CC BY
63
УДК 62-50 DOI: 10.18698/1812-3368-2018-3-24-31
0 ВЫЧИСЛЕНИИ ПСЕВДООБРАТНОЙ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ НА ОСНОВЕ ОБРАЩЕНИЯ
Н.Е. Зубов1' 2 [email protected]
Е.А. Микрин1' 2 В.Н. Рябченко1' 2
1 ПАО «РКК «Энергия» им. С.П. Королёва», Королёв, Московская обл., Российская Федерация
2 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
Аннотация Ключевые слова
Получены новые формулы вычисления псевдообрат- Обратная матрица, псевдооб-ной матрицы Мура — Пенроуза для заданной квадрат- ратная матрица, формулы ной матрицы. Формулы основаны на преобразовании с вычисления псевдообратной помощью обратимой матрицы в виде суммы заданной матрицы матрицы и внешнего произведения ее левого и правого делителей нуля. Такое преобразование позволяет использовать для псевдообращения стандартные вычислительные алгоритмы, улучшать обусловленность уравнений при псевдообращении плохо масштабированных матриц, а также выполнять псевдообращение символьных матриц. Приведен пример обращения символьной матрицы невысокого ранга. Рассмотрено множество следствий, вытекающих из теорем, определяющих формулы вычисления псевдообратной матрицы, и описана процедура повышения точности вычис- Поступила в редакцию 19.01.2017 лений псевдообратной матрицы © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018
Исследование выполнено при поддержке гранта Российского научного фонда (проект № 14-11-00046)
Введение. Псевдообратная матрица (матрица Мура — Пенроуза) является обобщением понятия обратной матрицы [1, 2]. Псевдообратной матрицей A+ к заданной матрице A является матрица, удовлетворяющая следующим условиям:
AAA = A; (1)
AAA = A+; (2)
(A+A )* = A+A; (3)
(AA+)* = AA+, (4)
где «*» — операция эрмитова сопряжения для комплексных матриц [1] (в вещественном случае Ш — операция транспонирования «т»).
Псевдообращение было независимо описано Э.Х. Муром [3] и Р. Пенроузом [4]. Концепцию псевдообратных интегрирующих операторов в 1903 г. представил Э.И. Фредгольм [5]. Псевдообращение можно понимать как наилучшую аппроксимацию (по методу наименьших квадратов) решения соответствующей системы линейных уравнений [6]. Псевдообращение определено для любых матриц над действительными и комплексными числами [1, 2].
Существует эквивалентный способ задания псевдообратной матрицы через предел обратных [1]:
A+ = lim (A*A + 8In ) A* = lim A* ( AA* + 8In ).
ö^-O ' 5^0 V '
В качестве наиболее распространенных методов вычисления псевдообратных матриц используют [1, 2] скелетное и сингулярное (собственное) разложения матрицы.
В настоящей работе предложены формулы вычисления псевдообратной квадратной матрицы на основе обращения некоторой специальной матрицы. Это позволяет использовать для псевдообращения стандартные алгоритмы, улучшать обусловленность уравнений при псевдообращении плохо масштабированных матриц, а также выполнять псевдообращение символьных матриц, используемых в аналитических матричных задачах.
Формулы псевдообращения на основе обращения невырожденных матриц. Справедливо утверждение.
Теорема 1. Пусть задана вырожденная квадратная матрица Ae Mnxn ранга m < n, т. е.
det A = 0, rank A = m < n, тогда формула псевдообратной матрицы A+ е Rn х n имеет вид
A+ = TA T. (5)
Здесь
T = (A + A^Af )_1 = (A + (AR A )т (6)
— неединственная обратимая матрица;
AAR = 0, rank AR = n - m; (7)
AR A = 0, rank AR = n - m (8)
— правый и левый делители нуля соответственно [7]; 9eM(n~m) х(n~m) — произвольная квадратная обратимая матрица.
Рассмотрим пример обращения символьной матрицы невысокого размера. Пусть
A =
(0 0 c a ^
b d 0 0
c 0 c 0
d 0 d 0
, rank A = 3.
