О распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.6

Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов

О РАСПРОСТРАНЕНИИ ТМ-ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНОМ СЛОЕ С НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ, ВЫРАЖЕННОЙ ЗАКОНОМ КЕРРА1

Рассматривается распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн через нелинейный однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя однородными изотропными полубесконечны-ми полупространствами. Нелинейность в слое выражается законом Керра. Проблема сводится к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Представлено дисперсионное соотношение для постоянных распространения волн. Выполнено сравнение со случаем линейной среды в слое.

Задачи распространения электромагнитных волн в нелинейных средах интенсивно изучаются в течение нескольких десятилетий. К таким задачам относится распространение волн в волноведущих структурах и, в частности, распространение волн в диэлектрическом слое. Математические модели для таких задач и некоторые результаты представлены в [1]. Наиболее изучены явления распространения ТЕ-поляризованных электромагнитных волн. Результаты, связанные с распространением ТЕ-поляризованных волн в нелинейном диэлектрическом слое, представлены в [2]. В [3, 4] изложены результаты по распространению ТМ-поляризованных волн в нелинейном диэлектрическом полубесконечном слое. В [5] получен первый интеграл исследуемой в настоящей работе системы дифференциальных уравнений, описывающий закон сохранения. Однако полного аналитического решения задачи распространения ТМ-поляризованных волн в нелинейном диэлектрическом слое не было получено. Не было выписано дисперсионное соотношение для постоянных распространения ТМ-поляризованных электромагнитных волн.

Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой с нелинейностью типа Керра, расположенный между двумя полубесконечными полупространствами х < 0 и х > Н в декартовой системе координат Охуг . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость и £3 соответственно.

Электрическое поле

Введение

1. Постановка задачи

Е(х, у, г, г) = Е+(х, у, г)cosюг + Е_(х, у, г)пюг удовлетворяет уравнениям Максвелла

(1)

ю№ = -їюгЕ; юtE = гюцЯ,

(2)

(3)

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 06-07-89063а.

где

Е(х, у, г) = Е+(х, у, г) + іЕ_(х, у, г) (4)

и Н (х, у, г) есть комплексные амплитуды. Диэлектрическая проницаемость

внутри слоя описывается законом Керра Є = Є2 + а|Е|2 , где а и є 2 - положительные константы. Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

Электромагнитное поле Е , Н удовлетворяет уравнениям Максвелла (2), (3), условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред х = 0 и х = Н и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |х| в облас-

тях х < 0 и х > Н.

Рассмотрим ТМ-поляризованные волны Е = {Ех, 0, Ег } , Н = {0, Ну, 0} . В результате уравнения (2) и (3) примут вид

ЭЕ.

"г —

Эу

= 0; (5)

ЭЕх ЭЕг

-7х _-гг = гюцНу ; (6)

Эг Эх 7

ЭЕх = 0; (7)

Эу

ЭН

у

Эг

ЭН

= іюєЕх; (8)

Эх

у = -їюєЕ-. (9)

Из (5) и (7) следует, что Ег = Ег (х, г) и Ех = Ех (х, г) не зависят от у.

Поскольку Ну выражается через Ех и Ег , то Ну также не зависит от у.

Э '

Обозначим — = (...) и, предполагая, что компоненты поля гармониче-Эх

ски зависят от г, Ну = Ну (х, г) = Ну (х)в1^г, Ех = Ех (х, г) = Ех (х)вг^г, Ег = Ег (х, г) = Ег (х)вг^г, получаем систему уравнений

іуЕх (х)- Е'г (х) = т^Ну (х); (10)

Н у (х ) = -іюєЕг (х); (11)

іуНу (х) = іюєЕх (х), (12)

из которой следует, что

Ну (х) = І(х(х)- Ег(х)), (13)

здесь у - неизвестный спектральный параметр - постоянная распростране-

ния электромагнитной волны.

