CC BY
0
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 1.
УДК 517.518.5 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-1-52-61
Об оценке тригонометрических интегралов с квадратичной
фазой1
И. А. Икромов, А. Р. Сафаров, А. Т. Абсаламов
Икромов Исроил Акрамович — Институт математики им. В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан (г. Ташкент, Узбекистан), Самаркандский государственный университет (г. Самарканд, Узбекистан). e-mail: ikromovK3rambler.ru
Сафаров Акбар Рахманович — Институт математики им. В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан (г. Ташкент, Узбекистан), Самаркандский государственный университет (г. Самарканд, Узбекистан). e-mail: safarov-akbar<§mail.ru
Абсаламов Акмал Толлибоевич — Самаркандский государственный университет (г. Самарканд, Узбекистан). e-mail: absalam,ov@sam,du,.uz
Аннотация
В статье рассматривается проблема суммируемости для тригонометрических интегралов с квадратичной фазой. Аналогичная задача рассмотрена в работах [2], [3], [4] в частных случаях. Наши результаты обобщают результаты этих работ на кратные тригонометрические интегралы.
Ключевые слова: тригонометрический интеграл, экспонент, сумма, фаза, многочлен. Библиография: 14 названий.
Для цитирования:
И. А. Икромов, А. Р. Сафаров, А. Т. Абсаламов. Об оценке тригонометрических интегралов с квадратичной фазой // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 1, с. 52-61.
1 Исследование выполнено с поддержкой гранта РУз (проект ОТ-Ф4-69).
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 1.
UDC 517.518.5 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-1-52-61
On estimates for trigonometric integrals with quadratic phase
I. A. Ikromov, A. R. Safarov, A. T. Absalamov
Ikromov Isroil Akramovich — V. I. Romanovskv Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan (Tashkent, Uzbekistan), Samarkand State University (Samarkand, Uzbekistan). e-mail: ikromovl@ramMer.ru
Safarov Akbar Rakhmanovich — V. I. Romanovskv Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan (Tashkent, Uzbekistan), Samarkand State University (Samarkand, Uzbekistan). e-mail: safarov-akbar@mail.ru
Absalamov Akmal Tolliboevich — Samarkand State University (Samarkand, Uzbekistan). e-mail: absalamov@mail.ru
Abstract
This paper is devoted to the summation problem for trigonometric integrals with quadratic phase. The particular cases of this problem were considered in [2],[3],[4]. We generalize the results of these papers to the multidimensional exponential integrals.
Keywords: trigonometrical integral, exponent, sums, phase, polynomial.
Bibliography: 14 titles.
For citation:
I. A. Ikromov, A. R. Safarov, A. T. Absalamov, 2024, "On estimates for trigonometric integrals with quadratic phase" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 1, pp. 52-61.
1. Введение
Пусть P(x, s) £ М[ж] многочлен от ж £ Rfc с коэффициентами s £ Rw. Через Q обозначается компактное множество в Rfc.
Рассмотрим тригонометрический интеграл
Т (s) = J exp(iP (x,s))dx. (1)
Q
Постановка задачи: Найти точную нижнюю грань р0 чисел р таких, что Т £ LP(RW).
Эта задача впервые была рассмотрена И.М.Виноградовым [15] в связи с проблемой аналитической теории чисел и получена оценка сверху для ро в случае к = 1. Позднее, оценка И.М.Виноградова была улучшена в работе [5]. В работе [1] указано точное значение р0 в случае к = 1 и доказана конечность этого числа в многомерных случаях. В работе [6] рассмотрены оценки снизу для числа ро и указано его точное значение когда коэффициенты многочлена меняются в некотором подпространстве пространства RN. Аналогичные задачи рассмотрены в работах [7]-[12].
Аналог этой проблемы рассмотрен в работе [13], для случая когда Q есть единичный шар с центром в начале координат и Р(х, в) квадратичный полином удовлетворяющий некоторому условию трансверсальности.
В работе [2] получена оценка снизу для ро в случае к = 2.
