О равномерной сходимости функциональных последовательностей и функциональных рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ.

Зикеева Марина Кареновна

студент Московского государственного университета информационных технологий, радиотехники и электроники, РФ, г. Серпухов

E-mail: zikeeva. marina@yandex. ru Таперечкина Вера Алексеевна канд. физ.-мат. наук, доцент Московского государственного университета информационных технологий, радиотехники и электроники, РФ, г. Серпухов

UNIFORM CONVERGENCE OF FUNCTIONAL SEQUENCES AND

FUNCTIONAL SERIES

Marina Zikeeva

student of Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering

and Electronics, Russia, Serpukhov Vera Taperechkina

candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering and Electronics,

Russia, Serpukhov

АННОТАЦИЯ

В работе рассматриваются функциональные свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и функциональных рядов. Подробно разобраны различные примеры и контрпримеры, демонстрирующие эти свойства.

ABSTRACT

The functional properties of uniformly convergent functional sequences and functional series are considered in this study. Various examples and counterexamples demonstrating these properties have been discussed in detail.

Ключевые слова: равномерная сходимость; функциональные последовательности; функциональные ряды.

Keywords: uniform convergent; functional sequences; functional series.

1. Поточечная сходимость функциональной последовательности

Функциональной последовательностью называется занумерованное множество функций {fn(x)}, имеющих одну и ту же область определения DGR.

При этом множество D называется областью определения функциональной последовательности {fn(x)}.

Пусть VxoGE^D последовательность (fn(xo)} имеет конечный предел, f(xo), т. е. V s 3 номер N= N(s,xo):Vn>N=>|fn(xo) - f(xo)|< s.

Определенная таким образом сходимость называется поточечной, и пишут lim fn(xo)= f(xo).

п^го

Так как VxGE (E-множество сходимости последовательности) определено число f(x), то lim fn(x) представляет собой функцию, которая называется

п^го

предельной функцией последовательности {fn(x)}.

Нас будут интересовать функциональные свойства предельной функции f(x) = lim fn(x) в зависимости от свойств fn(x) и от «качества» сходимости

п^го

последовательности {fn(x)}. Например, следует ли из непрерывности в fn(x) непрерывность предельной функции. Приведем несколько примеров. Пример 1 [3]/

Пусть fn(x) = xn, n — натуральное, D= [o,1]. Найти предельную функцию. Решение.

fn(o) = o, lim fn(o) = o, fn(1) =1, lim fn(1) = 1,

П^го П^го

При 0<x<1,fn(x) = xn. Покажем по определению, что lim fn(x) = o.

П^го

Пусть дано Vs >0. Неравенство | xn- o| <8 выполняется при |x|n<s,

ln £ ln £

nln x < ln 8(причем ln x < 0),n>-— . Обозначим N = [-—]+1.

in x in X

Таким образом, V s найдется номер N, такой, что Vn>N выполняется неравенство |xn- 0 |< s, а значит, что lim fn(x) = o

П^го

f0,0 < x< 1

Итого предельная функция f(x) = { ' ° < ^ < ; E =[o,1] —

множество

x

сходимости.

Функции Гп(х) = хп непрерывны на Е, однако, предельная функция имеет в точке х = 1 разрыв первого рода со скачком.

Пример 2 [1].

i

fn(x) = 1+ ; D = [0,1]. Найти предельную функцию. Решение.

fn(o) = 1; lim fn(o) = 1. Для VxG (0,1] имеем f(x) = lim-= 0.

П^го П^го 1+ЯХ

у- х_0

Итого, предельная функция f(x) = |q ^ ^ ^ ^; E =[o,1] — множество

поточечной сходимости.

1

Функции fn(x) = непрерывны на [0,1], а предельная функция f(x) имеет

в точке x = o разрыв первого рода со скачком. Пример 3.

fn(x) = 2™2; D = [0,1]. Найти предельную функцию. Решение.

Если x = 0, то fn(o)= 0, lim fn(o)= 0.

П^го

Для xG(0,1] предельную функцию найдем, используя правило Лопиталя. f(x) = lim —= lim2 = lim — = 0, (Vx ^0).

п^го 1+х2п2 п^го 2пх2 п^го nx

Итого, предельная функция f(x) = o, VxG[o,1]. E=[o,1] — множество поточечной сходимости.

Функции fn(x) = 2™2 непрерывны на [0,1] и предельная функция f(x) =o

непрерывна на [0,1]. Пример 4.

fn(x) = 1+х2п2 ; D= [0,1]. Найти предельную функцию. Решение.

f(x) = lim fn(x)= lim = o ; Vxe[o,1].

П^го П^го 1+Х2П2

Итого, предельная функция f(x)=o. E=[o,1] — множество поточечной сходимости.

Функции fn(x) = 1+х2п2 непрерывны на [0,1] и предельная функция f(x) =o непрерывна на [0,1].

