CC BY
6DOI: 10.26086/NK.2019.54.4.003 УДК 781.1
© Александрова Людмила Викторовна, 2019
Новосибирская государственная консерватория им. М. И. Глинки (Новосибирск, Россия),
доктор искусствоведения, профессор, профессор кафедры теории музыки
E-mail: alura4556@mail.ru
О РАСШИРЕНИИ ПОНЯТИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ОТНОШЕНИЙ В ЗВУКОВЫСОТНЫХ ОРГАНИЗАЦИЯХ МУЗЫКИ ХХ ВЕКА:
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
В статье вводится понятие эквивалентных звуковысотных отношений тонов двенадцатизвуковой музыкальной системы музыки второй половины ХХ века. Данный вид отношений рассматривается на основе музыкально-теоретической системы (МТС), представляющей логическую модель эмпирической музыкальной системы (ЭМС) и ее результативно-конструктивную форму. Такой подход предполагает обращение к понятиям, разработанным в математической теории множеств. В этом смысле эквивалентное отношение трактуется в узком значении как локальное отношение музыкальных тонов в МТС при моделировании творческих процессов на микроуровне. Широкое понятие эквивалентности, характерное для макропроцессов развернутых персонифицированных композиций в контексте ЭМС, соответствует пониманию функциональности как работы системы и трактуется нами как конструктивная функциональность. Возможен так называемый обиходный смысл, не требующий доказательств и включающий психологическую интерпретацию понятия, обусловленный проявлением заметных, бросающихся в глаза наиболее общих признаков, на основании которых делается вывод об эквивалентности. Таким образом, данный вид отношений создает почву для создания неисчерпаемых, непредсказуемых творческих вариантов, что подтверждает композиторская практика особенно второй половины ХХ века. В соответствии с данными теоретическими положениями обсуждаются высказывания, произведения или их фрагменты композиторов Б. Бартока, О. Мессиана, А. Веберна, К. Штокхаузена, П. Булеза, Я. Ксенакиса.
Ключевые слова: эквивалентность, математическое множество, музыкально-теоретическая система, конструктивная функциональность
© Aleksandrova V. Ludmila, 2019
The Glinka Novosibirsk State Conservatoire (Novosibirsk, Russia),
PhD In Arts History, Professor of the Theory of Music Department
ON THE EXPANSION OF THE CONCEPT OF LOGICAL RELATIONSHIPS IN HIGH-ALTITUDE MUSIC ORGANIZATIONS OF THE TWENTIETH CENTURY: EQUIVALENCE
The article introduces the concept of equivalent pitch relations of tones of the twelve-note musical system of the music of the second half of the XX century. This type of relationship is considered on the basis of the musical-theoretical system (MTS), which is a logical model of the empirical musical system (EMS) and its effective-constructive form. This approach involves an appeal to the concepts developed in mathematical set theory. In this sense, the equivalent ratio is interpreted in a narrow sense as the local ratio of the musical tones of the system in MTS when modeling creative processes at the micro level. The broad concept of equivalence, characteristic of macro-processes of expanded personalized compositions in the context of EMS, corresponds to understanding functionality as the system operation and is interpreted by us as constructive functionality. The so-called everyday meaning is possible, as it does not require proof and includes a psychological interpretation of the concept, due to the manifestation of noticeable, conspicuous most common features, on the basis of which the conclusion about equivalence is made. Thus, such type of relationship sets the stage for the creation of inexhaustible, unpredictable creative options, which is confirmed by the composer's practice especially in the second half of the XX century. In accordance with these theoretical provisions, statements, works or fragments of compositions by B. Bartok, O. Messiaen, A. Webern, K. Stockhausen, P. Boulez, J. Xenakis are discussed.
Key words: equivalence, mathematical set, musical-theoretical system, constructive functionality
В теоретических исследованиях музыки, написанной в централизованной тональной системе, досконально разработана модель функциональных отношений звуковысотной организации, согласно которой между ступенями ладотональ-ности возникают определенные взаимодействия, в мелодическом плане представленные тяготениями ступеней. Они представляют собой «естественно-необходимый, логически разумный» [17, с. 2], чувственно-логический, психофизиологический [20, с. 76, 82] моменты. Кварто-квинто-вые соотношения, подчиненные акустическому фактору, в гармоническом плане становятся, как известно (Ж. Ф. Рамо, Ф. Ж. Фетис, Г. Риман1 и многие др.), основой функционального соподчинения аккордов Т, Б групп.
В области восприятия / воспроизведения психологического и акустического феноменов возникает «эффект ожидания определенного элемента музыкальной структуры», который порождает «моменты предсказуемости». «Максимально предсказуемой будет структура, выражающая собой какую-либо закономерность» [15, с. 148].
Подобный тип взаимодействий тонов тональной системы представляет собой узкое, специфическое понятие функциональных отношений2, а также определяет широкое значение функциональности, возникающей как на уровне одной композиции, так и на уровне целого направления, и отражает характерный тип работы системы.
Степень централизации и, соответственно, различной сложности исходной модели отношений зависит от принадлежности тональной системы к конкретному историческому периоду: предклассическому, классическому как наиболее представительному, романтическому, постромантическому, рубежу Х1Х-ХХ веков, началу - середине ХХ века.
«Размагничивание» данной модели отношений в ХХ в. привело к появлению множества различных систем, основанных на двенадцатиз-вучности: нерегламентированной атональности, регламентированной атональности — додекафонии, серийности, сериальности, структурализма и множества иных персонифицированных форм звуковысотной организации, имеющих индивидуализированные композиционные структурные и функциональные закономерности. Возможность предсказуемости каких-либо форм звучащего материала на различных его уровнях может оказаться нулевой как эстетически запрограммированное качество, связанное с рационально-логическим началом, влияющим на восприятие. Соответственно теоретическое представление об отношениях элементов-тонов конкретной звуко-
высотной организации прямо противоположно тональной системе как в узком значении, так и в широком понимании. В общих чертах эти явления обозначены нами как конструктивная функциональность, которая возникает на основе принципов детерминизма и свободы выбора [3, с. 8; 5, с. 222]. При этом детерминант фокусирует наиболее существенные признаки, имманентно присущие эмпирически развивающемуся процессу (например, неуклонное повышение уровня дис-сонантности звуковой ткани), либо он — в значении матрицы (например, серии) — предопределяется авторской волей.
