Исследование свойств интегрируемости производных решения сопряжённого (нелинейного) уравнения Бельтрами в случае вырождения на граничной дуге Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.956.25

Исследование свойств интегрируемости производных

решения сопряжённого (нелинейного) уравнения Бельтрами в случае вырождения на граничной дуге

Ю. В. Терентьева

Кафедра теории функций Кубанский государственный университет ул. Ставропольская, д. 149, г. Краснодар, 350040, Россия

Предметом изучения данной работы являются вырождающиеся эллиптические уравнения. Используя интегральные представления для функций, обладающих обобщёнными производными, мы доказываем теорему существования решений таких уравнений как в классе квазиконформных в среднем отображений, так и в более общем случае. Доказывается улучшенная интегрируемость производных обобщённого решения квазилинейного вырождающегося уравнения Бельтрами в случае вырождения на граничной дуге.

Ключевые слова: сопряжённое (нелинейное) уравнение Бельтрами, вырождающиеся эллиптические уравнения, класс Макенхаупта, весовые соболевские пространства, теоремы вложения, ограниченные сингулярные операторы в весовых пространствах, квазиконформные отображения.

Введение

Хорошо известно [1], что теория К -квазиконформных отображений тесно связана с теорией упругости, например, с бесконечно малыми изгибаниями кусочно-регулярных поверхностей и с изучением их жёсткости. Для того чтобы иметь возможность изучать те случаи, в которых имеются точки уплощения, необходимо привлекать теорию общих квазиконформных отображений, которая в последнее время находится в стадии своего развития и все ещё далека от своего завершения.

Предметом изучения данной работы являются обобщённые решения [2] w (z) = и (z) + iv (z) эллиптических систем вида

(р (z) их = Vy, \ р (z) Uy = -vx,

осуществляющие топологические отображения круга В\ = [z : \z\ < 1} на себя с нормировкой w (zi) = Wi, Zi, Wi G дВ\, i = 1, 2, 3. Обозначим через Го дугу на границе Г круга В1 с концами в точках zi, z2, 0 < argz2 < argzi < 2^.

Условие p: Пусть функция p : Bi ^ R непрерывно дифференцируема на множестве -ВДГо, неотрицательна на нем и в окрестности Го удовлетворяет условиям:

aidist" (z, Го) < р (z) < а2dista (z, Го),

Mista-i (z, Го) < \Vp (z)\ < &2dista-i (z, Го), 0 < а < 1, 0 <ai <a2, 0 < bi <b2.

Переходя к комплексным переменным, система (1) запишется в следующем виде:

Wz = 1---(2)

z 1 + р v 7

Статья поступила в редакцию 13 июля 2012 г. Автор выражает свою глубокую благодарность Е. А. Щербакову за постановку задачи, постоянное внимание к работе и полезные советы.

Уравнение (2) иногда называют сопряжённым (нелинейным) уравнением Бель-трами.

Используя интегральные представления для функций, обладающих обобщёнными производными, мы докажем теорему существования решений таких уравнений как в классе квазиконформных в среднем отображений, так и в более общем случае. Подобная задача, например, была рассмотрена в работе [3]. Так же нами будут получены улучшенные свойства интегрируемости производных определённого класса квазиконформных отображений в дополнительном предположении, что производные, так называемой, «весовой» функции р (х) обладают некоторыми свойствами интегрируемости.

1. Решение сопряжённого (нелинейного) уравнения Бельтрами, вырождающегося на граничной дуге в случае

0 < а < 2

Нас будет интересовать, прежде всего, множество весов р (z), принадлежащих классу Макенхаупта А2 [4]. Поэтому, для начала докажем лемму, дающую достаточные условия принадлежности функции р (z) этому классу.

Лемма 1. Пусть dist (z, Г0) — расстояние от точки z до дуги Г0, d (z) — неотрицательная непрерывная в C функция, которая обращается в нуль на Г0, положительна в С\Г0 и удовлетворяет условиям:

d (z) = ^ , Vz e (3)

существуют константы a e (0,1) и 0 < c1 < c2, такие что

cidist" (z, Го) < d (z) < C2dista (z, Го) (4)

для точек z e B1, принадлежащих некоторой окрестности Г0. Тогда d (z) является А2 — весом в C.

Доказательство. Пусть

В (C,r) = [z : lz - С| <г} , г e (0, +го), С = С + iv e C.

Для доказательства леммы необходимо показать, что функция

Ка (С,г) = 1 4 У dist (z, Г0)а sdsdp J dist (z, Г0)-а sdsd^ (5)

B( C,r) B(C,r)

имеет конечную верхнюю грань на множестве C х (0, +то).