Пример 5.

fn(x) = 2х2п2 * е-*2™2 ; D = [0,1]. Найти предельную функцию. Решение.

Для x£[0,1] предельную функцию найдем, используя правило Лопиталя.

■ 2х ^ 1 ■ 4х ^ 1 ■ 2 л

= lim —= lim —-—Т2 = lim 2 2 = 0.

n^œ n n^œ 2x2nex n n^œ п

Итого, предельная функция f(x)=0 на [0,1].E=[0,1] - множество поточечной сходимости.

2Х2П2

Функции fn(x) = непрерывны на [0,1] и предельная функция f(x)=0

непрерывна на [0,1].

2. Равномерная сходимость функциональной последовательности

Последовательность {fn(x)} называется равномерно сходящейся на множестве E, если

V s > 0 3 номер N = N(e) :Vn>N => |fn(x) - f(x)|<e .

Отличие этого определения от прежнего определения состоит в том, что для любого e > 0 требуется существование номера N, зависящего только от e, но не зависящего от x, то есть общего для всего множества Е.

Графически, равномерная сходимость последовательности {fn(x)} к предельной функции f(x) состоит в приближении графиков fn(x) с ростом номера n к графику f(x)^ всем множестве E. Это заведомо справедливо, если потребовать, чтобы lim sup|fn(x) — f(x)|= 0, то есть, начиная с некоторого номера

N sup|fn(x) — f(x)| <e, а тогда, разумеется, VxG E справедливо, что |fn(x) — f(x)| <e.

XEE

Исследование на равномерную сходимость напоминает решение задачи с параметром, если в качестве параметра принять x.

Рассмотрим детально приведенные выше примеры с точки зрения определения равномерной сходимости, используя полученные результаты.

К примеру 1.

fn(x) = xn; E = [0,1] ; Ранее было получено^) =

[0,xe [0,1) I 1,X= 1

Ух е [0,1)|fnCx) - f(x)| <в; при Уи >N(8, x) = [^ + 1.

Отметим, что N = N(8, х), зависит от х. Причем, чем ближе х к 1, тем больше N(8, х) и, тем самым, не существует такого N = N(8), которое пригодно для Ухе[0,1].

Рисунок 2.1 иллюстрирует характер приближения графиков ^(х) к графику предельной функции ^х). Предельная функция изменяется в х=1 скачком и ^1) = 1, а максимумы всех функций ^(х) остаются неподвижными, ^(1) = 1.

На Рисунке 2.1 изображена поточечная сходимость при х0 =0,9 и 8 = 0,1,

N = Й+1 = Ё2Э+1= 30, №о(хо) - *хо)| = |0,930 - 0| = 0,0424<0,1.

Итак, функциональная последовательность непрерывных функций {хи} сходится к разрывной функции ^х) поточечно, но неравномерно. Отметим, что,

1п £

если Е = [0,г], где г<1, то сходимость равномерная, N(8) = [—] + 1.

Рисунок 2.1. Пример неравномерной сходимости последовательности {кп}

К примеру 2.

ад = ^; Е= [0,1]. Ранее было получено ад = [0,х е (ОД]

|fnCx) -

11 1 —1 -1 1 -<8, 1 + пх>1 и>-—, N = N(8, х) = + 1.

£ X X J

1-1

— Г£

1+пх51+ПХ

Поточечная сходимость на Е есть. Однако, при х— 0 получаем N — от. Следовательно, не существует единого N(8), пригодного для всего отрезка [0,1].

Итак, сходимость неравномерная. Аналогично Примеру 1, если Е = [г,1], где

1-1

г>0, то сходимость равномерная, N(8) = [-—] + 1.

Приведем иллюстрацию к Примеру 2.

1

Графики функций !П(х)

1+пх

на множестве действительных чисел

представляют собой семейство гипербол с разрывом при 1 + пх = 0, то есть

х

п

Рисунок 2.2. Пример неравномерной сходимости последовательности

На Рисунке 2.2 представлены графики правой ветви четырех функций: ^(х), Г2(х), fз(x), ^9(х) и предельной функции ^х). Если, например, 8 = 0,1 ,

1

хо = 0,5, то срезом является монотонно убывающая последовательность

2 1-1 {^(0,5)}={^ }и N(8) = + 1 = 19,

11 1^9(0,5) - Г(0,5)| = |-1--0| = — = 0,095 < 0,1.

1 194 ' 7 4 ' п 1 + 19*0,5 1 10,5 5 5

Все графики ^(х) при п> 19 в точке х0 = 0,5, расположены к графику

предельной функции ближе, чем 8 = 0,1.

Но, если, например, 8 = 0,1 , Х0 = 0,1, то получим N(8) = 91, ^(0,1) — ^0,1)| 11

= |-1 =-= 0,099 < 0,1 и чем ближе х0 к нулю, тем большее N следует взять

1+91*0,1 10,1 5 5 0 ^ 5 ^

в определении поточечной сходимости и невозможно указать N(8) единого для всех х отрезка [0,1].

