Статистический анализ персистентных временных рядов (на примере потребления электроэнергии) Текст научной статьи по специальности «Математика»

операции на множестве Б образуют алгебраическую систему: моноид относительно операции сложения, абелеву группу относительно умножения и полукольцо относительно операций сложения и умножения. Это дает возможность

использовать коэффициенты трудности с введенными операциями для построения функций качества и создает надежную операционную основу для построения адекватных экономико-математических моделей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Азгальдов, Г.Г. О квалиметрии [Текст] / Г.Г. Азгальдов, Э.П. Райхман. - М.: Изд-во стандартов, 1972. - 172 с.

2. Каплинский, А.И. Моделирование и алгоритмизация слабоформализованных задач выбора наилучших вариантов системы [Текст] / А.И. Каплинский, И.Б. Руссман, В.М. Умывакин. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990. - 168 с.

3. Леденева, Т.М. О формировании интегральных оценок «трудность достижения цели» [Текст] /

Т.М. Леденева // Вестник факультета ПММ. - 2010. -Вып. 8. - С. 122-140.

4. Баева, Н.Б. Обобщение методов построения интегральных оценок качества на основе теории трудности достижения цели [Текст] / Н.Б. Баева, Е.В. Куркин // Вестник ВГУ. Серия «Системный анализ и информационные технологии». - 2011. - № 1.

5. Общая алгебра [Текст]. Т. 1 / О.В. Мельников, В.Н. Ремесленников, В.А. Романьков и др.; под общ. ред. Л.А. Скорнякова. - М.: Наука, 1990. - 592 с.

УДК 519.86

М.Ю. Кабиняков, Ф.Б. Тебуева

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРСИСТЕНТНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ (НА ПРИМЕРЕ ПОТРЕБЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ)

Для моделирования динамики поведения различных экономических показателей в настоящее время используется широкий спектр математических методов и моделей [1, 2]. В основном это традиционные статистические подходы к прогнозированию, которые базируются на трендах и регрессии и предполагают выполнение условия независимости уровней (наблюдений). Однако условие независимости чаще всего не выполняется в силу того, что, как правило, в поведении экономических показателей наблюдается долговременная память [3]. В качестве эффективного инструментария для моделирования процессов с долговременной памятью зарекомендовали себя современные методы нелинейной динамики [3, 4].

Данная статья посвящена вопросам анализа статистических свойств временного ряда

потребления электроэнергии и определения класса его принадлежности в классификации «хаотические - персистентные - антипер-систентные» [3] временные ряды. Определение класса принадлежности исследуемого временного ряда позволит выбрать адекватный математический аппарат для его моделирования.

Агрегирование временного ряда

Электроэнергия является одним из наиболее значимых продуктов промежуточного потребления страны и составляет весомую долю в затратах практически всех отраслей экономики. Дефицит электроэнергии в отдельных регионах и тем более в стране в целом неизбежно приводит к ограничению экономического роста [5]. Поэтому моделирование динамики электропо-

требления в регионах РФ служит важнейшим элементом планов по долгосрочному развитию секторов экономики.

Предметом исследования является временной ряд объемов ежедневного потребления электроэнергии в Краснодарском крае за период с 1 января 2006 г. по 31 декабря 2010 г. Обозначим его через

Y = (У/), i = 1,1826.

(1)

V = 0.; M

(3)

- коэффициент асимметрии А, т. е. мера «скошенности» значений временного ряда или мера симметричности относительно математического ожидания,

A =

1 п 3 - Z to - M )3

ni = 1_

а3

(4)

Для снижения трудоемкости вычислений предлагается выполнить агрегирование временного ряда Y (1). Агрегирование (aggregation, aggregation problem) - объединение, укрупнение показателей по какому-либо признаку [6]. Указанная процедура применяется для больших массивов данных показателей рассматриваемых процессов.

С математической точки зрения агрегирование рассматривается как преобразование исходной модели в модель с меньшим числом переменных и ограничений, дающую приближенное (по сравнению с исходным) описание изучаемого процесса или объекта. Его сущность -в замене подмножеств однородных элементов более крупными «элементами-агрегатами». Существуют различные способы агрегирования: сложение показателей, представление группы агрегируемых показателей через их среднюю, использование различных взвешивающих коэффициентов, баллов и т. д.

В настоящей работе предлагается ежедневные показатели потребления электроэнергии агрегировать в ежемесячные, используя метод взятия суммарного значения показателя за период агрегирования. В результате проведенного агрегирования из временного ряда Y получим временной ряд объемов ежемесячного потребления:

Y = (yt), i = 160. (2)

В табл. 1 приведены основные статистические показатели временных рядов Y и Y :

- коэффициент вариации V, т. е. мера сглаженности распределения,

- коэффициент эксцесса Е, т. е. мера островершинности или плосковершинности распределения,

E =

1n

1Z (*i - M )4

ni = 1

(5)

Таблица 1

Статистические показатели исходного и агрегированного временных рядов

Статистические показатели Временной ряд

Y Y

V 0,13 0,12

A -0,03 -0,01

E 4,59 4,25

Из данных табл. 1 следует, что применение ежемесячного агрегирования к временным рядам У и У фактически не приводит к заметному изменению основных статистических показателей - значений коэффициентов вариации, асимметрии, эксцесса. Таким образом, можно обоснованно перейти от временного ряда У ежедневных объемов потребления электроэнергии к временному ряду У объемов ежемесячного потребления.