Целью данной работы является обоснование одного из определяющих типов звуковысот-ных отношений, названных нами эквивалентным в узком значении, возникшем на основе двенад-цатизвуковой системы в новейшей музыке композиторов ХХ века, и его взаимодействие с функциональным отношением в широком понимании на композиционном уровне.
В ХХ веке интенсивно эволюционирующее музыкальное мышление, особенно в его второй половине, связанное с нарастающим усилением рационального начала, вызвало необходимость поиска соответствующего подхода к распознаванию логики звуковысотных отношений и ее интерпретации в границах определенных положений современной науки.
Для введения в музыкальную теорию обозначенного выше отношения обратимся к понятиям, разработанным в математической теории множеств3. Исходным положением является то, что исследование проводится с позиций музыкально-теоретической системы (МТС), которая представляет собой логическую модель эмпирической музыкальной системы (ЭМС) и ее конструктивной формы. ЭМС — это фиксированная либо нефиксированная форма музыкального бытования — своеобразный интонационно-выразительный фонд в виде набора определенных совокупностей музыкальных тонов, обусловленного нормами «слышания»-восприятия и репродуцирования конкретной исторической эпохи. В соотношении же ЭМС и МТС последняя выступает как результативная форма обобщения на основе их логической взаимосвязи [2, с. 133-134; 5, с. 15-18]. Логические отношения рассматриваются на уровне, который учитывает только высотные координаты звука.
Итак, отношение эквивалентности — это бинарное отношение Я на множестве М, при котором для любых х, у, z из М выполняется:
а) хЯх — рефлексивность;
б) хЯу ^ уЯх — симметричность;
в) xRy л yRz ^ xRz — транзитивность [13, с. 23]. В нашем случае М означает 12-звуко-вое «множество», x, y, z — его элементы-звуки. R (R — relation — связь, зависимость, отношение) существует для обозначения связей, отношений между элементами-звуками. Знак конъюнкции л читается как «и», символ ^ означает «влечет».
Рассмотрим последовательно составляющие отношения эквивалентности4. В контексте теоретической части данной работы определим их как простейшие отношения. Обозначим звуки c, d, e некоторого октавного множества, входящего в МТС как x, y, z, и выявим их взаимодействия.
1. Рефлексивность (лат. reflexio — обращение назад) — отношение элемента множества к самому себе. Иными словами, рефлексивное отношение, выраженное через двухместные предикаты, «всегда выполнено между объектом и им самим»: xRx [22, с. 38]. Содержательный смысл рефлексивности в качестве объекта музыкально-теоретического исследования определим как возможность перехода звука в тот же самый, что означает повтор. При музыкально-теоретическом обосновании — это: cRc, но не cRd.
Рефлексивные отношения могут возникать между одновысотными звуками подобных музыкальных инструментов, различных инструментов или групп инструментов5. Поскольку на уровне взаимодействия одновысотных звуков градации разнотембровости в МТС не учитываются, то целесообразно отнести повтор звука к реальному действиюрефлексивного отношения.
Рефлексивное отношение возникает во всех типах систем — от античной до современных, имеющих двенадцатизвуковое основание в соответствующих акустических строях. Исключение составляет додекафония, главное условие которой не приемлет повтора звуков, реально действующее в экспозиционном изложении, хотя в развитии материала это правило не всегда со-блюдается6.
2. Транзитивность (лат. trans — приставка со значением «через», «пере», «сквозь»; trans + salio — переступать, пропускать) — такое отношение, при котором, если первый элемент сравним со вторым, а второй с третьим, то первый сравним с третьим: xRy л yRz ^ xRz [11, с. 615]. Содержательный смысл транзитивности необходимо охарактеризовать как возможность перехода звука, при котором наблюдается следующее условие: если звук c может перейти в d, а звук d может перейти в e, то c может перейти в e ^Rd л dRe ^ cRe) — Пример 1а, 1б.
Если к данному множеству, состоящему из трех элементов, прибавлять последовательно по
одному новому элементу, сохраняя группировку по три элемента, то будут получаться цепочки подмножеств из трех элементов, пересекающихся дважды (в Примере 2 это у. у).
Отношение х (1, 2, 3...) Ку (1, 2, 3...) ^ х (1, 2, 3...) К г (1, 2, 3...) дает цепочку звуков, организованных в пары, расположенные по терциям (Пример 3).
Попарно пересекающиеся подмножества, состоящие из троек элементов, где последний элемент является началом новой тройки (Пример 4), дают выборку, состоящую из двух элементов (Пример 5). Непересекающиеся подмножества из последовательно выстроенных элементов (Пример 6) дают выборку сочетаний из первых-вторых, вторых-третьих, первых-третьих элементов, организованных попарно (Примеры 7а, 7б, 7в).
Возможности реализации транзитивного отношения очень многообразны. Они допускают множество вариантов выбора элементов. Фактически передвижение единичного звука или законченной последовательности звуков по любому избранному интервалу есть проявление транзитивного отношения. Таким образом, в транзитивном отношении, понимаемом достаточно широко, соблюдается условие монотонного высотного изменения, при котором задается единственное направление (восходящее или нисходящее) относительно заданной конструкции.
3. Симметричность (греч. оитцетр!а — соразмерность) — отношение, которое не изменяется при перестановке объектов и может быть представлено в виде формулы: хКу ^ уКх, то есть если выполнено хКу, то выполнено и уКх. Содержательный смысл симметричного отношения означает потенциальную возможность перехода данного звука в другой с последующим возвращением в исходный. Иными словами, если звук с может перейти в звук й, то следует, что й должен вернуться в с.
На уровне взаимодействия двух элементов из подмножества {х, у} [с, й], (выражающегося через двухместные предикаты), симметричность способствует образованию некой конструкции, где второй элемент (у) становится фиксированной звуковой осью при зеркальном отражении.