Итак, имеем неравномерную сходимость непрерывных функций ^(х) к разрывной функции Г(х). К примеру 3.

ОД = 1+2Х2; Е = [0,1]. Ранее было полученоГ(х) = 0.

Покажем, что сходимость {^(х)} к Г(х) не является равномерной.

Графики функций ^(х)= 1+х2п2 представляют собой семейство, получаемое

сжатием к началу координат графика нечетной функции у = , где X = пх. Рассмотрим поведения экстремумов и точек перегиба.

у' = (щ(х))' = 2п(1+х2п2 )-2^2п3 = 2 ) ; У' = 0 прих = ± 1, х = — £ [0,1],

* х у " (1+х2п2 )2 (1+х2п2 )2'^ ^ п' п

1

1 2п*— 4гл3 (г2л2 — 3)

у(-) = —т^- = 1,у'' = (£,(х) ) '' = (х п 3)

п2

^ 11^14 1 I --

(1+Х2П2 )3

2п—

у'' = 0 прих= 0, х = ± —, Я—) = —^ = —

п2

Таким образом, на отрезке [0,1] имеем для всех функций семейства

одинаковой высоты максимум утах(1 )= 1 и одинаковой высоты перегиб у = но

1

достигаются эти значения в разных точках для разных кривых: хтах = -, хперегиба = п *

На Рисунке 2.3 представлены графики ^(х),...Дб(х). На любом срезе x = xo

получаем числовую последовательность {^(х^}. Например, при x0 = 0,25 {«°>25)} = ^ •

Последовательность 0,25)} до п = 4 возрастает, а далее убывает и сходится к нулю.

Для любого 8> 0 и любого фиксированного х0 неравенство

- f(x0)| = I 1ПХ2°02 - 01 < 8 С у4етом T0Г0, Что ^1ПХ202 < 2ПХ° 2

1+Х02П2 5 1+Х02П2 х02п2 ПХ05

2 2 2 заведомо выполнено, если — < 8, то есть при п > —, N = Ме,х) = Г—1 + 1. В

ПХ0 £Х0 У £Хо

2

частности, при х0 =0,25, £ = 0,1 получим N(0,1;0,25)=[ —] + 1 =81,

£Хо

^(0,25) - Г(0,25)| = 0,0985 < 0,1

1

Однако, какого бы ни было N(8^), всегда существует точка хтах = ~,где

11

n>N(8,x0) и в этой точке ^п(~) — А(-)| = 1>8 (для любого 8<1).

Например, пусть 8 = 0,1, Х0 = 0,25, N = 81.Берем теперь Х0 = 0,01. При

11

п = 100>81 имеем — )| = |1— 0| = 1 >8.

1 41007 ч10071 1 1

Таким образом, невозможнодля всех х, принадлежащих отрезку [0,1], при п>^8) обеспечить выполнение неравенства |^(х) — А(х)|<8. Последовательность сходится неравномерно.

Рисунок 2.3. Пример неравномерной сходимости последовательности

{1+х2п2}

2х

fn(х) = 1+п2х2, Е =[0,1].Ранее было получено f(х) = 0.

Рассмотрим функцию у = 1+П^Г ■ Так как У' = 2(1+"пП2хХ2))2 , У' = 0 при х = ±1,

1

1 1 2*— 1 1 х= - £ [0,1],у(-) = —= -, то функция имеет экстремум при х = - на [0,1] и

п2 П

этот экстремум равен у(1) = 1.

Далее у'' = 4"2х2 \ у'' = 0, х = ± £ х = ^ £ [0,1], у(^) = £

^ * (1+п2х2 )3 ^ 5 п' п 1 -"-^п7 2п

2х

Таким образом, графики функций fn(х) = 1+п2х2 имеют на отрезке [0,1]

максимумы, расположенные на прямой у = х и перегибы, расположенные на

прямой у = | . Так как £>(х) = = , то графики функций £>(х)

получаются из соответствующих графиков примера 3 сжатием в п раз вдоль оси

ординат. При п — го максимумы все ниже и график выравнивается, сглаживаясь

к оси 0х. Это изменяет качество сходимости последовательности {£^х)} и

появляется возможность одновременного приближения графиков функций с

ростом п к графику предельной функции А(х) = 0 на всем отрезке [0,1].

На Рисунке 2.4 показана динамика изменения графиков (сравнить с

Рисунком 2.3). Возможность выбора единого N(8) следует из оценки:

11

|ОД - ВДН^ах- = 1<8, п>1

1

Таким образом, V х £ [0,1] существует N(8) = [ -] +1, следовательно, сходимость равномерная.

2х

Рисунок 2.4. Пример равномерной сходимости последовательности ^ 2п2} Пример 6.

