О существовании решений нелинейной краевой задачи на собственные значения для ТМ-поляризованных электромагнитных волн Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.6

Д. В. Валовик

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ТМ-ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН1

Статья посвящена доказательству существования решений нелинейной краевой задачи на собственные значения для ТМ-поляризованных электромагнитных волн, распространяющихся в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра.

Введение

Изучение задач распространения электромагнитных волн в нелинейных средах актуально в связи с тем, что эти явления находят широкое применение в физике плазмы, в современной микроэлектронике, в оптике, в лазерной технике. Кроме того, они представляют и самостоятельный математический интерес, поскольку такие задачи являются нелинейными краевыми задачами на собственные значения, общих методов решения которых в настоящее время не разработано, поэтому всякий прогресс в аналитическом исследовании подобных задач представляет несомненную важность. Данное направление было и является предметом исследования многих авторов (В. П. Силин, П. Н. Елеонский, K. M. Leung, H. W. Shurmann, В. С. Серов, Ю. В. Шестопа-лов, Ю. Г. Смирнов).

1 Постановка задачи

Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой с нелинейностью типа Керра, расположенный между двумя полубесконечными полупространствами х < 0 и х > h в декартовой системе координат Oxyz . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость £i > ео и ез > ео соответственно, где £о - диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду Ц = ^о, где ^о - магнитная проницаемость вакуума.

Электрическое поле гармонически зависит от времени t:

E(х, y, z, t) = E+(x, y, z)cosrot + E-(x, y, z)sinrot,

удовлетворяет уравнениям Максвелла

rotH = -z'roeE,

(1)

rotE = zro^H,

где E(x, y, z) = E+(x, y, z) + iE-(x, y, z) и H(x, y, z) есть комплексные амплитуды. Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается законом Керра е = Ё2 + a|£j2, где а и е2 > max£3) - положительные константы.

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № об-о7-89об3а.

86

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве. Временной множитель везде ниже опущен.

Электромагнитное поле Е, Н удовлетворяет уравнениям Максвелла (1), условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред х = 0 , х = Н и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |х| в областях

х < 0 и х > Н .

Рассмотрим ТМ-поляризованные волны Е = {Ех,0, Ег} ,Н = {0, Ну,0} . Предполагая, что компоненты поля гармонически зависят от г, Ну = Ну (х)вг^г , Ех = Ех (х)вг^г , Ег = Ег (х)вг^г , из (1) получаем систему уравнений [1-3]

у(г'Ех (х)) - К(х) = ю2фЕг (х); у2 (Ех (х))- чК (х)=“V (( (х)),

где у - неизвестный спектральный параметр - постоянная распространения

2 2

электромагнитной волны. Введем обозначения к =ю цё0 с Ц = ^0 и выполним нормировку в соответствии с формулами х = кх, — = к—, у = —,

йх йх к

£ ; =

']

(j = 1, 2, 3), а = — . Переобозначаем Ez = Z(x), iEx = X (X) и, опус-

ео ео

кая значок тильды, систему (2) приведем к виду

d2Z dX ^

—г+^~r=£Z;

dx dx (3)

dZ v е v

-----+ yX =-X.

dx у

Будем искать действительные решения X ^), Z xx) для системы (3), полагая у действительным (так что |e| 2 не зависит от z), где

£1, x < о;

е = <£2 + a^X2 + Z2 )<x <h; (4)

£3, x > h.

Также будем полагать, что функции X ^), Z ^) дифференцируемы в слое так, что X^)е Cx-^о] C[о; h]n[h; +^)n C1 x-^о)n C1 (о; h)п nC1 (h; + ~) и Zxx)е C{-«>; + <~)n C2 x~~; о) n C2 X0; h) n C2 xh; + ~).

Будем искать такие у, что max x£1, £3) < у2 < £2 .

Подробный вывод уравнений (3) из уравнений (1) представлен в [2, 3].

2 Решение системы дифференциальных уравнений

Для е = Ё1 в полупространстве х < 0 получаем общее решение:

(х) = Аехр^Хд/у2 -е: |;

(5)

У -£1

А ехр [ х-\!'