На уровне преобразований, соответствующих развитию музыкального материала, происходит взаимодействие двух частей целостных конструкций либо двух целостных структур (что в логическом смысле адекватно). Как известно, в музыкальном материале возможны следующие случаи зеркальной симметрии по отношению к Р: К, I, К1 (1К) — К (ракоход, обозначим как линеарная симметрия); I (инверсия — вертикальная симметрия); оба вида со сдвигом по време-
ни — диагональная симметрия; Ы (1Я) — рако-ход инверсии (инверсия ракохода, это — линеар-но-вертикальная симметрия, наиболее выпукло звучащая в сочетании с диагональной симметрией [3, с. 6-7]. При этом осевой звук либо входит в структуру, либо определяется мысленно при ее построении7.
Продемонстрируем творческий вариант четко выраженного отношения эквивалентности в пьесе Б. Бартока «Болгарские ритмы (2)» (см. фортепианный цикл «Микрокосмос» № 115). Двухтактная мелодико-ритмическая структура пьесы состоит из двух целостных пятизвучных ячеек а, к, Ь, с и cis, к, а, Ь, as), обнаруживающих рефлексивность (повторяемость) структур (2, 2, 1, 2), транзитивность (сдвиг второй ячейки на полтона, передвижение тонов в восходящем и нисходящем направлениях), симметричность в противостоянии звуков пятизвучных структур относительно мысленно определяемой оси — звука Ь. Совмещение звукорядов ячеек дает плотную полутоновость в границах тритона g-cis [5, с. 45].
Помимо следования строгой математической модели на практике возможен чисто психологический подход к трактовке отношения эквивалентности. Итак, в психологическом смысле эквивалентность (лат. aequalis — равный, valentis — имеющий силу, равносильность) такое понятие, которое трактуется через ряд синонимов — «одинаковость», «равнозначность», «взаимозаменяемость», «это всегда можно понимать так, что каждый из них (объектов. — Л. А.) содержит всю информацию о другом объекте, небезразличную в данной ситуации» (курсив мой. — Л. А.) [22, с. 52].
Понятие одинаковости, равнозначности, взаимозаменяемости обусловлено одним из двух факторов: оно зависит или от «ситуации, в которой мы рассматриваем эти объекты, или от наблюдателя, который с выбранной им точки зрения судит об одинаковости объектов» [22, с. 50].
Любая эквивалентность (на конечном множестве) «может быть задана как совпадение некоторого набора общих признаков», она «означает попадание в общий класс, то есть совпадение первых номеров» — наиболее общих признаков, существенных в данной классификации [22, с. 57].
В музыкальном материале необходимо различать:
1. Строго математическое соответствие эквивалентным отношениям, характеризующимся рефлексивностью, транзитивностью, симметричностью, проявляющимся при моделировании творческих микропроцессов в МТС.
2. Широкое понятие эквивалентности, характерное для макропроцессов на уровне развер-
нутых композиций в ЭМС и соответствующее широкому пониманию функциональности как работы системы и трактуемое нами в аспекте конструктивной функциональности [3, с. 16; 5, с. 65].
3. Обиходный смысл, не требующий доказательств, включающий психологическую интерпретацию понятия как «совпадение первых номеров», обусловленный проявлением заметных, бросающихся в глаза наиболее общих признаков, на основании которых делается вывод об эквива-лентности8.
Рассмотрим последовательно эти аспекты. Понятие эквивалентности в строго математическом смысле в музыкальном материале раскрывается через призму периодичных типов звуковысотных организаций. Попадание в «общий класс» звуков, например, полутонового, це-лотонового, тон-полутонового, малотерцового и других рядов основано на качестве, имеющем первоочередное значение для конкретного типа классификации, — равновеликости расстояний между тонами. Сошлемся в данном контексте на систему модусов ограниченной транспозиции О. Мессиана, построенную на основе выбора из полутонового основания различного рода периодично-симметричных структур-звукорядов [14, с. 91-99]. Например, пятый модус имеет структуру 0,5 2 0,5 | 0,5 2 0,5, которая обладает свойствами рефлексивности, транзитивности, симметричности и, соответственно, ему присуще отношение эквивалентности. Наиболее сложен в мессиановской системе последний седьмой модус, имеющий структуру 0,5 0,5 0,5 1 0,5 | 0,5 0,5 0,5 1 0,5, где налицо повтор двух звуковых ячеек (рефлексивность), последовательный перенос на высоту, отстоящую на полутон (транзитивность). Отсутствующее в данном звукоряде единичное симметричное отношение моделируемо как теоретически, так и потенциально осуществимо в развитии, поскольку основой симметричности всегда является периодичность (и наоборот).
Многие произведения Мессиана или их фрагменты обнаруживают частичную принадлежность одновременно к двум (или более) модальным звукорядам. Например, в пьесе «Взгляд времени» (см. фортепианный цикл «Двадцать взглядов на младенца Иисуса Христа») аккордовые образования представляют идентичные отрезки звукорядов сразу нескольких модусов (1 т. — 7/4, 7/4+6/1; 2 т. — 7/2+3/3, 7/2+5/4 и т. д. — вторая цифра дроби означает номер транспозиции). Мессиан называет это полимодальностью. В пьесе «Аминь Желания» потакто-во происходит модуляция из модуса в модус по горизонтали (2/3, 2/2, 6/5, 4/2) [14, с. 85]. Кроме
того, композитор активно пользуется так называемыми педальной, проходящей и вспомогательной группами к заданным модальным структурам, о чем он пишет в труде «Техника моего музыкального языка». Все это создает достаточно плотную или, наоборот разреженную звуковую массу неповторимых и своеобразных сонористи-ческих звучностей, основанных на 12-звучно-сти. «Диссонансы и неаккордовые звуки — это одно и то же» [14, с. 84]. Симптоматично, что Мессиан показывает «как можно смешать наши лады (модусы. — Л. А.) с атональной музыкой» [14, с. 106]. Однако невозможность слухового обнаружения говорит о равноправии всех 12 звуков системы, а также трактовке понятия эквивалентных отношений в обиходном (психологическом) смысле. Нечто подобное высказывает Мессиан с присущей ему предельной выразительностью: у слушателя «на концерте не будет времени выявлять нетранспонируемости и необратимости... быть зачарованным — станет его единственным желанием... он невольно подчинится странному очарованию невозможностей: некий эффект тональной вездесущности в нетранспонируемо-сти, некое единство движения (где начало и конец сливаются, потому что одинаковы) (курсив мой. — Л. А. ) в необратимости, — все это будет постепенно вести его к тому виду "божественной радуги", которой пытается быть музыкальный язык, строение и теорию которого мы ищем» [14, с. 99].