Дифференцируя (13) и используя (11) и (12), получим

у(іЕх (х)) - Е"г (х) = ю2єцЕг (х);

У2 (Ех (х))- УЕ'г (х) = ю2єц(іЕх (х)).

(14)

2 2

Вводя обозначения к =Ю це0 с Ц = и выполняя нормировку в со-

ответствии с формулами

-7 й , й _ У _ є у _ а

хе = кх, — = к—, у = —, є у = — (у = 1, 2, 3), а = —

йх йх к

(15)

е0 е0

мы переобозначаем Ег = 2 (X) и 1ЕХ = X (X).

Опуская значок тильды, систему (14) в нормализованной форме запишем в виде

й^ йХ ^

- + у— = є2;

йх2

йх

й% V є

--------+ уХ =- X.

йх У

(16)

Будем искать действительные решения X, X для системы (16), полагая у действительным (так что |е| 2 не зависит от г), где

є =

х< 0,

Є2 + а^Х + 2 | , 0<х<Н, Є3, х > Н.

(17)

2. Решение системы дифференциальных уравнений

Для е = е! в полупространстве х < 0 получаем общее решение

Х

(х) = Аехр ^х^У2 -Є, );

Уу 2 -є1

У

А ехр I х-

*л/у2 -Є1 ),

(18)

где принято во внимание условие на бесконечности, из которого, в частности, 2

следует, что у >Ё! .

Для е = ез в полупространстве х > к имеем

X (х) = В ехр[ -(х - Н)&

-є.

2 (х) = ^^У-—3 В ехр Г-(х-Н )у2 -є3 |,

(19)

2

где у >£3 в соответствии с условием на бесконечности. В (18) и (19) константы А и В будут определяться граничными условиями.

Внутри слоя 0 < X < к система (16) принимает вид

й2 г йХ I / 2

, + у =(е2 + „(Х2 + 22 ))2;

йх 2 йх ' ■’ (20)

IX+1Х = :у(£2 + о (Х 2 + 2 2 „ Х.

Дифференцируя второе уравнение системы (20), можно привести систему (20) к виду

(2 + 3аХ 2 + аг2) =

= —(е2-у2 + а(2 + г2)X2 + у(е2 + а(х2 + г2) г; (21)

- f=тЬ-т 2+а (Х 2+2 2 п) Х-

Деля первое уравнение системы (21) на второе, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

-Х 2 + 3аХ 2 + аг 2 )— = 2аХ2 + у2-------------------2 ' -—. (22)

^ 2 ^ ^-у2 + а( Х2 + 72\ Х '

г-2 )Х =0_ , у 2 £2 + а (Х 2 + 2 2 П

£2-у2 + а (х 2 + 22)

Введем новые переменные

^ = -2(£2 + а22), т = -2аХ2 + к (23)

Из(23)следует, что

И -1 = ХйХ. (24)

й\ 2 й2

Принимая во внимание (23) и (24), уравнение (22) запишется в виде

(2х-3« = ^^. (25)

1 -х й х

Уравнение (25) является уравнением в полных дифференциалах, и его общее решение легко выписывается:

где С1 - константа интегрирования.

Первое уравнение системы (21) запишется таким образом: sign (х ( x )Z (x ))sign (y)x( 2-x) =

_ x3 - 3x2 + C1 dx (27)

Vx2 -Y2(C1 + 3x2 -2x3)-2x(2-x)e2 dx Интегрируя систему равнений (26) и (27), получаем

x x3 - 3x2 + C

(x) = [-------- 1 d x = ±(x + C2); (28)

J / „ч / ? „ ?/„ „ 2 „ 3\ „ ч

а|т| =

‘ т(т-

(т- 2)т2 - Q^y2 (сі і Зт2 - 2т3)- 2т(2 - т)є2

, = Q + 3x2 - 2x3 ; (29)

C 2x(2-x) ; ( 9)

l(x ) = -2 (e2 + aZ 2 (x)); (30)

x(x ) = -2 (e2 + a (x 2 (x) + Z 2 (x)). (31)

Выбор знака «+» или «-», константы C2 и нижнего предела x в интеграле в формуле (28) будет обсуждаться в следующем параграфе.

