CC BY
13
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 8 (17), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
95
О РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ
УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Кошелева Юлия Анатольевна
Сахалинский государственный университет, старший преподаватель кафедры математики, г. Южно-Сахалинск АННОТАЦИЯ
Исследована разрешимость линейных обратных задач для некоторых классов ультрапараболических уравнений. ABSTRACT
The article is devoted to study solvability of linear inverse problems for some classes of ultraparabolic equations. Ключевые слова: ультрапараболическое уравнение, линейная обратная задача, регулярное решение.
Keywords: ultraparabolic equation, linear inverse problem, regular solution.
В настоящее время теория неклассических краевых задач для уравнений математической физики представляет собой бурно развивающуюся область математики, содержащую огромное число нерешенных проблем. На сегодняшний день актуально получение новых результатов о разрешимости нелокальных краевых задач, а также обратных.
Нелокальными задачами принято называть задачи, в которых вместо задания решения или его производных на фиксированной части границы задается связь этих значений со значениями тех или иных функций на других внутренних или граничных многообразиях. Теория нелокальных краевых задач важна сама по себе как раздел общей теории краевых задач для уравнений с частными производными и как раздел математики, имеющий многочисленные приложения, возникающие в таких областях как: теория плазмы, биофизика, теория диффузионных процессов, теория многослойных пластин и оболочек и др.
Обратные задачи, которые представлены в данной работе связаны с математическим моделированием динамики популяций с учетом астрономического времени t, биологического времени a и дополнительного учета диффузии (перемешивание в процессе взаимодействия). Такие задачи сводятся к исследованию нелокальной краевой задачи для ультрапараболических уравнений.
В частности, работа посвящена исследованию разрешимости линейных обратных задач, относящихся к классу задач для ультрапараболических уравнений с неизвестными коэффициентами пространственного типа и к классу задач для нестационарных уравнений с неизвестными коэффициентами временного типа.
Введем необходимые обозначения и рассмотрим обратные задачи для уравнений с неизвестными коэффициентами пространственного типа. Следует отметить, что как линейные, так и нелинейные обратные задачи нахождения вместе с решением неизвестного внешнего воздействия или же неизвестных коэффициентов достаточно хорошо изучены для параболических уравнений [1-5].
Пусть Q есть ограниченная область пространства
pn
R с гладкой (для простоты - бесконечнодифференциру
t (0,T)
есть число из интервала
(0, A) 0(A<+™
емой) границей Г.
0(T<+да a
, есть число из интервала
і х (0,T) х (0,A)
Q есть цилиндр Qх ± ! х ^!. Далее, пусть
c( x, t, a) f (x, t, a) h( x, t, a) hk (x t, a)
k = 1,..., m N (x, t, a) m x eQ
’ ’ , v ’ ’ 7 суть заданные при Л e Q,
t g[°,t ], a e[°, A] функции, *1,t2,..., tm - заданные
0^1 <t 2 <...<tm < T .
Обратная задача I: Найти функции u(^ a), q,( x, a) qm (x, a)
^1 v ’ J , ..., lmK ’ y, связанные в цилиндре Q уравнением
Lu = ut + ua - Au + c(x, t, a) u = f (x, t, a) +
S hk(x, t, aq (x a)
k=1 (1)
ТГ x., x2,..., xn
(А- оператор Лапласа по переменным 12 n
), при выполнении для функции u(x, t,a) условий
u(x,0,a) =o хeQ, a e (0,A) u(x,t,0)=° х eQ, t e (0,T) u( x, t, a) =0,
x e8Q t e (0, T) a e (0, A)
(2)
(3)
(4)
u(x, tk, a)=° k = 1,..., m х eQ, a e (0, A) 5
Обратная задача II: Найти функции q(x, a) , связанные в цилиндре Q уравнением
Lu
1= f (x, t)+ h(x, t, a) q(x, a)
u( x, t, a)
i1')
при выполнении для функции t, a) условий (2)-(4),а
также условия
T
Г N(x, t, a)u(x, t, a)dt = 0 o , х eQ, a e (0, A). (6)
В обратных задачах I и II условия (2)-(4) суть условия обычной первой начально-краевой задачи для ультрапараболических уравнений, соотношения (5), (6) соответственно условия переопределения на временных слоях и интегрального переопределения; наличие этих условий обуславливается наличием дополнительных неизвестных
функций q1(x,a) , ..., qm (x, a) или же q(x a).