В силу условий (3), (4) для проверки ограниченности (5) мы можем ограничиться точками Q e Bi.

Обозначим через А0 сектор А0 = [z e B1 : arg z2 < arg z < arg z1}, где z1, z2 e dBi и Z1, Z2 — концевые точки дуги Го.

Предположим, что в условии (5) верхняя грань бесконечна:

sup Ка (£,г)=+го.

Рассмотрим сектор А0 и последовательность [(Qn,rn)}, для которой

lim Ка (Сп,гп) =

Можно предполагать, что последовательности Сп, гп являются сходящимися. Тогда существуют следующие возможности:

A) Начиная с некоторого номера по, имеем, что В ((п, гп) С Ао. В таком случае

lim (п G Го.

п—^^о

B) Начиная с некоторого номера по, имеем, что

В (Сп, Гп) П (В±\Ао) = 0.

При этом необходимо исследовать следующие возможности: В1) В (Сп, Гп) С В\\Ао; В2) ( В (Сп, Гп) П Ао = 0) Л (В (Сп, С ВО;

В3) ( В (Сп, Гп) \В1 = 0) Л (В (Сп, Гп) П Ао = 0) Л(В (Сп, Гп) П (ВДАо) = 0).

В каждом из этих случаев можно показать, что для последовательности пар {(Сп, гп)} верхняя грань Ка (С, г) конечна. □

Замечание 1. В том случае, когда Го = дВ\ или Го = {zi}, доказательство тривиально.

Так как характеристика К (z) = \Wz !+!*"!! отображения w равна р 1 (z),

функция р (г) в системе (1) обращается в нуль на Г0, то отображения, удовлетворяющие уравнению (2), не являются К-квазиконформными [5] ни для какой константы К £ К. Такие отображения назовём общими квазиконформными отображениями, а соответствующую им систему — вырождающейся. Система (1) в таком случае не является равномерно эллиптической.

Для доказательства теоремы существования обобщённого решения т (г) уравнения (2) нам понадобится две вспомогательные леммы.

Лемма 2. Пусть функция р удовлетворяет условию р, в котором а подчинено неравенствам:

0 < а < 1.

Пусть {тп}, тп = ип + гуп — последовательность Кп-квазиконформных отображений, являющихся решениями уравнений:

1 - Рп__,аЛ

тг = —-тх, (6)

1 + Рп

где рп (г) = р ((1 — 1) г), Кп = вир р-1 (г), нормированных условиями т (хг) = тг, гг,тг £ дВ1, 1 = 1, 2, 3. Пусть

1(д ,г,Б):= [[ , 1г (д ,г,В)=[[ -Щ-^ ^ =: —жП(д).

.).) в Я — г .).) в (я — г)

Последовательность функций рпип+1 уп является компактной в смысле равномерной сходимости внутри В1. Для сходящейся последовательности имеют место равенства:

(^Ч + рЛЩ ,г,ВЛ = ПЬя?,х,В1)= lim 1(Уп,?,г,В1);

\ р р J п—(Х

Iz (v^, г,В^ = lim Iz (v^а, z, В{) (7)

Функция и + гV имеет в среднем граничные значения на Г и для функции ри + 1V и её производной имеют место представления:

ри + ™ = Р (г) — -I (р? (?) и (?), Вх), (8)

к

(ри + %ь)х = рги + 2%= Р' (г) — - 1Х (р? (я) и (я) ,г,Вх), (9)

■

где аналитическая функция Р (х) имеет вид:

1 ( ри + ъи 1 [ рпип + гуп ' а ? = пт -—: -а ?.

F W = Sï/

Я — Z п^Ж 2ni J я — Z

дВ\ дВ\

Доказательство. Пусть

Вг, = {Се В! : |С| < г'} , СГ'Г = {С е Bi : г' < |d < г} , г' <r < 1.

Ясно, что

Iz (PnçUn,l Bi) = Iz (PnçUn, Z, Cri) + Iz (PnçUn, z, Br) .

Для любой точки z, |z| = Го < г, первый интеграл может быть сделан сколь угодно малым равномерно по п за счёт выбора г. Покажем теперь, что

Iz <PçUn,Z,Br) = lim Iz (Pn?Un,Z,Br). (10)

п^ж

Ясно, что

^z (pnçUn, %, Br) 3-z (<PnUn)ç , %, Br^ îz (pnUnç, %, Br)

= Iz «PnUn)ç, Br) + г Iz ( Vnç, Z, Br ) = д

= dz (1 «PnUn)?, z, Br) + U (Vnç, Z, Br)) = д I 1 [ Pn (я) Un (?),,, Л /4,1 f Vn (я)

1 ' -(z) Un ^ 1 '

dç + KPn (z) Un (z) + J dç + Ж Vn (z) I .

