О разрешимости обратной задачи Штурма Лиувилля в симметричном случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

Т.В. Мазур. O разрешимости обратной задачи Штурма - Лиувилля в симметричном случае

УДК 517.984

О РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ В СИММЕТРИЧНОМ СЛУЧАЕ

Т.В. Мазур

Саратовский государственный университет,

кафедра математической физики и вычислительной математики

E-mail: [email protected]

В статье предоставлены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи восстановления оператора Штурма - Лиувилля по его спектру в случае симметричного относительно середины отрезка потенциала.

On the Solvability of the Inverse Sturm - Liouville Problem in the Central Symmetry Case

T.V. Mazur

Necessary and sufficient conditions are provided for the solvability of the inverse problem of recovering Sturm - Liouville operator from its spectrum in the central symmetry case.

1. Пусть (Ап}п>о — собственные значения самосопряжённой краевой задачи Ь = Ь(д(х),Н) вида

-у'' + д(ж)у = Ау, д(ж) Є Ь2(0,п), ?(ж) = ?(п - х), (1)

у'(0) - Ну(0)=0, У'(п) + %(п)=°, (2)

где А — спектральный параметр, д(х), Н вещественны. Функция д(х) называется потенциалом. Краевая задача Ь имеет счётное множество собственных значений {Ап}п>0, причём (см. [1, гл. 1])

л/^п = п +-----1---5 {&п} Є ¿2, (3)

п п

где п

ш = 1(^2Н + 1 I #(£) .

п V 2 J о /

Рассмотрим следующую обратную задачу:

Задача 1. По заданному спектру {Ап}п>0 построить потенциал д(х) и коэффициент Н. Известно (см. [1, гл.1]), что задание спектра {Ап}п>0 однозначно определяет краевую задачу Ь. Другими словами, если решение этой обратной задачи существует, то оно единственно. Цель этой статьи заключается в описании необходимых и достаточных условий разрешимости данной обратной задачи. Основным результатом статьи является следующее утверждение.

Теорема 1. Для того, чтобы вещественные числа {Ап }п>0 были спектром некоторой краевой задачи Ь(д(х), Н) вида (1)-(2), необходимо и достаточно, чтобы имело место представление (3), где ш — вещественное число.

Необходимость условий теоремы очевидна. Для доказательства достаточности нам потребуются некоторые факты из теории обратных задач Штурма - Лиувилля. Эта информация кратко будет изложена в п.2.

2. Пусть {Ап}п>0 — собственные значения самосопряжённой краевой задачи Ьі = Ьі(д(х),Н, Н) вида

-У'' + 9(ж)у = Ау, д(х) Є Ь2(0, п), (4)

У'(0) - ну(0) = 0, у'(п) + Ну(п) = 0, (5)

где д(х), Н, Н вещественны. Ясно, что Ь — частный случай Ь1 при Н = Н, и д(х) = д(п - х) п.в. на (0,п).

Пусть ^(х, А) и -0(х, А) — решения уравнения (4) при начальных условиях

^(0, А) = 1, ^'(0, А) = Н, ^(п, А) = 1, -0'(п,А) = -Н. (6)

Обозначим

Д(А) = (^(x,А),^(x,А)), (7)

© Т.В. Мазур, 2008

где (у(ж),г(ж)} := y(x)z'(ж) — y'(x)z(x) — вронскиан функций y и z. Согласно теореме Остроградского - Лиувилля, (0(ж, А), ^(ж, А)} не зависит от ж. Функция Д(А) называется характеристической функцией краевой задачи L. Подставляя ж = 0 и ж = п в (7), получаем

Д(А) = V (р) = — U М. (8)

Функция Д(А) является целой аналитической по А порядка 1/2. Собственные значения (An}n>o

краевой задачи L1 совпадают с нулями Д(А) и имеют вид

л/АЛ = n + — + —, (ani }е I2, (9)

n n

где п

^i = 1 (h + H + 1 i q(t) diY п ' 2 J o '

Кроме того, из (6)-(8) следует, что функции ^(ж,Ап) и -0(ж, Ап) являются собственными функциями, и существует последовательность (вп}n>0 такая, что

^(ж,Ап) = вп^(ж, Ап), вп = 0. (10)

Лемма 1. Задание спектра (Ап}п>0 однозначно определяет характеристическую функцию Д(А) по формуле

О А — А

Д(А) = п(Ао — А)П ^—-■ (11)

n

п=1

Доказательство. Поскольку Д(А) является целой по А функцией порядка 1/2, то по теореме Адамара Д(А) однозначно определяется своими нулями Ап с точностью до постоянного множителя:

ОО л

Д(А) = C П ^ — ап) • (12)

n=0 п

(Случай, когда А = 0 является собственным значением, требует незначительных изменений.) Известно (см. [1, гл.1]), что имеет место асимптотическая формула:

Д(А) = —рsinрп + w1 cosрп + Z(р), |А| —> ^о, (13)

где

1 (П (1 \

Z(р) = - q(t)cos р(п — 2t) dt + O(- exp(|r|п) 1, А = р2, т = 1тр.

2 Jo ^р '

Рассмотрим функцию

ОА

Д(А) := —р Бшрп = — Ап Í1-----2

n2

п=1

Тогда

Д(А) = сА — Ао 1Т П2 IT Л + Ап — n2 Д(А) АопА An n2 — А

v J n=1 n=1

Используя (9) и (13), вычисляем:

lim ДД(А)=1, lim П(1 + AnrZT2) =1

Л^ — о Д(А) л^—<° n=1 V n — А /

и, следовательно,

C nt.