В работах [2] и [4] рассмотрена аналогичная задача в случае к = 2. Более того в [2], показано, что если Р однородный квадратичный полином и к = 2, торо = 4в случае когда Q = [0,1]2 точнее при р > 4 тригонометрический интеграл сходится и при р < 4 расходится.
В данной работе мы рассмотрим задачу суммируемости тригонометрических интегралов когда к > 1 и получим точный показатель сходимости ро в случае когда Q = [0,1}к. В случае когда Р однородный многочлен степени два получим точное значение ро-Пусть полином Р имеет вид:
Р(х, А, Ь) = (Ах, х) + (Ь, х),
где А = (щт)к1 т=1 вещественная симметричная к х к матрица, Ь := (61,62, ...,Ьк) € М^ и (■, ■) скалярное произведение векторов. Рассмотрим тригонометрический интеграл
Т (А,Ъ) = j ex p(iP (х,А,Ъ))хк (x)dx,
Rfc
где К—компактное множество и хк (%) —характеристическая функция множества К. Рассмотрим несобственный интеграл
в = J \Т(A,b)\pdbda, где db = db\db2...dbk и da = П daim.
1 <l<m<k
Справедлива следующая:
Теорема 1. Пусть К компактное множество, тогда интеграл 9 сходится при р > 2к + 2 и причем еели К содержит внутренную точку х° и существует прямая I проходящая через точку х° такая, что множество {IПК} содержит лишь конечное число точек, то при р < 2к + 2 интеграл расходится. Таким, образом,, если К компактное множество с непустой внутренностью, то р0 = 2к + 2.
Доказательство теоремы 1. Оценка сверху для р0 непосредственно следует из теоремы 1 работы [16]. Рассмотрим следующее подмножество Q(an) пространства RN-1:
\ai2\ + из! + ... + kfc\ <cian, —1 < — < —1, \atj — a11 ai1 \< C2, \bi — \< C2,
2 a11 4 a11 a11
где l = 2,..., пи c1, c2 достаточно малые фиксированные положительные числа.
Лемма 1. Существует положительное число с такое, что для меры Лебега множества Q(a11) справедливо следующее равенство:
ц,(П(ап)) = с ■ a'h.
Доказательство Берем следующее отображение
Ы(АМ,...,Ьк ) = an,
е(АМ ,..,Ък ) = Ь1,
Ьи.., Ък ) = к - ^, ап
?(А, Ъь..., Ък ) = к -& (А, Ъ\,..., Ък) = ац -
ап
3 <1 = 2,3,...,к.
Оно отображает множество П(ац) на множество и Якобиан этого отбражения равен
единице. Следовательно,
ц(П(ап))=»т)).
Легко показать, что для множества П(^):
| 62 | + | | +...+ | 6к |< С1 -ап,
1 е 1 — < — < —,
2 ап 4
| |< С2, | & |< С2, з<1 = 2,3,...,к,
№(0) = с-акц. ц,(П(ап)) = с ■ а^.
получим
Следовательно,
Лемма 2. Существует положительное число Ь такое, что для любого ац > Ь и (А, Ь)е П(ац) для интеграла Т(А, Ь) справедливо следующее асимптотическое равенство
Г (А,,,) = «*» + О (±
11
(ап)
при ац^+то, причем существует положительное число 5 такое, что для любого (А, Ь)е П(ац), выполняется неравенство
|с(А, Ь)1 > 5 > 0.
Лемма 2 доказывается обычным методом стационарной фазы. Отметим, что для достаточно малых С1, С2 при ( А, Ь) € П(ац) и для достаточных больших Ь, фаза имеет осцилляции только в направлении х1 по этому, при фиксированных значениях Х2, ...,хп€ [0,1], невырожденная критическая точка Х1(А,Ь,Х2, ...,хп) лежит внутри (0,1).
те те
0> / / |Т(А, Ь)1 р(Ыа>5с!ак~Чац.
Ь П(ац) Ь
Таким образом при р < 2к + 2 последний интеграл расходится. Теорема 1 доказана.