Для решения обратных задач вводятся все необходимые обозначения, проводятся некоторые построения, касающиеся данных задач. Далее осуществляется переход к краевым задачам.
числа такие, что
96
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 8 (17), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Проведем некоторые построения, касающиеся обратной задачи I.
Обозначим для краткости через G область
Пх (0, А)
В уравнении (1) положим последовательно t ^ , t t2,..., t tm . Получим алгебраическую систему от-
носительно функций
qi( X, a) qm (x a)
Обозначим через d(X, a) определитель этой си-
стемы. Считая выполненным условие
\d(x a) > do > 0 (x, a) є G
выразим функции
qk (x, a)
при
(7)
m
qk (x, a)__a„ (x, a)+Z &(x,a)u x ,a)
k = 1,..., m
(1):
Подставим найденные представления в уравнение
Введем обозначения:
f( x t, a)=f(x, t, a)+k=i
Z hk (x, t, a)
ak (x, a)
m
h(x,t,a) = ZK(X,^a) Pu(Xa), l = 1,...,m.
С учетом этих обозначений уравнение (1) преобра-
зуется к виду
ut + ua . Au + c( x, t, a) u = f( x,.,~,+ ut (x, tt, a)
m
1( x, t, a)+Z h(x,t,a)
1 ft
(J ).
iff
Уравнение (1 ) является так называемым «нагруженным» [6,13] уравнением; разрешимость его будет исследована с помощью перехода и продифференцированному по t уравнению (см.[7,8]).
Определим пространство V:
ut + ua. Au + c(x, t, a) и = f(x, t, a) + f-j
m
Z hk(x, t, a)
[
a (xa) ZPki(x,a)ut(x,h,a) Zк(x,t,a)
ak\A’u)+ l=1 ]= = k=1
a
Ztrt
hk(x,(,a) Z&(xa)ut(x,t,a)
m
J v(x,t,a) : v(x,t,a) є 4(Q),V(x,t,a) є 4(Q),Va(x,t,a) є 4(0),
[4 (x,t,a) є 4(QZ (xt,a) є 4(QXU j = *
норму в этом пространстве определим естественным образом
V =
II IIf
d (
V2 + Vt2 + Va2
+ Z Vx, 2 + Z Vxixj 2)dxdtda)2
i, j=1
i=1
Q
v( x, t, a) = ut (x, t, a)
. Введем еще обо-
Положим значения:
g (x, t, a) = ./1t(x, t, a), И x, a) = f (x,0, a), y, (x, a) = h (x,0, a), l = 1,..., m,
~(x, ^ a) = ht(x, t, a), l = 1,..., m.
В уравнении (1 ) положим t = 0 . Тогда для функции v( ^ ^ a) будет выполняться уравнение
V + Va -д V + c(x, t, a) V + ct(x, t, a) u = g(x, t, a) +
Zh(x,',a) V(x,,,,a)
и будут выполняться условия:
m
Z щ(xa)
(8)
v(x,0, a) = (p(x,a) + r ,v 7 ' v(x, t,, a) u(x,0, a)
=0, x є G, (9)
v(x, t,0)=0, x єП, t є [0,Г ],, (10)
v( x, t, a) =0, (11)
x єдП, t є [0,Г], a є (0, A)
(условие (9) выводится, если в (1 ) положить 1 w ). Именно с помощью решения краевой задачи (8)-(11) будет построено решение исходной обратной задачи I.
Краевая задача (8)-(11) является по-прежнему задачей для «нагруженного» уравнения, но при этом она является также и нелокальной по одной из временных переменных задачей. Ранее подобные нелокальные задачи для «нагруженных» ультрапараболических уравнений не рассматривались, поэтому сформулируем и докажем необходимую для исследования обратной задачи теорему.
Положим bt ,1 = max Щ (x, a)| (x,a^G l = 1,..., m
*0,1 = = max b , l=1,...m b i ,2 z b II l = 1,..., m
Ь0,2 ' = max b , 2 0<l<m l
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 8 (17), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
97
Для функций
v(x, Ґ, а) и3 пространства У , таких
v = 0 x єдП t є[0,Г], а є (0, A)
что v w при єдП , L ’ J’ V ’ J выполняются известные неравенства
t A
t A
|U v2dxdtda %JJJ v2 dxdvda
- bo i=iJ
0 Q 0
< ^0 i=1 0 Q 0
t
(*)
%JJ v2xxdxdTda Ц (Av)2 dxdida
i, j=1 0 Q < k1 0 G
t
JJ v2dxdzda
+ k2
0 G
■ ( * * )
b0 k1 k2
в этих неравенствах определяются лишь
числа областью Q.
