CC BY
25
»
Экономико-математические методы и модели
УДК 330.4
М.З. Берколайко, Р.Ю. Лавлинский
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЛОКАЛЬНО-СТАЦИОНАРНЫХ УЧАСТКОВ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ДОХОДНОСТЕЙ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ
Сегодня в научной литературе приводится все больше свидетельств в пользу того, что финансовые ряды не обладают свойством стационарности [4, 5]. Данный факт, в свою очередь, указывает на неприменимость классических моделей прогнозирования статистических свойств ценных бумаг. На основании этого можно сделать вывод о необходимости дальнейшего углубленного исследования характеристик рядов доходностей финансовых инструментов.
В результате проведенного анализа авторы данной статьи обнаружили, что, не являясь стационарными в глобальном смысле, финансовые ряды могут быть описаны как стационарные локально.
Определение. Случайный процесс является локально-стационарным на отрезке, если функция распределения процесса является неизменной в рамках данного отрезка.
Для локально-стационарных процессов применимы стандартные статистические методы прогнозирования, но при условии, что периоды стационарности достаточно длинны. В целях определения периодов локальной стационарности нами использована следующая методика: весь массив данных был разбивался на непересекающиеся отрезки длинной п точек. Первоначальный объект исследования - степень совпадения эмпирических распределений данных, построенных на соседних парных отрезках. В случае, если согласно выбранному критерию гипотеза об идентичности распределений подтверждается, отрезки сливаются в один и дальнейшее сравнение происходит на базе полученного объединенного отрезка, представляющего собой зону стационарности данных, и отрезка
со следующим порядковым номером. Если гипотеза отвергается, то процедура начинается сначала.
В качестве инструмента исследования эмпирических распределений нами выбраны два критерия согласия: двухвыборочный критерий Андерсена и критерий Барнетта - Эйсона [3]. В качестве нулевой гипотезы принято следующее утверждение: обе выборки являются реализацией одного и того же случайного процесса.
Следует заметить, что на практике при исследовании локальной стационарности перед исследователем возникает проблема - какого размера эффект стоит считать нарушением локальной стационарности. В силу случайности исследуемых процессов мы не можем ожидать абсолютной идентичности эмпирических функций распределения, восстановленных по двум частям стационарного участка. С другой стороны, из-за ограниченности временных периодов стационарности мы не всегда можем взять достаточно большие отрезки, для того чтобы данный эффект был гарантированно меньше некоторой заданной величины для идентичных распределений. С учетом описанных ограничений для проведения тестов выбраны следующие параметры статистик: в качестве уровня значимости взят уровень а = 0,2, в качестве желаемого уровня мощности критерия в = 0,8. Выбранный уровень мощности фактически определяет минимальный размер отрезков ряда (в данном случае в качестве минимального размера мы можем использовать отрезки длиной 52 точки и более).
Для исследования зон стационарности отобраны следующие инструменты: индекс РТС,
4
^ЭономикО-Математические^методЫи.модеЛи.^.
индекс Bovespa (Бразилия), индекс BSE (Индия), индекс Hang-Seng, Индекс Nikkei, индекс Dow, валютная пара евро/доллар, валютная пара доллар/йена, индекс стоимости нефти сорта Brent, индекс стоимости золота. В качестве объекта исследования выступали дневные приращения индексов стоимости данных инструментов. По результатам исследования сформирована следующая таблица:
На основании таблицы можно сделать следующие выводы: во-первых, гипотеза о наличии в рядах приращений инструментов локально-стационарных зон подтвердилась. Отметим, что при этом большую часть времени ряды приращений рыночных цен нестационарны. Во-вторых, не существует какой-то внутренней иерархии по степени стационарности среди отобранных инструментов, учитывающей их принадлежность к разным классам активов. При этом средний период стационарности ряда ненамного превышает минимальный период, установленный нами для проведения теста. Отсюда следует невозможность экстраполяции статистических величин, рассчитанных на стационарных интервалах в будущее; одновременно данный факт снимает необходимость определения точки перехода ряда из стационарности в нестационарность.
Так как данное исследование проводилось на данных с масштабом один день, то сущест-
вует вероятность того, что его результаты верны только для выбранного временного масштаба, но не описывают поведение инструментов на других диапазонах. Для ответа на этот вопрос нами проведено дополнительное исследование.