Пусть ^(х) = ^^ + , где Э(х) - функция Дирихле.

nz

ВД={о'х-"

1,x — рациональное 0,x — иррациональное5

Исследовать на равномерную сходимость на E = [0,1]. Решение.

fn(x)

_ + , x — рациональное I , x — иррациональное

Каждая из функций fn(x) разрывна во всех точках E = [0,1].

f(x) = lim fn(x) = , V xG E.

—) n2 , ,0,x — иррациональное

Так как, |fn(x) — f(x)| ={ n-'x рациональное , |fn(x)-f(x)| = ^-<8, n2>1 N(s)

П2

= [ —] +1, следовательно, Ув>0 существует N(8), пригодное V х £ [0,1] и

удовлетворяющее определению равномерной сходимости.

Таким образом, сходимость последовательности разрывных функций {Гп(х)} к непрерывной функции 1(х) = ех является равномерной. Пример 7 [3].

. -,x —рациональное

fn(x) = { n , E = [0,1]

Дx — иррациональное

Исследовать на равномерную сходимость. Решение.

1

Функции fn(x) всюду разрывные. f(x) = lim fn(x) = lim - = 0,

П^ГО П^ГО ^

li?/ ч „ 4I ( —,x — рациональное

|fn(x) — f(x)| =

1Д x — иррациональное

11

Неравенство |fn(x) — f(x)| <s выполняется при -<s, n>-.

1

Таким образом, Vs>0 существует N(s) = [ -] +1, удовлетворяющее

определению равномерной сходимости.

Итого, сходимость последовательности всюду разрывных функций { fn(x)} к непрерывной функции f(x) = 0 является равномерной. Пример 8.

fn(x)

11

I1 + ~2'х ^ 0

X n

0,x = 0

Исследовать на равномерную сходимость на отрезке [0,1]. Решение.

Функции fn(x) неограниченны на [0,1], при x =0 имеют разрыв второго рода.

1 1 1

Для Vx ^ 0 имеем f(x) = lim fn(x) = lim(- + —) = -. Для x = 0 имеем

n^ro n^ro- n -

fn(0) = 0 и lim fn(0) =0. n^ro

Таким образом, f(x) = { x'x ^ 0 . Функция f(x) разрывна при x =0.

I 0,x = 0

|fn(x) — f(x)|= {x +n2 x" n2'X^0

0 — 0 = 0,x = 0

1

Для выполнения неравенства |fn(x) — f(x)|<s необходимо, чтобы —<s. То

1

есть n>—

V£

1

Положим N(8) = Ь=]+1. Таким образом, существует N(8), пригодное Vx £

[0,1] и удовлетворяющее определению равномерной сходимости.

Итого, наша последовательность разрывных функций сходится равномерно к разрывной функции.

Разобранные примеры дают возможность проанализировать, как влияет качество сходимости (равномерная или нет) на результат предельного перехода:

• пример 1 и 2 — последовательность непрерывных функций поточечно сходится к разрывной функции;

• пример 3 — последовательность непрерывных функций поточечно сходится к непрерывной функции;

• пример 4 — последовательность непрерывных функций равномерно сходится к непрерывной функции;

• пример 6 — последовательность разрывных функций равномерно сходится к непрерывной функции;

• пример 7 — последовательность разрывных функций сходится равномерно к непрерывной функции;

• пример 8 — последовательность разрывных функций равномерно сходится к разрывной функции;

• пример 5 — последовательность непрерывных функций неравномерно сходится к непрерывной функции (доказано далее в примере 9).

Справедлива следующая теорема о непрерывности предела последовательности [1].

Теорема 1:

Если все члены последовательности непрерывны в точке х0 £ Е и последовательность сходится равномерно на Е, то предельная функция непрерывна в точке х0.

Из этой теоремы следует, что невозможно построить пример

последовательности непрерывных функций, сходящихся равномерно к

разрывной функции.

При исследовании последовательности на равномерную сходимость удобно

пользоваться вышеупомянутой перефразировкой определения равномерной

сходимости. Последовательность {fn(x)} равномерно сходится к f(x) тогда и

2Х

только тогда, когда lim sup |fn(x) — f(x)|= 0. Например, пусть ^(х) =-—, E

1+n2x2 1

=[0,1]. Ранее в примере 4 было получено ^х) = 0 и max ^(х) = -, значит

XEE п

2х 1

lim sup|fn(x) — f(x)|= lim sup-— =lim- =0. Сходимость равномерная.

Пример 9.

fn(x) = x2n2 , E = [0,1]. Исследовать на равномерную сходимость. Решение.

Ранее в примере 5 было получено, что f(x) = 0 на отрезке [0,1], поточечная сходимость есть.

Найдем максимум функции y = fn(x).

f _4xn2 ex2n2 -2x2n2 2xn2 ex2n2 _ 4xn2 (1-x2n2 ) f — 1g [0 11

e2x2n2 ex2n2 — n- n

2 , " 2 .

