О РАСХОЖДЕНИИ ОРБИТ ТОЧЕК ИЗЛОМОВ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ ОКРУЖНОСТИ С ДВУМЯ ИЗЛОМАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

A UNiVERSUM:

№ 5 (98)_-V, r - - ._май. 2022 г.

О РАСХОЖДЕНИИ ОРБИТ ТОЧЕК ИЗЛОМОВ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ ОКРУЖНОСТИ

С ДВУМЯ ИЗЛОМАМИ

Джалилов Шухрат Ахтамович

ст. преподаватель кафедры высшей математики, Самаркандский институт экономики и сервиса, Республика Узбекистан, г. Самарканд E-mail: 00_bek94@mail.ru

ON THE DIVERGENCE OF ORBITS OF KINK POINTS FOR MAPPINGS OF A CIRCLE WITH TWO KINKS

Shukhrat Djalilov

Senior Lecturer, Department of "Higher Mathematics" Samarkand Institute of Economics and Services, Republic of Uzbekistan, Samarkand

АННОТАЦИЯ

В этой работе изучены инвариантные меры на пространстве односторонних последовательностей ©+, порожденные гомеоморфизмами из B (Tb). Пусть T е B (Tb) - гомеоморфизм, / — инвариантная мера T и X — мера Лебега на S1. jp (х6), n > 1} последовательность динамических разбиений на окружности, порожденных бесконечной орбитой точки излома х6. При помощи инвариантных мер и длин отрезков динамических разбиений однозначно можно построить борелевские меры / и X+ на пространстве ©+.

ABSTRACT

In this paper, we study invariant measures on the space of one-sided sequences ©+ — generated by homeomorphisms from B (Tb). Let T е B (Tb) be a homeomorphism, M an invariant measure of / , and X a Lebesgue measure on S1. jP (хь) > n > 1} be a sequence of dynamic circle partitions generated by the infinite orbit of the break point х6. With the help of invariant measures and lengths of segments of dynamic partitions, one can uniquely construct Borel measures / and X on the space ©+.

Ключевые ^лова: гомеоморфизм окружности, инвариантные меры, равномерно распределена.

Keywords: circle homeomorphisms, invariant measures, uniformly distributed.

В этой работе мы изучим вопрос о расхождении орбит двух точек изломов. Для нас важную роль играет понятие равномерной распределенности последовательностей. Изучение равномерной распределенности последовательностей - одна из классических задач эргодической теории (см., например, [1; 3]).

Пусть Х^а ) — характеристическая функция отрезка [с, d], т.е.

X[c,d ](t ) =

1, если t е [c, d], 0, если t е [0,1] \[c, d].

Нам необходимо следующее определение. Определение 1.1 (см. [2; 5]). Последовательность со = (хп), n = 1,2,... действительных

чисел называется равномерно распределенной по модулю 1 (сокращенно mod 1), если для каждой

пары a, b действительных чисел 0 < a < b < 1 справедливо следующее равенство:

([^ b) П{Хр Х2 , XN }) .

lim-1—2-N— = b - a,

N

где запись #(A) указывает количество элементов в A .

Таким образом, предел относительной частоты попадания в [a,b] зависит только от длины отрезка [a,b] и не зависит от место расположения этого отрезка на [0,1]. Заметим, что понятие равномерной

распределенности числовой последовательности было введено Г. Вейлом, и ему принадлежат первые фундаментальные результаты в этом направлении (см., напр. [Kuip. Nied]).

Библиографическое описание: Джалилов Ш.А. О РАСХОЖДЕНИИ ОРБИТ ТОЧЕК ИЗЛОМОВ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ ОКРУЖНОСТИ С ДВУМЯ ИЗЛОМАМИ // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2022. 5(98). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/13628

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Справедлива следующая важная теорема из теории равномерно распределенных последовательностей.