Для исследования зависимости между масштабом данных и количеством стационарных зон проведен анализ индексов РТС и Доу, а также индекса стоимости нефти сорта Brent на интервалах 1 день, 1 час, 15 минут и 5 минут. Формат анализа следующий: для каждого из выбранных масштабов рассчитаны описанные выше статистики и вычислен процент стационарных интервалов. Исследование показало, что не существует тенденции к снижению или увеличению числа стационарных интервалов при увеличении или уменьшении масштаба. Таким образом, выводы о неприменимости стандартных статистических моделей справедливы для торговых стратегий любых масштабов.
Интересным вопросом является степень связанности зон стационарного поведения для разных инструментов. Наличие такой связи позволило бы нам предположить, что в основе зон стационарного поведения лежит влияние факторов, одинаковых для всех перечисленных рынков. Для более глубокого изучения нами подсчитаны два следующих вида статистики: вероятность того, что для других индексов будет наблюдаться зона стационарности при условии ее наблюдения на текущем инструменте, и наоборот, вероятность наблюдения нестационарной зоны при условии нестационарности инструмента. Результаты исследования приведены также в таблице:
Инструмент Стационарные участки Нестационарные участки
РТС/Доу 0,357 0,66
РТС/Никкей 0,57 0,66
Доу/Никкей 0,5 0,64
Доу/РТС 0,55 0,47
Никкей/РТС 0,66 0,57
Никкей/Доу 0,5 0,78
Инструмент Количество зон стационарности Средняя длительность зоны стационарности (в днях) Продолжительность зон стационарности (в долях от всего ряда)
HangSeng 1 220 0,105718405
Brent 2 156 0,109090909
Dow 5 102 0,213389121
РТС 4 117 0,219512195
Bovespa 4 130 0,250000000
Eur/Usd 6 130 0,278571429
Nikkei 6 104 0,30754066
Gold 7 104 0,318042813
Usd/Jpy 8 117 0,339499456
^Научно-технические ведомости СПбГПУ 6' 2010. Экономические науки
Из приведенных в таблице данных можно сделать следующие выводы: во-первых, степень взаимосвязанности нестационарных зон выше. Действительно, данный факт легко объяснить тем, что нестационарность представляет собой отражение в рыночных данных процессов эволюции мировой финансовой системы. Зоны же совместной стационарности подразумевают одновременное отсутствие возмущения как во всем мире в целом, так и для каждой из стран в частности. Во-вторых, наблюдается некоторая иерархия по степени предикативности положения каждого рынка относительно других площадок. Нестационарность индекса Доу со значительно большей вероятностью ведет к нестационарности других индексов. Такое поведение согласуется также с современным представлением о важности финансового рынка США в мировой экономике.
Установив факт сравнительно небольшой длины зон стационарности рыночных инструментов, мы оставили пока открытым вопрос о степени различия функции распределения. Дело в том, что подобное различие может быть относительно незначительным, например небольшой сдвиг среднего или некоторое увеличение дисперсии. Для определения степени различия функций следует задать некоторую меру их различия.
В качестве подобной меры мы предлагаем использовать показатель, построенный на степени различия вероятностей попадания значений рядов в заранее определенные интервалы. Формализовано это можно представить следующим образом:
(Р - Р )2
у (Р - Р )2
2
где ж - показатель различия (эффекта); Ро1 -вероятность попадания ряда 0 в г-й интервал; Р1,- - вероятность попадания ряда 1 в г-й интервал. Так как используется усреднение по мерам, полученным с использованием значений обоих рядов, данный показатель является симметричным. Очевидно, что чем больше значение данного показателя, тем сильнее отличаются функции распределения сравниваемых процес-
сов. Данный показатель выведен на основе показателя, предложенного Кохеном [9, 10]. Недостаток показателя Кохена - несимметричность оценки: расстояния, измеренные от одного распределения до другого и наоборот, могли не совпадать. Это свойство делало его не очень удобным в применении; предложенный нами показатель устраняет данный недостаток. Относительно ж Кохена существуют следующие рекомендации: уровень 0,1 характеризует небольшое отличие между распределениями; уровень показателя 0,5 - среднее расхождение; 0,8 -распределения очень сильно отличаются друг от друга.
