CC BY
0
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 1.
УДК 517.518.5 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-1-42-51
О равномерных оценках осцилляторных интегралов с гладкой
фазой
И. А. Икромов, А. Р. Сафаров
Икромов Исроил Акрамович — Институт математики им. В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан (г. Ташкент, Узбекистан), Самаркандский государственный университет (г.Самарканд, Узбекистан). e-mail: ikromovK3rambler.ru
Сафаров Акбар Рахманович — Институт математики им. В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан (г. Ташкент, Узбекистан), Самаркандский государственный университет (г.Самарканд, Узбекистан). e-mail: safarov-akbar@m,ail.ru
Аннотация
Мы рассмотрим задачу о равномерных оценках осцилляторных интегралов с гладкой фазовой функцией, имеющей особенность типа DОценка является точной и является аналогом оценок результата В. Н. Карпушкина.
Ключевые слова: фаза, деформация, особенность.
Библиография: 10 названий.
Для цитирования:
И. А. Икромов, А. Р. Сафаров. О равномерных оценках осцилляторных интегралов с гладкой фазой // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 1, с. 42-51.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 1.
UDC 517.518.5 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-1-42-51
Uniform estimates for oscillatory integrals with smooth phase
I. A. Ikromov, A. R. Safarov
Ikromov Isroil Akramovich — V. I. Romanovskv Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan (Tashkent, Uzbekistan), Samarkand State University (Samarkand, Uzbekistan). e-mail: ikromovl@ramMer.ru,
Safarov Akbar Rakhmanovich — V. I. Romanovskv Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan (Tashkent, Uzbekistan), Samarkand State University (Samarkand, Uzbekistan). e-mail: safarov-akhar@m,ail.ru
Abstract
We consider the problem on uniform estimates for an oscillatory integrals with the smooth phase functions having singularities D^. The estimate is sharp and analogy to estimates of the work of V. N. Karpushkin.
Keywords: phase, deformation, singularity.
Bibliography: 10 titles.
For citation:
I. A. Ikromov, A. R. Safarov, 2024, "Uniform estimates for oscillatory integrals with smooth phase" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 1, pp. 42-51.
1. Введение
Определение 1. Осцилляторным интегралом с гладкой вещественно-значной фазой f и амплитудой а называется интеграл, вида:
J(X,f,a)= I a(x)eiXf{x)dx
J i"
где a e C§°(in) и \ e i.
Пусть и С V с К2 —ограниченные окрестности начала координат, и (V) замыкание и (V). Допустим, что функция $ : V ^ К (где £ € См (V) , (Ы ^ 8)) имеет следующий вид:
/ (Ж1,Ж2)= Х!Х2 + д (х\,Х2), (1)
где д € См (V), такая, что Бад(0, 0) = 0 для всех а1+а2 ^ 3, здесь Ба означает Ба = а := (а1, «2) € —мультииндекс, 2+ = {0} и N неотрицательные целые числа.
Эх"1дх^2
Определение 2. Пусть / € См (V) , где N > 0 некоторое неотрицательное целое число. Деформацией функции / называется / + Р, где / € См (см.[7]).
Пусть "&сз(у)(е) := {^ € С8 (V) , ||сз(у) < е}. Основным результатом работы является следующая
Теорема 1. Пусть f € С8(У) имеет вид (1). Тогда, найдутся положительные числа, е, С и окрестность и С V начала координат, такие, что для произвольных функций а € С0 (и) € $С8(у )(е) справедлива, следующая оценка:
/ eiX(f+F)а (х) dx 'и
< С ||а||сi
1) Теорема является аналогом более общей теоремы В.Н.Карпушкина [7] (а также см.[2]) для достаточно гладких функций.
2) Если д = 0, то оценка, полученная в теореме, неулучшаема.
3) Для некоторых д функция / может иметь особенность типа И к. В этом случае из результатов Дюстермаата [5] можно вывести более точную оценку.
4) Инвариантные оценки с полиномиальной фазой рассмотрены в работах [10]-[15].