(9)
Вычислим для матрицы (9) соответствующие делители нуля. Получим
A^ = | 0 0 — 1
л1 | a ab a
AR = I T 1
cd
(10) (11)
При этом очевидно, что в (6) ф = 1 и матрица Т = (Л + ) 1 свнеш-
ним произведением векторов (10), (11) будет иметь вид
T =
( 0 b 0 d c 0 a ^ 0
ad ab ad r _L d
c" c+~T c2 c
j a /4 _|__ ab d - a 1 /
U \ V c cd и c
-1
(12)
Выполнение обращения матрицы в (12) и вычисление матричного произведения (5) дает
A+=a
-cd2(c2+d2) bcd (c2 + d2) -cd2(c2+d2) a (b2 + 2d2) (c2 + d2)
a2b (c2 + d2) cd2 (a2 + c2) d3 (a2 + c2) ^
d(2a2 + c2)(c2 + d2) -bcd(a2 + c2) -bd2 (a2 + c2)
-a2b (c2 + d2) a2c (b2 + d2) a2d (b2 + d2)
abc (c2 + d2) -ac2 {b2 + d2) -acd {b2 + d2)
где
a =
(a2b2 + 2a2d2 + c2d2) (c2 + d2)'
(13)
(14)
Матрица (13) удовлетворяет условиям регулярности (1), (2) и симметричности (3), (4) и, следовательно, действительно является псевдообратной матрицей. Теорема 2. Пусть выполняются условия полуортогональности
Л^тЛд = ЛЛ = фт ф = 1п-ш, (15)
тогда формула вычисления псевдообратной матрицы (5) приобретает следующий вид:
1
A+=(Ä + (Aß9Af )т )"1 - AWAt.
(16)
Для простоты, исключая из рассмотрения матрицу ф, вместо (16) запишем уравнение
A+=(A + (ARAty - AA,
(17)
при этом нетрудно получить следующие свойства псевдообратной матрицы.
Следствие 1. Для заданной вырожденной квадратной матрицы Ле К ранга m < n справедливы соотношения:
Лт = (л+ + Л^Ут - AA; ЛЛ + Л Aт = In; In - Л Л = Л^Л^; I n - ЛЛ= At "At; -Л- -Л. ^ -^^L -^^L — In; ЛЛ+ - Л Л = - Лt—t;
trace ) = trace (A^—t) = rank Л;
Лдт (Л + тЛдт )_1 At = I n-m. Вернемся к матрице (9) и вычислим полуортогональные делители нуля:
AL- = \ 0 0 -
c\/d2c-2 +1 c4d2c-2 +1
(18)
d
A^ = _
Va2b2 + 2fl2d2 + c2d2
f a ^ ab
-a
(19)
Далее, используя формулу (17), где делители нуля имеют вид (18), (19), получаем псевдообратную матрицу (13).
Симметрический алгоритм. Известно следующее свойство для псевдообратных матриц [2]:
A+ = Aт (AAt)+ = (AтA)+ A1
(20)
Свойство (20) позволяет преобразовать формулу для псевдообратной матрицы (16) к симметрическому виду.
Следствие 2. Пусть Л+ = Лт (ЛЛт, тогда
Л+= Лт (ЛЛТ + Л^Л^у1. Следствие 3. Пусть Л+ = (ЛтЛ)+ Лт, тогда
Л+ =(ЛТЛ + Л^т )_1 Лт.
(21)
(22)
Формулы (21), (22) также можно получить на основе обращения Ботта — Даффина (Bott — Duffin inverse) [8].
Предобусловливание матрицы. В целях уменьшения влияния ошибок в исходных данных, повышения точности решения, а также ускорения сходимости вычислительных методов используют различные алгоритмы, обеспечивающие масштабирование, регуляризацию, балансировку и др. (см. [9, 10]).