2. Случай, когда Р однородный многочлен второй степени
Теперь предположим, что Р(х,А) = (Ах, х). В работе [4] доказано, что если Q квадратичный полином в М2, то при р > 4 интеграл в сходится и при ро < 4 интеграл в расходится. В данной работе мы распространяем результаты И.Ш.Джаббарова на случай, когда Q многогранник в М2к.
Под многогранником мы подразумеваем конечное объединение невырожденных симплексов [18].
Теорема 2. Если Р(х, А) = (Ах, х) и ^ ^^^^^^^тик, то при р > 2к интеграл 9 сходится. Если = [0,1}к, то при р < 2к интеграл 9 расходится.
Замечание 1. В этом случае мы не можем применить результаты работы [16], так как соответствующее множество (х^х^}7<=1 не является гладкой поверхностью.
Замечание 2. В зависимости от множества ф показатель р может быть меньше чем 2к. Например, если к = 2 и ф достаточно мадый квадрат с центром в точке (1,1), то можно доказать, что при р > 3 интеграл 9 сходится.
3. Вспомогательные леммы
Сначала рассматривается следующий несобственный интеграл
Тоо(А, Ь) = ! ехр (гР(х, А, Ь) - (х, х))йх.
к2
Очевидно, что последний интеграл абсолютно и равномерно сходится по параметрам и он явно вычисляется [13].
Лемма 3. Справедливо следующее равенство
Тоо(А,Ь) = (2ж)2 ({Ы(1 - 1А))-1 ехр (-(( - ^ ^),
где квадратный корень определится понимается следующим образом
(йеЪ(1 - гА))-1 = (1 - г\])-1 ■ (1 - гХ2)-2 ■ ... ■ (1 - гХк)-1
здесь Х]^,..., Хк собственные значения матрицы А г-1 ветвь многозначной функции, определенной на комплексной плоскости с разрезом по нижней части мнимой оси и 1- 2 = 1.
Лемма 3 доказывается приведением А к диагональному виду. Таким образом вычисление интеграла сводится к одномерному интегралу и явно вычисляется (более подробно см.[14]). Очевидно, что выполняются следующие равенства:
, ((I - гАгХъ), ехР (---)
= ехр(-+ ¿Т1"'"^)
[ехр (-+ )Л = ^2 М1 + А2»1 .
■ ' 4 «2
К2
Введем следующее обозначение:
9^ = I | Т^(А,Ь) |ЧЬйа,
где
м = к(к + 2) 2 .
Предложение 1. Интеграл 9сходится при р > 2к + 2 и расходится при р < 2к + 2.
Заметим, что согласно лемме 3, доказательство предложения сводится к исследованию сходимости следующего интеграла
^ = с(р) I -Ла 2 р—2 , (2)
„¿2 ^(1 + А2))V
р
( )
Как известно, определитель является инвариантом ортогональной группы. Поэтому естественно интегрировать сначала по орбитам ортогональной группы, затем интегрировать по фактор-пространству.
Пусть М множество вещественных симметричных матриц и вОк группа специальных ортогональных матриц. Эта группа естественным образом действует в пространстве М, д(А) = дгАд, где де вОк и Ае М.
Известно, что для любой вещественной симметричной матрицы А, существует де С такое, что д(А) = гСгад(Х1,...,Хк), где (Над(Х1,...,Хк) диагональная матрица с диагональными элементами А1,..., Ак- Другими словами, для любой матрицы А существует де вОк такое, что А = дгЛд, где Л = Сгад(А1,..., Ак)-некоторая диагональная матрица.
Таким образом, если рассмотреть многообразие Мкх БОк, то естественно определяется гладкое сюръективное отображение
Ф : Мк х БОк^М
определенное по формуле Ф(Л, д) = дгЛд.
