D, что противоречит параболичности типа этой области.

Лемма 3. Если I < оо, то для любых непрерывных на S функций Ф(9) и Ф (в) существует гармоническая на D.функция и(г,9) такая, что

и(го,9) = Ф(0), Hm и(г, 9) = Ф(9).

Г—>00

Пусть I = оо и D имеет гиперболический тип. Тогда для любой непрерывной на S функции Ф(0) и константы С существует гармоническая на D функция и(г,в) такая, что

и(г0,9) = Ф(0)> lim м(г> 0) — С.

г—+оО

Если же D имеет параболический тип, то для любой непрерывной на S функции Ф($) и константы а существует гармоническая на D функция и(г,9) такая, что

и(го, 9) = Ф(0), flux и(г, в) = а.

Доказательство. Первая и вторая части леммы 3 доказаны в [9].

Докажем третью часть леммы 3.

Поступаем, как и в [9]. Пусть сначала Ф(0) — произвольная гладкая на S функция. Тогда имеет место представление

ОО

Ф(0) = ^ZkWkiO),

k=О

где

zk= IФ(9)wk(9)d9.

5

Будем искать решение и(г, 9) поставленной задачи в виде

ОО

и(г, 9) = y^vk{r)wk(e),

о

где vk(r) — решения уравнения (1.2).

Заметим, что для любого номера k > 1 существует решение уравнения (1.2) vk(r) такое, что

vk(rt)) = zk и lim vk(r) = 0.

Г—^Cxj

Доказательство получается из разрешимости краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Более того, как и в лемме 1, ряд Y2kLivk(r)wk(@) равномерно сходится и, следовательно,

ОО

lim y^vk(r)wk(9) = 0.

г—►оо ^^

*=1

Из (1.3) следует, что vq (г) удовлетворяет уравнению

Г

Мг) = г>0(г0) + Jgl~n(t)dt.

Го

Полагая здесь

OL

Vo(ro) = Zo, (r0) =

т/Й

И учитывая лемму 2, получаем, ЧТО функция и(г,6) = ^Ь=0Ь’к(г)юк(9) является гармонической в области I) и удовлетворяет условиям:

00

и{го, в) = 5^(го)г/;*(0) = Ф(0),

к—О

И

Аихи(г,0) - Уо(г0)д”"1(го)Л/Ш = а,

где Ф($) — произвольная гладкая на 5 функция.

Далее, как и в [9], доказывается справедливость данного утверждения для произвольной непрерывной на 5 функции Ф(0).

Лемма 4 (см. [1]). Пусть Г2 — предкомпактное открытое множество в М, граница дП которого состоит из непересекающихся компактных гиперповерхностей и ^2. Пусть и — гармоническая функция в И, непрерывная в О,, причем

и\{\ < 0, и|^2 > 0. Тогда

[ ди , [ ди ,

J тЛ =-\ тЛ >°’

Fi f2

где и — единичная внутренняя нормаль.

Предложение 1. В условиях теоремы для любого набора неотрицательных действительных чисел (ai, ...,as, bi,...,bi) и любого набора неотрицательных непрерывных функций (<i>i(0),Фр(0)), s + I + р = т, существует положительная гармоническая функция и на М, для которой

flux и = а*, г = 1,2,..., s; limu = bj,j = 1,2lim и = Фk(9),k = 1, 2, ...,р.

At Bj

Доказательство. Достаточно рассмотреть три случая.

Случай а. Пусть Ф(0) — произвольная неотрицательная непрерывная функция. Построим неотрицательную гармоническую на М функцию и(г,в) такую, что

Аихи(г, 9) = 0, г = 1,..., s

Ai

\imu(r,9) = 0 на Bj, j =

г—>00

Ит и(г,в) — Ф(9) на С\

Г—>00

Пт п(г, 0) = 0 на Ск, к = 2,...,р.

г—>оо

Как и в [9], на М существует ограниченная гармоническая функция и(г,в) такая, что

1ш и(г,0) = О на Bj, j = 1,I] Ск,к = 2,...,р

т—>оо

и

Пт и(г, 9) = Ф(0) на Сь

Г—>00

причем существуют пределы функции и(г, 9) по областям параболического типа, не зависящие от 9. Для определенности будем считать, что Рг = Нт,—^ и(г, 9) — предел функции по области параболического типа Д.

В силу ограниченности функции и(г, 9) ее потоки по областям параболического типа будут равны нулю. Покажем, что функция и(г,9) будет положительной.