Формула (16) может быть использована для повышения точности вычислений. Нетрудно показать, что при любом числе р ^ 0 справедливо равенство
1 Л+=(рЛ + ^ - AA. (23)
Поскольку ранее предполагалось выполнение тождества полуортогональности делителей нуля (15), имеет место тождество
Лд тЛд = ЛЬЛ1Т = 1 n-m (24)
и, следовательно, выполняются тождества для матричных норм [1, 2]
= 1;
В этом случае целесообразно принять р = обретет вид
= 1.
Л+ =
4й Л + (Л^)т
и тогда формула (23) при-
- Л1Л1 Лк Ль ,
или
Л+ =
Л л + (л^)т 1 - ЛЛ
При этом очевидно выполняется неравенство для чисел обусловленности
Л Л + (Л^)т ]s cond (Л + (Л^)т).
cond
Заключение. Для заданной квадратной матрицы получены новые формулы вычисления псевдообратной матрицы Мура — Пенроуза, которые основаны на преобразовании с помощью обратимой матрицы в виде суммы заданной матрицы и внешнего произведения ее левого и правого делителей нуля. Такое преобразование дает возможность использовать для псевдообращения стандартные
вычислительные алгоритмы, улучшать обусловленность уравнений при псевдообращении плохо масштабированных матриц, а также выполнять псевдообращение символьных матриц.
ЛИТЕРАТУРА
1. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Mатрицы и вычисления. M.: Наука, 19S4. 32G с.
2. Bernstein D.S. Matrix mathematics. Princeton University Press, 2GG5. 76S p.
3. Moore E.H. On the reciprocal of the general algebraic matrix // Bulletin of the American Mathematical Society. 192G. No. 26. P. 394-395.
4. Penrose R. A generalized inverse for matrices // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1955. Vol. 51. No. 3. P. 4G6-413.
5. Fredholm E.I. Sur une classe d'équations fonctionnelles // Acta Mathematica. 19G3. Vol. 27. Iss. 1. P. 365-39G. DOI: 1G.1GG7/BFG2421317
6. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. M.: Наука, 1977. 224 с.
7. Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Рябченко В.Н. Mатричные методы в теории и практике систем автоматического управления летательных аппаратов. M.: Изд-во MГTУ им. Н.Э. Баумана, 2G16. 667 с.
S. Yonglin Ch. The generalized Bott — Daffin inverse and its application // Linear Algebra and its Application. 199G. Vol. 134. P. 71-91. DOI: 1G.1G16/GG24-3795(9G)9GGG7-Y
9. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Mатричные вычисления. M.: M^, 1999. 54S с.
1G. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. M.: Наука, 19S4. 192 с.
Зубов Николай Евгеньевич — д-р техн. наук, заместитель руководителя по науке научно-технического центра ПАО «РКК «Энергия» им. С.П. Королёва» (Российская Федерация, 141G7G, Mосковская обл., Королёв, ул. Ленина, д. 4А), профессор кафедры «Системы автоматического управления» MГTУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 1G5GG5, Mосква, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).
Микрин Евгений Анатольевич — академик РАН, д-р техн. наук, генеральный конструктор ПАО «РКК «Энергия» им. С.П. Королёва» (Российская Федерация, 141G7G, Mосковская обл., Королёв, ул. Ленина, д. 4А), заведующий кафедрой «Системы автоматического управления» MГTУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 1G5GG5, Mосква, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).