1

i 2n2 -ö 2 2

y(-) = = -.Итого, fn(x) < f(x) = 0

e

2 2 2 lim sup|fn(x) — f(x)| = lim (— 0) = lim - = -^0. Равномерной сходимости

n^ro^E n^ro e n^ro 6 e

нет.

В примере 9 последовательность {fn(x)} непрерывных функций сходится неравномерно к непрерывной функции.

Рассмотрим далее, как связаны понятия равномерной сходимости с операциями дифференцирования и интегрирования. Справедливы следующие теоремы [1].

Теорема 2: если все члены последовательности {fn(x)} интегрируемы на [a, b] и последовательность {fn(x)} сходится равномерно на [a, b], то функция

f(x)= lim fn(x) интегрируема на [a,b] для любого x0 G[a,b] и lim fx fn(t)dt =

n^ro n^ro

/xXQf(t)dt на[а, b] .

Теорема 3: если функции fn(x) дифференцируемы на [a,b], последовательность {fn'(x)} сходится равномерно на [a, b] и последовательность {fn(x)} сходится хотя бы в одной точке x0 G[a, b], то последовательность {fn(x)} сходится равномерно на [a, b] к дифференцируемой функции и

(lim fn(x)) ' = lim fn'(x) для Vx G [a, b].

n^ro n^ro

Отметим, что теоремы 1, 2, 3 о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости предела последовательности дают только достаточные условия того, что предельная функция обладает соответствующими свойствами.

Пример 10.

2nx

fn(x) = 1+п2х2, E = [0,1]. Проверить возможность предельного перехода под

знаком интеграла.

Решение.

Ранее в примере 3 найдено f(x) = 0 и сходимость неравномерная. Вычислим предел интеграла от /n(x).

lim Г1/n(x) dx = lim 1 Г1 2"X9 dxlim 1 Г1 ^(1+n x ) = lim + n2x2 )

n^ro J0 J n^ro n 0 l+n2x2 n^ronJ0 l+n2x2 n^ron 4 y

1

0 =

= lim 1 (ln(1 + n2) — ln(1)) = lim ln(1+n2) = lim = lim —=0

n^ro и n^ro и n^ro (1 + n2) n^ro 2n

Далее

1 11 J0 Hmfn (x)dx=/0 /(x)dx =/0 0dx = 0

Таким образом, несмотря на то, что сходимость не является равномерной, имеем lim f1 /n(x) dx = f1 lim/n(x) dx, а значит предельный переход под

n^ro 0 0 n^ro

знаком интеграла возможен. Пример 11 [3].

2xn2

/п(х) = ^n2 • E = [0,1]. Проверить возможность предельного перехода под

знаком интеграла. Решение.

/01/n(x)dx= J^^rd* = - J^e x'n2 d(-x2n2 )= -e *2*2 I 0 =

2

= (-e-n2 +1),

2

lim f1/n(x)dx= lim (-e-n +1) = 1

n^ro 0 n^ro

Далее найдем предельную функцию.

2xn2 4nx 2

f(x) = lim/n(x) = lim = lim 2 x2n2 = lim —^ = 0 VxG (0,1]. Так как /n(0) = 0, то f(x) = 0 VxG [0,1]. Вычислим интеграл от предельной функции.

1 li

n^ro

о1 li

n^ro"° ~ 0 n^ro

1 1 J0 lim/n(x)dx = /0 0dx = 0.

0 П^Ю 0

Таким образом, lim Гп1/П(х) dx ^ X1 lim/n(x) dx , то есть предельный

00

переход под знаком интеграла невозможен. Пример 12 [2].

/п(х) = n2xe-nx. E = [0,1].Проверить возможность предельного перехода под знаком интеграла. Решение.

Найдем предельную функцию. Для любого xG (0,1] имеем

2п 2

f(x) = lim /П(х) = lim —— = lim —— = lim — = lim —— =0

Для x=0 имеем /п(0) = 0, lim/n(0) = 0. Таким образом, f(x) = 0VxG [0,1].

/01lim/n(x)= /010dx = 0.

0 n^ro 0

Далее интегрируем по частям.

Jo/n(x)d* = J0Vx e nx dx = n2[(-nx)l 0 + ij^e ** ]

2г c

n2[ ---

n

.

n2

nx

x = U

e-nxdx = dK

dU = dx

У = —

n

= i--1+ 1

lim J07n(x) dx = lim (£ - ^ + 1) = 1

n^ro

Таким образом, lim Jn1/n(x) ^ Jn1 lim/n(x) dx , а, следовательно,

П^го 0 0 П^го

предельный переход под знаком интеграла невозможен.

Отметим, что из полученного результата по теореме 2 дополнительно следует, что сходимость {fn(x)} = (n2xe-nx) не является равномерной.