Теорема I. Пусть выполняются условия <р(х, a) є W1 (G), Wi(xa) є WІ (G), ~ (xt, a) cW(Q), l = 1,...m ;
c(x, t, a) є C2(Q ), c(x, t, a) > с0>0, ct (x, t, a) > 0
Cft (Xt, a) < 0 при (x, t, a) є Q ■
b2 T
U0,21
(b02,im + c0 ) m <1, g(x, t, a) є 4(Q), g* (Xt, a) є
Lm,
Тогда краевая задача (8)-(11) имеет решение u(хt, a) такое, что u(xt, a) єу, ut(x t, a) єу.
Доказательство теоремы проводится методом регуляризации и методом продолжения по параметру. Также для доказательства теоремы устанавливается наличие необходимых априорных оценок. Полное доказательство теоремы приведено в работе автора [11].
Вернемся к обратной задаче.
Теорема II. Пусть выполняется условие (7) и пусть функции с(хt,a), f (X, t,a), hk(х,t,a), k = 1,■■■,m, таковы, что для определенных по ним функций g (X, t, a)
, ф,a), W(xa), ~(x,t,a), l = 1,...,m, выполняются условия теоремы I. Тогда обратная задача (1)-(5)
u( x, t, a) q,( x, a) qm (x, a) имеет решение v ’ ’ J, ^1V ’ y,..., m такое,
что u(x, t, a) є¥, u (xt, a) єУ, qi ^ a) є L2G),
l = 1,...,m .
Доказательство. Рассмотрим краевую задачу (8)-(11). Согласно теореме I, эта задача имеет решение
и(xt, a) такое что и(xt, a) є У ut(x t, a) є У.
Определим функции
qk(x, a).
q, (x, a)__ak (x, a) + % A(x a)u-(x, ti •
ЧУ"’" / +
k = 1,., m
Очевидно, что эти функции связаны с функцией
u(x, ^a) уравнением (1). Выполнение для функции
u(x, t, a) условий переопределения (5) показывается полностью аналогично тому, как это было сделано в работе [8]. Выполнение условий (2)- (4) очевидно.
Теорема полностью доказана.
Обратимся теперь к обратной задаче II. Вновь выполняются некоторые формальные построения. Умножая
уравнение (1 ) на функцию N(X, ^a) и интегрируя по
переменной t , вычисляем функцию q(x, a) . Подставим
её представление в уравнение (1 ) и получим «нагруженную» краевую задачу. Именно с помощью решения данной краевой задачи будет построено решение обратной задачи II. Далее формулируем теорему для полученной задачи.
Для доказательства вновь воспользуемся методом регуляризации и методом продолжения по параметру. Наличие оценок устанавливается очевидным образом, с использованием техники, аналогичной той, которая использовалась для доказательства теоремы I, с существенным использованием неравенства Юнга и условия малости.
Вернемся к обратной задаче II и сформулируем четвертую теорему. Доказательство этой теоремы очевидно, согласно третьей теореме [11].
Во всех случаях имеет место единственность решения - как для краевых задач для «нагруженных» ультрапараболических уравнений, так и для обратных задач.
Также рассмотрим обратные задачи для нестационарных уравнений с неизвестными коэффициентами временного типа. Подобные задачи ранее активно изучались для параболических уравнений [1-5].
П
Пусть Q. - ограниченная область пространства R с
гладкой (для простоты - бесконечнодифференцируемой)
“ Г П ох (0,T) х (0,A) 0T(+І
границей Г, Q - цилиндр Qх v ’ 7 х v ’ 7, ,
0<A(+n (x,t,a) p Qx(0,T)
4 4 , переменных 47 7 7 , E - цилиндр 4 ’ 7
. Далее, пусть
c( x, t, a) K (x, t, a) f (x, t, a)
hk(x,t,a) k = 1,...,m
заданные функции, определенные при x єП, t є[0,т ], a є[0, a], Mk = (xk, tk ),
k 1,..., m, - заданные (различные) точки из E, А- опера-
x x
тор Лапласа по переменным 1 ’"' ’ n.