2. Некоторые вспомогательные утверждения
Сначала мы приведем несколько простых вспомогательных определений.
Определение 3. [1] Рассмотрим арифметическое пространство Мга с фиксированными координатами х1 ч х2 ч - - - ч хп- Функция f : (Мга, 0) ^ (М, 0) называется квазиоднородной функцией степени ( с показателями а1ч1а2^ ..-чаи, если при любом X > 0 имеем /(Ха1х\, Ха2х2, - - -, Ха"хп) = (х\,х2, ..-чХп). Показатели а3 называются весами переменных х3.
Следующая лемма доказана в работе [6].
Лемма 1. Пусть /— гладкая, функция в окрестности начала координат , М2 с > 0 и а\,а2 (0 < а1 < а2) - фиксированные рациональные числа, и т > 1 - натуральное число, причем а1т > с. Тогда, включение
М(/) с {(* 1, ¿2) + а^2 > с}
справедливо тогда и только тогда, когда существует полином ¡ж(х1,х2) удовлетворяющий условию
М(и) с {(* 1ч ¿2) :а^1 + а^2 > с} и гладкие функции а^(хьх2) т,а,кие, что справедливо равенство:
/(хЬх2) = и (х1чх2)+ ^ х\х^аук (х1чх2 )ч
]+к=т
здесь ¡ъ(х1ч х2)— называется главной частью функции /(х^х^ относительно веса (а^а^) и М(■)— называется носителем Тейлора разложения функции f в ряд в точке 0.
Пусть С) - множество бесконечно дифференцируемых функций, определенных в V, где V некоторая окрестность начала координат Мга. Очевидно, что это множество образует коммутативное кольцо относительно обычного умножения и сложения функций. Пусть / € С) данная функция с критической точкой в нуле, т.е. v/(0) = 0. Рассмотрим подмножество
IV ! := {к € С~(У) : к(х) = £ ^^Нк(х)ч Нк € С~(У)}.
к=1 хк
Это множество является подкольцом С). Причем очевидно, что для любого д € С) выполняется соотношение дIV/ С Иными словами, Iyf является идеалом ("идеаль-
ным"подкольцом) кольца С^(V). Этот идеал называется идеалом порожденный частными производными ч - - - ч 1 или градиентным идеалом кольца С) и обозначается через
т =< (х) д/(х) >
1 V I =< дХ1 ч-- - ч дхп >■
Пусть функция f (х1ч х2) удовлетворяет следующим условиям:
,д1а1/(0ч 0) , ,
1) д^х0 =0ч =®1 +а2 < 2-
2) допустим, множество корней уравнения /э (х^х2) = 0 на 5*1 (где /э отрезок Тейлора функ-
ции £ порядка 3 и 51 единичная окружность в М2 с центром в начале координат) состоит из одного простого и двукратного корня.
Тогда функция /, линейным преобразованием, приводится к виду $ (х (и)) = и,1и2 + + 5*1 (иь^), где д1 (и1ч и2) - некоторая функция удовлетворяющая условию Иад1 (0ч 0) = 0ч
при всех |а| ^ 3, аналогичное утверждение доказано для однородных многочленов третьей степени в работе [1] (стр.147). Главная часть относительно веса (3, 3) функции / обозначается через Таким образом, без ограничение общности, мы можем считать, что (Ж1,Ж2) = ж^2-Следуя [7] обозначим через ^ линейное пространство полиномов степени меньше й относительно веса (3, 3) и градиентный идеал функции
Определение 4. Координатное подпространств о В с Е1 называется нижным версаль-ным, если (/Vи П Е1) ф в = Е1 (т.е. IV/М #1 П в = 0, (Ь^П Е1) + в =
Легко показать, что В = (1, Ж1, Ж2, ж2} является версальным подпространством В для
фуНКЦИИ (Ж1,Ж2) — X1^2.
Пусть ^ 8тхт отрезок ряда Тейлора в точке 0 функции К Положим ка(Е) =
„т
И+? «*
= Smxm, где 0 < m + т2 < d. Таким образом, ж1 определяет отображение пространства CN (V) на пространство Е^, где d ^ у.
