CC BY
35
УДК 517.988.6
О РАЗРЕШИМОСТИ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ VOLTERRA
( Е.О. Бурлаков
Ключевые слова: вольтерров (по А.Н. Тихонову) оператор; уравнение Volterra; локальное решение; продолжение решения.
Для уравнения Volterra в произвольном банаховом функциональном пространстве получены условия существования единственного глобального или предельно продолженного решения.
Пусть Y = Y([а, b], Rn) — банахово пространство функций, определенных на [а, b] , со значениями в Rn и нормой У ■ У y .
Определение 1. Оператор Ф і Y ^ Y называется вольтерровым (по А.Н. Тихонову [1]), если для всякого £ Є (0, b—а) и любых yl, у2 Є Y из того, что yl(t) = y2(t) на [а, а+£] , следует (Фуі)^) = (Фу2)^) на [а,а+£].
Всюду ниже предполагается, что в пространстве Y выполнено V -условие [2]: для произвольных у Є Y, {yi} С Y, таких что ||yi — y||Y ^ 0, и любого £ Є (0, b—а), если yi(t) = 0 на [а, а+£], то y(t) =0 на [а, а+£].
Для каждого £ Є (0, b—а) обозначим Y? = Y([а, а+£], Rn) линейное пространство сужений у? на [а, а+£] функций у Є Y. Зададим норму в этом пространстве равенством Уу?IIy5 = inf УуУ y, где нижняя грань вычисляется по всевозможным продолжениям у Є Y функции у?. Тогда, в силу V -условия, пространство Y? становится банаховым.
Возьмем любое £ Є (0, b—а). Пусть отображение P?Y і Y ^ Y произвольным образом доопределяет каждый у? Є Y? на весь отрезок [а, b]. Далее зададим отображение Е? '■
Y ^ У?, (Е?y)(t) = y(t), t Є [а, а+£]. Для вольтеррова оператора Ф і Y ^ Y определим оператор Ф? і Y? ^ Y?, Ф?у? = Е?ФР?У?.
Определение 2. Вольтерров оператор Ф і Y ^ Y назовем локально липшицевым в момент времени t = а с константой q ^ 0, если для любого r > 0 найдется такое 8 > 0, что для элементов yl,y2 Є Y, удовлетворяющих оценкам ||yl|y < r, ||у2||у < r, справедливо неравенство
ЦЕ?Фуі — E?Фу2|?4 < q||E?yl — E?у2І|у4.
Далее, будем говорить, что вольтерров оператор Ф і Y ^ Y локально липшицев в момент времени t = в Є (а, b) с константой q ^ 0, если для любого r > 0 найдется 8 > 0, при котором для элементов yl,y2 Є Y, удовлетворяющих условиям УуіУy < r , ||У2Уy < r, yl(t) = y2(t) , t Є [а, в), выполнено
НЕ!-а+й Фу1 — Еу-а+<5 Фу2уУ0_а+5 ^ qllE<9-a+5 yl — El-a+<S y2yY0_a+,5 .
1б54
Наконец, вольтерров оператор Ф : Y ^ Y считаем локально липшицевым в момент времени t = b с константой q ^ 0, если для всяких y^y2 € Y, из yi(t) = y2(t) , t € [a, b) следует
||ФУ1 - Фу2уу < qNyi - У2||у.
Рассмотрим операторное уравнение
y(t) = (Фу)№, t € [a, b], (1)
где оператор Ф : Y ^ Y является вольтерровым.
Определение 3. Локальным решением уравнения (1), определенным на [a, a+7],
Y € (0, b—a), будем называть функцию yY € Yy, удовлетворяющую на [a, a+7] уравнению yY = Ф7yY. Предельно продолженным решением уравнения (1), определенным на [a, a+я) , Я € (0, b—a], будем считать функцию y? : [a, a+я) ^ Rn, сужение которой yY на [a, a+Y]
при любом y < я является его локальным решением и lim ||y7||yy = то. Глобальным
-0
решением уравнения (1) назовем функцию y € Y, удовлетворяющую этому уравнению на всем [a, b].
Для пространства Y будем дополнительно предполагать выполнение следующего условия: для произвольного £ € (0, b — a] и любой функции yg : [a, £) ^ Rn, такой что при всех 7<£ ее сужение yY на [a, a + 7] принадлежит пространству Yy и lim ||y7 < то,
Т^?-0
найдется элемент y € Y , для которого функция y является его сужением.
Теорема. Пусть отображение Ф : Y ^ Y является локально липшицевым в
каждый момент времени t € [a, b] с константой q = q(t) < 1. Тогда уравнение (1) имеет единственное глобальное или предельно продолженное решение, и всякое локальное решение является его частью.
В заключение отметим, что в близких утверждениях работ [2, 3] требуется, чтобы значения 5, q были одинаковыми при всех t € [a, b] . Поэтому приведенная теорема несколько расширяет возможности исследования разрешимости уравнений Volterra. Рассмотрим, например, линейное уравнение y(t) = q(t)y(t) + f, t € [0,1] относительно измеримой существенно ограниченной функции y(-), где
q(t) = J 1/2 + t, t € [0,1/2),
q(t) \ 1/2, t € [1/2,1],
f € R. Так как sup q(t) = 1, то разрешимость данного уравнения невозможно исследо-t€[0,1]
вать, используя результаты указанных выше работ, в то время как приведенная теорема позволяет установить наличие единственного глобального или предельно продолженного решения. Это решение легко находится: для f = 0 имеем глобальное решение y(t) = 0 , для остальных значений f существует предельно продолженное решение y(t) = f/ 1 — q(t) , t € [0,1/2).
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюл. МГУ. Секц. А. 1938. Т. 1. № 8. С. 1-25.
2. Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра // Матем. сб. М., 2006. Т. 197. № 10. С. 33-56.
3. Бурлаков Е.О., Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра с локально сжимающими операторами // Известия вузов. Математика. 2010. №8. C. 16-29.
1655
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 0901-97503); АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (проект № 2.1.1/1131); ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (государственные контракты № П688, № 14.740.11.0349).
Поступила в редакцию 25 августа 2010 г.
Burlakov E.O. On solvability of Volterra’s operator equations.
For Volterra’s equation in a functional Banach space we obtain conditions for the unique existence of a global or maximally extended solution.
Key words: Volterra’s operators (in the sense of A.N. Tikhonov); Volterra’s equation; local solution; solution extension.
1656