Интеграл (28) называется гиперэллиптическим, или абелевым интегралом [6].

Для того чтобы удовлетворить условиям на бесконечности и получить линейный случай (при a = 0 ), мы полагаем, что

1 <£ <Y2 <£2, (32)

где £ = max{£1, £3} .

3. Граничные условия и дисперсионное уравнение

Граничные условия в данной задаче имеют вид:

Z( h) = Ez (h + 0) = E(h); (33)

Z(0) = Ez (0 - 0) = eZo) ; (34)

YX ( h) - Z'(h) = i(o^Hy ( h + 0) = H^1); (35)

YX( 0)- Z'(0 ) = iro|iHy ( 0 ) = hJ°), (36)

где константа E( h) известна, и тогда

H(yh) = -E( h) £3 ; (37)

у i 2

a/

у -єз

З9

Н( 0)--Е(0) £і

Ну - Ег Р2-----

V— -£1

В соответствии с (10), (11) и (17) (і = 2)

-Т'(х) + —Х ( х)- —(£2 + а( X 2 ( х) + Т 2 ( х )) Х(х). Комбинируя (28)-(31), (33), (34) и (39), получаем

1

£2 + а(Е{Н))

- Сх + 3т2 ( Н)- 2т3 ( Н) _

- 2т( Н) ( 2-т( Н)) ’

(£2 + а(X2 ( Н) + Т2 (х))Х(Н) - яУН) ,

где

Н( Н) Х(Н)-- у

ут( Н)

Решая (40) и (41) относительно Х(Н), получаем

2

£2 + а(ЕіН)) —Н( Н)

X 3 ( Н) +------------------------------------'-Х( Н)-- 0.

Величина

£2 + а(Е{Н))

неотрицательна и, следовательно,

(43) имеет только один действительный корень Х( Н )-

—НуН) + 1 1 Г ^ + (е(н ))2 ] 3 1 + — Л Г1 Л2( нуН ))2

2а ^ 27 V а 4 V а у 1 у /

V )

л!3

—нУн ) 1 Г^3 + е(н ))2 Л 3 1 + — Л Г1 Л2 ( н ))2

2а ^ 27 V а 4 V а) 1 у /

V )

л!3

Таким образом,

нУн) т(Н)-- у

—Х( Н)

Подставляя т(Н), в соответствии с (45) в (40), получаем

Сі -■

2т(Н)( 2 — т(Н)) £2 + а(Е

( Н)

■ + 2т3 ( А)- 3т2 (Н).

У

а

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43) уравнение

+

(44)

(45)

(46)

Н

(0)

Используя (31) для х = 0 и X (0) = —, находим, что

ух(0)

2/п\ „3,

( е(0)) - а

V

У

2т(0)(2-т(0))

Далее, вместе с (36) получаем

д4 + 2Ад3 - (а(2В + 3) + С1 )д2 + 4ЛБд - ЛС1 = 0 ,

где

т

д-т(0), А-^, В --2, т -У

£1

^ т2 2 ’ 2 У У -£1

(47)

(48)

(49)

Поскольку С1 > 0 и С1 Ф 4, уравнение (48) имеет по крайней мере два действительных корня д = д1 и д = д2 таких, что д1 < 0 и д2 > 0 . Тогда т(0) = д2.

Проанализировав решения (18) и (19), видим, что функция X(х)Z(х) в

слое должна (по крайней мере один раз) поменять знак, и знак должен меняться с «-» на «+». Вопрос о выборе знака в формуле (28) является существенным для получения дисперсионного уравнения. Будем предполагать Н таковым (достаточно малым), чтобы знак менялся только один раз в точке х*. Как следует из

й х

(27), знак функции X(х)Z(х) меняется в точке х*, в которой — = 0. Тогда из

йх

(27) также получается, что значение функции х(х*) будет либо ,^С\, либо х* , где х* - вещественный корень уравнения С1 + 3х2 -2х3 -2х(2-х)х0 = 0.

