CC BY
32
УДК 517.946
Р.М. Кумышев
старший преподаватель, кафедра дифференциальных уравнений, ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»,
г. Нальчик
А.А. Битова
студент,
кафедра дифференциальных уравнений, ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»,
г. Нальчик
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ
Аннотация. Исследована краевая задача с нелокальными условиями для диффузионного уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом. При решении задачи использован метод Фурье.
Ключевые слова: уравнение дробного порядка, оператор дробного дифференцирования, отклоняющийся аргумент, метод разделения переменных.
R.M. Kumyshev, Kh.M. Berbekov Kabardino-Balkarian State University, Nalchik
A.A. Bitova, Kh.M. Berbekov Kabardino-Balkarian State University, Nalchik
BOUNDARY-VALUE PROBLEM FOR DIFFERENTIAL EQUATION OF FRACTIONAL ORDER WITH
DEFLECTING ARGUMENT
Abstract. The boundary-value problem with non-local conditions for the second order diffusion equation with deflecting argument has been studied. The Fourier method has been applied.
Keywords: fraction order equations, operator of fractional differentiation, deflecting argument, method of variables separation.
В области W = {(x,t): -я < x < я,0 < t < я} рассмотрим уравнение:
D0atu(x,t) = a2uxx (x,t) + b2uxx (-x,t),1 < a < 2,a,b - const. (1)
В настоящее время наблюдается активный рост внимания исследователей к уравнениям дробного порядка [1-2]. Несомненно, развитие аналитического аппарата теории уравнений с частными производными дробного порядка является весьма актуальной и важной задачей. Уравнения дробного порядка с отклоняющимся аргументом характерны для многих диффузионных и биологических моделей и имеют большое прикладное значение.
В уравнении (1) D0at - оператор интегро-дифференцирования, в смысле Римана-Лиувилля дробного порядка ve R, с началом в точке s , определяется следующим образом [4]:
Dltg(t) = sign(t - s) U®^,v < 0; st r(-v) ]|t -X|v+1
Dvstg(t) = g(t ),v = 0;
dl dtn
Задача. В области W найти решение u(x,t) уравнения (1), непрерывное всюду в W , за исключением, быть может, отрезка 0 < x < я прямой t = 0 , и удовлетворяющее условиям:
limt2-au(x,t) = t(x), limrt2-au(x,t)l = v(x), 0 < x < 1, (2)
t ®0 t ®0L -It
Dvtg(t) = sign" (t - s^D^gtf), n -1 < v < n,n e N.
аи (я,?) + р.,и(я,0 = 0, а1их (-я,?) + р.,и(-я,0 = 0,0 < t < Т . (3)
Решение задачи будем искать в виде
и(х,0 = Х(х)Т(?)[3]. (4)
Подставляя (4) в уравнение (1) и используя краевые условия (3) для функции Х(х), получаем следующую задачу:
аХ'(х) + ЬХ" (-х) + 1Х( х) = 0, (5)
а1 X'(я) + р1 (я) = 0, а2X'(-я) + р1 X(-я) = 0 . (6)
Пусть
и(х) = Х(х) +Х(-х), ,(х) = Х(х) - Х(-х) . (7)
Тогда
Х (х) = и( х) + V (х). (8)
Можно показать справедливость следующих соотношений:
, ч Х (-х) + Х (х) ч Х (-х) - Х (х)
и(-х) = —— = и(х), V(-х) = —— = -V(х). (9)
Отсюда
И соответственно:
и ,(х) = ГХх^-С-х), V,(х) = Х'(х) - Х'(-х) . (10)
% Х (х) + Х (-х) „ ,лл\
и (-х) = —4 ' 2 4 у = и (х), (11)
и(-х) = Х"(х) -2Х '(-х) = _- (х). (12)
Используя соотношения (8)-(12) и краевые условия (6), можно получить для функций и(х) и V (х) следующие задачи:
(а2 + Ь2)и'(х) + 1и( х) = 0, (13)
а1и'(я) + р1и(я) = 0, а2и'(-я) + Р2и(-я) = 0, (14)
(а2 + Ь2 )v"( х) + IV (х) = 0, (15)
ау (я) + р^ (я) = 0. (16)
Задачи (13)-(14) и (15)-(16) - это задачи на нахождение собственных значений 1, и, соответствующих им, собственных функций и(х) и V(х).