Примеры 10-12 демонстрируют, что условие равномерной сходимости интегрируемых функций на [a,b] существенно, но не является необходимым для возможности предельного перехода под знаком интеграла. Пример 13.

fn(*) =

2х

1+n2x2

, E =[0,1]. Проверить будет ли справедливо равенство

limfn'(x)=(limfn(x)V

П^го \n^ro /

Решение.

Ранее в примере 4 показано, что последовательность непрерывных функций (fn(x)} равномерно сходится к непрерывной функции f(x)= 0. Находим

производную от предельной функции на [0,1]. ( lim fn(x) )f = (f(x))f = 0f = 0.

Vn^ro

Далее найдем последовательность из производных.

_2(1+n2x2 )-2x*2n2x _ 2-2n2x2 _ 2(1-n2x2 )

(1+n2x2 )2

(1+n2x2 )2 (1+n2x2 )2'

-n

]

0

e

e

2(1-П2Х2 ) 2П2^-^2-^2)

Пусть x G (0,11 , тогда limf'(x) = lim ———7 = lim—Щ-

J v J ' n^ro n n^ro(1+n2x2 )2 n^ro n4(4r+X2)2

1

2 (^-x2)

lim^^r—" = 0.

n^ro n2 (_+X2)2

vn2 y

Если х = 0, то fn'(0) = 2(1-0) = 2 , limfn'(0) = lim2 = 2.

1+0 n^ro n^ro

Итак, lim fnf(x) = in 2X л . Таким образом, lim fn'(x)^( lim fn(x)) f.

n^ro (0, X G (0,1J n^ro \n^ro )

2,х = 0 (0, х е (0,1]

Из полученного результата по теореме 3 следует, что последовательность {^'(х)} не сходится равномерно на [0,1], так как в противном случае, все условия теоремы 3 выполнялись бы и нарушение последнего равенства было бы невозможно.

Из определения равномерной сходимости следует, что, если последовательности { ^(х)} и ^п(х)} сходятся равномерно на Е, то последовательность {а^(х) + в gn(х)} сходится равномерно на Е. В частности, если ^п} — числовая сходящаяся последовательность, то { ^(х) + gn} — равномерно сходится на Е. Если {^(х)} сходится неравномерно, то

{^(х) + gn} сходится неравномерно.

Отметим также, что заменой переменной \ = а+(Ь— а)х отрезок [0,1] можно преобразовать в отрезок [а,Ь].

Например, для последовательности {^(х)}, где ^(х) = 1+2^х2 и Е =[0,1] получим на отрезке [3,5] после замены 1=3 +2х новую функциональную последовательность непрерывных функций { ^(х)}, где ^(х) = 2(2х+3)

1+ п2(2х+3)2 5

равномерно сходящуюся на [3,5] к предельной функции Г(х) = 0.

Последовательность { = { 1 ^^х+зу + еХ + 1722 } сходится

равномерно на [3,5] к функции (еХ + 1).

3. Равномерная сходимость функциональных рядов

Напомним, что ряд вида ХЮ=1 ^п(х), где Уп(х) — функции, определенные на общей области Э, называются функциональным рядом.

Совокупность всех точек сходимости функционального ряда £n=i^n(x) называется множеством сходимости.

На множестве E сходимости ряда определена функция S(x) = En=1 "n(*),S(x) — сумма ряда.

S(x) = lim Sn(x), где{Sn(x)} — последовательность частичных сумм.

П^п

Ряд Sn=1^n(x) называется равномерно сходящимся на множествеЕ, если последовательность {Sn(x)} его частичных сумм равномерно сходится на Е, то есть

V£ > 0 3 номер n(e): Vn > N, Vx e E => |Sn(x) - S(x)| <£.

Если обозначить rn(x) -n-ый остаток ряда,

rn(x) = S(x) — Sn(x) = Sn=1 tfnM — Xn=1 ^nM = Sn=n+1

то из определения следует, что |rn(x) | < £, Vx e E , а, следовательно, равномерная сходимость ряда на E эквивалентна равномерной сходимости к нулю последовательности остатков (rn(x)}, то есть lim sup rn(x)=0.

Пример 14.

2n=1 *2n на E = (-1, 1 ). Исследовать на равномерную сходимость.

Решение.

1

Обозначим q = х2; 0 - <1, следовательно ,Хп=1х2п сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и его сумма равна 8=

X2

1-х25

= *2( 1-Х?2П), rn=(1 - (1 - х2п)) = (так как х2<1, 1 -х2 > 3,

1-х2 5 n 1-х2 v v J J 1-х2 4n*3 4 4

1 4 ,2n

<-,x2n < —). Таким образом, limsuprn(x) < lim —— = 0 . Так как

1- х2 3' ^ ' ^ п^го 4П*3

rn(x)> 0 на E, то lim rn(x)=0 и ряд сходится равномерно.

п^го

Пример 15.

¿п=1—^^— . Исследовать ряд на равномерную сходимостьна отрезке [0,1].

Решение.

