CC BY
158. Клини С.К. Введение в метаматематику. М.: ИЛ, 1957.
9. Плиско В.Е. Абсолютная реализуемость предикатных формул // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1983. 47, № 2. 315-334.
Поступила в редакцию 23.10.2015
УДК 515.12
О РАВНОМЕРНО НОРМАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
А. В. Богомолов1
Топологическое пространство X равномерно нормально, если система U всех симметричных окрестностей диагонали Д С X х X образует равномерность на X. Окрестностью диагонали называется любое подмножество, внутренность которого содержит диагональ. Доказывается, что Я-произведение перистых линделефовых пространств счетной тесноты равномерно нормально.
Ключевые слова: равномерная нормальность, равномерность, S-произведение, счетная теснота, ^-¿-нормальность.
A topological space X is uniformly normal if the family U of all symmetric neighborhoods of the diagonal Д С X x X forms a uniformity on X. A neighborhood of the diagonal is any subset whose interior contains the diagonal. It is proved that the S-product of Lindelof p-spaces of countable tightness is uniformly normal.
Key words: uniform normality, uniformity, S-product, countable tightness, f^-iJ-normality.
Все рассматриваемые топологические пространства предполагаются тихоновскими. Терминология и обозначения, не разъясняемые в этой заметке, следуют книге [1]. Окрестностью диагонали квадрата топологического пространства называется любое подмножество, внутренность которого содержит диагональ [2]. Топологическое пространство X с топологией т будем называть равномерно нормальным, если система Ы всех симметричных окрестностей диагонали А С X х X образует равномерность на X. При этом, разумеется, равномерность Ы индуцирует исходную топологию т.
Предложение 1. Всякое равномерно нормальное пространство коллективно нормально.
Примером нормального пространства, не являющегося равномерно нормальным, может служить известный пример Бинга [1, пример 5.1.23]. Из того, что в любое открытое покрытие параком-пакта можно звездно вписать открытое покрытие [1, теорема 5.1.12], следует
Предложение 2. Всякий пара,ком,пакт, является равномерно нормальным пространством.
Примеры равномерно нормальных пространств, не являющихся паракомпактами, строятся с помощью следующей конструкции Х-произведения [2]. Пусть : s € S} — семейство топологических пространств, и пусть а = {аД — точка произведения • s ^ Тогда Х-произведением пространств Xs,s € S, с центром а называется подпространство Х(а) произведения • s ^ состоящее из всех таких точек {жД, что xs ф as не более чем для счетного числа индексов s € S. ^-произведение, не совпадающее с произведением, не может быть паракомпактным пространством. Известно, что Х-произведение компактов может не быть и нормальным пространством (см., например, [3]). В то же время в работе [2] доказана
Теорема 1. X-произведение полных сепарабельных метрических простра нет в равномерно нормально.
Теорема 1 была обобщена в работе [4] следующим образом.
Теорема 2. Х-произведение полных по Чеху линделефовых прост,ранет,в счетной тесноты равномерно нормально.
Основным результатом настоящей заметки является следующая теорема 3. Предварительно напомним, что перистые линделефовы пространства — это в точности полные прообразы сепарабельных метрических пространств при совершенных отображениях [5]. Известно, что полные по Чеху
1 Богомолов Алексей Владимирович — студ. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: praktgeomQgmail.com.
пространства являются перистыми, поэтому теорема 3 представляет собой дальнейшее обобщение теоремы 2.
Теорема 3. Е-произведение перистых линделефовых прост,ранет,в счетной тесноты равномерно нормально.
Доказательство. Пусть X — Е-произведение перистых линделефовых пространств Xs,s € S, каждое из которых имеет счетную тесноту. Пусть Ы является системой всех симметричных окрестностей диагонали А С X х X. Докажем, что Ы образует равномерность на X. Проверим выполнение условий (С/1) - (С/4) [1, с. 623]. (U1): если V € U и V С W, то W € U. (U2): если Vi,V2 G U, то Vi П V2 € U. (С/4): C\U= А. Напомним, что окрестностью диагонали А называется любое подмножество, внутренность которого содержит А, поэтому выполнение условий (С/ 1), (С/2) и (С/4) очевидно. Рассмотрим условие
(С/3) : для любого V € U существует такое W € Ы, что 2W С V
Напомним, что 2W = {(х, z) : существует точка у € X, такая, что (х, у), (у, z) € W}.
