Вариант универсальной теоремы типа Банаха-Штейнгауза в произвольных локально выпуклых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 23 (62) № 2 (2010), с. 8-18.

УДК 517.968.7

М. В. Ахрдмович, И. В. Орлов

ВАРИАНТ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ ТИПА БАНАХА-ШТЕЙНГАУЗА В ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Получена новая теорема типа Банаха-Штейнгауза и соответствующий принцип равностепенной непрерывности в произвольных полных отделимых локально выпуклых пространствах. Рассмотрены некоторые приложения полученных результатов.

Ключевые слова: теорема Банаха-Штейнгауза, локально выпуклое пространство, проективная шкала пространств, бэровские категории, равностепенная непрерывность.

ВВЕДЕНИЕ

Теорема Банаха-Штейнгауза и связанный с ней принцип равномерной ограниченности (см., например, [1]) являются одними из основополагающих принципов функционального анализа, служат фундаментом многих направлений функционального анализа и его приложений.

Теорема Банаха-Штейнгауза — исторически первый абстрактный принцип линейного функционального анализа, открытый С. Банахом в 1920 году и независимо от него Г. Ханом в 1922 году (для случая У = М).

Первоначальная формулировка теоремы Банаха-Штейнгауза в банаховых пространствах неоднократно обобщалась. В настоящее время классической принято считать формулировку принципа равномерной ограниченности в классе бочечных пространств, содержащем, в частности, все полные метризуемые локально выпуклые пространства (ЛВП) (и, в частности, все банаховы пространства) и их индуктивные пределы ([2]-[4]).

Работы по изучению пространств, обладающих так называемым "свойством Банаха-Штейнгауза продолжаются и в настоящее время. В последние десятилетия

появились работы по "универсальным теоремам типа Банаха-Штейнгауза в которых непрерывность предельного оператора последовательности непрерывных операторов утверждается при минимальных требованиях к начальному и конечному пространствам ([5], [6]). Эти исследования активно продолжаются и в настоящее время ([7]-[10]).

В нашей работе предложен новый вариант универсальной теоремы типа Банаха-Штейнгауза, который, в небочечном случае, обобщает результаты, полученные в работе [5]. Рассмотрены некоторые приложения.

1. Основные результаты

Перед доказательством основного результата докажем следующую лемму.

Лемма 1. Пусть {Et}teT- приведенная проективная шкала локально выпуклых пространств. Если подмножества E0,t С Et имеют I категорию по Бэру в пространствах Et, t £ T, и образуют проективную шкалу множеств (относительно

вложений в исходной шкале), то множество E0 = lim E0't также имеет I кате-

tef

горию по Бэру в пространстве E = lim Et.

ЬЁт

Доказательство. Обозначим через фt : E ^ Et- канонические вложения, порожденные вложениями в шкале {Et}teT. Как известно, ф^ непрерывные и почти открытые линейные операторы (то есть для любой окрестности нуля U (0) С E замыкание ее образа ф^и) есть окрестность нуля в Et, t £ T).

Допустим теперь, что E0 не имеет I категории по Бэру в E. Следовательно, для

оо _

любого разбиения E0 = |J E^ найдется такой номер П0, что замыкание E^0 имеет

n= 1

внутреннюю точку в E.

оо

Рассмотрим, для произвольного t £ T, разбиение E0 = (J En, где Efn нигде не

n=1

плотны в Et (для любого n £ N), и положим

En = Ф-1 (En) П E0, (n £ N).

Так как

о / о \ о

U Ф-1 (En) = ФТ1 U En = Ф-1 (Et) = E, то E0 = U En.

n=1 \n=1 / n=1

Следовательно, в силу допущения, существует номер n0 такой, что En00 имеет внутреннюю точку в E. Имеем:

фt (EÖ) = фt (ФТ1 (En0) П E0) С

С = Eno П ф (E0) С En0.

Поскольку, в силу почти открытости, замыкание ф4 одержит внутреннюю

точку, то и замыкание ЕП0 также содержит внутреннюю точку. Это означает, что ЕП0 не является нигде не плотным в Е4, то есть мы пришли к противоречию. □

Следующая теорема представляет собой обобщение теоремы VII.6.45 ([2]) на случай последовательностей операторов в полных отделимых локально выпуклых пространствах.