дг \2г ,] я — г 2г ,] я — г

\ гг гг

Для любой точки г, \ = г о < г, последние интегралы сходятся равномерно по п. Отсюда легко следует (10).

Докажем теперь существование 1г (?, г,Вх), г € Вг'.

Так как в круге Br' функции ^vx, ^vy непрерывны по Гёльдеру, то Iz (vç?, z, Br')

Lz

p X p

существует для любой точки z G Br'. Докажем теперь, что при фиксированном г' существует предел

lim Iz (?,z,Br). (11)

r—1

Ясно, что

'z )= /1 ( ^ ) dC+2 J ^ de—

/1 fe) « - \¡

(с - z)4 J (С - z)3

dC.

Так как величина г' фиксирована и функция иг непрерывна внутри В1, то для доказательства существования предела (11) достаточно исследовать предел функции

при г ^ 1.

Так как функция [V и]2 интегрируема с весом р-1, то существуют в среднем её граничные значения [6] и

=>-у(ег^'2

j\v{r eÍLp) - v(ei v)\2 r dtp ^ 0, r^ 1.

Это означает, что интеграл Iz (v4?, z, Bi) существует. Существование интеграла I (v4?, z,Bi), Vz G Bi, доказывается аналогично.

Рассмотрим теперь вопрос о поточечной сходимости внутри Bi последовательности {Iz (vn<;?,z,Bi)} к Iz (v^,z,Bi). Для этого нужно рассмотреть последовательность функций {vnzz}, vnzz = ^^ + £пНтпж на Bi.

Нп Нп

Отображения un + ivn являются Х-квазиконформными внутри единичного круга. Из теорем компактности для Х-квазиконформных отображений с привлечением рассуждений, использованных нами при доказательстве существования интегралов I, Iz, мы получаем поточечную сходимость I (vnяz,B{) к I (, z, Bi) и Iz (vní-s, Z,Bi) к Iz (,Z,Bi). □

Лемма 3. Пусть {>-pn}, = ^Tvnx — последовательность функций, построенных по отображениям wn (z), являющихся обобщёнными решениями уравнений (6) в круге Bi с нормировкой:

w (zi) = i,w (Z2) = -i, (12)

где zi, z2 — концевые точки дуги Го, z3 G Го, w (z3) = w3 G Г0.

Тогда эта последовательность равномерно ограничена в L 4—4s (ai,Bi) с ве-

3 — a —S

сом ai = disti— (z, Го), и слабо сходится [7] в L 4—4s Bi) к функции из этого

3—a—S

же пространства у = ^vx в Bi, .здесь 0 < 6 < 1 — фиксированное число. Аналогичный результат имеет место и для последовательности {ipn}, ф n — Н vny .

Доказательство. Несложно проверить, что пространство L 4—4s (ai, Bi) яв-

3 — a —S

ляется рефлексивным банаховым пространством с нормой:

L 4—4s (<i,Bi) =([[ \f\ ^ai^y

3 — a — S \J J Bt J

В силу топологических соображений производные vnx, vny интегрируемы в круге Bi с квадратом и весом p—i. Используя это свойство и неравенство Гёльде-ра, легко показать, что функции tpn интегрируемы со степенью з4-и весом ai = disti-<5 (z, Го) и их нормы равномерно ограничены в пространстве L 4—4s (ai, Bi).

3 — a — S

3 a s

Покажем теперь, что последовательность {pn} слабо сходится в пространстве L 4-4S (ai,Bi) к функции ip = — vxb круге В\.

3 — a—S Р

Пусть функция д ( z) G L2+ (а1,В1), I > 0, и В£ = {z : |z| < 1 — е}. Рассмотрим интеграл:

/ / дipnddxdy =11 gpnddxdy + gipnddxdy.

J J в1 J J ве J J в1\ве

Так как в круге Ве у веса a1 (z) нет вырождения, то, очевидно, функции pn (z) равномерно сходятся к функции p (z) в В£. Так как теs (В1\Ве) < е при малом е, то

// дp>n(idxdy < 5(е)К1, (13)

JJ B1 \ве

где lim 6 (е) = 0.

е^0

По теореме Банаха-Алаоглу [8] о слабой компактности в рефлексивном банаховом пространстве, слабый предел i последовательности { i п} также лежит в пространстве L 4—4S (а\,В\). Используя равномерную сходимость последова-

3 —а —S

тельности {pn} на Ве, получаем, с учётом неравенства (13), слабую сходимость { i п} к функции i .

Аналогично доказывается результат для последовательности {ipn}. □

Докажем теперь теорему о повышении показателя интегрируемости производных vx, vy. Впервые такого рода задача была рассмотрена для решения уравнения Бельтрами в работе Б. В. Боярского [9] (см. также [10]).