Проиллюстрируем связь между значениями статистик и значением предложенного показателя. Для этого сопоставим значения статистики для выбранного временного периода и значение ж. Возьмем дневные значения приращений индекса РТС и проведем процедуру тестирования с помощью теста Барнетта - Эйсона с доверительным уровнем а = 0,2 и длиной интервала 100 и 50 значений. Затем для выбранных значений статистик на интервалах построим показатель различия распределений ж. В качестве исследуемых значений статистик выберем 1,0052 (соответствующая а = 0,2), 2,366 (а = 0,5), 6,2514 (а = 0,9). Данным уровням соответствуют следующие значения показателя: 0,2; 0,47; 0,75. Таким образом, можно утверждать, что при выбранном доверительном уровне статистика регистрирует различие между распределениями начиная от ж = 0,15, или же, опираясь на сложившуюся практику трактовки показателя ж, различие выше малого. При этом следует отметить, что среднее значение статистики на изучаемых интервалах соответствует уровню ж = = 0,4. Иными словами, различия в распределениях на двух последовательных отрезках при непринятии гипотезы практически всегда достаточно сильны.
Таким образом: хотя финансовые ряды и можно считать локально-стационарными, но периоды этой стационарности достаточно коротки и не позволяют использовать классические методы теории вероятностей. Перспективным направлением исследования является прогнозирование времени появления периодов стационарности и их характеристик.
ы =
Экономико-математические методы и модели
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель - М.: Академия, 2003. - 580 с.
2. Вентцель, Е.С. Теория случайных процессов [Текст] / Е.С. Вентцель - М.: Академия, 1995. - 423 с.
3. Кобзарь, А.И. Прикладная математическая статистика [Текст] / А.И. Кобзарь - М.: Физматлит, 2006. -810 с.
4. Lipka, J. Long-Term Dependence Characteristics of European Stock Indices [Text] / J. Lipka // Working paper. - 2003.
5. Ahamada, I. Non stationarity characteristics of the S\&P500 returns: An approach based on the evolutionary spectral density [Text] / I. Ahamada // Economic bulletin. -Vol. 3, no. 32.
6. Boutahar, M. A Methodology for Detecting Breaks in the Mean and Covariance Structure of Time Series [Text] / M. Boutahar // Working paper. - 2007.
7. Latora, V. Fast detection of nonlinearity in short and noisy time series [Text] / V. Latora // Working paper. -2010.
8. Shreiber, T. Detecting and analyzing nonstationar-ity in a time series with nonlinear cross-prediction [Text] / T. Shreiber // Working paper. - 1999.
9. Cohen, J. Statistical Power Analysis for behavioral sciences [Text] / J. Cohen // Lawrence Erlbaum Publishers. - 1988. - 567 a
10. Cohen, J. Statistical a Power Primer [Text] / J. Cohen // Psychological bulletin. - Vol. 112, no. 1.
УДК 330.15, 330.35, 339.97
Д.В. Ковалевский
ПРОБЛЕМЫ РЕГИОНАЛИЗАЦИИ АГЕНТ-ОРИЕНТИРОВАННЫХ СИСТЕМНО-ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ЭКОНОМИКЕ ИЗМЕНЕНИЙ КЛИМАТА
Проблема антропогенно обусловленных изменений климата принадлежит к числу наиболее острых глобальных проблем, которые предстоит решать мировому сообществу в ближайшем будущем. Одним из измерений такого многопланового явления, как глобальное потепление, является экономический аспект проблемы, привлекающий пристальное внимание все большего числа исследователей. Возникло и интенсивно развивается новое направление экономической теории - экономика изменений климата [9]. В отечественной литературе все активнее дискутируется вопрос о влиянии текущих и ожидаемых изменений климата на различные отрасли национальной экономики [4], в первую очередь, на наиболее климатически уязвимую из них -сельское хозяйство [2, 3].
Одним из мощных инструментов в арсенале экономики изменений климата являются модели совокупной оценки (integrated assessment models) [8-10]. В подобных моделях рассчиты-
вается возможная динамика климатического и социально-экономического компонентов объединенной системы «экономика - климат» в их взаимосвязи. Особый интерес представляют мультирегиональные модели совокупной оценки, в которых мир разбит на несколько взаимодействующих макрорегионов [9]. При этом возможны варианты моделирования как согласованной международной климатической политики, так и конфликта интересов между различными макрорегионами. Процедура регионализации подобных моделей нетривиальна, и результаты моделирования оказываются сильно зависящими от теоретико-экономических и этических предпосылок, из которых исходят их разработчики (см. обсуждение в [8]).
Агент-ориентированные системно-динамические модели совокупной оценки. Разновидностью моделей совокупной оценки являются модели, при разработке которых сочетаются агент-ориентированный и системно-динамический под-