Обозначим / - -

т3 - 3т2 + С1

х(х-2)х2 - С1у/у2 (С1 + 3х2 - 2х3)- 2х(2 -х)е2 В случае только одной перемены знака функции X (х)Z (х) в слое ре-

шение примет вид

[ /ё т - х + С2 ), 0 < х < х0; т(0)

т(Н)

| /ё т - х + С2Н), х0 < х < Н.

(50)

(51)

Из (50), (51) находим, что

х0 --

т(Н) ^

| /ё т + Н т(0)

(52)

ті х

т х

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион Тогда дисперсионные уравнения будут иметь вид

л/С Т(Н)

| /йх- | /йх = Н, х(0) л/сТ

либо

(53)

х* х(Н)

[ /йх- [ /йх = Н . (54)

х(0) х*

Отметим, что эти случаи реализуются при достаточно малых Н.

Таким образом, формулы (50)-(54) дают (вместе с (29)-(31)) решение уравнений в слое, выраженное в квадратурах, а также дисперсионные уравнение для определения постоянных распространения волн у .

4. Предельный переход к случаю линейной среды в слое

Рассмотрим предельный переход при а ^ 0 к случаю линейной среды в слое. Дисперсионное соотношение для линейного случая выглядит следующим образом [7]:

( Ну1 £2 - У2 | =--------------------—

£1

£ 2

Л

£2 -У

>/у2 -£3^

У2 -£1

(55)

£3

Л

£2 -У

Считая а малым параметром, выпишем разложения для х(Н), Ст , х(0) по степеням а. Воспользовавшись (45), находим разложение для х(Н)

Н(Н) х(н)= у

yX (Н)

а=0

Н

(Н) йУ (Н)

йа

yX 2 (Н)

а + О

(56)

а=0 /

= х0 (Н ) + хг (Н )а + О (а2).

Дифференцируя по а выражение (46) и пользуясь значениями

= хт (Н), находим разложение для С :

а=0

Ст = Сю + Сца + О (а2).

(57)

Воспользовавшись уже полученными соотношениями, можно найти разложение х(0), дифференцируя по а выражение (48) как неявную функцию х(0), получаем

с(0) = х0 (0 ) + хг (0)а + О (а2).

(58)

Теперь, для того чтобы получить в явном виде все необходимые разло-

, ,, ёХ(Н)

жения, необходимо найти пределы X (Н) ^ и --------

ёа

. Как нетрудно

а——0

проверить, исходя из выражения (44), эти пределы будут равны

х (и )|

ёХ (И)

а——0

ун(ун) Єз 1

-----— = —у ^

Є2

7(И)

у2 — Єз

ёа

= у

Єз

2 2,2(2 \ 1 у Єз +Є2 (у —Є3)

Є2

а—0 Є2 У — Є3 Є2

(у 2 — Єз)

(59)

(60)

Выражения (59) и (60) можно получить непосредственно из уравнения (43). Теперь уже нетрудно выписать разложения (56), (57) и (58) в окончательном виде:

т(й )=-Є|+

У

ч2 „2

1 (у2 — Єз ) + У 2є2 у2 є2 (у2—єз)

Е(И) )2 а + О (а2);

С =

Є2 Г + 2 Є (у2 — Є3 Н (у2 — Є ) ))2 а + О (а 2);

V I У

4

у Є 2

(у2—Єз)

(61)

(62)

т(0) = % +

(у 2 —Єз ) — Є2 (у2 —Є2 )є2 (у2 —Єі ) + у3Є3

АИ)

2 ' 9/ 2 \ 2/ 2 \ 2 2/ 2 \ (ЕКН ) а + О (а2). (63)

у -2(у -£1 )--1(у -£2) У £2(у -£3) '