Ряд знакочередующийся и удовлетворяет всем условиям признака Лейбница. Из признака Лейбница имеем оценку остаточного члена |rn(x)| < |Un+1(x) Отсюда, Vx G Е имеем

(-1)П+1 * гП+1 |(-1)П|^1гП1 1

Irn(x)I < |( 3(n+1)+5 I = '!>» sup|rn(x)| = 0• ряд сходится

равномерно.

Для функциональных рядов справедлив необходимый признак равномерной сходимости [1].

Теорема 4 (необходимое условие равномерной сходимости): Если ряд Sn=1^n(x) сходится равномерно на множестве E, то последовательность (Уп(х)} равномерно сходится к нулю.

Теорема 4 является необходимым условием равномерной сходимости, ноне является достаточным. Однако, нарушение равномерной сходимости последовательности (Уп(х)} к нулю влечет за собой отсутствие равномерной сходимости функционального ряда.

Если {rn (x)} неравномерно сходится к нулю, то ряд может или сходиться неравномерно или расходиться. Если lim rn(x)^ 0, то ряд расходится.

Пример 16.

1

2П=2у+,п , E = [0,1]. Проверить выполнимость необходимого условия

равномерной сходимости. Решение.

1

Обозначим (Уп(х)} = {-} . Исследуем эту последовательность на

равномерную сходимость. Найдем предельную функцию U(x): 1

lim-= 0, Vx G [0,1], следовательно U(x) = 0.

Так как lim sup|^n(x) — f/(x)| = lim sup—1— = lim — = 0, то

последовательность (Уп(х)} равномерно сходится к нулю.

Покажем, что ряд У^=2—1— расходится. Так как lnn < n, — > 1 и

x+inn ¿nn n

гармонический ряд Еп=1~ расходится, то ряд расходится (по теореме

сравнения). Для любого х0 ЕЕ ряды Хп=2 —1— и Хп=2 — удовлетворяют «-» 1

предельной теореме сравнения, следовательно ряд ¿п=2 расходится,

несмотря на то, что последовательность (Уп(х)} равномерно сходится к нулю.

При исследовании функционального ряда удобно использовать достаточный признак Вейерштрасса.

Теорема 5 (признак Вейерштрасса) [1]:

Если для функционального ряда Хп=1^п(х) существует сходящийся положительный числовой ряд Хп=1ап такой, что | £/п(х) | < ап, Ух Е Е, то Хп=1 ^п(х) сходится абсолютно и равномерно на Е.

Ряд Хп=1 ап называется мажорантным. Оптимальным мажорантным рядом

при использовании признака Вейерштрасса является ряд Хп=15иР I ^п(х)1- На

ХЕЕ

практике достаточно бывает и более грубой оценки. Пример 17.

Еп=1 Е = [0;2]. Исследовать на равномерную сходимость.

Решение.

|и»И| = 1-+/гС+Г"1 <77?

Рассмотрим ряд Еп^^^. Так как ряд Дирихле Еп^^^ сходится (р = 4>

1), то ряд сходится. По признаку Вейерштрасса ряд ¿П=Т——

сходится равномерно и абсолютно. Пример 18 [1].

Еп=Т х2е-пх, Е = [0;1]. Исследовать ряд на равномерную сходимость. Решение.

Уп(х)= х2е-пх; У'п(х) =2хе-пх — пх2е-пх = хе-пх(2-пх)

"7 по 2 д

и\ =0 при х=0 и х = -. Так как Ип(0) = 0 и (-) = у2 * е-п** = —,

4

то К(х)| <

п п2*е2*

Рассмотрим мажорантный ряд:

4 4 ^ 1

^И^З = -уходится; p=2 > 1 (ряд Дирихле).

По признаку Вейерштрасса ряд Хп=1 х2е пх сходится равномерно.

Пример 19.

11 (2хп+5х_п), Е = [-; 2]. Доказать равномерную сходимость на Е.

Чтобы сделать оценку общего члена рассмотрим функцию уп = 2хп + \

1

на [- ;2]

2

Первое слагаемое самое большое значение имеет в точке х =2 и равно 2 *

1

2П, второе слагаемое самое большое в точке х= - и равно 5*2П. Значит сумма на 1

всем отрезке [-; 2] не более, чем сумма самых больших возможностей. 2хп + —<2 * 2П + 5 * 2П = 7 * 2П. Следовательно,

хп

Уп(х) = -(2хп + 4) < —.

' пг п!

7*2П _ ¿/„ + 1 2

Ряд Еп=1-сходится по признаку Даламбера так как lim —— = lim

п! п^п п^п я+1

0 < 1. Следовательно, Хп=1^п(х) сходится равномерно по признаку Вейерштрасса.

Следующий пример показывает, что признак Вейерштрасса является достаточным для равномерной и абсолютной сходимости, но не является необходимым. Пример 20.

^п=1 х2+лрц , Е= [0,1]. Исследовать на равномерную и абсолютную

сходимость. Решение.