Теорема 1. (см. [5]) Пусть [a, b] С R и

un: [a,b] ^ R, n = 1,2,.. последовательность функций удовлетворяющих следующим условиям:

• u„ е С1 ([a, b]), n > 1;

• для любых m, n е N, n = m функции u П (x) - u'm (x) являются монотонными на [a, b], кроме того

I u'„(x) -u'm(x) |> K,

где константа K >0 не зависит от m, n и x. Тогда последовательность {un (x) modi), n = 1,2,.. почти для всех x (по мере Лебега) является равномерно распределенной на [0,1].

Теорема 2. Пусть ре[0,1] иррациональное число и qn := qn (p)n > 1, времени первого возвращения числа р. Рассмотрим любую ее подпоследовательность {qm , n = 1,2,...). {q_{m_{n}},n=1,2,...}.

Тогда последовательность

{qm xmod1, n > 1)

почти для всех x (по мере Лебега) является равномерно распределенной на отрезке [0,1].

Пусть 0е[О,1]. Рассмотрим последовательность {ап = qnв mod1,n > 1). Отметим, что эта последовательность не всегда равномерно распределена на отрезке [0,1].

Вопрос о структуре множества

Zp :={ве R :iim||qn^\ = 0),

является важным при изучении многих задач теории информации (см., напр. [Larcher]).

Теперь сформулируем две важные теоремы, касающиеся множества Z .

Теорема 3. (см. [4]). Пусть ре [0,1] иррациональное число «ограниченного типа» и qn := qn (р) времени первого возвращения для р . Тогда

lim| М| = 0,

если и только если в := тр + к, т, к е .

В общем случае, если р является иррациональным числом «неограниченного типа», то утверждение теоремы 2.2.3 неверно.

Теорема 4. (см. [4]). Существует иррациональное число р «неограниченного типа», такое, что для

любого в := mp + k, m, к е Z, имеет место соотношение

lim|| qA\ = 0,

где qn := qn (р) времени первого возвращения для р .

Рассмотрим иррациональный поворот окружности f (x) := x + р, modi, x е S'. Возьмем любые

две точки a >С е S1. На окружности S'=[0,1) положительным считается направление от 0 в сторону 1. Расстояние между точками a0 и с0 определяется как

с0 - a0, если 0 < а0 < c0 <1, dist(a0, с0):= i (1)

(1 - a0 ) + с0, если 0 < c < a <1.

Теорема 5. Пусть / - линейный поворот на р, и а0, с0 е 51. Предположим, что р - иррациональное число «ограниченного типа». Тогда

lim|\qndist (a0, С0^| = 0,

(2)

в том и только в том случае, если точки а0 и с0 лежат на одной орбите.

Расположения точек изломов /Цп.

Теперь мы приведем необходимые факты о расположении точек изломов Гп. (см. [3]). Кроме того, приведем равенство Данжуа для отображений окружности к с двумя изломами.

Пусть f е С1 ^ \ {а0 ,с }) гомеоморфизм окружности с двумя изломами в точках а0 и с0 , лежащих на разных орбитах. Предположим, что число вращения р := р иррационально. Единственную

инвариантную меру обозначим через ^.

гЧп

Отображение / имеет 2дя точек изломов. Множество всех точек изломов обозначим

bp; := bp; ю и bp;; ос,):=

{a°, a-1,..., a' +J и {с0*, c-1,..., с- +1},

где а^ = Г (а0) , и с-, = Л (с0) , 0 < , < qn -1.

Множество всех точек изломов определяет разбиение окружности, которое обозначим через Ря (f).

Рассмотрим динамические разбиения (а* ),п > 1

точки излома а* = а :

а0 а0 :

4 (a0 ) := {I)"-1) (a0), 0 < i < qn) и {j (a0),

0 < j < q;-1),

где I( n)( a0) есть отрезок, соединяющий точки a0

и fq" (a0), а I"(a0) := f (f^a)), i > 0.

UNIVERSUM:

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

В дальнейшем нам необходимы факты о расположении точек изломов отображения /ч" на атомах динамических разбиений (см. [4]).

