CC BY
1107
УДК 519.711.3
Амосов Олег Семенович
ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»
Россия, Комсомольск-на-Амуре1 Зав. кафедрой «Промышленная электроника» Профессор, доктор технических наук E-Mail: osa18 @yandex.ru
Муллер Нина Васильевна
ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»
Россия, Комсомольск-на-Амуре Ст. преподаватель кафедры «Безопасность жизнедеятельности»
E-Mail: only_nina @mail.ru
Исследование временных рядов с применением методов фрактального и вейвлет анализа
Аннотация. Рассматривается математическое и численное моделирование временных рядов с помощью вейвлет и фрактального анализа. Основной алгоритм обработки строится при условии существования временного ряда и заключается в определении показателей хаотичности и анализе особых состояний системы с помощью вейвлет преобразования. Данное комплексное применение дает более полную информацию об исследуемом процессе, описанном временными рядами. Анализ вейвлет- коэффициентов позволяет выявить нестационарности исследуемого процесса на любых частотно-временных масштабах, и тем самым получить как качественные, так и количественные характеристики нестационарности. Анализ фрактальных размерностей предоставляет количественную оценку хаотичности исследуемого процесса. Предложенный алгоритм позволяет строить оценки с выделением факторов (показателей), предопределяющих неудовлетворительное состояние рассматриваемого процесса. Основным результатом является математическая модель ряда для генерации от статистических процессов до хаотических, которая при использовании экспериментальных данных учитывает реальные условия анализа временных процессов из различных предметных областей, в том числе социальных процессов (травматизма, заболеваемости и т.д.). Предложенный подход приведен как один из альтернативных из существующих методов оценки и управления процессами.
Ключевые слова: математическое и численное моделирование; временной ряд; вейвлет анализ; фрактальный анализ; фрактальная размерность; показатель Херста; персистентность; антиперсистентность; вейвлет спектры; алгоритм.
Идентификационный номер статьи в журнале 147ТУЫ314
1 Россия, 681013, Хабаровский край, г. Комсомольск-на-Амуре, проспект Ленина, 27
Введение
Актуальность. Для анализа случайных процессов широко используются традиционные методы статистического анализа случайных величин и функций [5]. Наряду с ними в последние годы получают распространение способы обработки сигналов, основанные на фрактальном и вейвлет преобразованиях [7]. Отличительная особенность последних состоит в том, что они наряду с глобальными характеристиками стохастических процессов, позволяют вскрыть особенности их локальной структуры. Поэтому актуальность применения фрактального и вейвлет- анализа временных рядов не вызывает сомнения. Важной характеристикой методов, основанных на фрактальных представлениях и вейвлет-преобразованиях, является их универсальность.
Достоинства фрактального анализа
Фрактальный анализ временных рядов учитывает поведение системы не только на данный момент, но и его предысторию. Фрактальная размерность является показателем сложности процессапо величине которой можно предсказывать поведение системы, и диагностировать нестабильные состояния [3].
Достоинства и недостатки вейвлетных преобразований [7].
• Обладают всеми плюсами преобразований Фурье.
• Могут быть локализованы как по времени, так и по частоте.
• В отличие от Фурье, имеют массу разнообразных базовых функций, свойства которых позволяют решать различные задачи.
Вейвлет - анализ применим для анализа нестационарных данных. Он позволяет получить локальную высокочастотную и глобальную крупномасштабную информацию об объекте и позволяет судить о том, в какой момент времени появились те или иные компоненты сигнала.
• Недостатком является их относительная сложность [1].
Целью данного исследования является математическое и численное исследование временных рядов методами фрактального и вейвлет анализа.
Объектом исследования являются временные ряды, предметом исследования
фрактальный и вейвлет - анализ.
Постановка задачи
Пусть имеется временной ряд вида
Ут=Пт+Хт+* ,
где Щг - трендовая составляющая, чаще всего аппроксимируется полиномом 1-й, 2-й или более высокой степени;
г = гоЛи и - моменты времени;
X - компонента, выражающая меру хаотичности ряда, описывающая характер процесса и зависящая от Н - показателя Херста или Бг - показателя фрактальной размерности;
- случайный шум.