Теорема 1. Пусть функция р удовлетворяет условию р, в котором а подчинено неравенствам:

1

0 < а < ^.

Допустим, что существует квазиконформное в среднем отображение w (z) : В1 ^ В1, являющееся обобщённым решением уравнения (2) в круге В1 с нормировкой (12). Тогда производная vz ( z) координатной функции v ( z) принадлежит шкале пространств Lt (dist"1 (z, Г0) ,В1), в которой

,= 4(1 — ¿)(2 + ai) а

5 — 3 а + а5 — 25 + 52 ' 1 G

где 0 < 6 < 1 — фиксированное число.

1 + а — ab — S2 ' а + — 3

Доказательство. Рассмотрим последовательность нормированных в соответствии с (12) ^„-квазиконформных отображений юп = ип + %ип. Пусть шп := Рпип + гьп — последовательность отображений, построенных по юп, а ш'П — их продолжения в круг В2 по правилу:

(*) = ^ТГ. (14)

ш (?)

Ясно, что в круге В2 имеет место представление И. Н. Векуа [1]:

p*nU*n + iv*n = Fn (z) — 1 ff рр^d£dr?,

К JJ B2 C — Z

где аналитические в круге В2 функции Fn (z) имеют вид:

1 ( ^n

я z

Fn (z) = 2- i Ля. 2т J я — z

дВп

Очевидно, что последовательность {рпип + ъип} компактна в смысле равномерной сходимости внутри В\.

Пусть Ф п ( х) = 2упг. Ясно, что в круге В1 верно равенство

1 \ Pnx . Pny

ф _ = _ 'inxv + ÜULV •= f

ф nz --unx + uny ] •- J n

2\Pn Pn

Доопределим функции *n — ^^vnx и 4n — vny в круг В2 по формулам:

viм = Ме<*> = {*■#•:ВЛВ . (15)

Pn (z), z е Вх n \ 4n (z) ,z e В\

В силу леммы 2 последовательность ( pn + фп) сходится поточечно к (p + ф) в круге Bi, поэтому последовательности {vnzg} и {vnzz} компактны в смысле равномерной сходимости внутри Bi и для предельной функции v* (z) = lim v** (z) в

n—^^o

области Bi имеют место представления (см. лемму 2):

1 Px Py

^z (z) = 2[ jVx + jVy)

vzz (z) = F*' (z) — ljjB + T-^2 d^drj. (16)

1

в2\р ' р "У (я - г)2

Известно [11], что для весовых пространств с весовой функцией р (г), удовлетворяющей условию теоремы 1, имеет место так называемая «весовая» теорема вложения в том случае, когда весовые пространства определяются весом из класса Макенхаупта. Как было сказано выше, производные () х, (у принадлежат

пространству (о1, В1), где о1 (г) = (г, Го)]1 6 и 11 = с фиксирован-

ным 5: 0 < 5 < 1. При этом вес 01 (г) является весом Макенхаупта.

Поэтому (см. [11,12]) производные их, иу принадлежат шкале весовых пространств (ш**,В1), где

* = = (-Го), „ [1;2),

а е

1 + а — aö — ö2 ' а + ö — 3 '

Докажем теперь теорему существования обобщённого решения уравнения (2), являющегося квазиконформным в среднем топологическим отображением круга В на себя.

Теорема 2. Пусть функция р удовлетворяет условию р, в котором а подчинено неравенствам:

0 < а < -.

Тогда существует последовательность Кп-квазиконформных отображений wn, wn = ип + ivn, Кп = sup рП1 (z), сходящаяся равномерно внутри В вместе

zeBt

со своими производными первого порядка к квазиконформному в среднем топологическому отображению ю = и + IV круга Вх на себя, непрерывному вплоть до границы Вх с нормировкой (12). Функции и, V являются решениями вырождающейся эллиптической системы (1). При этом для функции ш = ри + iV и её производной шх имеют место интегральные представления И. Н. Векуа (8) и (9).

Доказательство. Пусть {рп} — последовательность функций из леммы 2, а {юп} — последовательность Кп-квазиконформных отображений, являющихся решениями уравнений (6) в круге Вх с нормировкой (12).

Сходимость последовательности {юп} внутри Вх была доказана в лемме 2. Покажем теперь, что предельная функция ю = и + 1V осуществляет топологическое отображение круга Вх на себя с соблюдением нормировки (12).