Теорема 1. Пусть Е и F — полные отделимые ЛВП, последовательность операторов (AfcС L (Е, F), поточечно сходится к оператору A на всюду плотном в Е множестве. Тогда:

1) либо (Afc} расходится B-п.в. и даже B-п.в. неограничена;

2) либо {Afc} поточечно сходится к A всюду на Е, A е L (Е, F), {A&} равностепенно непрерывна и {A&} равномерно сходится к A на каждом компакте из Е.

Доказательство. Пусть Е0 — плотное подпространство в в Е. Представим Е и F в виде проективных пределов банаховых пространств следующим образом. Пусть {||.||}ses и {||.||}ieT —определяющие системы полунорм в Е и F соответственно. Тогда Е = lim Е8, F = lim F4 где Е3 —это фактор-простран-

tes tir

ства (Е/кег||.||s), пополненные по соответствующим фактор-нормам, F4 —фактор-пространства (F/ker^H4), пополненные по соответствующим фактор-нормам. При этом канонические вложения запишем в виде es : Е ^ Е8, f4 : F ^ F

Обозначим Е0 = es (Е0) (Vs е S). Поскольку Е ^ Е, Е0 ^ Е, то Е0 ^ Е£. Зафиксируем номер к е N. По непрерывности A&,

V t е T 3 s е S : (||h||s ^ 0, h е Е0) ^ (|Afch|i ^ 0),

в частности,

(||h||s = 0, h е Е0) ^ (||Afch|* = 0) , т. е. Afc (ker||.|| П Е0) С ker|.|*

(для соответствующих t и s).

Это позволяет продолжить операторы A& до операторов A| s(fc t) : Е^ ^ следующим образом:

AU>t) (x + ker||.|| П Е0) := Afc(x) + кег|.|4 (Vx е Е0).

Покажем непрерывность операторов A|s. Зафиксируем t е T, s е (t). По непрерывности A&,

V е > 0 3 S > 0 : (||h||s < S, h е Е0) ^ (||Afch||4 < е) .

Рассмотрим h G E0 : ||h||~ < Поскольку ||h||~ = inf ||h ||s, то 3 h G h :

kek

|| h||s < Следовательно,

(||Akh|f < e) ^ M|Ak)S(h)|l = inf ||p||e < |Afch|f < e ) ,

V reAls J

откуда Afs k непрерывен, поэтому можно продолжить Afs к по непрерывности до

А, : Es 4 FK '

Таким образом, любой оператор Ak порождает систему (шкалу) линейных непрерывных операторов

Ak = {Ak,s(k,t) : Es 4 F^teT. При этом для любого фиксированного t G T последовательность {A^k s} поточечно сходится на E0 4 -Es.

Для произвольного фиксированного t обозначим

Е0 = tlim Es(k,t). к—оо

Ввиду счетности {s(k, t)}0=1, ЕО — пространство Фреше. При данном переходе к проективному пределу получаем соответствующую проективную шкалу подпространств {E0(k t)}0=i, для которой проективный предел Е°0 = lim Е0^ t)0, в силу

К—оо '

плотности вложений Е0 4 Е^ будет плотным подпространством в Е^.

Таким образом, мы получаем для любого фиксированного t G T последовательность операторов {Ak : ЕО 4 F4}, которая поточечно сходится на Е°0 С ЕО к At. Следовательно, к {Ak} можно применить теорему VII.6.45 ([2]). Рассмотрим два возможных случая.

I. Существует конфинальная подсеть T' С T такая, что Vt' G T' последовательность {Ak'} расходится B-п.в. и даже B-п.в. неограничена.

Согласно первой части утверждения I, Vt' G T' множество ЕО0 (на котором есть сходимость по построению) имеет I категорию по Бэру в Е^. Тогда по лемме 1 множество Е0 = lim Е00 = lim еОО также имеет I категорию по Бэру в пространстве 1ёт t'eT'

Ео = lim ЕО.

teT

Согласно второй части утверждения I, Vt' G T' последовательность {Ak }О=1 неограничена в любой точке из МОО С Е^, где N00 = Е^ \ МОО-множество I категории.