/У -Е1 I■

где принято во внимание условие на бесконечности. Для е = ез в полупространстве х > Н имеем

X (х) = В ехр ^-(х - Н )д/у2 -е3 ^;

2 (х) = -^ - - В ехр Г-(х -Н )у2 -Ез

(6)

в соответствии с условием на бесконечности. В (5) и (6) константы А и В будут определяться граничными условиями.

Внутри слоя 0 < х < Н система (3) принимает вид

й 22 йХ йх2 4 йх

:(е 2 + а ( 2 + 22)) 2;

- — + уХ =1 (е2 + а ( 2 + 22X X.

йх у\ ' Ч

Систему (7) можно привести к виду

йх і 2а( е2 - у + а| X + 2 )X +у (Е2 + а| X +.

(7)

йх у

Є2 + ЗаХ 2 + а22

2;

(8)

йх = -;^(е2-у2 + а (х 2 + 2 2))х.

Известно (см., например, [6, 7]), что система (8) допускает алгебраический первый интеграл, который имеет вид

2

а2 + Є2 =

у6С1 + Зу2 (е2 + а(2 + 22))2 - 2(е2 + а(2 + 22)3

(е2 + а (х 2 + 22 ))(2у2-(е2 + а(

X 2 + 22

(9)

Введем новые переменные: т(х ) =

Е2 + а (х (х ))2 + (х (х ))2

У'

/ \ Х (хХ / \

■ п(х х=у адх(х х'

обозначим х0 = е2/У2 • Тогда

2 = У2 П2(т-т0) 72 = У4 т2 (т-т0)

/ї ^22 а п +У т

а 2,22’

а п +У т

(11)

система (8) и уравнение (9) в этих переменных примут вид

Т2п(т-Т0 )(2-т)

- = 2у 2—г х ,

йх т(п2 + у2 т21 + 2п2 (т-То)

й п У2 т2 +П2 (т-1); йх т

(12)

п2 =

У 2т2 (т2 - С,)

С + 3т - 2т - 2т(2 -т)то

(13)

Уравнение (13) есть алгебраическое уравнение четвертой степени относительно т. Его решение т = т(п) может быть выписано явно по формулам Кардано-Феррари [4].

3 Граничные условия и дисперсионное уравнение

Для того чтобы выписать дисперсионное уравнение для постоянных распространения электромагнитных волн, необходимо найти значенияп(0), п(Н).

Из непрерывности касательных составляющих полей Е и Н получаем

г(Н) = Ег (Н + 0) = Е(Н); 2(0) = Ег (0- 0) = Е(0) ; уХ (Н) - 2'(Н) = гюрИу (Н + 0) = и(Н); уХ (0) - 2'(0) = гюрИу (0) = И(0), (14) где константа Е(Н) считается известной, и тогда

Н(() = -Е(()_______—

Пу -

л/у2 -є3

Н(0) = е (0)_____—

,Пу -

л/у 2 -є1

(15) Н(()

Из формул (14) и (15), а также (3) и (4) можно найти, что т (() = ^у( ,

где X(Н) - корень уравнения X3(Н)+

равный

є 2 + а (Е

(()

■X (()-Н

(()

= 0,

х (() =

уН(() + 1 1 í Є2 + е(( ))2 ] 3 1 + л í1 Л2 (Н (())2

2а ^ 27 V а 4 V а у 1 у /

V )

2

і ї Г ^ + Е{Н))2] 3 ї +— Г 2 2

2а ] 27 Vа ^ ч 4 V а )\ 1

V )

л1/3

и Єї =т2 (Н )-

2еЗт(^ )(2-Т(Н ))(Н )-т0 )

е2 + У2 (у2 -е3 )2 (Н)

Если С > 0, то уравнение (13), рассматриваемое как уравнение относительно т(Н), будет иметь положительный корень. Легко показать, что С строго больше нуля.

Известно, что составляющие электромагнитного поля еХ (х) и X (х)

непрерывны на границе раздела сред. Тогда функция п(х) также непрерывна на границе раздела сред в точках х таких, что X (х) Ф 0 . Тогда используя (5) и (6), имеем

п(о ) =

Єї

У2 -Єї

> 0; п(Н ) = -

Є3

< 0.