Следующее предложение о возможности гладко выбрать замену координат является аналогом теоремы версальности. Аналогом деформации функции f является f + F, где F g $с8(у)(£) (деФ0рмация с бесконечным числом параметров). Аналогом версальной деформации f является f + F, где F g §с8(у)(е) ^iF g В. Здесь В—нижнее версальное подпространство [1].
Лемма 2. Пусть z g CH(V) некоторая вектор-функция. Функция (f + F)(y + z(y)) записывается в виде
(f + F )(у + z(y)) = f (0) + F (0) + аю(г)ш + «01(^)^2+ +a2o(z)yl + an(z)yiy2 + ao2(z)y2 + а^2 (z)^i V2 + У1У2,
ii+i 2=3
где a10, a01, a20—функционалы от F и aili2 : С3(U) ^ C'3(V) операторы причем 2 < г1+i2 = 3, выполняется ||a:i1i2ус2 < Ce, при условии F g $св(у)(£).
Доказательство. Представим функцию f + F в следующем виде:
f + F = «10Ж1 + S0^2 + S20x1 + 2§11Ж1Ж2 + S02Ж2 + S30(Ж1, Ж2)ж1 + +S21^i, Ж2)Ж2Ж2 + (1 + Si2(Ж1, Ж2))Ж1Ж2 + S03(^,X2)X^,
dF (0,0) dF (0,0) 1d2F (0,0) 1 д2 F (0,0)
"л тт С- - --\ ' / с- - --V • / с* ~ --V ' / с* --V ' /
где S10 = dxi , S01 = дх2 , S20 = 2 дх'2 , S11 = 2 dxidx2 ,
o 1 d2F (0,0) o , _ ): „ 3! Г 1(1 „ л2 d3(F+g)(uxi,ux2) rhl h + h 3
S02 = 2 дх2 , s^k2(ж1, ж2) := Sklk2 = ^7fc2T J0(1 — u) —дХ^дХ|2—du, k1 + k2 = 3.
Сделаем замену ж1—z1(y1,y2) = y1: x2—z2(y1,y2) = y2m используем следующие разложения Z1(y) = + awy1 + (101У2 + а20у\ + auy1y2 + (i02yl + П(у)
z2(y) = ¿0 + ЪюУ1 + 601У2 + Ь20У2 + ЬцУ1У2 + 602^1 + Г2(^),
ГПА ^0 = г (0 0) п = д*l(0,0) ^ = дгi(0,0) = 1 д2.гх(0,0) = 1 д2^(0,0) ^ = 1 д2z1 (0,0)
где ^0 = Z1(0,0) aw = дУ1 , а01 = дУ2 , а20 = 2 ду2 , а02 = 2 ду2 , ап = 2 дУ1дУ2 ,
4 = ,2(0,0h h0 = *2Г>,601 = ^2Й20). »20 = 2д212УР. »02 = 2^. * 1 = 2д2У2й01, r,(P) := k:3kîT /Jd — »)2+ fc2 = .3, i = 1,2.
Разложим функцию (F + д)(у + ^(у)) то формуле Тейлора в точке (у1 ,у2) = (0, 0)
и
Тогда получим
(Р + д)(у + г(у)) = 000(2) + 010(2) у1 + 001(2) У2+ +«20 ( 2)у2 + аи(г)у1у2 + 002(2) у% + ^ ¿2 (2) у!'У22 + У1У2ч
П+г 2=3
где а00(г) = /(0) + Р(0)ч о10(,г) о01(,г) 0:20(2) некоторые функционалы от г и 002(2)ч ац(г) : Сэ(и) ^ Сэ(У) операторы имеющие вид:
<002(2) = 21 + <3> 1 (гч Р)ч ап(г) = 2^ + $2(2ч Р)ч
здесь Ф^ : Сэ(и) ^ Сэ(У) некоторые гладкие операторы, удовлетворяющие условиям
Ф,(гч 0) = 0ч (] = 1ч 2) □
Предложение 1. Существует положительное число е > 0 та кое, что для любого ||РУС4(у) < £ найдется такое отображение (г1ч х2) := (2^Р) 22(Р)) € С4 (и ^ М2) ч определенное в некоторой окрест,ност,и и, для которого справедливо следующее равенство
Я"1 (/ (У1 + 21ч У2 + 22) + Р (У1 + 21ч У2 + 22)) = Со(Р) + С1(Р)|/1 + С2(Р)у2 + Ф((Р)^ ч г(9е ^(^—проектирование пространства С4 (V) на пространство Е1-
Теперь рассмотрим следующие функциональные уравнения относительно (21 ч 22) :
Ф1 (уч Рч г) := 011(2) = 0ч Ф2(Уч Рч 2) := 002(2) = 0- (2)
Приведем вспомогательную лемму.