Обозначим То = -2. Пусть точкой перемены знака будет уС. Вос-у2

пользуемся теоремой о среднем значении интеграла и перейдем к пределу при а ^ 0 в выражении (51), получим

И =

2^1 Є2 —у 2

у1С

I

-ё т —

— т

т(и)

I С11а 2т2 —2т0

ёт

-+т0 —т

(64)

г

Л

Обозначим /1 =

+То-Т

Тогда (64) примет вид

'2т0 - 2т0

/

Н = •

^Т-2 -У1

Но интегралы в (65) можно вычислить аналитически и (65) примет вид

'лС Т(Н) >

| /1ё Т- | /1ё Т ,40) ТС у

ТС т( н) >

[ /1ё Т- [ /1ё Т

т( 0) тс _

(65)

н=-

2^-2 -У1

2у[-2 -У1

2т V С1 Т0

Сца

- агееоз-

2т0 (Т0 -1)

Сца

2т0 (Т0 -1)

+ Т0 - V С1

уС

+ (66)

<0)

2т V С1 Т0

Сца

агееоз-

2т0(Т0 -1)

Сца

2т0(Т0 -1)

+т0 -4С1

ТС

Переходя к пределу, будем иметь

Г4С т(н) >

Н = -

1

2у1-2 -У9

2>/-2 -У2

(-1) + ;

I /1 - I /1

т(0) ТС ,

2Т1 (0 )-

С11 Си

- агееоз (-11 + агееоз

2т0 2т0 (Т0 -1)

С11 С11

2т0(Т0 -1) 2т0

+ (67)

2Т1 «-С1- С‘‘

агееоз

2т0 2т0 (Т0 -1) С11 -

2т0(Т0 -1)0 2т0

- агееоз

(-1)

или

С11 ___________Сп

2Т1 (0)-- , ч

I 2 2т0 2т0 (т0 -1)

2Ы £2 - У2 = -л + агееоз-------------------—0--------^

С11 -

2т0(Т0 -1) 2т0

1

+

2T1 (h )_^ _

C11 ___________Cl

, 2x0 2x0 (X0 -1)

+ arccos--------—---------4-----(68)

C11 - ^11

2х0(X0 -1) 2х0

Из (68), подставляя найденные выше выражения для Сц, Xi (0) и Xi (h), приходим к выражению (55).

Аналогично можно показать, что если перемена знака происходит при значении функции х(л*) = X*, то мы придем также к выражению (55).

Таким образом, если внутри слоя происходит лишь одна перемена знака, то дисперсионное уравнение для нелинейной задачи переходит в дисперсионное уравнение линейной задачи с помощью формального предельного перехода при а ^ 0.

Заключение

Настоящая статья посвящена изучению распространения ТМ-поляризо-ванных электромагнитных волн в нелинейном диэлектрическом слое. При определенных предположениях относительно толщины нелинейного слоя получено дисперсионное уравнение для определения постоянных распространения волн, а также решение задачи, выраженное в квадратурах. Проведено сравнение со случаем линейной среды в слое.

Список литературы

1. Eleonskii P. N., Oganes’yants L. G., Silin V. P. // Soviet Physics Jetp. -1972. - V. 35. - № 1. - P. 44-47.

2. Schurmann, H. W. Reflection and transmission of a plane TE-wave at a lossless nonlinear dielectric film / H. W. Schurmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // Physica D 158. - 2001. - Р. 197-215.

3. Leung K. M. // Physical Review B. - 1985. - V. 32. - № 8. - P. 5093-5101.

4. Joseph R. I., Christodoulides D. N. // Optics Letters. - 1987. - V. 12. - № 10. -P. 826-828.

5. Leung K. M., Lin R. L. // Physical Review B. - 1991. - V. 44. - № 10. -P. 5007-5012.

6. Маркушевич, А. И. Введение в классическую теорию абелевых функций / А. И. Маркушевич. - М. : Наука, 1979.

7. Snyder, A. and Love, J. Optical Waveguide Theory, Chapman and Hall. - L., 1983.