Необходимо выполнить идентификацию, анализ и прогнозирование особых состояний системы, порождающих исходный ряд, для этого:
1) определяется вектор показателей Р=( Нг, Бг) хаотичности как для различных
участков, так и в целом всего временного ряда;
2) применяется вейвлет преобразование.
Этапы решения задачи
Основной алгоритм обработки строится при условии существования временного ряда. Изначально необходимо произвести предобработку временного ряда, которая заключается в выборке статистических данных для формирования интересующего нас временного ряда. В частности это было необходимо для нашей предметной области - анализа травматизма. Выборка производится с помощью совместно работающих программ и базы данных, содержащей структурированную информацию о предметной области.
Следующие два этапа: определение показателей хаотичности Нг и Бг и выполнение с применением вейвлет преобразования анализа особых состояний системы, порождающей исходный временной ряд. Данное комплексное применение позволит получить обширную информацию об исследуемой системе.
Показатели хаотичности
Вектор показателей Р=(Нг, Бг) хаотичности несет следующий смысл [4].
0 < н < 05- 1.5 < О < 2- Антиперсистентная величина < Н = 0,5; И = 1,5; Случайное блуждание
0,5 < Н < 1;1 < И < 1,5. Персистентная величина
Оценка показателя Херста
Эмпирический закон Херста выглядит следующим образом [4]:
где Я - максимальный размах исследуемого ряда; $ - среднеквадратическое отклонение наблюдений; п -количество наблюдений.
При условии Н = 0,5 - процесс случайный. Если 0<Н< 0,5 , то процесс является антиперсистентным, когда восходящая тенденция переходит в нисходящую [4]. При 0,5<Н<1, процесс является персистентным, если у нас восходящая тенденция, то в дальнейшем она продолжит свой рост.
При условии Н возрастает от 0,5 до 1, будем наблюдать устойчивость.
Оценки фрактальной размерности
Фрактальную размерность D возможно вычислить через показатель Херста [4]:
В = 2 - Н.
Фрактальная размерность кривой линии равна 1,0, а геометрической плоскости равна 2,0. Таким образом, фрактальная размерность случайного блуждания лежит посреди между кривой линией и плоскостью.
Можно рассмотреть фрактальное броуновское движение (ФБД) в качестве случайного процесса которое нашло широкое применение в разных науках.
Гауссовский процесс х (I) называется фрактальным броуновским движением с параметром Н, 0 < Н < 1, если приращения случайного процесса Пх (П) □ х (I □ □ П) □ х (1) имеют гауссовское распределение вида [4]
где □ о - коэффициент диффузии.
ФБД с параметром Н = 0,5 совпадает с классическим броуновским движением.
Вычисление непрерывного вейвлет- преобразования
Вейвлет преобразование возможно осуществить двумя путями: расчеты во временной и частотной областях.
Во временной области
Изначально определяем материнский вейвлет. Допускаем, что имеется функция, удовлетворяющая условиям: уоо(ц), где щ - безразмерный период.
Имеются значения хп, в моменты времени п[0,Ы-1], где N - количество измерений и основная формула для материнского вейвлета, то необходимо по возможности изменять размеры вейвлета. С этой целью строим "масштабированный" вейвлет следующего вида:
где ^ - параметр, обратный частоте.
Вычисление вейвлет преобразования является сверткой искомой временной серии с функцией-вейвлетом [1]
(1)
(2)
(3)
в данном случае (*) - означает комплексно- сопряженное. Результатом расчета Жп(я) по формуле (3) будет комплексное число.
В частотной области
Изначально определяем материнский вейвлет. Преобразование Фурье вейвлета сконцентрировано вокруг некоторой выделенной частоты шо Ф 0. Поэтому преобразование Фурье вейвлета, растянутого в ^ раз, будет сконцентрировано вокруг частоты шо/в [7]:
N — 1
(*) = X *кЧ> *(* шк )е " ,
к=0 (4)
где (*) - означает комплексно-сопряженное, а знак (Л) - преобразование Фурье.