Поскольку множество в проективном пределе F = lim i?t' ограничено только

_ t' тогда, когда оно ограничено в любом Ft , то отсюда следует, что последовательность {Akx}0=1 также неограничена в любой точке x G M0 С Е, где Е \ M0 =: N0 =

lim N'. По лемме 1, N0 — множество I категории.

к'ет'

Таким образом, из утверждения I следует: последовательность (Адрасходится на Е В-п.в., и даже В-п.в. неограничена.

II. Существует ¿0 € Т : ^ ¿0 последовательность (АД}^=1 сходится к А* всюду на Е^, А* непрерывен, последовательность (АД} равностепенно непрерывна и АД равномерно сходится к на каждом компакте из Е* .

Согласно первой части утверждения II, АД ^ А* всюду на Е^. В силу вложений А _

Е ^ Е^ —^ сходятся продолжения АД |Е ^ А* |Е.

Поскольку сходимость в проективном пределе Е = Нш Е* = Нш Е* равносильна

и-г

сходимости в каждом из Е*, то отсюда следует, что Ад. ^ А всюду на Е.

Согласно второй части утверждения II, оператор А* непрерывен. Тогда по теореме (У.2 [3]) оператор А : Е ^ Е = НшЕ1 также непрерывен.

Согласно третьей части утверждения II, последовательность (АД}^=1 равностепенно непрерывна (можно считать, что АД : Е ^ Е*), то есть

V С р 3 и*(0) С Е : АД (и*) С V* (к = 1, 2,...).

Поскольку базис окрестностей нуля в Е имеет вид

V(0) = / )-1 ) П ... П /)-1 ) ,

то выбрав соответствующую окрестность нуля иг(0) С Е для любого индекса I = 1, п такую, что все

АД1 (V) С V*1 (к = 1,2,...),

получаем

Ад (и,) = АД о (/*1 )-1 (и4г) С (/)-1 (V*1) , (I = 1ГП),

откуда

(п \ п

Пи, С П(/*)-1 (V*) = V(0), 1=1 / 1=1 то есть (Ад} равностепенно непрерывна на Е.

Согласно четвертой части утверждения II, (АД} равномерно сходится к А* на любом компакте из Е^. Допустим, что существует компактное множество С С Е, на котором нет равномерной сходимости Ад к А. Из предложения (Ш.7 [11])следует, что существует компактное множество С^ С Е^ такое, что С^ = Се*, где е* : Е ^ Е^. Тогда на С^, не будет равномерной сходимости АД, что противоречит утверждению II. Следовательно, (Ад} равномерно сходится к А на любом компакте из Е. □

Следствие 1. Пусть Е и Е-полные отделимые ЛВП, последовательность операторов (Ад}£=1 С Ь (Е, Е) поточечно сходится к оператору А. Тогда А € Ь (Е, Е), (Ад } равностепенно непрерывна на Е и (Ад} 'равномерно сходится к А на каждом компакте из Е.

Доказательство. Поскольку поточечная сходимость имеет место на всем пространстве Б, то случай 1) теоремы 1 не выполняется, то есть имеет место случай 2), что и требовалось доказать. □

2. Приложения полученных результатов

2.1. Матричные методы суммирования. Получим обобщение теоремы 7.2.4 ([4]) на случай полного отделимого ЛВП.

Пусть A — бесконечная матрица, то есть скалярная функция на произведении N х N. Обозначим через D(A) множество тех x € CN, для которых ряд ^ Am,nxn

n

сходится при каждом m. Матрица A определяет линейное отображение ua пространства D(A) в CN, которое каждому x € D(A) сопоставляет последовательность У = ua(x), определенную соотношениями ym = ^ Am,nxn (m € N). Имеет место

n

следующая теорема.

Теорема 2. Пусть E-векторное подпространство в D(A) и F — векторное подпространство в CN, причем E и F наделены структурами ЛВП, удовлетворяющими следующим условиям:

1) F отделимо, и каждое y € F является пределом своих конечных сечений Sky;

2) E-полное отделимое ЛВП.

