О разрешимости краевой задачи для нагруженного уравнения смешанного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Физико-математические науки

УДК 517.9

О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ

СМЕШАННОГО ТИПА1

Р. М. Кумышев, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова (Нальчик, Россия) e-mail: [email protected]

Аннотация. Исследована краевая задача для гиперболо-параболического уравнения второго порядка. Вопрос разрешимости редуцирован к исследованию разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, задача Дирихле, уравнение смешанного эллиптико-гиперболического и параболо-гиперболического типов, интегро-дифференциальное уравнение.

Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире, приводит к изучению нестандартных начально - краевых, прямых и обратных задач для уравнений в частных производных, не имеющих аналогов в классической математической физике.

Возникшие в приложениях проблемы, в частности проблемы околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамики [3-4], без моментной теории оболочек и другие [1] привели к систематическому изучению уравнений смешанного типа с разрывными условиями сопряжения.

Первые фундаментальные исследования уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа были выполнены Ф. Трикоми [5-6] и С. Геллерстедтом [7].

Если первоначально изучались преимущественно уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа, то в настоящее время понятие уравнений смешанного типа значительно расширилось и включает всевозможные комбинации двух или трех классических типов уравнений. Интенсивное исследование уравнений смешанного эллиптико-гиперболического и параболо-гиперболического типов обусловлено тем, что с одной стороны новые типы смешанных уравнений еще мало исследованы в теоретическом плане, а с другой, они находят широкое применение в важных вопросах механики, физики и техники.

В последние годы продолжается интенсивное исследование нагруженных уравнений [2], связанное, в частности, с различными приложениями задач, ассоциированных с этими уравнениями. К последним относятся, например, задачи долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги, моделирование процессов переноса частиц, некоторые задачи оптимального управления.

1 Статья представлена магистром социальной работы Т. М. Хусяиновым (Нижний Новгород, Россия). Рецензент: Кумыков Тембулат Сарабиевич - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования геофизических процессов ФГБНУ «Институт прикладной математики и автоматизации» (Нальчик, Россия).

Термин «нагруженное уравнение» впервые появился в работах применительно к интегральным уравнениям.

В данной статье для нагруженного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа изучена краевая задача. Разрешимость рассматриваемых задач сведена к исследованию интегрального уравнения Фредгольма.

Пусть о = о1 и о2 и I с R2 - конечная область, где о1 = {(х, t)о < х < 1,0 < t < т} и о2 - область, лежащая в полуплоскости г < о и ограниченная прямыми

ОС: х + г = о, ВС: х - г = 1,0(0,0), в(1,0) и I = {г = 0:0 < х < 1}, " £|.

В области о рассмотрим нагруженное гиперболо-параболическое уравнение

- и. + \и(х,0),г > 0, ...

второго порядка \ х г ] (1)

[ихх - и. + Л2и(х,0),г < 0,

где Хг (/ = 1,2) - постоянные. Уравнение (1) - гиперболо-параболическое уравнение с характеристической линией изменения типа, исследованию краевых задач для которых посвящены многие работы.

Найти непрерывную в о функцию и = и(х, г) с непрерывными в о производными

2

их и , являющуюся регулярным решением уравнения (1) в и ог и удовлетворяющую

i=1

граничным условиям

и(0, г) = ср0 (г), и(1, г) = < (г), 0 < г < т, (2)

и\ос = ¥(х\ 0 < х < 1 , (3)

где <р0(г), < (г)е С[0,т] у/(х)-дважды непрерывно дифференцируемая функция,

(Р0 (0) = ^(0).

Полагая и(х,0) = г(х), и ((х,0) = у(х), исходя из условий задачи при г ^ 0 +,

получаем функциональное соотношение:

г" (х)-у(х)+ А1т(х) = 0. (4)

Решение задачи в области о2 ищем в виде

2 х+г х-г (к , Л

и(х, г) = F(х + г)+ф(х - г) - ^ | | г( и, (5)

4 0 1 V 2 )

где F(x) и ф(х) - дважды непрерывно дифференцируемые функции, подлежащие определению.

На основании (3) из (5) находим ф(х) = х| - F(0), 0 < х < 1; в итоге выражение (5) принимает вид:

и(х,г) = F (х + г)+- F (0)-^ ХЩ . (6)

Продифференцировав (6) последовательно сначала по х, затем по переменной t и переходя в полученных производных их и и1 к пределу при г ^ 0-, получаем интегро-

дифференциальное соотношение между г(х) и у(х), принесённое на I из гиперболической части о2

Принимая во внимание (4) и (7), нетрудно видеть, что задача эквивалентна следующей двухточечной задаче Дирихле:

т(о) = (ро (0), г(1) = р (о) (8)

для интегро-дифференциального уравнения

х ( х Л

т"(х)-т'(х)+\т{х) = Х2 Г -I. (9)

х/2 V 2 )

Задача (8), (9) допускает интегральное представление решения в виде

1

т(х) = Фо(х) + Я2\т($К(х,№ , (10)

о

где

х ^ х ( ^ + х

1 f

Ф 0 (х ) = р (о)+A<P1 (0) - Р (0)] -m t №, t )dt + J G(x, t ){(X -(0) - ç0 (0)] -

о v1 J 0

+ (0)}dt, Ф0 (x)e C[0,1],

G(x,t) - функция Грина задачи (8), (9), которая при \ < 1 существует.

Однородное уравнение, соответствующее уравнению (10) имеет лишь тривиальное решение, если не является корнем уравнения d(x2 ) = 0, где d(x2 ) - определитель Фредгольма непрерывного ядра к(х,£) и, следовательно, уравнение (10) имеет решение.

Литература:

1. Кузьмин А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. - Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1990. - 208 с.

2. Нахушев А.М. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка. - Нальчик: Эльбрус. 1992. - 155 с.

3. Франкль Ф.И. Два газодинамических приложения краевой задачи Лаврентьева-Бицадзе // Вестник ЛГУ. Серия матем., мех. и астр. - 1951. - т.6. - №11. - с. 3-7.

4. Франкль Ф.И. О задачах Чаплыгина для смешанных до и сверхзвуковых течений // Известия АН СССР. Серия матем. - 1945. - т.6. - №2. - с. 121 - 242.

5. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М.-Л.: Гостехиздат. 1947. - 190 с.

6. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.:ИЛ, 1957. - 444 с.

7. Gellerstedt S. Quelqurs problems mixtes pours l'equation // Arkiv for Mat., Astr Osh Fis. - 1936. - bd. 26 A. - №3. - p. 1-32.

Kumyshev R.M. O razreshimosti kraevoj zadachi dlja nagruzhennogo uravnenija smeshannogo tipa // Nauka. Mysl'. - № 8. - 2015.

© Р. М. Кумышев, 2015.

© «Наука. Мысль», 2015.

— • —

Abstract. The boundary value problem for the second order hyperbolic-parabolic equation has been analyzed. The question on the solvability has been reduced to the investigation of resolvability of the second order Fredholm integral equation.

Keywords: equations of mixed type; Dirichlet problem, equation of mixed elliptic-hyperbolic and parabolic-hyperbolic types, integral-differential equations.

.— • — Сведения об авторе

Радион Музаринович Кумышев, старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова.

— • —

Подписано в печать 10.11.2015.

© Наука. Мысль, 2015.