О разрешимости линейного уравнения с прерывистой матрицей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

© О.В. Вабич

[email protected]

О РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ПРЕРЫВИСТОЙ МАТРИЦЕЙ

Ключевые слова: прерывистые функции, обобщенные обратные матрицы.

Abstract. The matrix Moore-Penrose inverse belonging to the regulated functions space conditions are obtained. The linear equations system with regulated matrix solvability in regulated functions is proved.

Определение 1. Обобщенной обратной матрицей Мура-Пенроуза к т х п-матрице С называется п х т-матрица Y, удовлетворяющая равенствам

CYC = С, YCY = Y, (YC)T = YC, (CY)T = CY.

Обобщенная обратная Мура-Пенроуза к матрице С единственна, будем обозначать ее через С+ .

Теорема 1. [3, 4]. Если матричная последовательность {Сп} сходится поэлементно к матрице С при п ^ оо, то поэлементная сходимость последовательности {(7+} к С+ эквивалентна условию существования номера N, начиная с которого для всех п справедливо равенство

rank Сп = rank С.

Пусть Н, К — гильбертовы пространства.

Определение 2. Оператор С} : К —г II . где Т>(Я+) = И.{0) ® (Л(Я))1-, определенный равенством Я+у = ху , ху — единственный элемент с минимальной нормой множества решений задачи

0*{(£х — у) = 0, х 6 Н, у е К,

называется обобщенным обратным к (^ : Н К .

Здесь Т>{0) — область определения, Л(О) — область значений оператора Я , Я* — оператор, сопряженный к <5 •

Теорема 2. [2]. Пусть Ак (к = 1, 2,...), А — ограниченные операторы из Н в К, А/~ ^ А при к ^ оо и существуют А+ (к = 1,2,...) и А+ . Тогда следующие условия эквивалентны:

1) А+ -> А+ при к оо;

2) Бир ||А^|| < оо.

к

Определение 3. Функции / : [а, Ь] —> Ж, имеющие в любой точке I интервала (а,Ь) конечные пределы слева и справа, а в точках а и Ь — пределы справа и слева соответственно, называются прерывистыми. Множество всех прерывистых на отрезке [а, Ь) функций обозначается в [а, Ь) .

Любая прерывистая функция ограничена и имеет не более чем счетное число точек разрыва [1].

Как видно из следующего примера, наличие элемента матрицы С(1), стремление которого к нулю в точке отрезка [0,1] вызывает изменение ранга матрицы, приводит при построении обобщенной обратной матрицы С+(1) к неизбежному появлению элемента, стремящегося к оо при приближении аргумента к этой же точке отрезка [0,1] . Таким образом, матрица С{Ь) имеет прерывистые элементы, в то время как элементы матрицы С+(1) не являются прерывистыми.

Пример 1. Пусть на отрезке [0,1] заданы функции

лД, t > О, 1, t = О,

1 / y/t, t > О, 1, i = 0,

и матрица

Тогда C+(t) имеет вид

Чтобы избежать такого рода ситуаций, можно ограничиться рассмотрением только таких матриц С{Ь) £ 0тх”[0,1] , что

C+(t) £ G”xm[0,1] .

Лемма 1. Если С(-) £ Gтхп[а,Ь], то С+(-) £ Gпхт[а,Ь]

в том и только том случае, когда для любой точки отрезка [а, Ь] в достаточно малых односторонних окрестностях матрица С(-) имеет ранги, совпадающие с рангами соответствующих односторонних пределов матричной функции С(-) в этой

Доказательство. Пусть в точке £о матрица С(1) меняет ранг. Рассмотрим произвольную одностороннюю последовательность точек (к ^ оо) и обозначим Со =

Нт С{Ьк). Предположим, что какое бы мы не взяли число к,

найдется номер ко ^ к, такой что rank (7(^0) ф rank Со - Тогда, с одной стороны, C(tk) ^ Cq , а с другой стороны, по теореме 1 C+(tk) не стремится к Cq . В качестве нормы матрицы C(tk) рассмотрим норму вектора из Жтх” , составленного из столбцов матрицы C(tk) . Согласно теореме 2 справедливо равенство sup \\C+(tk)\\ = оо. Это означает, что по крайней мере

один из элементов матрицы С*+(-) стремится к оо, но это противоречит условию С+(•) £ Gn'Km[a,b] . Таким образом, начиная

тючке.

tk —>-^0

k

с некоторого номера ко, rankC(tfc) = rank Со, и по теореме 1 C+{tk) ^ Сд . Поскольку все расуждения обратимы, то доказательство достаточности проводится аналогично.

Замечание 1. Пусть С(-) е Gmx"[a,b] . Если С+(-) принадлежит Gпхгп[а,Ь], то множество точек разрыва матрицы С+{-) содержится в множестве точек разрыва С{-) . Как видно из примера 1, обратное неверно.

Теорема 3. Пусть Еп —единичная пхп-матрица, g(-) е Gmxl[a, b), z(-) е G"xl[a,b]; В(-) е Gmx"[a,b]; и для любой точки отрезка [а, Ь] в достаточно малых односторонних окрестностях матрица С(-) имеет рати, совпадающие с рангами соответствующих односторонних пределов матричной функции С(-) в этой точке. Тогда

1) уравнение В(-)х(-) = д(-) разрешимо в том и только том случае, когда

{Ет^В(-)В+(-))д(-) = О,

2) если уравнение В(-)х(-) = д(-) разрешимо, то все его прерывистые решения даются формулой

x(t) = B+(t) g(t) + (Еп - B+(t) B(t)) z(t), г()е z— произвольная вектор-функция.

Список литературы

1. Родионов В. II. О прерывистых функциях // Известия Института

математики и информатики УдГУ. Ижевск, 2002. Вып. 2(25). С. 8790.

2. Izumino S. Convergence of generalized inverses and spline projectors //

J. Approx. Theory. 1983. Vol. 38. P. 269-278.

3. Penrose R. A generalized inverse of matrices // Proc. Cambridge Phil.

Soc. 1955. Vol. 51. P. 406-413.

4. Stewart G.W. On the continuity of the generalized inverse // SIAM.

1969. Vol. 17. P. 33-45.