Для любого £ > 0 существует К£ > 1 такое, что отображения юп являются К£-квазиконформными в области Вх\Г0, Г0 = {я <Е Вх : (?, Г0) < е}, поэтому функция и+%V, являющаяся пределом таких отображений, является непрерывной в ВДГ0 и, значит, в ВДГо. Покажем теперь, что функция V на Г о принимает значения непрерывной функции почти всюду на Го.

Рассмотрим последовательность отображений шп = рпип + гуп и их продолжения по правилу (14). В работе [13] даны их следующие интегральные представления в круге Вх:

Шп (г) = Фп (г) +

Вг

ё в я =

Кх (х, я) Шп? (я) + К (х, я) Шп? (я)

= Фп ( *) + 1п ( г), (17)

(18)

1 [ г [ я + г Фп ( ¿) = — Уп (я) <И + — рпип-ё, ? = е*

.} 2ТХ .] Я - г

г г

здесь

К, = ± ' к = *

2тГ х-( 2 2тг 1 - 2 С Из (18) следует, что последовательность {Фп} сходится внутри Вх к функции

фм = £/«(ол+2;/" =е" •

Используя те же методы, что и в лемме 2, легко показать, что последовательность {шп} компактна в смысле равномерной сходимости внутри Вх и сходится к функции:

ш (х) = Ф (х) +

Вг

Кх (х, я) ш? (я) + К2 (х, я) ш? (я) ёзя = Ф (х) + I (х) •

Так как ипя равномерно ограничена в Ь2 (Вх), то интеграл 1т I (х) ограничен в Шх'2 (Вх). В силу сопряжённости ядер Кх (х, я), К2 (х, я) на границе Г функция 1т I (х) принимает в среднем нулевые граничные значения.

Очевидно, что предельная функция Ф = Ит Фп является непрерывной на

п—^^о

дВх\Го и внутри Го. При этом производные функции Ф (х) интегрируемы внутри Го, что означает наличие пределов этой функции в её концевых точках. Предельные значения этой функции на множестве Г\Го в концевых точках Го существуют

в силу топологических свойств отображения и + iv. Используя принцип Линделё-фа [14], получаем непрерывность функции Ф в этих точках, а значит, на границе Г. Поэтому функция v является обобщённым решением уравнения

(-г'Л +(-=0,

\Р Jx \Р Vy

принимающим на границе Г в среднем значение непрерывной функции 1тФ.

В точках z £ Г\Го функция v непрерывна. Для доказательства непрерывности

этой функции в точках z £ Г о достаточно воспользоваться критерием Винера [11].

Перейдём теперь к исследованию непрерывности функции и = lim ип. Поп—ж

следовательность {ип} равностепенно непрерывна в среднем на границе Bi. Следовательно, и принимает в среднем внутри Го значения непрерывной функции л/1 — v2 (z) при z £ Г0 и — д/1 — v2 (z) при z £ Г\Г0, и на Г\Г0 непрерывна как предел ^„-квазиконформных отображений.

Для доказательства непрерывности функции и (z) в концевых точках Го применяется критерий Винера [11] для решения задачи Дирихле для вырождающегося эллиптического уравнения

(Рих)х + (Риу )у =

Функция w = lim wn = и + i v является, очевидно, однолистной [9], и осу-

п—ж

ществляет топологическое отображение круга Bi на себя.

Интегральные представления (8) и (9) для функции ри + iv и её производной могут быть получены тем же способом, что и в лемме 2.

Нетрудно убедиться, что для предельной функции w имеет место нормировка (12). □

В теореме 1 была получена шкала пространств, которым принадлежат производные vx, vy. Следующая теорема даёт подобный результат для производных функции и.

Теорема 3. Пусть функция р удовлетворяет условию р, в котором а подчинено неравенствам:

0 < а < ^.

Допустим, что существует квазиконформное в среднем отображение w (z) : Bi ^ Bi, являющееся обобщённым решением уравнения (2) в круге Bi с нормировкой (12). Тогда производная uz (z) координатной функции и (z) принадлежит

шкале пространств Ls ^distfc (z, Г0) ,B^j, в которой

4(1 — ö) (2 + ai)(1 — S + k)

о = -

4(1 — 5) (2 + ai) а + (ai + 1 — 5) (5 — 3а + аб — 25 + 52)'

где

. . , 4а (1 — 6)(2 + al) ^ 1 <k< 5 -L + aö-2ö+ )ö 2 +^

аi £

1 + а — ад — Ö2

; 0

а + 5 — 3

здесь 0 < 5 < 1 — фиксированное число.

Доказательство. Пусть {рп} — последовательность функций из леммы 2, а {шп} — последовательность ^„-квазиконформных отображений, являющихся решениями уравнений (6) в круге В1 с нормировкой (12).