Пусть (а = Са11ЛСа12Л...ЛСакк естественная форма объема в пространстве М. Мы можем определить образ этой формы при отображении Ф, обозначаемый через Ф*с(а€Лм-к(МкхвОк)• Лемма 4. Справедливо следующее равенство
Ф*сСа = ( Ат - А[)(СА1Л...Л(САкЛш,
1<1<т<к
где ш-форма объема на ортогональной группе вОк-
Ф
Отметим, что справедливо равенство П ( Ат - А1)2 = рА(А), где р^ (А)-характеристичес-
1<1<т<к
А
Согласно лемме 3, интеграл (2) записывается в виде
П |Ат - А! |
[ (Са [ 1<1<т<к [
i -^ = i , е-2 са1 Л...ЛСАк I ш
Л ( (Ы{! + А2))±1 П (1 + А12)1
Из последнего равенства следует, что сходимость интеграла (2) сводится к исследованию сходимости интеграла
. П |Ат - А[ |
I 1<1<т<к
-=-<-(СА1Л...Л(САк.
Мк П (1 + А12 ) — 1<1<к
Легко видеть, что этот интеграл сходится при р > 2к + 2 и расходится при р < 2к + 2. Что и доказывает предложение 1.
Доказательство теоремы 2. При доказательстве используется классическое неравенство Юнга. Если /е Ьр(Мк) и де Ьг(Мк) произвольные функции, то справедливо следующее неравенство
\и*д\\ь„ <\\Л\ьр\\д\\ьг,
где /*д свертка функции / и д, причем постоянные 1<р,д, г<то связаны соотношением
1 1 1
- + 1 = - + -.
Пусть К компактный многогранник в Rk и
ЬЩ-j е»\к (х) е
Лемма 5. Для любого положительного числа е, имеет место включение Ь,£ Ь1+^( Доказательство. Заметим, что для любого е > 0 хк £ ) (например, см.[17]).
тогда утверждение леммы 3 легко следует из неравенства Юнга.
Теперь вернемся к доказательству теоремы 2. Согласно тождеству Планшареля имеем:
Т (Л)= / в*-)* = / в.--. х, № = ! -И 2е И V № = I ¡(А, Ь)д(Ь)ЛЬ,
где ¡(А, Ь) = /к2 еМх>^-1Ж12-2™(х,ь)(1хж д(Ъ) = /к2 е^2е-2™(х'ь^х.
Пусть д > 1 фиксированное число. Тогда, применяя неравенство Гёльдера, имеем:
|T(A)|<|| f(A, .)yL?, \\д\\ь„r),
где 1 + Л = 1.
Я q
Согласно лемме 3 имеем:
|T(A)| <-« Р ^ .
( det(I + A2))4 2,'
Таким образом, если р > 2к, то мы можем выбрать q > 1 так, что | — > §. Отсюда следует, что если | — > | joT G Lp(Rfc).
Осталось доказать точность результата. Рассмотрим следующее подмножество Q+(an) пространства RN-i, где N = fc(fc+1).
an > 0, |ai2| + |ai31 + ... + Kfc| < cian,
anaij % — ——
aii
< C2,an < 0
где I < ] = 2,п,1 = 2, ...,п и С1, С2 достаточно малые фиксированные положительные числа.
1 2
множества 0+(ац) справедливо следующее равенство:
^(П+(ап)) = с-ак1-1.
Лемма 6. Существуют положительное число Ь такое, что для любого а11 > Ь и А<е {^(а-]^^ для интеграла Т(А) справедливо следующее асимптотическое равенство
Т{А) = ^ + 0
h2i
(an)
при а^^+ж, причем существует положительное число 5 такое, чт,о для, любого (А, Ъ) £ £ {+(а11) выполняется неравенство
|с(А)1 > 5 > 0.
Лемма 6 доказывается обычным методом стационарной фазы. Заметим, что если ¿2 > 2 и ¿1 < 0 то справедливо следующее соотношение
cosy2dy
IsiVx
= с(Si, 02 ,X)
причем, существуют Ао, £ > 0 такие, что выполняется неравенство с(51, §2, А) > е > 0 при всех А > Ао.
Отметим, что для достаточно малых С1, С2 при А е П+(ац) и для достаточных больших Ь фаза имеет осцилляции только в направлении Х1 по этому, при фиксированных значениях Х2, ...,хпе [0,1] невырожденная критическая точка Х1(А, Ь,Х2, ...,хп) лежит внутри (0,1).
