CC BY
37
УДК 517.6
Д. В. Валовик
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ ТМ-ВОЛН НА НЕЛИНЕЙНОМ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ СЛОЕ
В статье изучается задача дифракции ТМ-поляризованных электромагнитных волн на двух однородных изотропных немагнитных полубесконечных слоях. Один слой содержит линейную среду, другой - нелинейную. Нелинейность в слое выражается законом Керра. Проблема сводится к нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Получено аналитическое решение краевой задачи, описывающей распространение электромагнитных волн.
Изучение задач, связанных с процессами распространения электромагнитных волн в нелинейных средах, активно ведется несколько последних десятилетий. Для случая двух полупространств в [1] получено дисперсионное соотношение и формально выписано решение в виде интеграла, но граничная задача не решена полностью. Дисперсионное соотношение получено в [1] и для более общего случая, а именно для анизотропного полупространства. В работах [2, 3] предлагается другой подход к изучению ТМ-поляризованных электромагнитных волн. В данной работе (как и в работе [1]) предлагается выражать решение задачи через электрические компоненты электромагнитного поля, в [2, 3] предлагалось выразить значение электрических компонент через значение магнитной компоненты. В работах [1-3] представлена также обширная библиография и содержатся численные результаты.
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу о распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн. Пусть все трехмерное пространство Я3 разделено на два полупространства Я и Я2. Я заполнено изотропной средой без источников с постоянной диэлектрической проницаемостью 81. Диэлектрическая
проницаемость 8 2 внутри пространства Я определяется по закону Керра:
где а и 82 - вещественные положительные константы, здесь 82 - постоянная составляющая проницаемости; а - коэффициент нелинейности.
Требуется отыскать волны, проходящие через указанное полупространство. Электромагнитное поле Е, Н удовлетворяет системе уравнений Максвелла:
условиям непрерывности касательных составляющих поля Нт и Ет при переходе через границу слоя и условиям затухания поля на бесконечности.
гоН = -тгЕ ; гоїЕ = т^Н,
(1)
(2)
В случае ТМ-поляризации предположим, что Е = \_ЕХ ,0, Ег},
Н = {0, Ну, 0}. Причем каждая из составляющих компонент поля Е и Н
зависит от трех пространственных переменных. В результате уравнения (1), (2) приведутся к виду
ЭЕ,
ду
= 0;
дЕх -дЕ^ = 1(й^Ну ;
ді дх
дЕх
ду
0;
дН
—у = гюеЕг;
ді х
дН
—- - тгЕ7. дх
(3)
(4)
(5)
(6) (7)
Из (3) и (5) следует, что Ег = Ег (х, у, і) и Ех = Ех(х, у, і) не зависят от у . Так как Ну выражается через Ех и Е1, то Ну тоже не зависит от у .
д '
Введем обозначение — = (...) , также будем считать, что компоненты дх
поля гармонически зависят от і, т.е., Ну = Ну (х)вг^ , Ех = Ех(х)в1^ , Ег = Ег (х) в1^г, тогда получим следующую систему:
їуЕх (х)- Е^(х) = гюцНу (х); < Ну (х) = -гюєЕг (х); гуНу (х) = гюєЕх (х).
(8)
Откуда находим
Ну (х ) = — (Ех (х )- Еі(х ^
гю|и
(9)
или
Ну (х (х ).
у
Тогда получаем
Н у(х )=—(Ех(х)- Еі(х)),
гю|и
(9, а)
(11)
и система (8) переходит в следующую
/
у(г’ЕХ(х)) -Е"г(х) = ю2цеЕг(х);
У2 (Ех (Х))- УЕ^ (Х) = ю2^8(г'Ех (Х)).
Далее введем следующие обозначения: 1ЕХ(х)= X(х)= X ,
Е^_ (х) = Т(х) = Т , Ну (х) = Н (х)= Н , ю2^8 = к2ег- для I = 1, 2, причем бу-
-г/ “у
дем считать X и Т вещественными функциями
ег
lє1,
| Є2 + я|е| = Є2 + а(х + Х
і = 1, ), ) = 2.
Теперь система (11) запишется так:
й 2Х йХ , 2_ ^
----Т + Ч~Т = к ,
йх2 йх
йХ „ к2 _ ^
--------+ уХ =—егХ,
йх у
для і = 1, 2 .
(12)
(13)
2. Решение системы дифференциальных уравнений
Рассмотрим сначала линейный случай, отвечающий полупростран-
3 ^
ству Я со значением диэлектрической проницаемости 8 = 8! = 8^. В этом
случае
й2 2 + йХ о „
------у + У— = к ;
йх2 йх
йХ к 2е1
------+ уХ =----------1X.
йх у
Продифференцировав второе уравнение системы (14), получим й 2Т йХ к \ йХ
—т+У' _ 1
(14)
йх
йх у йх
(15)
далее после простых преобразований остается решить следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:
Х "-(у2 - к 2е1 )х = 0.
(16)
Общим решением уравнения (16) будет
X (х) = с1 ехр[ у2 - к2е1 ] + с2 ехр[ - у2 - к 2е1 ],
тогда общим решением системы (14) будут следующие функции:
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион X (х) = q exp^xyjу2 - к2£j j + c2 exp^-xyjy2 - k2£j j;
Z(x) = д/y2 -k2£i qexp^x^/Y2 - k2єг j -c2exp^-x^y2 - k2
є1
(17)
и из (9,а)
H (x )=-
іЮЄі
Y
ел/Y2 -k\ 1-------' -'■■2 ’-2-
qexpl xv y - k є1 I + c2expl - xv y - k є
- x^Y2 - k 2єі
(18)
Теперь рассмотрим полупространство Я , где диэлектрическая проницаемость 8 имеет вид
22
Тогда система (13) примет вид d 2 Z dX
є = є-? = є-? + а(х + Z ).