Сходимость последовательности {юп} внутри была доказана в лемме 2. Из теоремы 2 следует, что функция и (г) £ С (В1). Используя шкалу весовых пространств для функции V V и систему уравнений (1), мы получаем принадлежность

функции V и пространству Ь8 (г, Го)

4(1 - 5)(2 + «1)(1 -б + к)

4 (1 - S) (2 + ах) а + (ах + 1 - S) (5 - 3а + аб - 25 + 52);

. 1 4а (1 - S) (2 +ах) +

1 <к< 5 - 3а + аб - 26 + 62 + «х

ах £

1 + а - аб - б2 ' >0

а + 5 — 3

здесь 0 < 5 < 1 — фиксированное число. □

Замечание 2. В том же случае, когда £ (В1), £ = 5-3а8+а__25+52, то есть при а1 = 0, мы имеем принадлежность производной иг пространству Ь8 (В1),

8 = 5+5а+а<5 -2<5+<52 , 0 < $ < 1.

и

2. Решение сопряжённого (нелинейного) уравнения Бельтрами, вырождающегося на граничной дуге в случае

2 < а < 1

В теореме 3 при 0 < а < ^ характеристика К (z) является интегрируемой с квадратом. Поэтому отображение w (z) является квазиконформным в среднем. В том случае, когда а > 2, отображение w (z) не является таковым. Но, тем не менее, верна следующая теорема.

Теорема 4. Пусть функция р удовлетворяет условию р, в котором а подчинено неравенствам:

2 <а<1

Тогда существует последовательность Кп-квазиконформных отображений wn, wn = ип + ivn, Кп = sup рПх (z), сходящаяся равномерно внутри Вх вместе

zeBt

со своими производными первого порядка к квазиконформному топологическому отображению w = и + круга Вх на себя, непрерывному вплоть до границы Вх с нормировкой (12). Функции и, v являются решениями вырождающейся эллиптической системы (1). При этом для функции ш = ри + iv и её производной имеют место интегральные представления И. Н. Векуа (8) и (9) в круге Вх.

Доказательство. Рассмотрим последовательность Кп-квазиконформных отображений wn = ип + %vn, являющихся решениями уравнений (6), в круге Вх с нормировкой типа (12).

Пусть шп := рпип + гvn, а — продолжения функций шп в круг В2 по правилу (14). В силу рассматриваемого условия р мы имеем, что £ L2+i (В2), I > 0. Поэтому в круге В2 имеет место представление И. Н. Векуа [1]:

р*пип + i< = Fn (z) - 1 // ^d£dr?, (19)

К J J в 2 С -Z

здесь Fn (z) — аналитические в круге В2 функции.

Функции Рп^и^ равномерно ограничены в L2+ (В2), I > 0. Поэтому функции дп := шП — Fn равностепенно непрерывны и ограничены в а значит последовательность {дп} компактна в смысле равномерной сходимости в круге В2.

Последовательность {Fn}, очевидно, ограничена в В2 [1]. Поэтому последовательность {рпип + %vn} компактна в смысле равномерной сходимости в круге Вь

Пусть ри + iv — предел сходящейся подпоследовательности. В соответствие с вышесказанным, мы получаем, что v ( z) G С (В1).

Функции ип (z) равностепенно непрерывны в среднем на границе dBi. Поэтому предельная функция и ( ) в среднем принимает значения непрерывной функции, равной л/ 1 — v2 (z) при z G Го и — д/1 — v2 (z) при z G Г\Го [6]. Разрешая задачу Дирихле вида

(Рих)х + (Риу )у = °

j V1 — v2 (z),z G Го

Щг = N /--,

1г \ —^1 — v2 (z),z G Г\Го '

с учётом критерия Винера [11], мы получаем, что функция и (z) непрерывна в круге Bi.

Итак, отображение w = lim юп представляет собой квазиконформное топологическое отображение круга В1 на себя. □

В случае сильного вырождения мы имеем возможность получить дополнительную информацию об интегрируемости производных квазиконформных отображений. Для дальнейшего нам понадобится следующая лемма, доказательство которой мы опускаем.

Лемма 4. Пусть

г(я) := dista-1 (С, Го), 0 < а < 1, t = t(я) — ограниченная в круге В1 функция и z G В1. Тогда

" Г-^Щ did„

Bi (я — z)

1

dist1-~(z, Го)

<-1-А (z).

где А (z) G Lp (В1), Vp, p> 1.

Докажем теперь теорему об улучшенной интегрируемости производных квазиконформных отображений.

Теорема 5. Пусть функция р удовлетворяет условию р, в котором а подчинено неравенствам:

3 + 10(5 - <52

-г—^— < а < 1.