Рябченко Владимир Николаевич — д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник научно-технического центра ПАО «РКК «Энергия» им. С.П. Королёва» (Российская Федерация, 141G7G, Mосковская обл., Королёв, ул. Ленина, д. 4А), профессор кафедры «Системы автоматического управления» MГTУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 1G5GG5, Mосква, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Зубов Н.Е., Mикрин Е.А., Рябченко В.Н. О вычислении псевдообратной квадратной матрицы на основе обращения // Вестник MГTУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2G1S. № 3. C. 24-31. DOI: 1G.1S69S/1S12-336S-2G1S-3-24-31
ON CALCULATION OF PSEUDOINVERSE SQUARE MATRIX BASED ON INVERSION
N.E. Zubov1' 2 [email protected]
E.A. Mikrin1' 2 V.N. Ryabchenko1' 2
1 S.P. Korolev Rocket and Space Corporation Energia, Korolev, Moscow Region, Russian Federation
2 Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation
Abstract
The paper focuses on the new formulae obtained for calculation of the Moore — Penrose pseudoinverse matrix for a given quadratic matrix. The formulae are based on conversion as a sum of the given matrix and the exterior product of its left and right zero divisors by means of the inverse matrix. Such conversion allows us to use the standard calculation algorithms for pseudoinversion, improve equation conditionality in the case of badly scaled matrix pseudoinversion and complete pseudoinversion of symbolic matrixes. The paper exemplifies inversion of a low rank symbolic matrix. Finally, the set of corollaries from the theorems defining the pseudoinverse matrix calculation formulae is considered and a procedure of improving calculation accuracy of the pseudoinverse matrix is described
Keywords
Inverse matrix, pseudoinverse matrix, pseudoinverse matrix calculation formulae
Received 19.01.2017 © BMSTU, 2018
The research was supported by a grant from the Russian Science Foundation (project no. 14-11-00046)
REFERENCES
[1] Voevodin V.V., Kuznetsov Yu.A. Matritsy i vychisleniya [Matrices and calculations]. Moscow, Nauka Publ., 1984. 320 p.
[2] Bernstein D.S. Matrix mathematics. Princeton University Press, 2005. 768 p.
[3] Moore E.H. On the reciprocal of the general algebraic matrix. Bulletin of the American Mathematical Society, 1920, no. 26, pp. 394-395.
[4] Penrose R. A generalized inverse for matrices. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1955, vol. 51, no. 3, pp. 406-413.
[5] Fredholm E.I. Sur une classe d'équations fonctionnelles. Acta Mathematica, 1903, vol. 27, iss. 1, pp. 365-390. DOI: 10.1007/BF02421317
[6] Albert A. Regression and the Moore — Penrose pseudoinverse. Academic Press, 1972. 180 p.
[7] Zubov N.E., Mikrin E.A., Ryabchenko V.N. Matrichnye metody v teorii i praktike sistem avtomaticheskogo upravleniya letatel'nykh apparatov [Matrix methods in theory and practice of automatic control systems of aircraft]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2016. 667 p.
[8] Yonglin Ch. The generalized Bott — Daffin inverse and its application. Linear Algebra and its Application, 1990, vol. 134, pp. 71-91. DOI: 10.1016/0024-3795(90)90007-Y
[9] Golub G.H., Van Loan Ch.F. Matrix computations. Johns Hopkins University Press, 2012. 784 p.
[10] Ikramov Kh.D. Chislennoe reshenie matrichnykh uravneniy [Numerical solution of the matrix equations]. Moscow, Nauka Publ., 1984. 192 p.
Zubov N.E. — Dr. Sc. (Eng.), Deputy Director for Science, Research and Development Center, S.P. Korolev Rocket and Space Corporation Energia (Lenina ul. 4A, Korolev, Moscow Region, 141070 Russian Federation), Professor, Department of Automatic Control Systems, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).
Mikrin E.A. — Academician of the Russian Academy of Sciences, Dr. Sc. (Eng.), General Designer of S.P. Korolev Rocket and Space Corporation Energia (Lenina ul. 4A, Korolev, Moscow Region, 141070 Russian Federation), Head of the Department of Automatic Control Systems, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).
Ryabchenko V.N. — Dr. Sc. (Eng.), Leading Researcher of Research and Development Center, S.P. Korolev Rocket and Space Corporation Energia (Lenina ul. 4A, Korolev, Moscow Region, 141070 Russian Federation), Professor, Department of Automatic Control Systems, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).
Please cite this article in English as:
Zubov N.E., Mikrin E.A., Ryabchenko V.N. On Calculation of Pseudoinverse Square Matrix Based on Inversion. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2018, no. 3, pp. 24-31 (in Russ.). DOI: 10.18698/1812-3368-2018-3-24-31