те те
0>! У 1Т(А)\рсСа>5сУаЦ-2~1(ап.
Ь П(ац) Ь
Таким образом при р < 2к последний интеграл расходится. Основная теорема 2 доказана.
4. Двумерный случай
Отметим, что в однородном случае результаты [16] неприменимы. При доказательстве теоремы 2 существенно используется свойство хя е Ь1+о(Мк).
В работе В.В.Лебедева приведен пример области дИ е С1,ш, где ш модуль непрерывности градиента <р, определяющей дИ, такое что хя е Ь1+о(Мк). Поэтому, мы можем считать, что И компактная область с достаточно гладкой границей.
Справедлива следующая
Теорема 3. Пусть И компактная область такая, что хб е (М2) и Т(А) = = ¡иег(Ах'х^)сСх. Тогда Т е Ьр(М3) при р > 6 - 2. Более того, если хо е Ь1+о(М2), то, при любом р > 4 справедливо включение Т е Ьр(М3).
Замечание 3. Из результатов В.В.Лебедева [17] следует, что существует множество И отличное от многоугольника, такое, что хя е Ь1+о(М2).
Следствие. Если И с М2 компактное множество, такое, что дИ с С1, то при р > 4, 5 справедливо соотношение Т е Ьр(М3).
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Архипов, Г. И., Карацуба, А. А., Чубариков, В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм // М:Наука, 1987, 357 с.
2. Архипова, Л. Г., Чубариков, В. И. О показателях сходимости особого интеграла и особого ряда одной многомерной проблемы // Чебышевский сборник, 2019, вып.20, том 4, С.46-57.
3. Чахкиев, М. А. Оценка показателя сходимости особого интеграла проблемы Терри для однородного многочлена степени N от двух переменных // LXI Международные научные чтения (памяти А.Н.Колмогорова) Международной научно-практической конференции 16 декабря, 2019, С.18-21.
4. Джаббаров, И. Ш. Показатель сходимости особого интеграла двумерной проблемы Терри с однородным многочленом степени 2 // Матем. заметки, 2019, том 105, вып. 3, С. 375—382.
5. Hua, Loo-keng. On the number of solutions of Tarrv's problem // Acta Sei. Sinica, 1952, vol.1, № 1, pp. 1-76.
6. Ikromov, I. A. On the convergence exponent of trigonometric integrals // Proceedings, MIRAN, 1997, vol, 218, pp.179-189.
7. Safarov, A. On the Lp-bound for trigonometric integrals // Analysis mathematica, 2019, 45, pp.153-176.
8. Сафаров, А. О суммируемости двукратных осцилляторных интегралов с полиномиальной фазой третьей степени // Узбекский математический журнал, 2015, 4, С.108-117.
9. Safarov, A. Invariant estimates of two-dimensional oscillatory integrals // Math. Notes, 2018, 104, pp.293-302.
10. Safarov, A. On invariant estimates for oscillatory integrals with polynomial phase, //J. Sib. Fed. Univ. Math. Phvs. 2016, 9, pp.102-107.
11. Safarov, A. On a problem of restriction of Fourier transform on a hvpersurface // Russian Mathematics, 2019, 63(4), pp.57-63.
12. Safarov, A. R. Estimates for Mittag—Leffler functions with smooth phase depending on twovariables // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phvs., 2022, 15(4), pp.459—466.
13. Makenhaupt, G. Bounds in Lebesgue Spaces of Oscillatory Integral Operators // Habilitati-onsschift zur Erlangung der Lehrbefugnis im Fach Matematik der Gesamthochschule, Siegen, 1996.
14. Stein, E.M. Harmonic Analysis: real-valued methods, orthogonality and Oscillatory Integrals // Princeton, 1993.
15. Виноградов, И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // М:Наука, 1980, 158 С.