5 + 9 <5

Пусть ю (г) : В1 ^ В1 — обобщённое решение уравнения (2) в круге В1 с нормировкой (12). Тогда координатные функции и (г) и V (г) принадлежат пространствам:

V ( г) £ W 1'Т В) ,и (г) £ Wм (В1),

где

_ 1 -5 _ 1 -5 0 Л Т_{1 -а)(1 + 5),8 _ 1 + <5 (1 -а), 0 < Й <

Доказательство. Рассмотрим функции шп = рпип + iуп. Пусть ш** — их продолжения в круг В2 по правилу (14). В круге В2 для ш** верны представления И.Н. Векуа (19).

Согласно лемме 2 для предельной функции ш = ри + %г> в круге В верны представления (8) и (9).

Так как

(ри + гу)х = ьу + гух + - (рхи — груи) = 2гух + рги,

то, в силу леммы 4, производные ух, уу принадлежат тому же пространству, что и функция

-г^-А (г).

ё1811-а ( 2, Го)

Легко показать, что при т = (1_1,)-'1+5) и 3+51+9'' < а < 1 функция у (х) принадлежит пространству Ш1,т (В1).

Используя систему уравнений (1), получаем, что для в = ТТа+х'д функция и (г) принадлежит пространству Ш1,3 (В1). □

Замечание 3. Теорема верна и при 0 < а < 1. При 2 < а < 1 верно, что у (г) принадлежит той же шкале пространств, что и в теореме 1, в которой показатель £ даёт лучшую интегрируемость производной уг при а, близких к нулю. Видно также, что производные х, у интегрируемы со сколь угодно большой степенью при достаточно высокой скорости вырождения веса.

В том же случае, когда а > 1 и задача Дирихле

(Рих)х + (РиУ )у = 0

разрешима таким образом, что все точки дуги вырождения Го являются регулярными, мы можем доказать существование квазиконформных отображений, являющихся решением уравнения (2) способами, аналогичными представленным ранее. Такого рода отображения, очевидно, не являются квазиконформными в среднем. В том случае, когда мы не располагаем возможностью доказать непрерывность функции и (х) с помощью теории краевых задач, мы, тем не менее, можем утверждать, что существует отображение единичного круга на единичный круг с выброшенными горизонтальными отрезками, имеющими начало на границе Г и представляющими собой предельные множества функции ю (г) в точках, соответствующих точкам на дуге Го.

В данной работе рассматривалась область с просто устроенной границей. Проблемы, возникающие в вырожденном случае в связи со сложным устройством границы, обсуждаются в работе В.М. Миклюкова [15].

Пусть д = д ( ю) — обратное отображение к ю = ю (х). Очевидным образом производные дщ, дщ принадлежат пространству Ь2 (В1) при 0 < а < 1. Для других а вопрос остаётся открытым. В работе С.К. Водопьянова [16] рассматриваются необходимые и достаточные условия интегрируемости обратного отображения ю в терминах ассоциированного отображения ю*, действующего в пространстве дифференциальных форм, заданных на касательных пространствах многообразий, связанных с ним.

По-видимому, интересно было бы установить аналогичные теоремы для случая отображений с неограниченными характеристиками в терминах отображения ю*, действующего в весовых пространствах.

Заключение

Итак, нами рассмотрены различные случаи вырождения эллиптических систем, представленных в комплексной форме сопряжённым (нелинейным) уравнением Бельтрами.

Нами доказаны теоремы об интегрируемости производных квазиконформных отображений, определяемых решениями этих систем. Также нами отмечено, что в случае слабого вырождения ( а находится вблизи нуля) более точные оценки интегрируемости определяются топологическими свойствами решений. В том же случае, когда скорость вырождения достаточно велика ( а находится вблизи единицы), на степень интегрируемости производных решений оказывают большее влияние аналитические свойства их интегральных представлений.

Литература

1. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. — М.: Наука, 1988. — 512 с. [Vekua I. N. Generalized Analytic Functions. — Moscow: Nauka, 1988. — 512 p. ]

2. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. Перевод с английского В. В. Кривова / под ред. В. А.Зорича, Б. В. Шабата. — М.: Мир, 1969. — 133 с. [Ahlfors L. Lectures on Quasiconformal Mappings. — New Jersey: D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, 1966. — 133 p. ]

3. Щербаков Е. А. Гомеоморфные решения одной вырождающейся эллиптической системы // Известия ВУЗов. Математика. — 1976. — № 10 (173). — С. 9396. [Shcherbakov E.A. Homeomorphic Solutions of Degenerate Elliptic System // Izvestiya VUZov, Matematics. — 1976. — No. 10 (173). — P. 93-96 ]