(16)

/У -ез

Из положительности правой части второго уравнения системы (12) ясно, что функция п(х) монотонно возрастает на интервале (0; Н). Учитывая знаки

выражений (16), получаем, что функция п(х) не может быть дифференцируемой на всем интервале (0; Н), а должна иметь точку разрыва. Пусть это будет

х* е (0; Н). Из (13) ясно, что х* таково, что т* = т(х*) является корнем урав-С1 + з(т*) -2(т*) -2т*(2-т*)т0 = 0. Причем п(х* ±0)^ . Обо/ = /(п)= 2 2—т2 , где т = т(п), выраженное из уравнения

у2 т2 + п2 (т-1)

(13). В общем случае функция п(х) на промежутке [0, Н] имеет несколько точек х0, х^,..., хN , в которых она обращается в бесконечность, причем

П(х0 ± 0) = ± 0) =... = ± 0) = . (17)

Число таких точек конечно для любого Н (см. [3]).

Решения необходимо искать на каждом из отрезков [0, х0 ], [0, х1 ], ..., [XN, Н]. Проделав все необходимые выкладки, получим дисперсионное уравнение в виде

нения

значим

Єї

(18)

Є

Є

где N > 0 и является целым числом, а Т = | /ёп .

—^

Подробный вывод дисперсионного уравнения см. в работе [3].

Формула (18) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого

Н. Надо отметить, что когда N Ф 0, то возникает несколько уравнений при различных значениях N . Необходимо решать относительно у каждое из получающихся уравнений. Все полученные у будут составлять множество постоянных распространения, на которых и только на которых будут распространяться волны в слое при данном Н. На самом деле N будет принимать

, где [•] - целая часть числа.

все целые значения от 0 до

Т

Также необходимо заметить, что | /ёп сходится (см. [3]).

—^

4 Краевая задача и теоремы существования

Условия сопряжения для компонент поля Е дают

И и = °, [єХ и = °, И„0 = °, [2 и = °.

(19)

Будем считать, что функции X (х) и X (х) также удовлетворяют условию

X(х) = О -р-т и 2(х) = О

при X

(20)

Пусть В =

ё 0 '

ёх

0 ё

ёх у

и

Х (х)' 2 (х).

и

где X(х) и X(х) являются искомыми функциями, а 0*1 и 02 являются правыми частями уравнений системы (8). Число у является спектральным

' еХ (х )Л

параметром. Также будем рассматривать вектор-столбец N(х) =

Перепишем задачу, используя введенные обозначения

( е1 X Л

Для полупространства х < 0, е = е^ N =

, получаем

YDF -

F = 0.

(21)

,У -Єі 0 Внутри слоя 0 < х < Н , Є = Є2 + а |е|2 , N =

тема принимает вид

L(F, у) = DF - G(F, y) = 0.

(22)

Для полупространства х > Н , е = е3, N = , получаем

V Х У

ydf

(23)

Условия сопряжения (19) приводят к условиям

[N )] x-0 = 0' [ N (x)] = 0-

(24)

где [f (x)]

x=x0 x—— x0 -0

lim f (x)- lim f (x), что для вектора обозначает пе-

->Х0 -0 x—x0+0

реход к пределу по каждой компоненте вектора.

Сформулируем краевую задачу (задачу сопряжения). Требуется найти ненулевой вектор F и соответствующие собственные значения Y такие, что F удовлетворяет уравнениям (21)-(23) и условиям сопряжения (24). Кроме того, компоненты вектора F удовлетворяют условию (20).

Определение 1. Число У = У0, при котором существует ненулевое решение F задачи (21)-(23) при условиях (20) и (24), будем называть собственным значением задачи. Решение F, которое соответствует собственному значению, будем называть собственным вектором задачи, а компоненты X(х) и X(х) вектора F - собственными функциями.

Замечание. Определение 1 является неклассическим аналогом известного определения характеристического числа линейной оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра [5]. Введенное определение 1 является, с одной стороны, распространением классического определения собственного значения на случай нелинейной оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра, с другой стороны, соответствует физической природе задачи.