Заметим, что X х X также является Е-произведением перистых линделефовых пространств счетной тесноты, поскольку объединение двух счетных множеств индексов счетно. Всякое перистое линделефово пространство является паракомпактным ^-пространством, поэтому Е-произведение перистых линделефовых пространств счетной тесноты нормально [6]. Из нормальности X х X следует, что для любого V € Ы существует непрерывная функция ф : X х X —>■ [0;1], такая, что ф(А) = 0 и ф(Х х X \ IntV) = 1. Заметим, что счетное произведение перистых линделефовых пространств линделефово [5], поэтому по теореме [1, теорема 3.12.23 (Ь)] непрерывная функция ф зависит от счетного числа координат, т.е. найдутся счетное множество Sq С S и непрерывная функция фо : XSo х Xs0 —> [0; 1] (здесь Xs0 = ГК-^s : s £ So}), такие, что ф совпадает с композицией фо(р$0\Х х X) сужения проекции ps0 : Xs х Xs —> Xs0 х Xs0 (соответственно Xs = Ili^s • s ^ S}) на Е-произведение X x X и функции фо. Поскольку функция фо непрерывна, множество Vo = {{х,у) € х : фо{х,у) < 1} открыто и содержит диагональ As0 С х Заметим здесь, что выполняется включение (ps0)-1 (Vo) С V. Так как счетное произведение перистых линделефовых пространств линделефово и, следовательно, паракомпактно, произведение Xs0 по предложению 2 равномерно нормально. Поэтому для открытого множества Vo найдется псевдометрика ро на Xs0, которая равномерна (см. [1, с. 627]) относительно системы всех окрестностей диагонали As0 С х и удовлетворяет условию {(х,у) : ро{х,у) < 1} С Vo [1, следствие 8.1.11]. С помощью проекции ps0 "поднимем" псевдометрику ро до псевдометрики р на Е-произведении X x X с помощью формулы р{х,у) = po{%s0,yso)i где (xs0,ys0) = Vs0{x,y). Легко проверяется, что р действительно является псевдометрикой, непрерывной на X x X, и что
{(х,у) : р(х,у) < 1} С (psо)"1 ({(х,у) € XSo х XSo : ро(х,у) < 1}) С (pSo)_1 (Vi,) С V.
Пусть теперь W = {(х,у) € X x X : р(х,у) < 0,5}. Включение 2W С V очевидно. Таким образом, условие (С/3) выполняется и, следовательно, система всех симметричных окрестностей диагонали А С X x X образует равномерность на X. Пространство X равномерно нормально. Теорема 3 доказана.
Важным моментом доказательства теоремы 3 является использование свойства нормальности ^-произведения перистых линделефовых пространств счетной тесноты. Заметим, что в этом случае нормальность можно заменить на более слабое свойство /^-¿-нормальности [7].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Эпгелькипг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.
2. Corson H.H. Normality in subsets of product spaces // Amer. J. Math. 1959. 81, N 3. 785-796.
3. Комбаров А.П. О S-произведениях топологических пространств // Докл. АН СССР. 1971. 199, № 3. 526-528.
4. Комбаров А.П. О произведении нормальных пространств. Равномерности на S-произведениях // Докл. АН СССР. 1972. 205, № 5. 1033-1035.
5. Архангельский A.B. Об одном классе пространств, содержащем все метрические и все локально бикомпактные пространства // Матем. сб. 1976. 67. 55-85.
6. Комбаров А.П. О тесноте и нормальности S-произведений // Докл. АН СССР 1978. 239, № 4. 775-778.
7. Kombarov А.P. On /^-¿-normality and hereditary ¿-normality // Topol. and Appl. 1999. 91. 221-226.
Поступила в редакцию 18.05.2015