Лемма 3. Для непрерывных операторов Ф1(у чРч 2), Ф2(у ч Рч г) в пространстве и1 х х С4 (У1) х и2 существует частная производная, по г и они дифференцируемы по Фреше в точке 0, где и С М2ч и С М2-
Доказательство. Ради определенности, покажем существование частных производных по 2 и дифференцируемость оператора Ф1 (уч Рч 2), для функции Ф2 (Уч Рч 2) доказательство совершенно аналогично.
Так как функция Р € С8 (V") то отсюда вытекает дифференцируемость оператора &1(У чРч 2).
Существование производных отображения Ф2(у чРч 2) рассматривается анало гично. □
Лемма 4. Операторы Ф1(у, Рч г), Ф2(у? Рч 2) удовлетворяют следующим условиям:
' дфх дф!
'=0-
1)Ф1(Уч 0ч 0) = 0ч Ф2(Уч 0ч 0) = 0- 2)
дх\ дх2 дф2 дф2 дх\ дх2
Доказательство. Из явного вида оператор ов Ф1 ч Ф2 вытекает выпол нения соотношения 1)Ф1(уч 0ч 0) = 0ч Ф2(уч 0ч 0) = 0- Очевидно, что 1(0) — дф2(0) = 2 = 0 и следова-
тельно выполнено второе утверждение. Лемма 4 доказана.
Перейдем к доказательству Предложения 1. Так как операторы Ф1(у чРч 2) и
Ф 2 ( ч Рч )
1 = 1 ( 1ч 2ч Р( )) 2 = 2 ( 1ч 2ч Р( ))
Р
□ Замечание 1. Отметим, что если Р € Сэ+к и / € Сэ+к то г(у) € Ск.
3. О разбиении единицы
Осцилляторный интеграл оценивается с помощью разбиения единицы. Пусть к = ч 1З2) и т > 0 фиксированное число. Рассмотрим отображение : М2 ^ М2 определенное формулой:
5Т (х) = (тх1ч тх2) -Введем фуекцию 0(х), удовлетворяющую условиям:
1) 0 € С~ еМ2) ч
2) 0 ^ 0(х) ^ 1 для любо го х € М2,
1ч прИ |х| ^ 1ч
0(х) \ 0ч при 162-1 (х)| ^ 1 Существование такой функции доказано в [3] (а также [8]). Пусть
Х(х)=Р (х) — 0 (б2(х))-Основные свойства функции х(х)содержатся в следующей лемме.
Х( х)
х
те
0 (5 2-0 (х))+ £х (5 2-, (х)) = 1-
2. Для произвольного х = 0 существует и0 = и0 (х) такое, что при любом и € [^съ ^о + 4]
Х (52^ (х)) =0-
3. Для произвольного и0 существует е > 0 такое, что х ($2" (х)) = 0 при любом и < и0 и |х| ^ е.
Лемма 5 доказана в работе [8].
Лемма 6. Функция х(х) удовлетворяет следующим условиям: 1) Для произвольного фиксированного х = 0 справедливо равенство
£ Х (^ (х)) = 1-
•V -.-2" I
и=—оо
2) Существует N = N (г) такое, что для, произвольного х = 0 существует и0 = и0(х) такое, что при любом V € [и0ч щ + N]
Х (^ (х)) =0-
0
Х (^ (х)) =0
при любом V < щи | х| ^ е.