Вначале рассмотрим задачу (13)-(14). Общее решение уравнения (13) имеет вид:
1> 0 и(х) = о^оэ/ 21 2 х + С2Э1^ 21 х, (17)
1 а2 +Ь2 2 а2 + Ь2
при
1 = 0,и( х) = с1 + о2 х, (18)
при
1 < 0,и(х) = о1^ а2 +Ь + о2б а +Ь2 . (19)
Рассмотрим первый случай, когда
и( х)=о1соЧ х+х.
Используя краевые условия (14), можно прийти к следующей системе алгебраических
1
—-х
1
—-х
уравнении относительно неизвестных с1,с2:
(
1 a2 + b2 Va2 + b2'
l ■ l l -ац|——— sin J——tv p + bi cosj——tv p
a2 + b2
V 1 a2 + b2 \a2 + b2 \a2 + b J
l l о ■ l
-a< I——— cos J 2——p + p.,s/v J ———p
c2 = 0
l ■ l l а.2<1——— sin J——tvp + P2 cos4/ -——p
2Va2 + b2 Va2 + b
(20)
a2 + b2
l l о ■ l
-a2«/^-^cos. —-^p-p2 sin. —-^p
V 2\a2 + b2 Va2 + b2 2 Va2 + b2 ,
V J
c2 = 0.
Введем обозначения
1
a2 + b2
= m. С учетом последнего, система (20) примет вид:
-a1m sin(mp) + b1 cos(mp)) c1 + (a1m cos(mp) + b1 sin(mp)) c2 = 0 a2m sin(mp) + b2cos(mp)) c1 +(a2m cos(mp) -b1sin(mp)) c2 = 0. Теорема 1
Если a1 = a2 = 0Д = b2 = 1, то задача (13)—(14) имеет собственные значения:
1<1) = (a + b)k 2,k = 1,2...,
(21)
а задача (15)—(16) собственные значения:
12) = (а-Ь)| к + - | ,к = 0,1,...,
Собственные функции этих задач имеют вид, соответственно:
1
u(x) = Д cos Vk + — J x, k = 0, ¥,
v(x) = Bk sin kx,k = 1, ¥. Для определения функции T(t), можно получить уравнение:
Daoty (h) + 1T (t) = 0. Общее решение уравнения (26) определяется формулой [1]:
T(t) = a1ta-1Eу [-1c2ta;a] + a2ta-2Ey [-1c2ta;a-1],
где
a lim—[t2-aT(t)] =
t®0 rtt [ WJ
lim12~aT(t) = —^ .....
t ®0 r(a-1) t ®0 dt
r(a)'
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
Теорема 2
Пусть и(х^) - решение задачи (1)-(3). Тогда любое регулярное решение данной задачи может быть представлено в виде ряда:
u( x,t) = X Uk (t) X<1)( x) +£vk (t) X<2)( x).
(29)
к=1 к=0
Заключение
Доказана однозначная разрешимость данной задачи при определенных условиях на граничные условия. Присутствие отклоняющегося аргумента в дифференциальном уравнении играет существенную роль.
c1 +
+
c1 +
+
2
a
Список литературы:
1. Нахушев А.М. Уравнение математической биологии. - М.: Высшая школа, 1995. - 301 с.
2. Нахушев А.М. Элементы дробного исчисления и их применение. - Нальчик: КБНЦ РАН, 2000. - 299 с.
3. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. -М., 1996.
4. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. - Минск, 1978.