1 X ' — 2 77гкп / N
хк , (5)
N—1
п = О
Г 2п* > 1/2
V
4>(*шк) = Ч>о(^шк )• (6)
Дискретное вейвлет- преобразование
Теория вейвлетов позволяет эффективно обрабатывать случайные сигналы. Одна из основополагающих идей вейвлет- представления сигнала s(t) заключается в разбивке
приближения * 3 (?) к сигналу на две составляющие - грубую (аппроксимирующую)
~ ~ Л
и утонченную (детализирующую) * 3—1(^-) , с последующим их уточнением итерационным методом [3]:
~ ~ ~ л
*3 (Х ) = *3—1(Х ) + * 3—1(Х ) = X аз —1,кФз —1,к (Х )+ X Л3 —1,кфу—1,к (ХX (7)
k<EZ keZ
где у характеризует уровень разрешения; Ф}-1,0, у з1,к(0, - соответственно
масштабирующая (аппроксимирующая) и вейвлет- функция (детализирующая функция);
а1 ={а у1к }, й.1 = { й у-1,к } - наборы аппроксимирующих и детализирующих коэффициентов разложения (]-1) уровня разрешения; Z = {..., -1, 0,1, ...} - множество целых чисел. Аппроксимирующие функции ф^) присущи далеко не всем вейвлетам, а только тем, которые относятся к ортогональным. Приближению (7) соответствует начальный набор коэффициентов ао = {а у,к }. Обычно в качестве ао = {а к } выбирается массив значений сигнала s(t),a ц = s(ti).
Повторяя процедуру т раз, т =1.М , разлагая каждый раз сглаженную функцию
~ ~ ~ л
* 3 —т (»,) на еще более сглаженную часть * 3—т—1 (х-) и детализирующую часть * ]—т—\ )
, получаем вейвлет- разложение аппроксимации ] -го уровня разрешения * (х) для глубины разложения т :
л
*3 (X- ) = * 3—т (X- ) + *
3—т (х- ) + ••• + * 3—1 (х- ),
(8)
Вейвлет- разложение (8)-(9) можно изобразить в виде следующей схемы нахождения коэффициентов:
Практическая обработка и представление реальных сигналов обычно базируются на трактовке вейвлет- преобразований (10) в частотной области и позволяют плодотворно использовать аппарат частотной фильтрации и методы быстрого вейвлет- преобразования [7]. Они основаны на пирамидальном алгоритме Малла и прореживании спектра вейвлетов по частоте. Главным результатом является вывод о соответствии вейвлет- коэффициентов коэффициентам передаточной характеристики низкочастотного и высокочастотного фильтров , что позволяет организовать эффективные, с точки зрений объема вычислений, процедуры вычислений коэффициентов вейвлетов.
Для решения задач сглаживания, оценивания и прогноза временных рядов целесообразно использовать ортогональные вейвлеты с компактным носителем, поскольку свойства данных вейвлетов обеспечивают необходимое приближение вейвлет- разложения.
Алгоритмы для обработки временных рядов
На основе вышеприведенных методов анализа далее по тексту приведены алгоритмы обработки временных рядов с помощью фрактального и вейвлет- анализа.
Расчет фрактальной размерности производится поточечным методом. Алгоритм расчета общеизвестный и классический и приведен ниже на рис. 1[6]. В качестве параметра устойчивости исследуемого процесса будем использовать полученные величины фрактальных размерностей исследуемых временных рядов. По величине которых, можно получить количественную оценку хаотичности процесса, а также многофакторность предпосылок, вызвавших нестационарности процесса [3], что наглядно показано ниже по тексту в примерах:
*3 (Х- ) = а0 — ^ ^ (а2 , d2, Л1} — ••• — (а ^ , ^М-^----------------, }• (10)
М-1
Рис. 1 - Алгоритм расчета фрактальной размерности Хаусдорфа[8]
Алгоритм обработки временного ряда с применением вейвлет- преобразования во временной и частотной области
Для вычисления во временной и частотной области может быть использован один общий алгоритм. Пример приведен ниже в виде блок-схемы для временной области.
Рис. 2. Примеры решения задачи
Пример 1 получен с использованием стандартной программы МЛТЬЛБ , где можно наблюдать дробное броуновское движение с различным значением Н. Показатель Н -характеризует размерность (зазубренность временного ряда).