Теорема 1. Краевая задача на собственные значения (21)-(23) с условиями (20) и (24) имеет решение - собственное значение, тогда и только тогда, когда это собственное значение является решением дисперсионного уравнения (18).

Доказательство. Достаточность. Очевидно, что, найдя решение у дисперсионного уравнения (18), мы сможем найти функции т(х) и п(х) из системы (12) и первого интеграла (13). Зная функции т(х) и п(х) и пользуясь формулами (11), найдем

Вопрос о выборе знака является существенным, и поэтому остановимся

X

на нем подробнее. Нам известно поведение функции п = ут— : функция п

(25)

Z

является монотонно возрастающей, если x = x* таково, что n(x*) = 0, то

п(х*-0)<0, п(х* + 0)>0, и если x = x** таково, что n(x**) = ±^, то

п(**-0)> 0 и г|( x** + 0) < 0. Других точек перемен знака у функции п

нет. Из краевых условий следует, что Z(h) = EX) (>0). Учтем, что если п> 0, то функции X и Z имеют одинаковые знаки, а если п< 0, то X и Z имеют разные знаки и, помня о том, что X и Z - гладкие функции, выбираем соответствующие знаки в выражениях (25).

Необходимость. Из способа получения дисперсионного уравнения (18) из системы (12) следует, что собственное значение краевой задачи является решением дисперсионного уравнения.

Также необходимо заметить, что собственные функции, отвечающие собственному значению Y0 , легко могут быть найдены численно из системы (8), например, методом Рунге-Кутты.

На основе полученных результатов сформулируем теоремы о существовании и локализации собственных значений рассматриваемой краевой задачи. Пусть функция J = J (a, у, N) обозначает правую часть дисперсионного уравнения (18). Также отметим, что inf J (a, у, N)> 0, а

Y^(maxX^ Ез) £2)

sup J(, y, N)<го для любого целого неотрицательного конеч-

Y2^(max(£i, £з) £2)

ного N , более того, из самого вида дисперсионного уравнения следует, что при уменьшении N значения нижней и верхней грани уменьшаются, а при увеличении N - увеличиваются.

Теорема 2. Пусть

h(0) = inf J (а, Y, 0), h(0) = sup J (a, Y, 0).

Y2e(max(£i, £3), £2) y2e(max(£1, Е3), e2)

Тогда для любого h e|hj0), h-(0)) существует по крайней мере одно

собственное значение задачи (21)-(23) при условиях (20) и (24).

Теорема 3. Пусть

h(k)= inf J (a, y, k), )= sup J (a, Y, к),

Y2e(max(£1, £з), £2) y2e(max(£1, £3), £2)

и пусть hе (h|k), h(k) ) для всех к = 0, N .

Тогда существует по крайней мере N +1 собственных значений задачи (21)-(23) при условиях (20) и (24).

Теорема 4. Пусть

)= inf J (a, Y, к), h(k)= sup J (a, y, к),

Y2e(max(£1, £3), £2) Y2e(max(£1, £3), £2)

и h таково, что найдутся такие i и j, что ^) < h , а h-(i+1) > h и j) < h , а h|j+1) > h.

Тогда существует по крайней мере j - i собственных значений задачи (21)-(23) при условиях (20) и (24).

Теорема 4 требует некоторых пояснений. Поскольку нижняя и верхняя грань исследуемой функции конечны, то ясно, что если для какого-то j нижняя грань больше h , то для больших номеров j она тем более больше h , и дисперсионное уравнение не имеет решений. Также, если для какого-то i верхняя грань меньше h , то для всех меньших номеров i она тем более меньше h, таким образом и в этом случае дисперсионное уравнение не имеет решений.

Список литературы

1. Eleonskii, P. N. Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oga-nes’yants, V. P. Silin // Soviet Physics Jetp. - 1972. - V. 35. - № 1. - P. 44-47.

2. Валовик, Д. В. Распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2007. - № 3. - С. 35-45.

3. Валовик, Д. В. Распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном анизотропном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2007. - № 4. - С. 51-59.

4. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1968. - 720 с.

5. Гохберг, И. Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн. - М. : Наука, 1965.