О разрешимости операторных уравнений Вольтерра и непрерывной зависимости решений от параметров Текст научной статьи по специальности «Математика»

Key words: differential inclusion with impulses; approximating mapping; radius of external disturbance; modulus of a continuity of mapping; 5 -solution.

Булгаков Александр Иванович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии, e-mail: [email protected].

Скоморохов Виктор Викторович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: [email protected].

Филиппова Ольга Викторовна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, ассистент кафедры алгебры и геометрии, e-mail: [email protected].

УДК 517.988.6

О РАЗРЕШИМОСТИ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА И НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТИ РЕШЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРОВ

© Е. О. Бурлаков

Ключевые слова: операторы Volterra; непрерывная зависимость решений уравнений от параметров; локально липщицевы операторы.

Для уравнения Volterra в произвольном функциональном пространстве получены условия существования единственного глобального или предельно продолженного решения и его непрерывной зависимости от параметров уравнения.

Пусть Y = Y([a,b], М”) —банахово пространство функций, определенных на [a,b], со значениями в М” и нормой ||-||у; L^([a,b],^,Mn) —пространство измеримых существенно ограниченных функций y : [a, b] ^ М” с нормой ||у||ьте = vraisuPte[a,b] \v(t)\-

Определение 1. Оператор Ф : Y ^ Y называется вольтерровым [1], если для всякого £ £ (0, b—а) и любых yi,y2 £ Y из того, что yi(t) = y2(t) на [a, a+£], следует (ФУ1)(*) = (ФУ2)(^) на [a,a+£].

Всюду ниже предполагается, что в пространстве Y выполнено V -условие [2]: для произвольных y £ Y, {yi} С Y, таких что ||yi — y||y ^ 0, и любого £ £ (0, b—a), если yi(t) = 0 на [a, a+£] при всех i = 1,2,..., то y(t) = 0 на [a, a+£].

Для каждого £ £ (0,b—a) обозначим Y = Y([a, a+£], М”) линейное пространство сужений у£ на [a, a+£] функций y £ Y. Зададим норму в этом пространстве равенством 11У£IIY[a,a+^j = inf IIvIIy , гДе нижняя грань вычисляется по всевозможным продолжениям y £ Y функции У£. Тогда, в силу V-условия, пространство Y становится банаховым. Положим, Yb-a = Y.

Возьмем любое £ £ (0,b—a). Пусть отображение Р£ : Y ^ Y произвольным образом доопределяет каждый у£ £ Y£ на весь отрезок [a, b]. Далее зададим отображение E£ : Y ^ Y^, (E£y)(t) = y(t), t £ [a, a+£]. При £ = b — a эти отображения Pb-a,Eb-a : Y ^ Y считаем тождественными. Для вольтеррова оператора Ф : Y ^ Y определим оператор Ф^ : Y,£ ^ Y,£, Ф£y£ = E£ФР£у£.

Вопрос о корректности уравнения у(*) = (Фу)(*), * £ [а, Ь] с вольтерровым оператором Ф : У ^ У ставится следующим образом. Рассматривается операторное уравнение

У(1) = * £ [а,Ь], (1)

с параметром Л £ Л, где Л — топологическое пространство, Ф : У х Л ^ У. Предполагается, что для любого Л отображение Ф(-,Л) : У ^ У вольтеррово и при некотором значении Ло £ Л справедливо равенство Ф(-,Ло) = Ф. Нас интересуют условия, при которых: существует такая окрестность точки Л0, что для всех Л из этой окрестности уравне-(1)

[а,а + £] С [а, Ь] и непрерывно зависят от Л (по норме пространства У? ) в точке Ло. Ре-

(1) Л £ Л

Определение 2. Локальным решением уравнения (1), определенны м на [а, а+7],

7 £ (0, Ь—а), будем называть функцию у7 £ У^, удовлетворяющую уравнению

у1 = ф7 (у1 ,Х),

где Ф7(•, Л) = Е7Ф(-,Л)Р7 : У^ ^ Уу. Предельно продолженным решением уравнения

(1), определенным на [а, а+д), д £ (0,Ь—а], будем считать функцию уя : [а, а+д) ^ М”,

сужение которой у^ на [а, а+7] при любом 7 < д является его локальным решением и

Нш ||у71У = то. Глобальным решением уравнения (1) назовем функцпю у £ У, удовле-7^-0

творяющую этому уравнению на всем [а, Ь].