Для нас важно расположение второй точки излома С на атомах разбиения (а*) первой точки

излома О,

о-

Для второй точки излома возможны следующие три взаимоисключающие случая:

(С1) с0* е /(п)(а0), для некоторого 0 < г0 < дп—1;

(С2) c'0 е fj ((а0, а_а ]), для некоторого 0 < jo < q„;

(Сз) с0 е //0((а , ач )), для некоторого 0 < /0 < Ч„.

чп уп—1

Теперь сформулируем три леммы, описывающие расположение 2 точек изломов к4", в каждом вышеуказанном случае отдельно.

Следующая лемма соответствует случаю (С).

Лемма 1. (см. [3]). Пусть с0 е/(п)(а0) для

некоторого ¿0, 0 < г0 < 1. Тогда точки излома

а0,. ,с\ ,0 < г < дп — 1} of /ч" принадлежат следующим интервалам динамического разбиения (а0 ) :

а0е 70 ")(аоУ;

c'-,0+. = fs (c—,) е I(s"\а0), 0 < s < ¿0;

а-q + s = Г (а—q ) е Г (а0 , ]) C If"-1) (а0 X 1 < S < ¿0 ;

- q + s * — q

C-q — ,„ +s = Г (C—q — ,„ ) е Г ((а0 , а—Ч ]) C IS"—]1 (а0 X ¿0 + 1 < S < Ч„ — 1 .

Теперь сформулируем лемму, соответствующую случаю (С).

Лемма 2. (см. [3]). Предположим, что с0 е /'°((а0, а_? ]) для некоторого 0 < г0 < . Тогда

точки излома отображения /ч" принадлежат следующим интервалам динамического разбиения (с°\ ),

соответствующего точке излома с :

о о г( n W о ,

Со , ао е I0 )(c-)

с—¿0 + s = fs (c—, ) а—q + s = fs (а—q ) е fs ([c— ,o , а—q ]) с I^ (c— ) , 1 < s < ¿0;

0 0 ^n ^n 0 ^n 0

c . = fs (с . ), а* = fs (а ) е fs ([c . , c ]) с I(n—11)(c*. ) , L +1 < s < q — 1.

—q —'n+s ^ — q —'n^ — q + s ^ ^ —q J J VL — / ' —q j/ s v —*n ^ ' 0 In

Следующая лемма соответствует случаю (С ).

Лемма 3. (см. [4]). Если с0 е /'°((а , а ])

У" У"—1

для некоторого г0, 0 < г0 < , то точки излома

принадлежат следующим интервалам динамического

разбиения (а° +1) точки излома а°

q +1

—q +1+s уn

= fs (а—q +1), c— +1+s = fs (c— +1) е I;n—1; (а—q +1), 0 < s < ¿0 — 1;

n

= fs(а* . ,), с . = fs(c* ,) е I(n—1°(а* ,)

^ V — q +1 —q +1+s v —q +1 ^ ¿n +s v —q +1 ^

—q +/U +1+s

0 < s < q — L — 1.

-in 0

n

(n— 1) ^ о '0+ " qn

Отметим, что эти леммы верны и для любого иррационального вращения / с любыми двумя

точками а, с е £1, чьи прообразы под сопряжения ф соответствуют точкам излома гомеоморфизма / .

В частности, эти леммы верны и для любого кусочно-линейного гомеоморфизма окружности к с двумя изломами и иррациональным числом вращения.

а

а

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Положим f := h , и все обозначения для точек

изломов оставим без изменения. Хорошо известно, что для кусочно-гладких отображений окружности с иррациональным числом вращения среднее log f' по инвариантной мере равно нулю (см. [4]). Отсюда, используя утверждения лемм 1-3, можно получить

явные выражения для (hq") ( см. [4]).

В случаях леммы 1 и леммы 3 точки излома PBn (a0), происходящего от a0 =0 , и точки излома PBn (с0), происходящего от с0 = с0, чередуются

на окружности S 1. Предположим, что n нечетное.