Тогда, если ua(E) С F, то ua непрерывно отображает E в F.

Доказательство. В силу условия 2) и следствия 1 отображение x 4 ua(x)(m) непрерывно на E для каждого m. Пусть uk : E 4 F (k = 1,2,...) — отображение, определяемое k-тым сечением элемента ua(x), Uk (x) = SfcU^(x). В силу 1), lim Uk = ua поточечно в E. Если Fk-подпространство в F, образованное теми y € F, для которых y = Sky (то есть y(n) = 0 при n > k), то Fk конечномерно и может быть наделено единственной отделимой линейной топологией. Обозначим её через T. Топология T совпадает с топологией, определяемой любым тотальным множеством линейных форм на Fk, например линейными формами y 4 y(m) (m = 1, 2,..., k). В силу 7.2.4 ([4]), uk непрерывно относительно топологии T. С другой стороны, так как F отделимо, то топология T должна совпадать с топологией, индуцированной топологией пространства F. Таким образом, uk непрерывно отображает E в F. Используя тот факт, что E — полное отделимое ЛВП, получаем, что поточечный предел ua последовательности {uk} есть непрерывное отображение, а множество отображений {uk} равностепенно непрерывно, что и требовалось доказать. □

Замечание. Покажем, что пространство F, удовлетворяющее условиям теоремы 2, существует.

Введем в CN := CN 5 F топологию поточечной сходимости-это отделимая локально выпуклая топология, причем полная (поскольку фундаментальность в CN

равносильна фундаментальности по каждой координате в отдельности, отсюда следует, что топология поточечной сходимости в С*) — полная.

те

Так как для любого у € и^ (Е), у = и^ (ж), то все ут = ^ Атпхп сходятся.

п=1

Рассмотрим сечение (у) = (у1,..., уд, 0,0,...)

те

Обозначим иА (Е)5 = ^ II [«*^(Еи и^ (Е). Положим Е = и^ (Е)5; тогда

Е — замкнутое подпространство в С^, откуда следует, что Е — полное отделимое ЛВП.

Заметим, что для у € и^(Е)5 верно: все (у) € и^(Е)5 по построению. Возьмем уДо € (и^(Е)). Тогда

^ (уДо) = ^ (у1,...,удо, 0,...) =

(у1, . . . ,утгп(й,йо), 0, . . О € )

(иА(Е)).

,1 тт, / КЛ«

Пусть у € и^(Е)5; рассмотрим последовательность у € и^(Е)5, сходящуюся к у(0) поточечно. Если

у = (у0,у0,...,ур0,...) , то уР ^ у£, (^ € М). Тогда Vsfc0 (у(0)) имеет место сходимость

,1 = Гу? у, 0 ^ в, Гу(0)

ykо = (Vi,..., Уко, 0,.. ) ^ sko (у(0)) , (l ^ .

Но ykO) = sko (у(0) G Ua(E)s, откуда, s^ (y(0)) G Ua(E)s.

2.2. Недифференцируемость В-почти всюду функций класса Бэра Вте[0; 1]. Определим пространства (с топологией равномерной сходимости):

Bo[0; 1] := C[0; 1] — нулевой класс Бэра, Bi[0; 1] := {/ : / (x) = lim /„(x), /„ G B0[0; 1]},

п—те

B2[0; 1] := {/ : /(x) = lim f„(x), /„ G Bi[0; 1]}

n—>oo

Получаем последовательность банаховых пространств {B„[0; 1]}£=1, где каждое Bn-1[0;1] изоморфно вложено в В„[0;1]. Рассмотрим пространство Вте[0;1] :=

те

U B„[0; 1] с топологией индуктивного предела, то есть Вте[0; 1] = lim (B„[0; 1], т„),

где т„ — топология равномерной сходимости в пространстве B„[0; 1],n G N. По теореме 2.5.3 [12],

„ [°;1] Л / Bn[0;1] . „Л

/а -> /° ^ /а -> /°, при некотором П G N ,

откуда следует, что а £ N, то есть топология Вте[0; 1] секвенциальная. Таким образом, Вте[0; 1] — полное отделимое ЛВП (и, в силу секвенциальности, — пространство Фреше).