4. Малаксиано Н. А. О точных вложениях классов Геринга в классы Макен-хаупта // Математические заметки. — 2001. — Т. 70, № 5. — С. 742-750. [Malaksiano N.A. Exact Inclusions of Gehring Classes in Muckenhoupt Classes // Mathematical Notes. — 2001. — V. 70. — P. 742-750 ]

5. Митюк И. П., Шеретов В. Г., Щербаков Е. А. Плоские квазиконформные отображения. — Краснодар: КубГУ, 1989. — 84 с. [Mitiyuk I. P., Scheretov V. G., Shcherbakov E. A. Plane Quasiconformal Mappings. — Krasnodar: KubSU, 1989. — 84 p. ]

6. Вашарин А. А. Граничные свойства функций класса W2, (а) и их приложение к решению одной краевой задачи математической физики // Изв. АН СССР, Сер. Матем. — 1959. — № 23. — С. 421-454. [Vascharin A. A. Boundary Properties of Functions of the Space W\ (a) and Their Application to Boundary-Value Problems of Mathematical Physics // Izvestiya AN SSSR, Ser. Math. — 1959. — No. 23. — P. 421-454 ]

7. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 588 с. [Riesz Frederic., Sz.-Nagy Bela. Lecons D'analyse Fonctionnelle. — Budapest: Akademiai KIADO, 1972. — 588 p. ]

8. Хатсон В., Пим Д. Приложения функционального оператора и теории операторов. Перевод с англ. Н.И. Плужниковой и В.И. Авербуха. — М.: Мир, 1983. — 432 с. [Hutson V. C. L, Pim J. S. Applications of Functional Analysis and Operator Theory. — University of Sheffield, 1980. — 432 p. ]

9. Боярский Б. В. Обобщенные решения системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа с разрывными коэффициентами // Мат. сб. — 1957. — Т. 43 (85), № 4. — С. 451-503. [Boyarski B. V. Generalized Solutions of First Order Differential Equations of Elliptic Type with Discontinuous Coefficients // Math. sbornik. — 1957. — Vol. 43 (85), No. 4. — P. 451-503 ]

10. Astala K., Iwaniec T., Martin G. Elliptic Partial Differential Equations and Qua-siconformal Mappings in the Plane. — Princeton University press, 2009. — 696 p.

11. Stredulinsky E. W. Weighted Inequalition and Degenerate Elliptic Partial Differential Equations // Lachtes Notes in Mathematics Sprienger. — 1984. — No 1074.

12. Дынькин Е. М., Осиленкер Б. П. Весовые оценки сингулярных интегралов и их приложения // Итоги науки и техн. Сер. Мат. Анализ. — 1983. — № 21. — С. 42-129. [Dynkin E. M., Osilenker B. P. Weighted Estimates for Singular Integrals and Their Applications // Science and tech. Review. Ser. Math. Analysis. — 1983. — No. 21. — P. 42-129 ]

13. Gergen J. J., Dressel F. G. Mapping by p - Regular Functions // Duke math. J. — 1951. — Vol. 18, No 1. — Pp. 185-210.

14. Евграфов М. А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1968. — 471 с. [Evgrafov M. A. Analityc Functions. — Moscow: Nauka, 1968. — 471 p. ]

15. Миклюков В. М. Функции весовых классов Соболева, анизотропные метрики и вырождающиеся квазиконформные отображения. — Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2010. — 305 с. [Miklyukov V. M. Function Weighted Sobolev Classes, Anisotropic Metric and Degenerate Quasi-Conformal Mappings. — Volgograd: VolSU, 2010. — 305 p. ]

16. Водопьянов С. К. Пространства дифференциальных форм и отображения с контролируемым искажением // Изв. РАН. Сер. Матем. — 2010. — Т. 74, № 4. — С. 5-32. [Vodop'yanov S. K. Spaces of Differential Forms and Mappings with Controlled Distortion // Math. RAS. Ser. Math. — 2010. Vol. 74, No. 4. — P. 5-32 ]

UDC 517.956.25

A Study of the Integrability of the Derivatives of the Solutions of the Conjugate (nonlinear) Beltrami Equation

J. V. Terentieva

Chair of «Theory of the functions» Kuban State University Stavropolskaya str., 149, Krasnodar, 350040, Russia

In this article we study degenerate elliptic equations. Using integral representations for the function posessing generalised derivatives we prove theorems of existence of solutions of these equations in the class of quasiconformal mappings in the mean, and in the more general case. We prove higher integrability of the solutions of these equations in the case of the boundary degeneration.

Key words and phrases: conjugate (nonlinear) Beltrami equation, degenerate elliptic equations, Muckenhoupt's weight function, weighted Sobolev's space, embedding theorems, bounded singular operator in weighted space, quasiconformal mappings.