4. Доказательство основного результата
Так как функция имеет вид £ (х\,х2) = х\х\ + д (х\,х2), то применяя предложение 1 для + р и получим
/ + ^ = 810У1 + 801У2 + 82оу\ + + «30^ + ¿21^2 + + «03^ + #4 (Ш, Ы , (3)
где И,4 (у\, У2) остаточный член. Теперь оценим интеграл ■]. Сначала введем «квазирасстояние»
3 3 з
Р = 0|2 +1^0 112 +1^201 и в интеграле (1) с фазовой функцией (3) сделаем замену переменных
11 " "
У\ = р3т\, у2 = рзт2. Тогда получим:
3 (А) = р3 У а (р1 п,р3Т^ е*Лрфг!т,
где Ф = Т! + Т2 + ^ Т2 + пт! + 530^ + 82^^ + ^ 2^Г22 + ¿0372 + р ^4 (р1 ТЪ р1Т2) .
р 3 р 3 р 3 ' V /
Применим лемму 5, т.е. разбиение единицы, для интеграла 3(Л) и получим разложение в следующем виде:
те
3 (А) = М\)+ £ Зк (Л),
к=ко
где
Зк (А) = р3 ^ а (р3Т1, р372) х (2-1Т1,2-1г^ егЛрф^г,
Лз (А) = р2 а (р3 п, р1Т2] (х))егЛрф(1т.
л2 4 у
Сначала оценим интеграл Зк (А). В этом интеграле Зк (А) сделаем замену переменных _3 „к "
2 3 п = ¿1, 2 3 т2 = ¿2 и получим
Зк (А) = 2^М / а (2М¿1,2М ¿2)% (* 1, ¿2) егЛ2крФк^'р)М,
Л2 4 у
где фазовая функция имеет вид
, . 2к 2к к гч гч
Фк (*, 5, Р) = 2-^010*1 + 2-^001*2 + 2- 3^20^1 + ¿1*2 +
г 1
р
+830*3 + «21* 1* 2 + ¿12*1*2 + ^3*2 + 2-крЯ4 (2 кр1 *1, 2Зр1 ¿2)
/к 1 к 1 \ 4к 4 здесь О10 = О01 = Ч1, О20 = #4 2 зР3¿1, 2кр3^ = ^^(¿40*1 + «31*1*2 + 522*1*2 +
р 3 р 3 р 3 V /
4к 4
— , о 01 = О 20 = — ) ^4 |2 3 у 3 Ч, 2 3р3 (,2 1 = -(С" + " + ^ "+2+2
р 3 р 3 р 3 V /
+ «13*1*2 + 804*4),
где 8 40 (*, 8,р) = 6 /о1 (1 - и)3 ¿и, 531^, в, р) = 6 /^(1 - и)3 ^¡щщ'^ <1и, в22 (*, 5, р) =
= 1 ^ (1 - и)3 9 ¿^¡д 'р) ¿и 513 (*, р) = 6 Г(1 - и)3 9 ^ «04 (*, ^ Р) =
= 1 £ (1 -и)3 аи. 1 2
Мы можем считать (в зависимости от носителя амплитуды %0, по лемме 5), что число к0 достаточно большое.
Сначала рассмотрим случай, когда нет осцилляции. Пусть |2кАр| ^ Ь, где Ь большое фиксированное число. Тогда из тривиальной оценки интеграла получим:
2к 2 к 1 2 3 о 3 А 2 6 06 А
| Лi < ^^ = ^^1^. (4)
|2кАр|1 |А|2
Пусть теперь | 2кЛр\ > Ь и к > ко достаточно большое число. Тогда, по условию, Фк может быть рассмотрена как малая деформация функции Т1г|, причем (т\, ) € О :=вирр(х) = = {1 < М < 2}. Очевидно, что если г0 € О фиксированная точка и т° = 0, то эта точка не является критической. Если х0 срезающая функция (т.е. функция носитель которой находится в достаточно малой окрестности этой точки), то интеграл
(Л) := 2 2 I ^а (2 М Ь, 2ЗрП^х (* 1,* 2) егЛ2"(^х0®^,
тривиально оценивается интегрированием по частям и имеет место неравенство (4).