Пусть точки излома a 0 и с удовлетворяют условиям леммы 1. Очевидно, что эти точки излома определяют систему непересекающихся интервалов окружности: [с+ s, a'_ +J, при 1 < s < i0,

соответственно [с*. _ ,а* ], при +1 < 5 < q .

Объединяя эти системы интервалов, определим следующие подмножества

* * с . ^ м ^

'0+s' -1n+s

I В := I I [с. + ,«* + ].

J" n \J l —ir.—q +s~ —q +5-J

0 *n n

(3)

При предположениях леммы 2.2.3 получаются следующие интервалы

[а-q + 5 , С-,„ + 5 ] пРи 1 < 5 < ¡0 ,

уп 0

соответственно,

[a-q + s , С\ -q + s ], при i0 + 1 < S < q„ , которые мы

-qn + s -i0 -qn +

объединяем в подмножества

4, := О^-д Вп '= 0 «'С-/„-<7 «]'

1п 0 п 0 п

5=1 5+1

Для четного п ориентация в указанных интервалах меняется в обратном направлении. Поэтому в случае леммы 1 мы имеем следующую систему непересекающихся интервалов

[а* , с* ], при 1 < 5 < к, соответственно,

qп 0

[а* ,с*. ], при +1 < 5 < q .

I- - q + 5* -¡г. - q +5 ->' г 0 1п

^п 0 ^п

В случае леммы 3 имеем следующие интервалы

[С-[С

-i0-q„

s ], при 1 < s < i0 ,

, +s], пРи i0 +1 <s < qn

соответственно,

В случае леммы 1 и четного п , соответственно, в случае леммы 3 и нечетного п подмножества А и В можно определить как и раньше. Приведенные выше конструкции показывают, что границы каждого интервала в подмножествах А и Вп состоят из

точек излома из множества ВРп (а^), соответственно, из Вр (с*). По определению величина излома к в

точке излома а * есть ^ = ^ (П*Л= к (0-) Теперь 0 ^ (а0) к'(0+). сформулируем первую теорему о значениях кусочно-

постоянной функции (к4") .

Теорема 6. (см. [3; 4; 2]). Пусть к - кусочно-линейный гомеоморфизм окружности с иррациональным числом вращения рк и двумя точками

изломов а* =0 и с* := с0, лежащими на разных орбитах.

0

s=1

s=i^ +1

UNIVERSUM:

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Теорема 7. (см. [3]) Пусть к - кусочно-линейный гомеоморфизм окружности с иррациональным числом вращения рк и двумя точками излома

« =0 и с* := с0, лежащими на разных орбитах.

Предположим, что с* удовлетворяет условиям леммы 2. Тогда для всех п > 1,

( hqn(х))

Л(-i)n

а

а

а

»h (A,)- »h (Bn)-1

»h(An )-»h(Bn)+1 »h(An )-»h(Bn)

если х e Аи, если х e Вй, если х g А„ u B„

Сформулируем основной результат нашей работы.

Теорема 8. Предположим, что / е 5 (к, р) -гомеоморфизм окружности с двумя точками

излома а и с0. Пусть число вращения ре (0,1) «ограниченного типа». Тогда, орбиты точек изломов

О-(«):=/(«0 >0} и О-(Со):= {Г(сО >0}

расходятся.

Список литературы:

1. Корнфельд И.П., Синай Г.Я., Фомин С.В. Эргодическая теория. - М. : Наука, 1980.

2. Herman M. Measure de nombre de rotation, Geometry and Topology // Lecture Notes in Mathematics. - Berlin, Heidelberg, New York : Springer, 1977. - № 597. - P. 271-293.

3. Katok A., Hasselblatt B. Introduction to the modern theory of dynamical systems. - Cambridge : Cambridge University Press, 1995.

4. Khanin K.M., Vul E.B. Circle homeomorphisms with weak discontinuities // Advances in Soviet Mathematics. -1991. - № 3. - P. 57-98.

5. Swiatek G. Rational rotation number for maps of the circle // Comm. Math. Phys. -1988. - № 119 (1). - Р. 109-128.