Необходимо обратить внимание на то, что любая МТС периодичной структуры является основанием для выбора и оформления звуковых высот в целостные конструкции, которые могут не иметь в экспонировании периодичности (например, в симметричных конструкциях (сошлемся на пьесу Б. Бартока «На острове Бали» — см. «Микрокосмос» № 115), но в развитии с помощью известных преобразований обнаруживают составляющие отношения эквивалентности, на чем базируется качество равноправия, функционально-ролевой независимости тонов друг от друга. Подобное равноправие, или логическое равенство, приводит к тому, что разновысотные тоны трактуются как взаимозаменяемые, функционально равнозначные. Известно, что на этапе освобождения от тонально-гармонических отношений, и переходе к атональности возникла потребность отказа от всех атрибутов тональной организации и, в первую очередь, это касалось звуковысот-ных отношений, при которых эквивалентность можно трактовать в обиходном смысле. Вначале здесь действовал принцип замены9, затем стихийность происходящих процессов привела
к возникновению в возрастающей степени жестких принципов организации — додекафонии и серийной техники. В контексте серийной техники А. Веберн возродил исторически известные контрапунктические приемы — Р, К, I, К1 (1Я)10 и прочие, по его словам, «вариационные идеи» [7, с. 155].
Сериальная техника послевоенного авангарда, возникшая, как известно, на основе структурных идей А. Веберна и О. Мессиана («Ритмические этюды» № 2, 4) внесла в серийную организацию метр, ритм11, охватила динамику, регистр, тембр, артикуляцию, в ряде случаев темп и агогику. «Лишь во взаимодействии принципов организации длительностей, высот, громкостей и тембров возникают звуки» [25, с. 38].
Номенклатурно-интервальный подход, лежащий в основе структуры звуковысотной серии, прежде всего проникает в метроритмическую организацию, поскольку продленность звучания, выраженная в числе, закономерно обуславливается временным характером музыкального искусства. В сериальных композициях на качествах равноправия, функциональной равнозначности, взаимозаменяемости звуков основан прием пер-мутации, подразумевающий перестановки отдельных звуков, отрезков серии, различного рода перегруппировки — ротации, контрротации, интерполяции и тому подобные индивидуализированные приемы.
Организующая роль числа лежит на поверхности природных качеств звукового материала — громкостной динамики («интенсивностей», по Мессиану), регистра, темповых параметров, выражается через числовые характеристики аго-гических, тембровых, артикуляционных состав-ляющих12.
Таким образом серийный звуковысотный принцип организации, остающийся в качестве ведущего исходного параметра в создании нового звукового материала, в совокупности с остальными серийными звуковыми компонентами предопределяет такого рода структуру сериальной композиции, которая дает основание говорить о наличии эквивалентного отношения элементов-звуков в их комплексной характеристике на уровне микропроцессов.
Тотальная организация всех параметров звучащего материала, характерная для музыки послевоенного авангарда, в основании которой заложена эквивалентность отношений, простирающаяся на уровень масштабных форм макропроцессов, вызвала к жизни структурализм, полиструктурализм, потребовала максимальной упорядоченности путем сверхконтроля всех
элементов музыкального произведения. Очень точны в этом плане высказывания К. Штокхау-зена. «В тотальном порядке все единицы равноправны» [25, с. 37]. «Единичное — это звук с его четырьмя измерениями: длительностью, силой, высотой, тембром» [25, с. 38]. «Осмысленность порядка зиждется на согласии единичного и целого» [25, с. 37]. «Представление о порядке вызывает в сознании профессионала организационные принципы» [25, с. 37]. «Организационные принципы» композитор претворяет в различных «генезис-формах». Так, одним из образцов творческой реализации взглядов Штокхаузена в эпоху 1950-х годов является «Перекрестная игра» — сериальная композиция, выполненная в пуанти-листической манере и имеющая генезис «пуан-тилистических форм». Написано сочинение для перкуссий (разновидностей всего звуковысотно-го спектра том-томов, высоких и низких цимбал, фортепиано без крышки, гобоя и бас-кларнета) в классическом смысле трудносочетаемых по тембру инструментов. «В генезисе пуантилистиче-ских форм я попытался обеспечить равноправие (курсив мой. — Л. А.) всех индивидуальных элементов — отдельных тонов с их различными признаками» [23, с. 40]. В Клавирштюках 1-1У, написанных Штокхаузеном в генезисе «групп-форм», он «пытался сочетать равноправие в высокоорганизованных единствах с характеристичностью групповых образований» и при этом «сохранить равновесие» [23, с. 40].
«Теория групп» К. Штокхаузена, «техника мультипликации частот» П. Булеза, подчиненность звуковых комбинаций стохастическим процессам в музыке Я. Ксенакиса исходят из равноправия звуковысот13. В этих примерах нет необходимости доказывать узкое понимание эквивалентности.
Широкое понятие эквивалентности, интерпретируемое на основании общелогических закономерностей — детерминизма и свободы выбора, — характерное явление для музыки ХХ века [5, с. 46]. Такого рода отношение (не узкоматематическое) возникает тогда, когда два выделенных случайных процесса обнаруживают одинаковые вероятностные характеристики относительно некоторых константных принципов14. На основе этих закономерностей во многих музыкальных стилях возникает такая ситуация, при которой определенные композиторские приемы допускают взаимозаменяемость — от деталей до крупных планов: от уровня тонов до уровня разделов формы. В этом смысле показательна алеаторическая техника микропроцессов, основанная на равнозначности, функционально-роле-
вой взаимозаменяемости тонов, более или менее развернутых конструкций при фиксированной звуковысотности. Алеаторический метод в выборе последовательности тонов в детерминированной или недетерминированной звучности соответствует такой форме изложения материала, при которой звуковысотные комбинации безразличны к соотнесенности элементов по тем или иным системным признакам, но небезразличны к жестким условиям, определенным композитором. Поэтому звуковой материал произведения может представлять некоторый предуровень, предоформленность, предорганизованность [25, с. 38] как заведомо предусмотренный художественный эффект.