Обратная задача I: Найти функции u(X, t, a),
(a) qm (a) ~
714 У ..., m , связанные в цилиндре Q уравнением ut + ua - Au + c(x, t, a) u = f (x, t, a) +
% qk (a)hk(x, t, a) k=1 , (1)
, u( x, t, a)
при выполнении для функции граничных
условий
u(x,0,a) =0, x єП, a є [0, A], (2*) u(x, t,0)=0, x єП, t є [0,T], (3*) u( x, t, a) =0, (4*)
98
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 8 (17), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
(5*)
х єдП , t є[0, T], a є[0, A]
а также условий переопределения
u(Mk,a)=0 а є [0, A] k = 1,...,m
Обратная задача II: Найти функции ка)
q(a) , cвязанные в цилиндре Q уравнением
ut + ua - Au + c( X, t, a) u = f (x, t, a).
q(a) h(x, t, a)
для функции u 4 ),а также условия переопределения
1 f*
(1 )
при выполнении для функции u(X,t, a) условий ( 2 )-(
I K (х, t, a)u( х, t, a)dxdt = 0
E
х єП, a є [0, A] (6*)
В обратных задачах I и II условия (1 2 )-(4 ) есть условия обычной первой начально-краевой задачи для
ультрапараболических уравнений, условия (5 ) и (6 ) -соответственно условия точечного переопределения или же условие интегрального переопределения; наличие этих условий обуславливается наличием дополнительных не-
известных функций q! (a) , ..., qm ( ) или же q(a) .
Следует отметить, что техника решения обратных задач данного класса ультрапараболических уравнений, близка к той, что применима к ранее рассмотренным обратным задачам для уравнений с неизвестными коэффициентами пространственного типа.
Для изучаемых задач формулируются и доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений [12], с использованием [9, 10]. Методы исследования основываются на сведении исходной обратной задачи к прямой задаче для «нагруженного» ультрапараболического уравнения, использовании метода регуляризации и метода априорных оценок.
Список литературы
1. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht: VSP, 2002, 211 p.
2. Isakov, V Inverse problems for partial differential equations. New York: Springer Sci., 2006.
3. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. Math. Stud. Monogr. Ser. 2003. V. 10.
4. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.
5. Prilepko A.I., Orlovsky D.C., Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Dekker, 1999.
6. Дженалиев М.Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Ин-т теоретической и прикладной математики, 1995.
7. Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вычисл. математики и мат.физики. 2004, Т.44, №4. С.694-716.
8. Кожанов А.И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом поглощения // Докл. РАН. 2006. Т. 409, №6. С. 740-743.
9. Кожанов А.И. Об одном нелинейном параболическом уравнении и связанной с ним обратной задачей. Математические заметки. 2004. Т. 76, вып. 6. С. 840-853.
10. Кожанов А.И. О разрешимости краевых задач для квазилинейных ультрапараболических уравнений некоторых математических моделей динамики биологических систем // Сиб. журн. индустр. математики. 2009, Т.12, №4(40) с. 64-78.
11. Кошелева Ю.А. О разрешимости некоторых линейных обратных задач для ультрапараболических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т.18, вып. 2. С.77-98.
12. Кошелева Ю.А. Ультрапараболические уравнения с неизвестной правой частью // Мат. заметки ЯГУ. 2012. Т.19, вып. 2. С.73-93.
13. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995.
THE DEVELOPMENT OF SILICON THIN FILMS SOLAR CELLS USING DOPED
MATERIAL
Mirghani Montasir Mohamed-Badreldin, Elhouri Sawsan Ahmed & Hamad Kamal Ali.
1Saint-Petersburg Electrotechnical University "LETI"— Russia1
2University of Bahri - College of Applied & Industrial Sciences-Department of Physics- Khartoum - Sudan2
3Alazhari University, Khartoum - Sudan3 ABSTRACT
The simplest semiconductor junction that is used in solar cells for separating photo-generated charge carriers is the p-n junction, an interface between the p-type region and n-type region of one semiconductor.
One way to verify conductivity of semiconductors is doping. So the ideal way is to demonstrate first the suitable material for this process. In this work amorphous silicon was used. Also the absorption coefficient amorphous silicon were tested and calculated.
Keywords: Semiconductor, Junction, Thin-films, Solar cells, Microcrystalline, Nanocrystalline, Amorphous, Polymorphous, Silicon, Photoconductivity.
Introduction
The first amorphous silicon layers fabricated were reported in 1965 the fabrication form was film of “silicon from silane” deposited in a radio frequency glow discharge [1].
Nevertheless, is took more than ten years until Spear and LeComber, scientists from Dundee University, proved that amorphous silicon had semiconducting properties; that is by showing that amorphous silicon could be doped n-type and p-