О

Ап

n2

n=1

Подставляя это в выражение (12), приходим к (11). □

Т.В. Мазур. O разрешимости обратной задачи Штурма - Лиувилля в симметричном случае Обозначим

г»7Г /»7Г

„2/_ л ч т, „,0 / „,.2/

an := / ^ (x, An) dx, an := / ф (x, An) dx. (14)

00

Из (10) следует, что

an — •

Лемма 2. Справедливо соотношение

аП = вП«п . (15)

an = -Á(An)(вп) (16)

где числа вп определяются формулой (10), и Д(А) := Д(А). Доказательство: Используя (4), вычисляем

(^(х, А), <р(х, Ап)) = (А - Ап)^(х, А)<р(х, Ап) и, следовательно, с учётом (8) имеем:

Г7Т

71

(А - Ап )/ -0(x, A)<p(x, Ап)dx = (^(x, A), <p(x, A„)) = -Д(А).

./о 0

При A ^ An это даёт

/ -0(x, A)^(x, An )dx = —^(A).

Jo

Учитывая (10) и (14), приходим к (16). □

Для весовых чисел an справедливо представление

an = 2 + “’ {anl} £ ¿2, an > 0. (17)

В самом деле, известно (см. [1, гл.1]), что для функций ^(x, An) имеет место асимптотическая формула

( \ \ (x) (-\ o^

^(x, An) = cos nx +--------, n ^ го, (18)

где

Cn (x) = (h + 1 í q(t) dt — xw — x£n) sin nx + 1 [ q(t)sin n(x — 2t) dt + ^, {Zn ¿2- (19)

V 2 Jо / 2 jо Vn/

Следовательно,

ICn(x)| < C. (20)

Подставляя это в (14), получаем:

an ----

П 1 f (п Çn(x)\ . , , .

H— (2 cos nx H------)£n (x) dt.

n /n V n /

2 п

Учитывая (20), приходим к (17).

Кроме того, в силу (10) при х = п имеем: вп = (^(п, Ап))-1. Тогда, используя (18) и (19), вычисляем:

вп = ( — 1)п +-—, {^п2 } £ ¿2 •

Вместе с (16) и (17) это даёт:

Д(Ап) = ( —1)П+1 2 +---—, {^п3} £ ¿2. (21)

Совокупность чисел {Ап,ап}п>0 называется спектральные данные краевой задачи Ь1.

Заметим, что, если Н = Н и д(х) = д(п — х) п.в. на (0, п), то -0(х, А) = ^(п — х, А). Используя (10), вычисляем

■0(х, Ап) = вп<р(х, Ап) = вп^(п — х, Ап) = вп<?(п — х, Ап) = вп^(х, Ап),

Математика

23

и, следовательно, ß^ = 1. Используя теорему Штурма об осцилляции [2, стр. 25], заключаем, что ßn = (-1)n. Тогда (15) даёт ап = аП.

3. Доказательство теоремы 1. Пусть заданы вещественные числа {An}n>o вида (3). Введём числа {an }n>0 по формуле

ап := (—1)n+1^^(An), (22)

где Д(А) построена по (11). Подставляя вместо Д(АП) представление (21), получаем, что числа ап имеют вид (17). Согласно теореме 1.3.1 из [1, стр. 45], существуют единственные вещественные q(x), h и H (q(x) е L2(0,п)), такие, что {An, an}n>0 являются спектральными данными краевой задачи L1 (q(x),h,H) вида (4)-(5). Кроме того, из (16) и (22) следует, что

ßn = ( —1)n .

Вместе с (15) это даёт

ап — ап

для этой краевой задачи. Осталось показать, что h = H и q(x) = q(n — x) п.в. на (0, п). С этой целью рассмотрим краевую задачу L1 = L1 (7(x), h, H), где 7(x) := q(n — x), h = H, H = h.

Договоримся, что если некоторый символ y обозначает объект, относящийся к задаче L1, то символ 7 будет обозначать аналогичный объект, относящийся к задаче L1. В нашем случае ясно, что

An An , ап ап5 аП ап .

Поскольку аП = ап, следовательно, краевые задачи L1 и L1 имеют одинаковые спектральные данные. Согласно Теореме 1.2.2 из [1, стр.30], получаем h = h, H = H и 7(x) = q(x) п.в. на (0,п), т.е. H = h и q(x) = q(n — x) п.в. на (0,п). Теорема 1 доказана. □

4. Аналогичным образом могут быть получены подобные результаты для краевых условий Дирихле. В [4] данные результаты были получены другим, более сложным методом. Сформулируем их здесь без доказательства. Пусть {дп}n>1 — собственные значения самосопряжённой краевой задачи Lo = Lo(q(x)) вида

—v" + q(x)y = Ay, q(x) е L2(0,п), q(x) = q(n — x),

V(0) = У(п) =

где потенциал q(x) вещественнен. Тогда

^ = n + — + —, {ano }е l2, (23)

n n

где

1 Г ^o = — q(t) dt.

2п0

Задание спектра {дп}п>1 однозначно определяет потенциал q(x).

Теорема 2. Для того, чтобы вещественные числа {дп}п>1 были спектром некоторой краевой задачи Lo(q(x)), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство (23), где ^1 — вещественное число.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 07-01-00003 и 07-01-92000-HHC-a).

Библиографический список

1. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектраль- 3. Conway J.B. Functions of One Complex Variable. 2nd

ных задач. М.: Физматлит, 2007. ed. V. I. N.Y.: Springer-Verlag, 1995.

2. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их при- 4. Poschel J., Trubowitz E. Inverse Spectral Theory. N.Y.:

ложения. Саратов: Изд-во Сарат. пед. ин-та, 2001. Academic Press, 1987.