В более или менее масштабных авангардистских сочинениях, использующих алеаторическую технику, на уровне макропроцессов происходят аналогичные явления. Например, в опусах, созданных на основе алеаторики внешней формы, иначе называемой большой или неограниченной алеаторикой (по классификации Ц. Когоуте-ка [10, с. 242]), осуществляется взаимодействие творческой и исполнительской управляемых случайностей. При этом «каждое новое исполнение несет с собой существенно отличающееся, но никак не совершенно случайное конечное звуковое движение» [10, с. 243], то есть попадание наиболее характерных признаков в «общий класс» (в качестве которого выступает предпосланная сочинителем «инструкция») становится непременным условием «бытия» произведения. О ролевой взаимозаменяемости составляющих композиционного процесса говорят авторские указания исполнителям. Например, композиция «Циклы для перкуссии» К. Штокхаузена, написанная в генезисе «многозначных форм», построена таким образом, что произведение может начинаться по желанию исполнителя с любой страницы, а заканчиваться на первой ноте первой страницы. При этом порядок композиционных построений, размещенных в больших треугольниках (графическая форма записи партитуры — см. пример 182 [10, с. 244]), произвольно заменяем, однако их вступление точно определено по времени. Порядок же композиционных построений, заключенных в прямоугольники (графическая форма записи, там же), может быть произвольно изменен без точного определения времени вступления [10, с. 245]. Таким образом, управляемая случайность не позволяет рассыпаться форме, нарушить ее запрограммированную целостность и снизить художественные достоинства произведения.
Возможность управляемости по обусловленному авторскому замыслу основана на одина-
ковости признаков, общих чертах, допускающих вариабельность эквивалентных частей, разделов композиции и распространяются и на исполнительский процесс. Так, в Концертштюке XI, имеющем генезис «многозначных форм», детерминированы 19 групп, но переходы от одной к другой зависят от выбора исполнителя, согласующиеся с некоторыми предписаниями композитора.
Интересно сопоставить подходы в построении и функционировании серии К. Штокхаузе-на и П. Булеза. Штокхаузен в творчестве переходит от серии раннего периода авангарда (позиционирующей работу только со звуковысотами), обладающей, по его словам, квантитативными характеристиками, к серии с квалитиативными характеристиками, которая, в отличие от серийности, прибавляет к технике формул многие составляющие: градации шумов, окрашенных пауз, эха и т. д. (сериальность). «Раньше были только тоны, теперь качества»15. В гепталогии «Свет» Штокхаузена звуковысотные серии-формулы — это «три синхронные мелодии» главных персонажей: 13-звуковая Михаэля, 12-звуковая Евы, 11-звуковая Люцифера [18, с. 29]. В одновременности они образуют, по словам композитора, «суперформулу», которая «больше, чем лейтмотивный или психограммный знак, больше, чем развертывающаяся тема или генерируемая серия: формула — матрица и план микро-и макроформы» [24, с. 47]. Она — «содержательное единство» [24, с. 46], которое распространяется на огромнейшее композиционное пространство всей гепталогии благодаря «технике проекции» и производит малые формулы, каждый элемент которой «постепенно становится ядром констелляции», что позволяет импровизировать «не только мелодически, но и во временном параметре, динамическом и т. п.», то есть порождает процесс. Генезис — «это космический принцип»16.
«Космическому принципу» К. Штокхаузена созвучна в эстетическом плане идея «движущейся и расширяющейся вселенной» П. Булеза [6, с. 149]. На этом «созвучие» заканчивается, поскольку реализация композиторского метода Булеза совершенно иная. Серия Булеза обладает порождающими свойствами в квантитативном плане: в «Молотке без мастера» расширение происходит благодаря мультипликации частот (высот) с помощью редукции сегментированной серии, из чего образуются области (группы), гармонические поля мобильной плотности. В результате «эти объекты выведены один из другого наиболее функциональным путем, поэтому они сохраняют логически связанную структуру» (цит. по: [16, с. 173]).
По словам Булеза, эволюция музыкальной техники «все больше обращается к исследованию относительной вселенной, к перманентным открытиям — сравнимым с "перманентной революцией"» [6, с. 135]. Порождающий принцип характерен и для формы сочинений. Открытая форма Булеза — это «лабиринт», «бесконечность без начала и конца», «work in progress». Принцип открытой системы присущ ряду его произведений — «Складка за складкой. Портрет Малларме», «Фигуры - Дубли - Призмы», Третья соната. Для Булеза характерна сложная комбинаторная техника с «направляемой свободой», соответствующая, в нашем понимании, эквивалентности (равнозначности, взаимозаменяемости) на уровне макропроцессов. И все же, по словам композитора, «для меня все более чуждым становится воспринимать произведение в виде фрагментарной продукции: я безусловно предпочитаю крупные "совокупности", центрируемые вокруг некоего пучка детерминированных возможностей» [6, с. 142].
Несколько иной, менее жесткий подход связан с тем психологическим значением, которое вкладывается в содержательный план понятия эквивалентность — равнозначность, равносильность. В обиходном употреблении термина «эквивалентность» в музыковедческой литературе допустима его достаточно свободная трактовка, отступающая от строгой математической задан-ности как отношения, и достаточно произвольная в соотнесенности с широким понятием эквива-лентности17. Поэтому при рассмотрении отношения эквивалентности в музыкальном материале необходимо учитывать как объективно-логические аспекты явления, так и психологические моменты в его интерпретации.