Предположим, что это не так. Тогда, в силу принципа максимума, некоторые из пределов функции и(г, 9) по областям параболического типа меньше нуля. Пусть / — набор индексов таких, что предел рПиП = Пт и минимален. Тогда существует е > О

такое, что Ртт < —£ < Ри * ^ I- Рассмотрим функцию у(г, 9) = и(г, 9) +е. Заметим, что йихл1у = Аих^ и = 0 \/г = 1,...,б\ Рассмотрим при достаточно больших г область, ограниченную всеми сечениями Д(г), В^(г), Ск(г). Тогда имеем

У{'г,6)\Аг(г)^е1 < 0, У(г,0)\АЛг),И£Г,В1(г),Ск(г) > О,

откуда по лемме 4 получаем — ^{1ихАг у > 0, что противоречит условию 17 их а, = О

геТ

Мъ = 1,...,5. Таким образом окончательно получаем, что все пределы \т\А1и{т,9) неотрицательны, откуда в силу принципа максимума функция и(г, 9) неотрицательна.

Искомая функция для этого случая построена.

Случай б. Построим неотрицательную гармоническую функцию для набора

сц = 0, г = 1, ^ = 1, 6,- = 0,= 2,..., I, ск = 0, к = 1,

Существование такой функции доказывается аналогично случаю а.

Случай в. Построим неотрицательную гармоническую функцию для набора

01 = 1, аг = 0, г = 2, ...,5, £>.,■ = О,.?' = 1,ск = 0, к = 1,

По лемме 3 на А1 существует гармоническая функция щ(г, 9), удовлетворяющая условиям

«о (го, в) = 0, Иих 710(г, 9) = 1.

Аа

Пусть, кроме того, щ(х) = 0 всюду на М \ А\. Построим гармоническую на всем многообразии М функцию и(х) такую, что на А1 выполнено

йихи(г, 9) = Аихи0(^)^) =

Аг А1

а потоки по другим областям параболического типа, как и пределы по всем областям гиперболического типа, равны нулю.

Для этого рассмотрим последовательность функций, удовлетворяющих задаче

Г Арк = 0 на Пк,

\ <Рк\дПк = ,

где {Г2^} — возрастающая последовательность предкомпактных подмножеств М, имеющих гладкие границы и исчерпывающих М.

Как ив [8], существует предел последовательности {<£&}.

Обозначим Пт рк = и, где и — гармоническая функция.

к—>оо

Покажем, что Иихи(г,в) — Пихи0(г, 9) = 1.

Аг Ах

Действительно, так как и = Пт^оо щ, то существует

и{г0,в) = Пт <рк(г0,9).

к—>оо

Обозначим

II = тахи(г0,9). в

Пусть N = и +1. Тогда при достаточно больших к выполнено

О < Фк\дБ < N.

Кроме того,

щ(г0,9) = и0\дв = 0.

Согласно лемме 3, на А\ существуют гармонические функции щ (г, 9) и и2(г, 9), удовлетворяющие условиям

9) = 0, и2(г0,9) = N

и

Аихи^г, 9) = йихи2(г, 9) = Аихио(г, 9) = 1.

А! А\ Аг

Отсюда следует, что

Пих(и2(г,9) - их (г, 9)) = Яих('и1(г, 9) - и0(г,9)) = {1их(и2(г, 9) - и0(г,9)) = 0.

А1 А! А\

Откуда, учитывая, что

и2(г0,0) - щ(го, 9) = Аг, щ(г0,9) - и0(г0,9) = 0, и2(г0,9) - и0(г0,9) - N.

по следствию 2 получаем:

и2(г, 9) — щ(г,9) = УУ, щ(г, 9) - щ(г, 9) = 0, и2(г,9) - и0(г,9) = N.

Тогда по принципу максимума на М\В

щ(г,9) = и0(г, 9) < и2(г, 9)

и для достаточно больших к в области В имеем

Щ < 4>к < и2.

Переходя к пределу при к —» оо, на М \ В получим

Щ < и < Щ,

откуда

О < и — щ < и2 — щ = N.

Применяя следствие 1, получаем, что

fluхи(г,в) = flux U\ (г, 9) = 1,

Ai j4i ' ■

что и требовалось показать.

Аналогично можно показать, что

flux и (г, 9) = 0, i — 2,...,s.

Аг

Как и в [8], можно показать, что пределы функции и(г,9) по остальным областям равны нулю.

Заметим, что для полученной функции и(г,9) в силу равенств (1.5), (1.6) и параболичности типа области А\ будет выполнено

lim и(г, 9) = +оо,

А1

откуда по принципу максимума функция и(г, в) на всем многообразии М будет положительной.

Таким образом, искомая функция построена.

Предложение 1 полностью доказано.

2. Доказательство единственности

Предложение 2. Пусть многообразие М устроено как и ранее, и, v — положительные гармонические функции на М, для которых выполнено

flux и = flux v = а,-,

Ai Ai

lim и = lim v = bj. lim u(r,9)= lim v(r.9) — Фь(9).