У

вия: для произвольного д £ (0, Ь — а] и любой функции уя : [а, а + д) ^ М”, такой что при

всех 7 < д ее сужение у^ на [а, а + 7] принадлежит пространству Уу и Нш ||у7 У < то,

7^-0

найдется функция у £ У, доя которой у(*) = уя(*) на [а, а + д).

Теорема. Пусть

1) существуют окрестность и0 С Л тючки Л0 и число 0 ^ д < 1, такие что для любого г > 0 найдется та кое 8 > 0, что при всех Л £ и0, в £ [а,Ь] для элементов

у1,у2 £ У, удовлетворяющих оценкам ||у1||у < г, ||у2||у < г, а в случае в = а еще и

условию у1{Ь) = у2(*), * £ [а, в), справедливо неравенство

IIе?Ф(у1,Л) — е?Ф(У2, Л)|у ^ д\\Е£у1 — е?у2\у,

где £ = шт{в — а + 8, Ь — а};

2) для произвольного у £ У отображение Ф : У х Л ^ У непрерывно в точке (у, Л0). Тогда при любом Л £ и0 уравнен ие (1) имеет, единственное глобальное или предельно

продолженное решение, и всякое локальное решение является его частью. Если при Л = Л0 уравнение (1) имеет глобальное решение у0, то существует такая окрестность тючки Л0, Л (1)

у = у(Л), причем выполнено \\у(Л)—у0\\у ^ 0 щи Л ^ Л0. В противном случае при Л = Л0

уравнение (1) имеет предельно продолженное решение у0я, определенное на некотором полуинтервале [а,а+д). Тогда при каждом 7 £ (0,д) найдется такая окрестность тючки Л0, что для всех Л из этой окрестности уравнение (1) имеет определенное на [а, а+7] локальное решение у~( = у7(Л), и имеет, место \\у7(Л) — у01 ||у7 ^ 0 щи Л ^ Л0.

Отметим, что в условии 1) этой теоремы существенно, что положительная константа

8 = 8(г) является одинаковой для всех значений в £ [а,Ь] (в работе [3] для доказательства разрешимости уравнения с вольтерровым отображением используется более «мягкое» предположение, при котором 8 может зависеть и от г и от в). Справедливость данного замечания подтверждает следующий пример.

{2t + 2 t £ [12)

2t + 4’ t £ [2' 3]' При Л £ [0, то) рассмотрим линейное

уравнение

y(t) = y(h(t)) + Л, t £ [1,3], y(s) = 0, если s £ [1,3], (2)

относительно неизвестной функции у £ L^([1, 3],^,М”).

Если Л = 0, то уравнение (2) имеет глобальное решение y(t) = 0, для остальных Л

т— 1 т

y(t) = тЛ, t £[Y^ 2i,Y^/ 2г), m = 1,2,....

i=0 i=0

ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов A.H. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюл. МГУ. Секц. А. 1938. Т. 1. № 8. С. 1-25.

2. Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра // Матем. сб. Москва, 2006. Т. 197. № 10. С. 33-56.

3. Бурлаков Е.О. О разрешимости операторных уравнений Volterra // Вестник тамб. ун-та. Тамбов, 2010. Т. 15. № 6. С. 1654-1656.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантами Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 09-01-97503, № 11-01-00626).

Burlakov Е.О. On solvability of operator Volterra equations and continuous dependence of solutions on parameters. The conditions of existence and continuous dependence on parameters of a unique global or maximally-prolonged solution to the Volterra equation in a functional space are obtained.

Key words: Volterra operators; continuous dependence of solutions on parameters; locally Lipschitz operators.

Бурлаков Евгений Олегович, ОГУЗ ТПБ, г. Тамбов, Российская Федерация, инженер-программист, e-mail: [email protected].

УДК 517.977

ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ СТАБИЛИЗИРУЮЩИХ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ С

ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

© Д.С. Быков

Ключевые слова: оптимальная стабилизация; квадратичный критерий качества;, система с последействием; сплайны высшего порядка.

При приближенном построении оптимальных стабилизирующих управлений для автономной системы с последействием применяется ее аппроксимация системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Переход к аппроксимирующей системы в функциональном пространстве состояний использует методы приближений функций сплайнами. В работах П.П. Красовского, К. Ко и К. Карре1 при построении аппроксимирующих систем для уравнения с последействием частного вида выбирались сплайны нулевого и первого порядка.