Таким образом, проявление математически выраженной эквивалентности — явление, которое характеризует, в первую очередь, звуко-высотные отношения микропроцессов двенадцати звуковысотных организаций. Соответственно уровень макропроцессов различного композиционного масштаба также формируется с помощью логики эквивалентности в широком понимании.
Логическое равенство, а, следовательно, взаимозаменяемость элементов музыкальной ткани, может предполагать отбор иных признаков, имеющих одинаковые свойства, например, в области тембра, фонических эффектов, идущих от специфических способов звукоизвлечения, соно-ристических задач целого и т. п. Подобные вопросы предполагают исследование параметров плотности и разреженности, тембровой однородности и неоднородности, динамики «интенсивностей»
и прочих характеристик, отвечающих понятию эквивалентности широкого функционального плана.
По словам Я. Ксенакиса, контуры художественного подхода, использующего математические методы, будучи достаточно строгими в своих внутренних очертаниях, оставляют немало брешей, в которых обнаруживается действие наиболее сложных и таинственных факторов мышления: полюса детерминизма, предопределенности и свободного действия, необусловленного выбора. «Между этими двумя полюсами находится все бесконечное и безначальное движение окружающей жизни, частично предопределенное, частично свободное в своей изменчивости, образуя полный спектр возможных при этом взаимопроникновений и интерпретаций» [12, с. 116].
Примечания
1 Введение Г. Риманом в музыковедение понятия функциональных отношений состоялось в период формирования научных достижений в области системных исследований, математической логики во второй половине XIX века, что дало плодотворные результаты в теории музыки: способствовало, наряду с теорией ладового ритма, становлению отечественной функциональной школы.
2 При узком понимании мелодических тяготений тонов ладотональности « функция может <...> трактоваться как операция, которая будучи применена к объекту ф порождает объект |,» [8, с. 54]. В широком же понимании идея функции рассматривается не как собственно функция, а ситуация, при которой «разрешено говорить, что имеет место функция» [21, с. 23; 5, с. 59].
3 Аппарат теории множеств, применяемый Я. Ксенакисом [12], «позволяет трактовать те или иные проявления музыкально-звуковой системы многосторонне, учитывая характеристики всех свойств звука» [9, с. 264]. Используемые в данной статье вопросы логических отношений на основе теории множеств впервые были поставлены в кандидатской диссертации [3] в 1972 году, и более широко развиты в монографии [5].
В принципе любой творческий процесс и его реализация, особенно в музыке послевоенного авангарда, представляют сложно формализуемую область, которую — с позиций вероятностно-статистического подхода — возможно моделировать с помощью аппарата теории нечетких множеств. Этот подход в данной статье мы не используем. Математическая теория нечетких множеств (fuzzy sets) была создана Л. А. Заде [26]. Возможности ее применения в музыкальной теории были обоснованы нами в [1; 4].
4 Музыкально-теоретические иллюстрации простейших отношений в силу простоты (рефлексивность) и известности (симметричность) в данной статье не приводятся. Более многообразно реализуется транзитивное отношение, показанное в Приложении в Примерах № 1-7.
5 В случае повтора однотембрового звука возникает отношение тождества, имеющее в нашей интерпретации более узкий логический смысл, не включаемый в данное исследование.
6 Реальный музыкальный материал предоставляет необъятно широкие возможности реализации рефлексивного отношения, поэтому уместно рассматривать данные отношения также на уровне взаимодействия целостных конструкций, которые, помимо высотных, имеют силлабические, модально-ритмические, метроритмические и прочие формы ограничений, зависящие от типа музыкальной системы.
7 Отношение симметричности является основой преобразований симметрии, которые наряду с группой движений занимают основное место в полифонической технике музыки прошлых эпох, сериальном развитии и смешанных техниках современной музыки. В группу симметричных преобразований входят также сдвиги (вертикальные переносы), сочетающиеся или несочетающиеся с зеркальностью и отвечающие транзитивному отношению, что составляет основу имитационной, имитационно-канонической техник [3, с. 6-7; 5, с. 182-183].
8 Анализируя логическое понятие эквивалентности, Ю. А. Шрейдер [22, с. 50] приводит пример различных классов: а) мифических существ — алконоста, пегас, двуглавый орел, райская птица — сходных по принадлежности к мифологии и по наличию крыльев; б) сухопутных млекопитающих; в) обитающих в воде и т. д. При этом он предлагает ситуацию, когда животные данного класса могут быть взаимозаменяемы: например, для учителя биологии, которому надо продемонстрировать каких-либо представителей данного класса.
9 А. Веберн выводит этот принцип из неразрешенных альтераций, которые обрели качество заменителей, поскольку «...время созрело, чтобы тональность исчезла». Вначале возникла «колеблющаяся тональность», а далее «заменители становились все более самостоятельными» и «приобрели настолько большое значение, что отпала потребность возвращаться в основную тональность» [7, с. 64-65, 68].
10 Как известно, возможность использования перечисленных приемов возникла как плод размышлений А. Веберна, что оказалось наибо-
лее целесообразным рациональным решением для развития изобретенных им звуковых серий в границах двенадцатизвучности. Напомним, что в Венском университете он глубоко изучал нидерландцев, писал диссертацию по Изааку.
11 Высота и длительности, по терминологии Х. Х. Штукеншмидта, — примарные параметры, остальные — секундарные (цит. по: [10, с. 181]).
12 При рассмотрении отношения эквивалентности речь не идет о чисто электронной или смешанной музыке, хотя то и другое зиждется на тех же основаниях. Создатели же сонористических (без использования электроники) композиций в большинстве случаев пользуются динамической, регистровой, темповой шкалами, а также остальными характеристиками звука прежде всего на психологическом уровне, нежели включают в мыслительно-творческий процесс вычислительные операции. Сказанное не относится к музыке Ксе-накиса.
13 Как пишет Ксенакис, «интервалы — бинарные отношения высоты, заданные на множестве звуков, характеризующиеся рефлексивностью, транзитивностью и антисимметричностью (как одного из проявлений симметричности. — Л. А.)... Музыка также может быть определена как организация звуков на основе этих операций и элементарных отношений» (цит. по: [19, с. 144].