Рассмотрим последовательность линейных непрерывных форм un,a на Вте[0; 1]:

/л + П) - U а \

:=-г-, ura>a = n (5(a+1) - 5(o)J ,

n

где 5 ¿-функция Дирака

Формы un,a сходятся к ¿0 при ^ 4 ¿a на всюду плотном в Вте[0; 1] подпространстве Cг[0; 1]. Покажем, что последовательность U = {иП;0}^=1 неограничена.

Множество U ограничено тогда и только тогда, когда для любого компакта K С

Вте[0; 1] найдется константа Мк < то такая, что sup |un,a(^>)| < Мк.

ew

Поскольку любое конечное множество компактно, то рассмотрим компакт K := {0о(ж) = д/|x — a|, x £ [0; 1]} из Вте[0; 1]. Поскольку

SUp |Un,a(^)| > SUp |Un,a(i^)| ew ew

= sup

neN

( 1

n \ a +---a

vv n

— л/|а — a|

= sup ypn = то,

neN

то последовательность U = {un,a}^=1 неограничена. Следовательно, по теореме 1 множество функций ^ £ Вте[0; 1], для которых un a сходятся, I категории. Отсюда следует, что В-почти все функции из Вте[0; 1] не дифференцируемы в точке а.

Пусть Ri — счетное плотное подмножество отрезка [0;1]. Множество функций, дифференцируемых в точке а £ Ri, I категории. Объединение счетного числа таких множеств снова имеет I категорию по Бэру. Поэтому В-почти каждая функция из Вте[0; 1] не дифференцируема в каждой точке Rr.

Пусть ^ — такая функция из Вте[0; 1], для которой в любой точке а £ Ri последовательность U неограничена. Зафиксируем ^ и покажем, что она недифферен-цируема в В-почти каждой точке x £ [0;1]. Докажем, что ^ — В-п.в. разрывная функция.

Допустим, что это не так. Следовательно, замыкание множества точек A, в которых функция ^ непрерывна, содержит хотя бы одну внутреннюю точку. Пусть x £ intA; тогда > 0 : (x — ¿; x + ¿) С A. Обозначим

¿max = sup

¿>0,(x-5;x+5)cA

Д — (x ¿max; x + ¿max) .

Очевидно, Я1 П А := — счетное всюду плотное в А множество. Образуем последовательность функций

Ч> (ж + п) - <^(ж) ^ л ^п = —-^-,ж € А.

п

Это последовательность непрерывных (нелинейных) функций на пространстве А, не ограниченная ни в одной точке счетного плотного множества Я2. Поскольку при доказательстве теоремы 1 (и, соответственно, теоремы УИ.6.45 ([2]) линейность операторов исходной последовательности не фигурировала в первой возможности, то получаем, что последовательность (^п}^°=1 неограничена в В-почти каждой точке ж € А, откуда следует, что ^ В-п.в. недифференцируема на А, то есть множество О точек из А, в которых ^ дифференцируемо, I категории. Объединение таких множеств по максимальным интервалам непрерывности ^ снова имеет I категорию. Таким образом, В-почти все функции из Вте[0; 1] В-п.в. не дифференцируемы.

3. Заключительные замечания

Отметим вначале, что условия теоремы 1, вообще говоря, слабее условий теоремы УИ.6.45 ([2]), поскольку бэровские пространства полны. При этом существуют полные отделимые ЛВП, не являющиеся бочечными ([4]), а в силу теоремы П.7.1 ([3]), и бэровскими.

В силу сказанного выше результат следствия 1 не перекрывается следствием 7.4.4 ([4]). Но так как существуют неполные бочечные пространства ([4]), то утверждения следствий 1 и 7.4.4 ([4]) совпадают в случае полных отделимых бочечных пространств.

Поскольку ([12]) пространство Е бочечно только тогда, когда его топология совпадает с сильнейшей локально выпуклой топологией Е, то в небочечном случае результат следствия 1 сильнее результата теоремы 1 ([5]).