Данный ряд является знакопеременным. Исследуем его на абсолютную

сходимость. Так как = ^, ^ (при п ^ ^ и ряд Дирихле

1 1 1

расходится (р= — < 1), то ряд ХП=1х2+л/^ расходится Ух Е Е , а

(_1)П+1

следовательно, ряд Хп=1 не сходится абсолютно. Исходный ряд является

знакочередующимся и удовлетворяет всем условиям признака Лейбница, а

значит данный ряд сходится условно. Оценка остаточного члена по признаку

11 1 Лейбница дает |rn(x)| lim sup |rn(x)| <lim -== = 0.

Таким образом, lim sup rn(x) = 0 и исходный ряд —F7" сходится

равномерно, хотя и не сходится абсолютно, а лишь условно.

Покажем дополнительно, что необходимый признак равномерной сходимости выполнен.

Найдем предельную функцию последовательности {Un(x)}. Так как

U(x) = lim tfn(x) = lim Ц1^ =0, U(x) = 0 и | tfn(*)| = < -1,

(—1)n+1 1 1 lim sup |Un(x)-U(x)|= lim | ———1= lim ——— < lim — =0. Таким образом

последовательность (Уп(х)) сходится к нулю равномерно.

Этот пример также показывает, что необходимый признак равномерной сходимости не является достаточным.

Отметим, что из соотношения f/n(x)~l^ ^)при п — го, вообще говоря, не следует, что ряды Еп=1 ^п и Еп=1^п одновременно равномерно сходятся или одновременно неравномерно сходятся. Приведем пример, демонстрирующий это замечание.

Пример 21 [1].

2 2л и En=1"T,E = (. Исследовать ряды на равномерную

n(x I ^ ) ^

сходимость. Решение.

Заметим, что ——т—^ ~ "т при n — го . Исследуем данные ряды на

n(x2+n2) п3

сходимость.

тт f — vro *

1) En=1 En=1

Так как (|x| - n)2 > 0; x2 +n2>2n|x|, ; , то

Vl 1 7 5 1 "x2+n2 2n|x| x2+n2 2n

у 1 1

| -T^r- | Итого: |tfn(*)| Vx e E.

' n(x2+n2V 2n2 ' nv 2n2

Так как мажорантный ряд£п=1^—т сходится, то по признаку Вейерштрасса ряд сходится равномерно.

2) 1 "Хп^г? • Исследуем на абсолютную сходимость.

Хп=1 I ^ I = Iх! Хп=1 ^ сходится как ряд Дирихле (р = 3>1). Таким образом, ряд Хп=1 сходится абсолютно.

х

Рассмотрим последовательность {^(х)} ={ }. Покажем, что

последовательность { 1^(х)} не сходится равномерно. Найдем предельную функцию У(х).

X X

У(х) = НтЦ^х) = lim — = 0, эир^х) -У(х) | = эир^х)! = sup| —1= от,

Е = ( -от; от) , следовательно, последовательность { 1^(х)} не сходится равномерно к нулю .

Ряд не сходится на Е равномерно, так как не выполнено

необходимое условие равномерной сходимости (см. теорему 4).

Ряд Хп=1 сходится на Е неравномерно.

Таким образом получили (х) (п ^ от) , ряд Хп=1 ^п сходится

равномерно, а ряд Хп=1 ^п сходится неравномерно.

Из разобранных нами примеров следует, что абсолютно сходящийся ряд может быть как равномерно сходящимся (пример 17; пример 21, п. 1), так и неравномерно (пример 21, п. 2). Условно сходящийся ряд также может быть равномерно сходящимся (пример 20).

Примеры рядов, сходящихся равномерно/неравномерно с соответствующими функциональными свойствами суммы ряда (непрерывность, интегрируемость, дифференцируемость) можно построить, например, используя рассмотренные функциональные последовательности {/п(х)} , если положить вп(х) = ^(х). Тогда Щх) = ^(х),ип(х) = ^(х) - ^(х) (п=2;3...). Получим ряд "п(*) =*1(х) Оп(х) - /п-1(х)).

Например, если (/п(х)) = {2хп2е *2™2 }, то ряд Хп=12х[п2е *2™2 — (п— 1)2^-х2(п-1)2 ] сходится на [0,1] неравномерно к непрерывной сумме 8=0 [3].

Отметим, что степенной ряд равномерно сходится на всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, имеет непрерывную сумму8(х) в интервале сходимости, его можно почленно дифференцировать и полученный ряд сходится в том же интервале к 8' (х). Степенной ряд можно почленно интегрировать внутри интервала сходимости и полученный ряд сходится к интегралу от 8(х) [3].

Список литературы:

1. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу, Ч2, М.: Дрофа, 2001.

2. Гелбаум Б., Олмстед Дж., Контрпримеры в анализе, М.: Мир, 1967.

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального интегрального исчисления, т. I, М., 1960.