14 Стохастический процесс в теории вероятностей рассматривают как семейство случайных величин х(1), зависящих от одного параметра, числовое значение которого постоянно в границах данной задачи [11, с. 570].
15 Штокхаузен К. Я с удовольствием приехал бы вновь в Москву: Интервью с С. Савенко / пер. С. Савенко // Музыкальная академия. 1993. № 3. С. 54.
16 Штокхаузен К. Дышать воздухом иных планет: Интервью с С. Савенко / пер. С. Савенко // Современная музыка. 1990. № 10. С. 61.
17 Понятие обиходности близко к понятию размытости, нечеткости, но будучи употребимо в психологическом плане, оно не апеллирует к ранжированию явлений с точки зрения качественности.
Литература
1. Александрова Л. В. Взаимодействие количественных и качественных аспектов в музыкальных объектах и их оценка с позиций математической теории множеств // Музыкальное мышление: сущность, категории, аспекты исследования. Киев: Музична Украша, 1989. С. 153-162.
2. Александрова Л. В. Музыкально-теоретическая система как основа формирования обучающих интеллектуальных систем // ЭВМ и проблемы музыкального образования: Меж-вуз. сб. науч. трудов. Вып. 8. Новосибирск: Новосиб. гос. консерватория им. М. И. Глинки, 1989. С. 133-144.
3. Александрова Л. В. О принципах симметрии в композиторской технике Б. Барто-ка: автореф. дис. ... канд. искусствовед. Л.: ЛОЛГК им. Н. А. Римского-Корсакова, 1972. 17 с.
4. Александрова Л. В. Опыт применения теории нечетких множеств к гармоническому анализу музыкальных произведений // ЭВМ и проблемы музыкальной науки: межвуз. сб. науч. трудов. Вып. 7. Новосибирск: Новосиб. гос. консерватория им. М. И. Глинки, 1988. С.132-149.
5. Александрова Л. В. Порядок и симметрия в музыкальном искусстве: логико-исторический аспект. Новосибирск: Новосиб. гос. консерватория им. М. И. Глинки, 1965. 372 с.
6. Булез П. Соната «Чего ты хочешь от меня» // Ориентиры I. Избранные статьи. М.: Logos altera, 2004.
7. Веберн А. Лекции о музыке. Письма / пер. с нем. В. Г. Шнитке. М.: Музыка, 1975. 143 с.
8. Войшвилло Е. К. Понятие. М.: Изд. МГУ, 1967. 256 с.
9. Горбунова И. Б., Заливадный М. С. О математических методах в исследовании музыки и подготовке музыкантов // Проблемы музыкальной науки. 2013. № 1. С. 264-268.
10. Когоутек Ц. Техника композиции в музыке ХХ века / пер. К. Н. Иванова, общ. ред. и комм. Ю. Н. Рагса, Ю. Н. Холопова. М.: Музыка, 1976. 367 с.
11. Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975. 720 с.
12. Ксенакис Я. Формализованная музыка. Новые формальные принципы музыкальной композиции / пер. с франц. М. С. Заливадного. СПб.: С.-Петерб. гос. консерватория, 2008. 123 с.
13. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с.
14. Мессиан О. Техника моего музыкального языка / пер. и комм. М. Чебуркиной, науч. ред. Ю. Н. Холопов. М.: Греко-латинский каб-т Ю. А. Шичалина, 1994. 125 с.
15. Милка А . П. Об одном аспекте динамического развития в Чаконе из ре-минорной партиты И. С. Баха для скрипки соло // Научно-методические записки. Вып. 5. Новосибирск: Но-
восиб. гос. консерватория им. М. И. Глинки, 1970. С. 146-158.
16. Петрусева Н. А. Пьер Булез. Эстетика и техника композиции. М.; Пермь: Реал, 2002. 352 с.
17. Риман Г. Упрощенная гармония, или учение о тональных функциях аккордов / пер. с нем. и прим. Ю. Д. Энгеля. М.: Изд. П. Юргенсона, 1901. 286 с.
18. Савенко С. И. Карлхайнц Штокхаузен // Зарубежная музыка. Вып. 1. М.: Музыка, 1995. С. 11-36.
19. Соколов А. С. Музыкальная композиция XX века: Диалектика творчества. М.: Музыка, 1992. 230 с.
20. Тюлин Ю. Н. Учение о гармонии. М.: Музыка, 1966. 233 с.
21. Успенский В. А. Предисловие // Шихано-вич Ю. А. Введение в современную математику. М.: Наука, 1965. С. 5-24.
22. Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. М.: Наука, 1971. 255 с.
23. Штокхаузен К. Изобретение и открытие (Доклад о генезисе формы) / пер. с нем. С. Са-венко // XX век. Зарубежная музыка. Вып. 1. М.: Музыка, 1995. С. 40-42.
24. Штокхаузен К. Мультиформальная музыка / пер. с нем. С. Савенко // XX век. Зарубежная музыка. Вып. 1. М.: Музыка, 1995. С. 46-47.
25. Штокхаузен К. Ситуация ремесла (Критерии «пуантилистической музыки») / пер. с нем. С. Савенко // XX век. Зарубежная музыка. Вып. 1. М.: Музыка, 1995. С. 37-39.
26. Zadeh L. A. Fuzzy Sets // Inform. and Control. V. 8. № 3. 1965. Р. 338-353.
References
1. Aleksandrova, L. V. (1989), "Interaction of quantitative and qualitative aspects in musical objects and their evaluation from the standpoint of mathematical set theory", Muzykal'noe myshlenie: sushchnost', kategorii, aspekty issledovaniya [Musical thinking: the nature, categories, aspects of the study], Muzichna Ukraina, Kiev, USSR, pp. 153-162.
2. Aleksandrova, L. V. (1989), "Music-theoretical system as a basis for the formation of educational intellectual systems", EVM i problemy muzykal'nogo obrazovaniya [Computers and problems of music education], vol. 8, Novosibirskaya gosudarstvennaya konservatoriya im. M. I. Glinki, Novosibirsk, USSR, pp. 133-144.
