О разрешимости одной краевой задачи для нагруженного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Физико-математические науки

УДК 517.95

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА4

Р. М. Кумышев, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова (Нальчик, Россия), e-mail: [email protected]

Аннотация. Исследована краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка. Вопрос разрешимости при определенных условиях редуцирован к исследованию системы алгебраических уравнений.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, нагруженное уравнение, краевая задача, функция Грина, система алгебраических уравнений.

В последние годы продолжается интенсивное исследование нагруженных уравнений [2-4], связанное, в частности, с различными приложениями задач, ассоциированных с этими уравнениями. К ним относятся, например, задачи долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги, моделирование процессов переноса частиц, некоторые задачи оптимального управления.

Термин «нагруженное уравнение» впервые появился в работах применительно к интегральным уравнениям[1].

Рассмотрим нагруженное обыкновенное дифференциальное уравнение

п

У(х)-Лу(х) + ) = /(х), (1)

'=1

п

где Л,ДЦ = 1,п) - некоторые постоянные, причём о,0а х(' = 1 п) - фикси-

1=1

рованные точки из интервала (0;1); для определённости будем считать, что

о<х <х9 <...<х < 1.

1 2 п

Функция /(х) предполагается непрерывной на всем отрезке (0;1).

Для уравнения (1) рассмотрим следующую краевую задачу: определить регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям: у(о) = у(1) = 0. (2)

Теорема. Задача (1) - (2) имеет единственное регулярное решение тогда и только тогда, когда выполняются условия:

-п . -¡Лх^ л/я(1 -х1)

yX.sk--sh---— ек-,Л> 0, (3)

' 2 2 2 2 У '

4 Статья представлена магистром социальной работы Т. М. Хусяиновым (Нижний Новгород, Россия). Рецензент: Кумыков Тембулат Сарабиевич - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования геофизических процессов ФГБНУ «Институт прикладной математики и автоматизации» (Нальчик, Россия).

. лГЛх, . 4-Л(1 -х1) Л уГя .

У Л, sin-Lsin---— ф— cos-,Л< 0.

ti ' 2 2 2 2

Запишем уравнение (1) в виде:

n

У (х) - Лу( х) = -УЛу( х) +f (х).

г=1

(5)

(6)

Выясним сначала, существует ли функция Грина для оператора

Ьу = У"(х) -Лу( х) с краевыми условиями (2).

Сначала рассмотрим случай л> о. Очевидно, что у (х) = е_л/Лх, у (х) = еЛх есть фундаментальная система решений уравнения

У * (х) -Лу( х) = 0, (7)

общее решение которого можно представить в виде

У(х) = е1е^Лх + е2е^х. (8)

В случай л< о фундаментальная система решений уравнения (7) имеет вид: у(х) = еоь V—Лх, у2(х) = ьт-У—Лх, а общее решение у(х) = еоь л/—Лх + ьт л/—Лх.

Нетрудно заметить, что функция Грина задачи (2) для оператора Ьу = ут -Лу при

Л > о имеет вид:

G( х, t) =

- shy/Л (1 - x)shл[Лt

- ■ shyfl (1 -1)

0 < t < х,

х < t < 1.

(9)

а при Л < о:

G( х, t) =

- sin л/ -Л ■ sin л/ - Л(1 - х)

л/- Л sin V- Л

- sin V- Лх ■ sin л/ -Л(1 -1)

_ V- Л sin л/- Л

о < t < х,

х < t < 1.

(10)

Считая известной правую часть уравнения (5) и используя (15), запишем его решение

1 " г

в виде: у(х) = |0(х,0/фЖЛ,у(х,)|0(х,. (11)

Обозначим ß(x) = |G(x, t)dt, rix) = f G(x, t) f (t)dt,

0 0

С учетом (12) выражение (11) принимает вид:

n

y(x)+ ß(x)YJ^1y{x1 ) = rix).

1=1

Элементарными вычислениями легко показать, что:

(12)

о

i

ß( x) — J G( x, t )dt

_ , VXx , VX(i - x)

- 2sh-sh----

2 2

Ach

2

A > 0

_ . -J-Ax . J- A(1 - x)

2 sin-sin-

22

A cos

4-1

A< 0

В выражении (13) придавая значения x — x,

x — x,, x — x<-\

x = xn :

n

y(xi) + ß(xi A y{x ) = r(xi)

i—1 n

y(x2 ) + ß(x2 )Z A У (xi ) = y(x2 )

i—1 n

y(x3) + ß(x3 )Z A y(xi) = r(x3)

i—1

y(xn) + ß(xn Ё A y(x,) — Y(xn).

i—1

Ведем обозначения yt = y(x,), ß = ß(xt), 7i = y(xi). С учетом (16) система (15) принимает вид:

п

у +ßi ЕЛ- У1 =У1

У 2 +ß2 ZA¡y¡

i—1

n

Уз +ß3 Z^y-

i—1

n

Уп +ßn ZA>y> —fn ,

или в более развернутом виде:

У1 + ß1 (Л У1 + Л2 У 2 + Л Уз + ... + ЛпУп ) = h У2 + ß2(4 У1 +^2 У 2 + Л Уз + ... + КУп ) = Г2 * Уз + А(Л У1 + Л2 У 2 + Лз Уз + ... + АпУп ) = Гз

i—1 n

(15)

(16)

(17)

Уп +Рп (Л У1 + Л2 У 2 + Л3 Уз + ... + ЛпУп ) = Гп .