16. Jong-Guk, Bak, Sanghvuk, Lee. Restriction of the Fourier transform to a quadratic surface in Rn // Mathematische Zeitschrift, 2004, No.247, pp.409-422.
17. Лебедев, В.В. О преобразовании Фурье характеристических функций областей с С1—гладкой функцией // Функц. анал. и его прил., 2013, вып.47, том 1. С. 33-46.
18. Лебедев, В.В. Операторы суперпозиции в некоторых пространствах гармонического анализа // Диссертация на соискание учёной степени физико-математическим наукам. URL: https://www.dissercat.com/content / operatory-superpozitsii-v-nekotorvkh-prostranstvakh-garmonicheskogo-analiza
REFERENCES
1. Arkhipov, G.I., Karatsuba, A.A.& Chubarikov, V.N., 1987. "Theory of multiple trigonometric sums", Moscow. Nauka, p. 357.
2. Arkhipov, L.G., k, Chubarikov, V.N, 2019. "Chebvshevskiv sbornik", On the exponents of the convergence of singular integrals and singular series of a multivariate problem, vol. 20, no. 4, pp.46-57.
3. Chahkiev, M. A., 2019. "Estimation of the convergence index of a singular integral Terry problems for a homogeneous polynomial degree n of two variables", LXI International Scientific Readings (in memory of A.N.Kolmogorov) International Scientific and Practical Conference December 16, pp.18-21.
4. Jabbarov, I.Sh., 2019. "Mathematical Notes", Exponent of a special integral in the two-dimensional Tarry problem with homogeneous of degree 2, vol. 105, no. 3, pp. 375 3*2.
5. Hua Loo-keng, 1952. "On the number of solutions of Tarrv's problem", Acta Sci. Sinica, vol.1, No. 1, pp. 1-76.
6. Ikromov, I. A., 1997. "On the convergence exponent of trigonometric integrals", Proceedings, MIRAN, vol.218, pp.179-189.
7. Safarov, A., 2019. "On the Lp-bound for trigonometric integrals", Analysis mathematica no. 45, pp. 153-176.
8. Safarov, A., 2015. "About summation of oscillatory integrals with homogeneous polynomial of third degree", Uzbek Mathematical journal no.4 , pp.108-117.
9. Safarov, A., 2018. "Invariant estimates of two-dimensional oscillatory integrals", Math. Notes, 104, pp.293-302.
10. Safarov, A., 2016. "On invariant estimates for oscillatory integrals with polynomial phase", J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 9, pp. 102-107.
11. Safarov, A., 2019. "On a problem of restriction of Fourier transform on a hvpersurface", Russian Mathematics, 63 (4), pp.57-63.
12. Safarov, A. R., 2022. "Estimates for Mittag—Leffler Functions with Smooth Phase Depending on Two Variables", J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 15(4), pp.459—466.
13. Makenhaupt, G., 1996. "Bounds in Lebesgue Spaces of Oscillatory Integral Operators", Habilitationsschift zur Erlangung der Lehrbefugnis im Fach Matematik der Gesamthochschule, Siegen.
14. Stein, E.M., 1993. "Harmonic Analysis: real-valued methods, orthogonality and Oscillatory Integrals", Princeton.
15. Vinogradov, I. M., 1980. "Method trigonometric sums in number theory", Moscow, Nauka, pp. 158.
16. Jong-Guk Bak, Sanghvuk Lee, 2004. "Restriction of the Fourier transform to a quadratic surface in Rra", Mathematische Zeitschrift № 247, pp.409-422.
17. Lebedev, V. V., 2013. "On the Fourier transform of the characteristic functions of domains with С1 boundary", Func. anal, and its appl. Vol. 47, no. 1. pp. 33-46.
18. Lebedev, V. V., 2013. "Superposition operators in some spaces of the harmonic analyzer the translator", Dissertation to take The dissertation on competition of a scientific degree of physical and mathematical sciences. URL: https://www.dissercat.com/content/operatorv-superpozitsii-v-nekotorvkh-prostranstvakh-garmonicheskogo-analiza
Получено: 23.07.2023 Принято в печать: 21.03.2024