3. Aleksandrova, L. V. (1972), "On the principles of symmetry in B. Bartok's compositional technique", Abstract of Cand. Sc. Thesis, Art
Criticism, Leningradskaya Orde-na Lenina gosudarstvennaya konservatoriya, Leningrad, USSR.
4. Aleksandrova, L. V. (1988), "Experience in applying fuzzy set theory to harmonic analysis of musical compositions", EVM i problemy muzykal'nogo obrazovaniya [Computers and problems of music education], vol. 7, Novosibirskaya gosudarstvennaya konservatoriya im. M. I. Glinki, Novosibirsk, USSR, pp. 132-149.
5. Aleksandrova, L.V. (1965), Poryadok i simmet-riya v muzykal'nom iskusstve: logiko-istori-cheskii aspect [Order and symmetry in musical art: logical-historical aspect], Novosibirskaya gosudarstvennaya konservatoriya im. M. I. Glinki, Novosibirsk, USSR.
6. Bulez, P. (2004), "Sonata «What do you want from me»", Orientiry I. Izbrannye stat'i [References I. Selected articles], Logos altera, Moscow, Russia.
7. Vebern, A. (1975), Lektsii o muzyke. Pis'ma [Lectures on music. Letters], translated by V. G. Shnitke, Muzyka, Moscow, USSR.
8. Voishvillo, E. K. (1967), Ponyatie [Concept], Izdatel'stvo MGU, Moscow, USSR.
9. Gorbunova, I. B., Zalivadnyi, M. S. (2013), "On mathematical methods in the study of music and the training of musicians", Problemy muzykal'noi nauki [Problems of music science], no. 1, pp. 264-268.
10. Kogoutek, Ts. (1976), Tekhnika kompozitsii v muzyke XX veka [The technique of composition in music of the twentieth century], translated by K. N. Ivanov, ed. Yu. N. Rags, Yu. N. Kholopov, Muzyka, Moscow, USSR.
11. Kondakov, N. I. (1975), Logicheskii slovar'-spravochnik [Logical dictionary-reference book], Nauka, Moscow, USSR.
12. Ksenakis, Ya. (2008), Formalizovannaya muzyka. Novye formal'nye printsipy muzykal'noi kompozitsii [Formalized music. New formal principles of musical composition], translated by M. S. Zalivadnyi, Sankt-Peterburgskaya gosudarstvennaya konservatoriya, Saint Petersburg, Russia.
13. Messian, O. (1994), Tekhnika moego muzykal'nogo yazyka [Technique of my musical language], translated by M. Cheburkina, ed. Yu. N. Kholopov, Greko-latinskii kabinet Yu. A. Shichalina, Moscow, Russia.
14. Mal'tsev, A. I. (1970), Algebraicheskie sistemy [Algebraic system], Nauka, Moscow, USSR.
15. Milka, A. P. (1970), "On one aspect of dynamic development in the Chacon from J. S. Bach's d minor Partita for solo violin", Nauchno-
metodicheskie zapiski [Scientific and methodical notes], vol. 5, Novosibirskaya gosudarstvennaya konservatoriya im. M. I. Glinki, Novosibirsk, USSR, pp. 146-158.
16. Petruseva, N. A. (2002), P'er Bulez. Estetika i tekhnika kompozitsii [Pierre Boulez. Aesthetics and technique of composition], Real, Moscow; Perm', Russia.
17. Riman, G. (1901), Uproshchennaya garmoniya: Ili, uchenie o tonal'nykh funktsiyakh akkordov [Simplified harmony: Or, the doctrine of the tonal functions of chords], translated by Yu. D. Engel', Izdatel'stvo P. Yurgensona, Moscow, Russia.
18. Savenko, S. (1995), "Karlheinz Stockhausen", Zarubezhnaya muzyka [Foreign music], vol. 1, Muzyka, Moscow, Russia.
19. Sokolov, A. S. (1992), Muzykal'naya kompozi-tsiya XX veka: dialektika tvorchestva [Musical composition of the twentieth century: dialectics of creativity], Muzyka, Moscow, Russia.
20. Tyulin, Yu. N. (1966), Uchenie o garmonii [The doctrine of harmony], Muzyka, Moscow, USSR.
21. Uspenskii, V. A. (1965), "Preface", Shikhanovich, Yu. A. (1965), Vvedenie v sovremennuyu matematiku [Introduction to modern mathematics], Nauka, Moscow, USSR, pp. 5-24.
22. Shreider, Yu. A. (1971), Ravenstvo, skhodstvo, poryadok [Equality, similarity, order], Nauka, Moscow, USSR.
23. Shtokkhauzen, K. (1995), "Invention and discovery (Report on the Genesis of the form)", XX vek. Zarubezhnaya muzyka [XX century. Foreign music], translated by S. Savenko, vol. 1, Muzyka, Moscow, Russia, pp. 40-42.
24. Shtokkhauzen, K. (1995), "Multiformal music", XX vek. Zarubezhnaya muzyka [XX century. Foreign music], translated by S. Savenko, vol. 1, Muzyka, Moscow, Russia, pp. 46-47.
25. Shtokkhauzen, K. (1995), "The situation of the craft (Criteria «pointillistically music»)", XX vek. Zarubezhnaya muzyka [XX century. Foreign music], translated by S. Savenko, vol. 1, Muzyka, Moscow, Russia, pp. 37-39.
26. Zadeh, L. A. (1965), "Fuzzy Sets", Inform. and Control, vol. 8, no. 3, pp. 338-353.
Приложение
*
1
1
1
о
У
,>--О-о-«
z х R у = у R z
Пример 1
R z
x у z xl yl zl x2 y2 z2 x3 y3 z3 x4 y4 z4 x5 y5 z5 хб y6 z6
Пример 2
Пример 3
<»-e-
-в-0-
Пример 5
o °-
у z xl yl zl
юг
x2 у2 z2
Пример 4
i
о <>
о
<v >> °
X у z xl yl zl
Пример 6
тг
x2 y2 z2
у
О О
/Л ,, " о л I * t> "
- ~-li—ш- -в-"-
Пример 7а
Пример 7б
Пример 7в