Теоретическое описание методики проведения статистического анализа с целью определения класса принадлежности временного ряда

В анализе временных рядов важен выбор адекватного математического аппарата, который главным образом зависит от общих тенденций во временном ряде и класса его принадлежности. Существуют различные подходы к классификации временных рядов, зависящие от рассматриваемого признака.

4

СТ

В зависимости от характера отображения времени ряды делятся на моментные и интервальные. Моментным временным рядом является такой, уровни которого характеризуют состояние явления на определенные даты (моменты времени). Интервальный (периодический) временной ряд - последовательность, в которой уровень явления относят к результату, накопленному или вновь произведенному за определенный интервал времени.

По числу показателей разделяют одномерные и многомерные временные ряды.

В зависимости от степени определенности значений выделяют детерминированные, случайные, стохастические временные ряды. Если значения членов временного ряда определены какой-либо математической функцией, то временной ряд является детерминированным. Если эти значения могут быть описаны только с помощью распределения вероятностей, то временной ряд называют случайным. Временной ряд процесса, развивающегося во времени согласно законам теории вероятностей, является стохастическим временным рядом.

В зависимости от изменения вероятностных характеристик описываемого процесса временные ряды подразделяются на стационарные и нестационарные. В стационарных временных рядах начальный и центральные моменты не изменяются с течением времени. В нестационарных временных рядах наблюдается заметное изменение начального и центральных моментов.

Здесь мы рассматриваем классификацию временных рядов по признаку наличия долговременной памяти, предложенную Э. Петерсом в работе [3].

В зависимости от наличия долговременной памяти временные ряды делятся на персистент-ные, хаотические, антиперсистентные. В перси-стентных временных рядах наблюдается долговременная память, в хаотических - неопределенность, в антиперсистентных - отсутствие долговременной памяти. Временные ряды с долговременной памятью в научной литературе называются также «временные ряды с долговременными корреляциями» [3, 7].

Идентификационными свойствами для данной классификации временных рядов являются:

10) подчинение (неподчинение) распределения нормальному закону;

20) стационарность (нестационарность);

30) размерность временного ряда.

Для обнаружения первого свойства достаточно вычислить следующие характеристики распределения временного ряда:

- коэффициент вариации по формуле (3);

- коэффициент асимметрии по формуле (4);

- коэффициент эксцесса по формуле (5).

Второе свойство подразумевает вычисление

основных статистических характеристик:

- математического ожидания или среднего значения, центра распределения случайной величины х на числовой оси:

1 п

м = - £ х;

Пг = 1

(6)

- дисперсии или степени рассеивания распределения х относительно математического ожидания м:

О = - £ (х - - 1 . (7)

Пг = 1 ^ т = 1 )

Для обнаружения третьего свойства следует определить размерность временного ряда по формуле

О = 2 - И, (2)

И И( ) 1се(Д(т)/5(т)) где И = И (т) =—————- показатель 1°ё(т /2)

Херста, вычисляемый посредством алгоритма Л/£-анализа [3].

Для определения класса принадлежности временных рядов необходимо поставить числовые соответствия указанным ранее идентификационным свойствам 10-30.

В нормальном законе распределения (свойство 10) вычисленные идентификационные характеристики имеют следующие соответствия:

V = 3, А = 0, Е = 3.

(9)

Допустимый предел изменения этих характеристик 5 %.

В стационарных (нестационарных) процессах (свойство 20) изменение математического ожидания и дисперсии вычисляется по формулам

М(/) - М(/ -1)

АМ (/) = ^---^ 100 %,

М (г -1)

|Д/) - Д/ -1)1 АД/) = ■!——--—100 %,

^ Д/ -1) '

(10)

где г - порядковый номер интервала разбиения временного ряда. Условия стационарности при этом следующие:

АМ(/) < 5 %, АД/) < 5 %.

(11)

Размерность (свойство 30) временного ряда принимает значения в интервале

П {X )е (1,2).

(12)

В табл. 2 приведены наименования классов и соответствующие им условия.

Таблица 2 Идентификационные свойства временных рядов

Название классов временных рядов Идентификационные свойства

Персистентные (наличие долговременной памяти) 1. Неподчинение нормальному закону распределения. 2. Нестационарность. 3. ДХ е(1; 1,4)

Хаотические (отсутствие памяти) 1. Подчинение нормальному закону распределения. 2. Стационарность. 3. ДХ е[1,4; 1,6)

Антиперсистентные (наличие кратковременной памяти) 1. Неподчинение нормальному закону распределения. 2. Нестационарность. 3. ДХ е[1,6;2)

Приведенные в табл. 1 данные представляют собой основу для алгоритмического подхода к классификации временных рядов и выбора модели для их прогнозирования.