Если т° = 0, то т° = 0. В этом случае, используя лемму Ван дер Корпута [4] (более общее утверждение содержит в [9]), снова имеем оценку вида (4).
" ГП ^ 1 "
Так как на носителе амплитуды 2 зр з < 1, то
1 , т , с к 1 с
— Е ■i ^ — Е 26р6 ^ —
Л| 2 |2*Лр|<1 |Л| 2 2кр^1 |Л| 2
Теперь рассмотрим оценку интеграла ■((Л). Рассмотрим следующие случаи для параметров а.
2 2 1
Введем квазисферу р(а) := {|а10|3 + |а01|3 + |а20|3 = 1} и рассмотрим фазовую функцию Фо (т, а, р) = аюп + ао1Г2 + а2о^2 + пг| + «эог3 + 821т1т2 + 512Т1т|
4
+« 03Т23 + --3 (^ОТ4 + 831Т13Г2 + 822Т1Т^ + в^П Т^ + 804т4).
Отметим, что на квазисфере С1 < |а| ^ С2, где С1, С2— фиксированные положительные числа. Таким обр азом пространство параметров и 8ирр(,б(52-к° (■))) компактные множества. Пусть, а = а0, |а0| = с фиксированный вектор и т = г0 фиксированная точка. Тогда Фо (т, а, р)- достаточно малая гладкая деформация следующей функции
л <0 ^ | <0 ^ | ^0 ^2 , „_ ^2
Ф = ают1 + а01т2 + а°>0т1 + Т1Т2 .
^ дФ(т°,т°) . „ аФ(г1°,г20) . „ . .........
Если —^т—- = 0 или —^т—- = 0 т0 ПРИ |а — а0| < е |«30| + |з21| + |з12| + |з03| < £ справедлива
следующая оценка: |уФ0 (г,а, з)| > 5 > 0
Применяя формулу интегрирования по частям для интеграла ^, получим:
ш < , (5)
|Л|3
где
(Л) = / X (г) а (п, Г2) X (п, Г2) егЛ-ф°(^>(6) .Уд2
х— 0.
рассмотреть случай когда г0—критическая точка. 0
а00 + 2а200Т° + 2(Г20)2 = 0, а0°1 + 2т°т° = 0. Для функции Ф в точке (т0^0) матрица Гессе имеет вид:
( 2а200 2т-21 \ V 2г° 2г? ;.
Отметим, что это ненулевая матрица, так как если = 0, то либо = 0, либо = 0, следовательно т° = ^и г° = 0.
/ 2ао 2то \
о2о 2о
V 2т2 2т1 /
рицы равен единице, то, применяя лемму Морса по параметрам, для интеграла Jo получим следующую оценку
| Jo| < С"а"°11Р6 . |Л|2
Наконец, суммируя полученные оценки придем к доказательству теоремы 1. Теорема 1 доказана.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и вольновых фронтов // М.:Наука. 1982.
2. Варченко А.Н. Многогранник Ньютона и оценки осциллирующих интегралов // Функц. анализ и его прил., Т.10, вып 5. 1976. С. 13-38.
3. Владимиров B.C. Уравнения математической физики // М.:Наука. 1981.
4. Van der Korput. K.G. Zur Methode der Stationaren phase// Compositio Math. V.l. 1934. P. 15-38.
5. Duistermaat J. Oscillatory integrals Lagrange immersions and unifoldings of singularities // Comm. Pure.Appl.Math. - 1974. - V.27, № 2. - P.207-281.
6. Ikromov I.A., Muller D. On adapted coordinate systems // Trans. Amer. Math. Soc., 363(2011), no. 6, P. 2821-2848.
7. В.Н.Карпушкин. Равномерные оценки осциллирующих интегралов с параболической или гиперболической фазой // Труды Семинара имени И.Г.Петровского, вып.9. 1983. С. 3-39.