В условии теоремы 1, в отличие от условий в предложении 7([9]), не требуется равномерной сходимости на некотором классе ограниченных множеств. Но поскольку при этом непрерывный оператор является секвенциально непрерывным, то условия теоремы 1 и предложения 7([9]) перекрываются лишь частично. Однако результат теоремы 1 сильнее результата предложения 7([9]).

В рассмотренном приложении к матричным методам суммирования условия теоремы 2 частично перекрывают условия теоремы 7.2.4 [4]. Построен пример пространства, удовлетворяющего условиям теоремы 2 и не удовлетворяющего условиям теоремы 7.2.4 [4].

В рассмотренном приложении к недифференцируемости В-почти всюду функций класса Бэра Вте[0;1] полученный результат не является тривиальным и есть обобщение классического результата (гл. VII, §6 [2]). Действительно, пространство Вте[0;1] содержит как подпространство С[0;1]; недифференцируемость В-почти

всюду функций из класса 1] означает не только недифференцируемость B-

почти всюду функций из класса C[0; 1], но и недифференцируемость B-почти всюду функций из его дополнения до класса Вте[0; 1].

Список литературы

[1] Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. - Москва: Наука, 1965. - 520 C.

[2] Шварц Л. Анализ. Том 2. - Москва: Мир, 1972. - 528 C.

[3] Шефер Х. Топологические векторные пространства. - Москва: Мир, 1971. - 359 C.

[4] Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. - Москва: Мир, 1969. -1072 C.

[5] Cui Chengri, Soncho Han. Banach-Steinhaus properties of locally convex spaces. // Kangweon-Kyuingki Math. Jour. - 1997. - Vol. 5, № 2. - P. 227-232.

[6] Li Ronglu, Min-Hyung Cho. Banach-Steinhaus type theorem which is valid for every locally convex space. // Appl. Func. Anal. — 1993. — Vol. 1, № 1. — P. 146-147.

[7] Enno Kolk. Banach-Steinhaus type theorems for statistical and т-convergence with applications to matrics maps. // Rocky Mountain J. Math. — 2010. — Vol. 40, № 1. — P. 279-289.

[8] Lahrech S., Jaddar A., Hlal J., Ouahab A., Mbarki A. Banach-Steinhaus type theorems in locally convex spaces for bounded convex processes. // Int. Journal of Math. Analysis. — 2007. — Vol. 1, № 9. — P. 437-441.

[9] Lahrech Samir Banach-Steinhaus type theorems in locally convex spaces for linear bounded operators. // Note di Matematica. — 2004. — Vol. 23, № 1. — P. 167-171.

[10] Lahrech S., Jaddar A., Hlal J., Ouahab A., Mbarki A Banach-Steinhaus type theorems in locally convex spaces for LSC convex processes // Int. J. Contemp. Math. Sciences. — 2007. — Vol. 2, № 24. — P. 1183-1187.

[11] Робертсон А.П., Робертсон В.Дж. Топологические векторные пространства. - Москва: Мир, 1967. - 260 C.

[12] Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. - Москва: Издательство иностранной литературы, 1959. - 419 C.

Вар1ант ушверсальнот теореми типу Банаха-ШШтейнгауза у до-вшьних повних локально опуклих просторах

Отримано нову теорему типу Банаха-Штейнгауза i вгдповгдний принцип ргвностепеневог неперервностi у довыьних повних eidoKpe-мних локально опуклих просторах. Розглянутг деят застосування отриманих резуль-татгв.

Ключов1 слова: теорема Банаха-Штейнгауза, локально опуклий простар, проек-тивна шкала простор1в, бер1всью категорп, р1вностепенева неперервн1сть.

Variant of universal Banach-Steinhaus type theorem for arbitrary locally convex spaces

A Banach-Steinhaus type theorem and the corresponding equicontinuity principle for the arbitrary complete separable locally convex spaces are received. Some applications of the results above are considered.

Keywords: Banach-Steinhaus type theorem, locally convex space, projective scale of spaces, Baire's categories, equicontinuity.