Расчеты статистических показателей и интерпретация результатов

Рассчитаем идентификационные показатели для агрегированного временного ряда У по указанным выше трем свойствам: подчинение (неподчинение) распределения нормальному закону, стационарность (нестационарность), размерность временного ряда.

Свойство 1. В табл. 1 приведены вычисленные для временного ряда У коэффициенты: вариации V = 0,12, асимметрии А = -0,01, эксцесса Е = 4,25. Отклонения этих показателей от показателей нормального закона распределения составляют величины

АV = 12 %, АА = 1 %, АЕ = 42 %. (13)

Таким образом, распределение временного ряда У не подчиняется нормальному закону.

Свойство 2. Для исследования стационарности (нестационарности) временной ряд У разобьем на пять годичных интервалов:

[ У» У12 ] , [ У13 , У24 ] , [ У25 , У36 ] , [ У37 , У48 ] , [ У49 , У60 ] . (14)

В табл. 3 приведены значения математического ожидания и дисперсии для указанных в (14) интервалов разбиения. Кроме того, в последних двух графах даны изменения этих показателей в процентах.

Как видно из табл. 3, условие стационарности не выполняется: изменение дисперсии значительно превышает допустимый порог 5 %.

Свойство 3. Размерность временного ряда определяется по формуле (8), где показатель Херста Н следует вычислять по алгоритму Л/5-анализа. Подробное описание этого алгоритма приведено в [3, 8]. Для временного ряда У показатель Херста в отрезке т = 60 составляет величину Н(60) = 0,77. Тогда размерность временного ряда составляет величину

ДУ) = 2-0,77 = 1,23. (15)

Таким образом, согласно идентификационным условиям, приведенным в табл. 2, временной ряд У относится к классу персистентных временных рядов, т. е. временных рядов с наличием долговременной памяти.

Таблица 3

Динамика основных вероятностных свойств временного ряда Y

Номер Значения Математическое Дисперсия D Процент изменения

интервала t ожидание M AM AD

1 1-12 1 474 004,6 30 042 755 379,0 - -

2 13-24 1 545 362,7 22 746 738 473,4 5 24

3 25-36 1 592 148,3 34 600 475 671,9 3 52

4 37-48 1 638 137,4 25 391 390 133,2 3 27

5 49-60 1 726 262,5 29 197 071 394,8 5 15

Статистический анализ временного ряда У потребления электроэнергии позволил сделать выводы: 1) о неподчинении его распределения нормальному закону; 2) нестационарности; 3) фрактальной размерности. Эти выводы однозначно определяют рассматриваемый временной ряд У как персистентный. Персистент-ность состоит в зависимости настоящих значе-

ний временного ряда от его предыдущих значений. Успешным инструментарием для моделирования персистентных временных рядов являются такие методы нелинейной динамики, как фрактальный анализ [3, 7], фазовый анализ [4, 7], искусственные нейронные сети [8], нечеткие системы [9, 10], генетические алгоритмы [10, 11].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айвазян, С. А. Прикладная статистика. Основы эконометрики [Текст] / С.А. Айвазян. - М.: Юнити-Дана, 2001. - 432 с.

2. Бережная, Е.В. Математические методы моделирования экономических систем [Текст] : учеб. пособие / Е.В. Бережная, В.И. Бережной. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 368 с.

3. Петерс, Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка [Текст] / Э. Петерс. - М.: Мир, 2000. - 333 с.

4. Малинецкий, Г.Г. Нелинейность. Новые проблемы, новые возможности [Текст] / Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов // Новое в синергетике. Загадки неравновесных структур. - М.: Наука, 1996. -С. 165-190.

5. Малахов, В.А. Подходы к прогнозированию спроса на электроэнергию в России [Текст] / В.А. Малахов // Проблемы прогнозирования. - 2009. - № 2. -С. 57-62.

6. Лопатников, Л.И. Экономико-математический словарь [Текст] / Л.И. Лопатников. - М.: Наука, 1987. - 510 с.

7. Перепелица, В.А. Структурирование данных методами нелинейной динамики для двухуровневого моделирования [Текст] / В.А. Перепелица, Ф.Б. Тебу-ева, Л.Г. Темирова. - Ставрополь: Ставропольское книжное издательство, 2006. - 286 с.

8. Лысенко, Ю.Г. Нейронные сети и генетические алгоритмы [Текст] : учеб. пособие / Ю.Г. Лысенко, Н.Н. Иванов, А.Ю. Минц. - Донецк: ООО «Юго-Восток, Лтд», 2003. - 265 с.

9. Zadeh, L.A. Fuzzy Sets [Text] / L.A. Zadeh // Information and Control. - 1965. - Vol. 8. - P. 338-353.

10. Ярушкина, Н.Г. Основы теории нечетких и гибридных систем [Текст] / Н.Г. Ярушкина. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 320 с.

11. Курейчик, В.М. Генетические алгоритмы [Текст] / В.М. Курейчик. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1998. - 314 с.