Н - 0,25 - (антиперсистентность) Н - 0,8 - (персистентность)
Рис. 3. Разработано автором
Показатель Херста дает две важные характеристики временного ряда: среднюю длину цикла, необходимую для оценки инерции движения. и является устойчивым, отличая случайный ряд от неслучайного.
Пример 2. Рассмотрим обработку временного ряда, содержащего статистику несчастных случаев в г. Комсомольске-на-Амуре за период с 2000 по 2008 г. Чтобы получить полное частотно-временное представление сигнала, необходимо провести вычисление с помощью вейвлет- преобразования, используя формулу
-| те
WTS (а, х) = — V а -1
где Ї - ось времени, х - момент времени, ¥(ї) - вейвлет- функция; 8(ї) - исходный сигнал, а - масштабный параметр.
В результате получается картина, отображающая частотно-временные характеристики сигнала. Время откладывается по оси абсцисс, частота - по оси ординат. Полученная цветовая гамма определена благодаря абсолютным значениям вейвлет преобразования для конкретной пары х и а (чем больше та или иная частота имеется в сигнале на данный момент времени, тем более темным будет оттенок). Судя по представленному графику можно наблюдать, что
самые яркие области вейвлет спектра свидетельствуют о наличии некоторой возмущающей силы вызывающей изменение ситуации с несчастными случаями.
Рис. 4. Фрагмент рабочего окна компьютерной программы для построения вейвлет- спектра появления несчастных случаев г Комосмольска-на-Амуре за период с 2000 по 2008 г.
Разработано автором
Темные области на рис. 4 свидетельствуют о стабильном состоянии исследуемого процесса и соответственно об отсутствии предпосылок к возникновению несчастных случаев, в то время как яркие области характеризуют обратное. Исследуя вейвлет - спектр временного ряда можем сказать о наличии периодичности, как по временной, так и по масштабной оси.
Пример 3. Другой пример вейвлет- анализ временного ряда производственного травматизма у мужчин и женщин г. Комсомольска-на-Амуре представлен на рис. 5 и 6. Анализ вейвлет-спектров показал, что факторы, влияющие на уровень травматизма у мужчин и женщин одинаковы, однако их реакция на эти возмущения отличается. Так вейвлет-спектры имеют одинаковые локализованные всплески, но интенсивность этих всплесков различна. Концентрация ярких областей на вейвлет-спектре появлений несчастных случаев у мужчин по сравнению с женщинами характеризует скопление большего числа предпосылок к возникновению несчастных случаев. Фрактальная размерность временного ряда несчастных случаев на производстве у мужчин составляет 1,458 единиц, а у женщин 1,151 единиц, что также свидетельствует о большей хаотичности возникновения случаев травматизма у мужчин.
Рис. 5. Временной ряд травматизма мужчин и женщин Разработано автором.
Рис. 6. Фрагмент рабочего окна компьютерной программы для построения вейвлет- спектра
появления несчастного случая у мужчин и женщин Разработано автором
Обсуждение полученных результатов работы
• Распределение вейвлет- коэффициентов является как качественной, так и количественной характеристикой нестационарности, выявляя нестационарности исследуемого процесса на любых частотно-временных масштабах.
• Распределение фрактальных размерностей является количественной оценкой хаотичности исследуемого процесса
• Данный алгоритм позволяет строить прогнозные оценки с выделением факторов, предопределяющих неудовлетворительное состояние рассматриваемого процесса.
Выводы
• произведена модификация алгоритма обработки временного ряда - в части предобработки исходной информации;
• разработана математическая модель ряда для генерации от статистических процессов до хаотических, которая при использовании экспериментальных данных позволяет учитывать реальные условия анализа временных процессов из различных предметных областей в том числе социальных процессов (травматизма, заболеваемости и т.д.);
• разработан программный комплекс для анализа временных рядов на основе применения вейвлет и фрактального анализа;
• разработана, обоснована и протестирована эффективность вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий;
• проведена проверка адекватности математической модели на основе данных натурного эксперимента применительно к производственному травматизму.
ЛИТЕРАТУРА
1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: Основы теории и примеры применения. -Успехи физических наук, 1996, т.166, № 11, стр. 1145-1170.
2. Дьяконов В., Абраменкова И. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. - СПб.: Питер, 2002, 608 с.
3. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории-. М.: Постмаркет, 2000 - 352 с.
4. Кириченко Л.О Сравнительный анализ статистических свойств оценок показателя Херста, Вестник «Научная периодика» 21.12.2010.
5. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 1-я.— М.: Сов. радио, 1974. —552 с.
6. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002 - 160 с
7. Яковлев А.Н. Введение в вейвлет- преобразование: Учебное пособие. -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. - 104 с.
8. Ричард М. Кроновер Фракталы и хаос в динамических системах. - М., Постмаркет, 2000. - 352 с.
9. Божокин СВ., Паршин В.А. Фракталы и мультифракталы. - Ижевск:НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 128 с.
10. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. С.-Петербург, ВУС, 1999 г.
Рецензент: Лейзерович Григорий Самуилович, профессор, д.ф-м.н., заведующий кафедры «Механика и анализ конструкций и процессов», ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет».
Oleg Amosov
Komsomolsk-na-Amure State Technical University Russia, Komsomolsk-na-Amure E-Mail: osa18 @yandex.ru
Nina Muller
Komsomolsk-na-Amure State Technical University Russia, Komsomolsk-na-Amure E-Mail: only_nina @mail.ru
The application the fractal and wavelet analysis methods to mathematical and numerical modeling of time series
Abstract. This paper is concerned with the mathematical and numerical modeling of the time series by using wavelet and fractal analysis.
The basic algorithm is based on the condition of existence of the time series. It consists in the measurement of randomness and analysis of the particular state of the system by using the wavelet transformation. This complex application allows you to get more information for the process under study, which describes the time series. The analysis of the wavelet coefficients allows us to identify the nonstationarity of the investigated process on any frequency-temporal scales and thus is both qualitative and quantitative characteristic of nonstationarity.
The analysis of fractal dimensions provides a quantitative assessment of the random nature of the process under investigation. The proposed algorithm allows to build forecasts of distinguishing factors (indicators), which causes the poor state of the considered process. The main result is the mathematical model number for generation from statistical processes to chaotic which in the using of experimental data allows to take into account real conditions of the analysis of transient processes from various subject areas including social processes (injuries, disease and so on). The proposed approach is seen as one of alternative to existing methods for estimate and control processes.
Keywords: mathematical and numerical modeling; time series; wavelet analysis, fractal analysis, fractal dimension; Hurst exponent; persistence; antipersistence; wavelet spectra; algorithm.
Identification number of article 147TVN314
REFERENCES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Astafeva N.M. Vejvlet-analiz: Osnovy teorii i primery primenenija. - Uspehi fizicheskih nauk, 1996, t.166, № 11, str. 1145-1170.
D'jakonov V., Abramenkova I. MATLAB. Obrabotka signalov i izobrazhenij. Special'nyj spravochnik. - SPb.: Piter, 2002, 608 s.
Kronover R.M. Fraktaly i haos v dinamicheskih sistemah. Osnovy teorii-. M.: Postmarket, 2000 - 352 s.
Kirichenko L.O Sravnitel'nyj analiz statisticheskih svojstv ocenok pokazatelja Hersta, Vestnik «Nauchnaja periodika» 21.12.2010.
Levin B. R. Teoreticheskie osnovy statisticheskoj radiotehniki. Kn. 1-ja.— M.: Sov. radio, 1974. —552 s.
Morozov A.D. Vvedenie v teoriju fraktalov. Moskva-Izhevsk: Institut komp'juternyh issle-dovanij, 2002 - 160 s
Jakovlev A.N. Vvedenie v vejvlet- preobrazovanie: Uchebnoe posobie. - Novosibirsk: Izd-vo NGTU, 2003. - 104 s.
Richard M. Kronover Fraktaly i haos v dinamicheskih sistemah. - M., Postmarket, 2000. - 352 s.
Bozhokin SV., Parshin V.A. Fraktaly i mul'tifraktaly. - Izhevsk:NIC «Reguljarnaja i haoti-cheskaja dinamika», 2001. - 128 s.
Vorob'ev V.I., Gribunin V.G. Teorija i praktika vejvlet-preobrazovanija. S.-Peterburg, VUS, 1999 g.