(19)
- + Y-
dx2 ‘ ^
- — + yX =1 (є 2 + а ( 2 + Z2 )) X, dx Y' ' ''
(є 2 + а ( 2 + Z2)) Z;
(20)
где
~ ,2 ~ 7 2
є2 = k є 2, а = k а.
(21)
Дифференцируя второе уравнение системы (20) и подставляя результат в первое уравнение этой же системы, получаем следующую систему:
X'(є2 + 3аХ 2 + аХ2 ) =
—(е2 - у2 + а(2 + Х2)X2 + у(е2 + а(2 + Х2) ^; (22)
-Х' = (е2 -у2 + а(2 + Х2)X,
Y
„ . 1
Y
вводя обозначение
~2 2
k = є-y
(23)
и деля первое уравнение системы (22) на второе уравнение этой же системы, получаем
-(з ((2 + а ( 2 + Z 2 )- 2 (k 2 + aZ 2 ) + Y2) =
I dZ
= 2 aXZ + y 2 Z + Z
X Xk2 + aX 2 + aZ2
4
Используя замену переменных
т = ~Х 2 + £ , £ = аТ2 + ~2, (25)
получаем
отсюда
йт = 2аХйХ + й4 , й4 = 2а7ЛХ ; (26)
X йХ йт
------= —г— 1, (27)
г йг й^
приведем уравнение (24) к виду
(^-3т2 - у2т) йт + (2 - у4 )й^ = 0 . (28)
Нетрудно убедиться, что уравнение (28) представляет собой уравнение в полных дифференциалах, его решение можно записать в виде
к 2т3 + у2т2 + 2с3
4 = 2(2-Ї 4 ) (29)
Ясно, что Ех(х)х = 0 и Еі (х) = 0 , и при х ^ ~
т = ~2, 4 = ~2. (30)
Тогда из уравнения (29) получаем, что
,4~2 „,2а 4
2с3 = -2у к2 -у2к*, (31)
и уравнение (29) принимает следующий вид:
2т3 +у2т2 -2у4а2-у2а4
4 =-------------------------------------------------------' Л, 'л -• (32)
(г17?!
2^т -у
Используя формулы (25), второе уравнение системы (22) можно записать так
4 = — т^Ц-т . (33)
Используя уравнение (32), уравнение (33) можно привести к виду
т3 - 3у4т - у6 + 2у4~2 + у2~4 1 йт = . (34)
(т2 -У4й_к2й д/(т + Е2 + 2у2|2т2 + у2т + у2~2) йх
Решение уравнения (34) можно выразить с помощью эллиптических интегралов:
1 д/(4т + у)2-у2 (2-8к
,2 ..2
.2 о~2
^4~2 + 7у2 +Уд/у2 - 8~2 л/2т2 + у2т + У2~‘
,2 , /.,2 о~2 д/2т2 + у2т + у2~2
X
- Р
а, ■
2^(а, 8)- P1 в 4
а,
4Е 2 + у2
,8
4.
где F1(z, k)= |-
8( 2 + у2 й?
,8
+ Р
а,
в
= -¡х + С4 ,
(35)
ч,
рода; Р-^г, п, к )= |-
1 - пГ
!)1-< Ч
4 к + 3у
эллиптический интеграл Лежандра первого эллиптический интеграл Лежан-
1 - к 2?2
дра третьего рода [4]; а =
Гв
^4~2 + 7у2 + уд/у2 - 8Р
2д/ т + к 2 + 2у2
■#
, в = 4~2 + 7у2 -уд/у2 - 8~2 ,
8 =
Пусть граница раздела сред находится в точке х = 0. Тогда для полу-3
пространства из (17) и (18) получаем
X(0) = С1 + С2 ,
Т(0) = "у/у2 - к281 (С1 - С2 й,
Н (0)= - ' 1 (С1 + С2 й.
У
(36)
(37)
(38)
Компонента Ег, а значит и г, должна быть непрерывна на границе раздела сред, т.е.
Ег (х |Х=-0 = Е (х й
/1х=+0'
Во втором полупространстве Я , используя (25) и (37), получим
4(0) = (0))2 + ~2.
(39)
(40)
Теперь, воспользовавшись (32) и (40), можно выразить т(0) в общем случае по формулам Кардано как корень кубического уравнения (32). Получаем
т1(0) = т1 =1
8 +
Еег!
+ 24-у2
т2 (0)=т2 =-12
8 +
-45+ 2у2 -'■£
; (41)
0
8
8
8
т3 (о)=тз
12
g
g
V
У
где
4 = 4(о), g = 3 gi + ,
g1 = -102у44 + 108у4Іс2 + 54y2k4 + 8^3 -12y2^2 -y6 , g2 = -48y4^4 + 72y643 + 288y842 + 6y10^ + 48y4k2^3 --72y6k242 - 306y6k44 - 612Y8k24 + 24y2k4^3 - 36y4k442 + 321y8k4 + +324y6k6 - 6Y10k2 + 81y4£8 .
1. Joseph R. I., Christodoulides D. N. // Optics Letters. - 1987. - V. 12. - № 10. -P. 826-828.
2. Leung K. M. // Physical Review B. - 1985. - V. 32. - № 8. - P. 5093-5101.
3. Leung K. M., Lin R. L. // Physical Review B. - 1991. - V. 44. - № 10. -P. 5007-5012.
4. Уиттекер, Э. Т. Курс современного анализа / Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон. -М. : Физматгиз, 1963. - Часть вторая : Трансцендентные функции. - С. 408.
Теперь, выбирая из (41) подходящее т(о) и подставляя его в (35), нахо дим выражение для С4 .
Список литературы