8. Sogge C.D., Fourier integrals in Classical Analysis // Cambridge university press, Cambridge, 1993. P.105.
9. Carberv A., Christ M., and Wright J. Multidimensional Van der Korput lemma and sublevel set estimates // Journal of AMS, V.12. 1999. P.981-1015.
10. Ruzhanskv M., Safarov A. R., Khasanov G. A. Uniform estimates for oscillatory integrals with homogeneous polynomial phases of degree 4 // Analysis and Mathematical Physics, 12(130), (2022).
11. Сафаров А. Инвариантные оценки двумерных осцилляторных интегралов // Математические заметки. Т.104, вып 2. 2018. С. 289-300.
12. Safarov A. On the Lp-bound for trigonometric integrals // Analysis mathematica 45, 2019,153176 p.
13. Safarov A. On invariant estimates for oscillatory integrals with polynomial phase //J. Sib. Fed. Univ. Math. Phvs. 9 (2016), P.102-107.
14. Safarov A. On a problem of restriction of Fourier transform on a hvpersurface // Russian Mathematics, 63 (4), 2019, R57-63.
15. Safarov A. R. Estimates for Mittag—Leffler Functions with Smooth Phase Depending on Two Variables //J. Sib. Fed. Univ. Math. Phvs., 15(4) (2022), P.459-466.
REFERENCES
1. Arnold, V.I. k, Gusein-Zade, S.M.& Varchenko, A.N. 1985. "Singularities of Differentiable Maps", Birkhauser, Boston Basel, Stuttgart.
2. Varchenko, A.N. 1976. "Newton polvhedra and estimation of oscillating integrals", Functional Analysis and Its Applications vol. 10, pp. 175 196.
3. Vladimirov, V.S. 1981. "Mathematic physics equation", M.:Nauka. (Russian).
4. Van der Korput, 1934. "K.G. Zur Methode der stationaren phase", Compositio Math. V.I., pp. 15-38.
5. Duistermaat, J., 1974. "Oscillatory integrals Lagrange immersions and unifoldings of singularities", Comm. Pure.Appl.Math., Vol. 27, № 2, pp. 207-281.
6. Ikromov, I.A. k, Muller, D. 2011. "On adapted coordinate systems", Trans. Amer. Math. Soc., vol.363, no. 6, pp. 2821-2848.
7. Karpushkin, V.N. 1983, "Uniform estimates for oscillatory integrals with parabolic or hyperbolic phase", Proceedings of the I.G.Petrovsky Seminar. Vol.9, pp. 3-39.(Russian)
8. Sogge, C.D. 1993. "Fourier integrals in Classical Analysis", Cambridge, Cambridge university press, P. 105.
9. Carberv, A., Christ, M., and Wright, J., 1999. " Multidimensional Van der Korput lemma and sublevel set estimates", Journal of AMS, V.12. pp. 981-1015.
10. Ruzhanskv, M., Safarov, A. R., Khasanov, G. A., 2022. "Uniform estimates for oscillatory integrals with homogeneous polynomial phases of degree 4", Analysis and Mathematical Physics, 12(130).
11. Safarov, A., 2018. "Invariant estimates for double oscillatory integrals", Mathematical Notes, 104:2, pp. 293^302.
12. Safarov, A., 2019. On the Lp-bound for trigonometric integrals. Analysis mathematica, 45, pp. 153-176.
13. Safarov, A., 2016. "On invariant estimates for oscillatory integrals with polynomial phase", J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 9 (2016), pp. 102-107.
14. Safarov, A., 2019. "On a problem of restriction of Fourier transform on a hvpersurface", Russian Mathematics, 63 (4), pp. 57-63.
15. Safarov, A. R., 2022. "Estimates for Mittag—Leffler Functions with Smooth Phase Depending on Two Variables, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 15(4), pp. 459—466.
Получено: 26.07.2023 Принято в печать: 21.03.2024