Rj Oj ' (rfi)eCk,r-*oo (г,в)еСк,г^со

г = 1, ...,s; j = 1, k = 1, ...,p; s + 1 + p = т. Тогда и = v на М. Доказательство, Пусть w(r} 9) = и(г, в) — v(r, 9).

Лемма 5. В условиях предложения 2 существуют конечные пределы Пт.4г us,

i — 1,..., s и пределы функции w по областям гиперболического типа равны нулю (w — и — v).

Доказательство. Если D — одна из областей гиперболического типа, то утверждение леммы очевидно.

Пусть О — одна из областей Д, г = 1,з. Покажем, что существует конечный предел Нтго(г,в).

Учитывая (1.5), можем записать:

t л 00 Цр(г)

0) = uk{r)wk{9) на D;

(2 2)

^r’ ^= v§ + ?i на 1)1

где, как было показано в доказательстве леммы 1, lim ик(г) = 0 и lim vk(r) = О

г—>оо Г—>00 .

со оо

при к > 1, причем ряды uk{r)wk{9) и Yh vk{i')'Wk{d) сходятся абсолютно и рав-

к=1 fc=l

номерно. Из (1.3) получаем:

Щ{г) = гі0(гі) + <,(n)pn_:1(ri) /si1_n(t)dt,

п

Ыг) = М'Гі) + t>oO,,i)0n'"1(n) f g^itfdt.

П

Из леммы 2 следует, что

Wo(r-) = Uo(n) + flux^r,e) f g1~n(t)dt,

n

^o(r) = -Уо(гі) + f у1_п(і)бЙ.

Vl5l n

(2.3)

Из (2.2) и (2.3), а также, учитывая, что по условию Аих^м = fluxDw на D\ lim ufc(r) = 0 и lim vk{r) — 0 при к > 1, следует, что Нтги = lim u — lim-г; =

г^ос г—»оо D D D

= (щ{гг) - и0(п))/|5| = const.

Лемма 5 доказана.

Продолжим доказательство предложения 2.

Поступая как и в доказательстве предложения 1 (случай а), можно показать, что w > 0. Аналогично получаем, что —и; > 0, откуда w = 0, и и = v.

Предложение 1 и предложение 2 вместе и дают исходную теорему.

Summary

ON THE SET OF POSITIVE SOLUTIONS OF THE LAPLACE-BELTRAMI EQUATION ON THE MODEL MANIFOLDS

S.A Korolkov, A.G. Losev

In this paper we consider asymptotic behavior of positive solutions of the Laplace— Beltrami equation on the non-compact Riemannian manifolds which is the generalized spherically symmetric manifolds. By the spectral properties of such manifolds the exact conditions of resolvability of some boundary problems were obtained.

Литература

1. Григорьян А.А. О множестве положительных решений уравнения Лапласа — Бельтрами на римановых многообразиях специального вида // Изв. вузов. Ма-тем. 1987. № 2. С. 30-37.

2. Grigor‘yan A. Analitic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds // Bull. Amer. Math. Soc. 1999. V. 36. P. 135-249.

3. Colding Т.Н., Minicozzi II V.P. Harmonic functions with polynomial growth // J. Diff. Geom. 1997. V. 461. P. 1-77.

4. Li P., Tam L.-F. Linear growth harmonic functions on a complete manifold // J. Differential Geom. 1989. V. 29. P. 421-425.

5. Li P. Harmonic functions of polinomial growth // Math. Res. Lect. 1997. V. 4. P. 35-44.

6. Лосев А.Г. Некоторые лиувиллевы теоремы на римановых многообразиях специального вида // Изв. вузов. Матем. 1991. № 12. С. 15-24.

7. Лосев А.Г. Гармонические функции на искривленных римановых произведениях // Сборник научных школ ВолГУ; Геометрический анализ и его приложения. 1999. С. 274-287.

8. Лосев А.Г. Стационарное уравнение Шредингера на квазимодельных римановых многообразиях // Труды кафедры МАТФ ВолГУ. Волгоград: ВолГУ, 2002. С. 94-124.

9. Лосев А.Г., Мазепа Е.А. О поведении ограниченных решений уравнения Шредингера на некомпактных римановых многообразиях // Вестник ВолГУ. Сер. 1: Математика. Физика. Вып. 3. 1998. С. 32-43.

10. Murata М. Positive harmonic functions on rotationary symmetric Riemannian manifolds // Potential Theory, ed. by M. Kishi. 1992. P. 251-259.

11. Позняк Э.Г., Шишкин E.B. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990.

12. Sario L., Nakai М., Wang С., Chung L.O. Classification theory of Riemannian manifolds // Lect. Notes Math. 1977. V. 605. 498 p.

13. Yau S.T. Nonlinear analysis in geometry // L’Enseigenement Mathematique. 1987. V. 33. P. 109-158.