Выражение (18) - есть линейная алгебраическая система из ^неизвестных. С помощью элементарных преобразований запишем последнюю систему в виде:

=

0

2

<

i—1

(l + + А Д У2 + А Д У3 +... + Xnßxyn = fx

Л ^У 1 + (l + A ß2 )У2 + A ДУ3 + ... + kß2Уп = f Л ß3y 1 + A ДУ2 + (l + A ß3 )У3 + ... + АДУп = f3

Л ßnУ 1 + ^пУ2 + АДпУъ + ... + (l + ЛпДп )Уп = fn .

Система (19) имеет единственное решение, если

1 + ЛД АД АД . . АД

ЛД 1 + АД АД . . АА

Л п = ЛД АД 1+АД . . АД * 0

ЛД АД Л3Ап . . 1 + АА

(20)

Используя известные свойства определителей, методом математической индукции

можно доказать, что

лп =1 + £ АД.

(21)

i=1

Действительно, при п = 1: Л = 1 + ЛД; при п = 2:

1+ Л Д АД

л2 =

АД 1 + АД при п = 3:

= 1+Л Д + АД + Л АД ß2 - Л Aß ß2 = 1+Л Д + АРг ;

Л 3 =

+

1 + А Д АД Aß1 Л ß2 1 + Л2Д2 Aß2 ЛД АД 1 + АД Л Д АД АД Л ß2 1 + Aß2 Л3ß 2

Л ß

3 Aß3 1 + Aß3

1 АА Л3Д

0 1 + АД Л3 ß 2 0 АД 1 + АА

= 1 + Л Д + АД + АД;

+

(22)

при п =k :

л^ = 1 + £ Aßi.

(23)

i=

Перейдем к разрешимости системы (19). Найдем все неглавные определители данной системы:

f АД Л3Д . . АД

f2 1 + Aß2 A>ß2 . . ЛпД2

Л1 = п f3 A.ß3 1 + ^3^3 . . ЛпА3

Y„ Aß„ Л3Ап . . 1+ АД

1+ Л ß1 f Л3Д . . АА

Л ß2 f 2 A>ß2 . . АД

Л2 = п Л ß3 f 1+АА . . АД

Л Д f Л3Ап . . 1+АД

1+ ЛА Kß, ЛзА1 • • 71

ЛА2 1+л2А2 Л&2 • • 72

Лп = n ЛАз ЛАз 1+ЛА • • 7з

\ßn ЛАп ЛзАп . • 7п

Решения системы (19) определяются по формулам:

Л

А2

Л

* Л ; У Л ; У Л

Уп =

Лп

п

Л.

или с учетом (21)

У =-

л'

У 2 =

Л2

Уз =

л3.

Уп =

А

пп

(24)

. (25)

1+ЕЛД 1+1ЛА 1+1ЛА

i=1 i=1 i=1

Рассмотрим выражение

n

l + ZAk ßk, i = j,

1+Z4ß

Л

(i,j )

k=1 k *i,j

(26)

-ЛА, i * j,

где Л(i j) - алгебраическое дополнение элемента /-ой строки и у-го столбца в опреде-

1 п

лителе Л. Так как y(x) =—Ули {,J)y(x1), i = 1, n,

Лп t! '

то из равенства (26) получаем (при ли * о):

1

y( x) = ■

1 +!ЛА

j=i

■(Г, +Ё ß (YlÄj-äiYj )).

(27)

(28)

j=i

j j*i

Теорема доказана.

Литература:

1. Кумышев Р.М.О разрешимости краевой задачи для нагруженного дифференциального уравнения. //ФЭн-наука. 2015. №4 (43). С. 6-8.

2. Нахушев А.М. Нагруженные дифференциальные уравнения и их приложения // Труды Всесоюзного симпозиума в Тбилиси, 21-23 апреля 1982 г. С. 183-188.

3. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения // Дифференц. Уравнения. 1983. Т. 19, № 1. С. 86-94.

4. Нахушев А.М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. Уравнения. 1982. Т.18, № 1. С.72-81.

Р

Kumyshev R.M. O razreshimosti odnoj kraevoj zadachi dlja nagruzhennogo obyknovennogo differencial'nogo uravnenija vtorogo porjadka // Nauka. Mysl'. - №12. - 2015.

п

п

n

,=1

<

n

n

© Р. М. Кумышев, 2015.

© «Наука. Мысль», 2015.

— • —

Abstract. The boundary value problem for the second order differential equation has been studied. The question on solvability at given conditions has been reduced to the investigation of a system of algebraic equations.

Keywords: differential equation, loaded equation, boundary value problem, Green function, system of algebraic equations.

.— • — Сведения об авторе

Радион Музаринович Кумышев, старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова.

— • —

Подписано в печать 13.12.2015.

© Наука. Мысль, 2015.