CC BY
78
УДК 517.1/.2 : 372.851 ББК 22.161
Новиков Александр Дмитриевич
кандидат педагогических наук, доцент
кафедра математического анализа Армавирский государственный педагогический университет
г. Армавир Novikov Alexander Dmitrievich Candidate of Pedagogics,
Assistant Professor Chair of Mathematical Analysis Armavir State Pedagogical University Armavir
О пропедевтике некоторых свойств функций в контексте фундаментализации математического образования About Propaedeutics of Function Properties in the Context of Mathematical Education Fundamentalization
В статье выявлены некоторые отрицательные последствия изъятия из школьных учебников математики понятий точек убывания и возрастания функций. В контексте фундаментализации математического образования делается вывод о необходимости их возвращения в школьный курс математики и рассматривается один из возможных вариантов пропедевтики этих понятий уже на первоначальном этапе изучения функций и их графиков.
The article reveals some negative effects of withdrawal the concepts of the function points of decrease and increase from school mathematical textbooks. In the context of mathematical education fundamentalization there is a conclusion that it is necessary to bring them back into the school course of Mathematics. One of the possible variants of these concepts propaedeutics is considered on the initial stage of these functions and their graphs studying.
Ключевые слова: фундаментализация математического образования, исследование функций, пропедевтика.
Key words: mathematics education fundamentalization, functions study, propaedeutics.
Всемирная глобализация, стремительное расширение информационного пространства и конкурентное соперничество стран в развитии инновационных технологий привело в современном мире к ускоренному наращиванию научного потенциала, и, в частности, посредством качественной подготовки высококвалифицированных специалистов. Однако взаимодействие
образовательных систем различных стран существенно осложняется значительными различиями образовательных стандартов, уровней подготовки и качества учебных программ. Поэтому, с целью построения единого Европейского
пространства высшего образования (European Higher Education Area) к 2010 г. была составлена и подписана 29 странами Европы Болонская декларация (19 июня 1999 г.). В декларации указывается на ведущую роль университетов в укреплении интеллектуального, культурного, социального, научно-технического потенциала, а также в создании общей базы «европейских знаний».
Среди основных целей Болонской декларации особо отмечается необходимость формирования европейской системы обеспечения качества высшего образования. Одним и важнейших условий, обеспечивающих высокое качество образования, является непрерывный процесс его фундаментализации. Фундаментализация общего и высшего образования - это сложный и многогранный процесс, основой которого является сближение и интеграция образовательного процесса с научными знаниями в соответствующей области специализации. Значительную роль в решении конкретных задач и достижении конечной цели этого процесса играют соответствующие специализациям методики обучения и воспитания, как вполне самостоятельные области педагогики.
Фундаментализация математического образования в высшей школе и старших классах средней школы предполагает использование в процессе глубокого и основательного изучения математических дисциплин новых научных исследований и достижений математики, создание оптимальных условий для воспитания у школьников и студентов гибкого научного мышления. Существенную роль в таком образовательном процессе играют современные достижения методики обучения математике как научной области педагогики. При этом методами методики преподавания математики можно не только оптимизировать процесс обучения, но и в контексте фундаментализации математического образования находить и исправлять те традиционные подходы к изучению конкретных тем и разделов математики, которые по тем, или иным причинам начинают входить в противоречие с современным её содержанием. Основными критериями такой методической работы являются требования, предъявляемые к любой научной теории - это требования полноты и непротиворечивости предлагаемых новых концепций и соответствующих подходов к изложению некоторых тем и разделов математики.
Введение элементов математического анализа в школьный курс математики позволило не только существенно углубить и расширить математическую подготовку выпускников школ, но и открыло возможность детально проанализировать традиционные концепцию и подход к изучению функций на убывание и возрастание. Как было нами показано в [1], этот подход содержит неустранимые в его рамках логические противоречия. Однако, использовав понятия точек убывания и возрастания функции, введённые в математику значительно позднее понятий убывающей и возрастающей функций, мы, используя методы обобщения и аналогий, разработали новую концепцию и соответствующий подход к исследованию функций на убывание и возрастание, позволяющий полно и без противоречий проводить это исследование.
В современных учебниках математического анализа и высшей математике под основной задачей исследования функций на возрастание и убывание понимается определение множеств, на которых рассматриваемая функция, соответственно, возрастает и убывает. В школьном курсе алгебры и начал математического анализа (см., например [2]) под этими множествами понимаются промежутки убывания и возрастания функций. В вузовских курсах математического анализа и высшей математики кроме промежутков убывания и возрастания функций находят также отдельные точки возрастания и убывания функции.
Заметим также, что различия в постановке основной задачи исследования функций на убывание и возрастание в средней школе и вузе появилось лишь в конце 80-ых годов прошлого столетия, когда понятия точек возрастания и убывания функции без объяснения причин и без каких-либо дискуссий в специальной литературе были тихо изъяты из учебников алгебры и начал анализа. Это привело к невозможности полноценного исследования функций на возрастание и убывание в школе и вызвало серьёзную озабоченность и справедливые нарекания учителей математики средней школы и преподавателей вузов.
Следующий пример наглядно подтверждает сказанное выше. Современный выпускник средней школы, изучивший начала математического анализа, оказывается не в состоянии правильно исследовать на убывание и возрастание даже следующую, довольно простую функцию
У =
—, х ф 0, х
0, х = 0.
В самом деле, старшеклассники, в качестве результата исследования этой функции напишут, что она убывает на промежутках (- да. 0) и (0, + да ). При
этом точку области определения функции х = 0 (точка возрастания) они никак не классифицируют, поскольку не знакомы с понятиями точек убывания и возрастания функции, которые, как было сказано выше, были изъяты из школьных учебников математики. И лишь студенты вузов, изучающие полные курсы математического анализа, смогут классифицировать эту точку.
Этот контрпример позволят сделать нам следующий вывод: изъятие из школьных учебников алгебры и начал анализа понятий точек убывания и возрастания функций необосновано, поскольку привело к невозможности полноценного исследования функций на убывание и возрастание. Поэтому эти понятия необходимо вернуть в школьные учебники, куда их вполне обоснованно ввёл не кто-нибудь, а выдающийся советский математик А.Н. Колмогоров, ивестный не только своими выдающимися научными достижениями, но и огромным вкладом в развитие математического образования студентов и школьников России.
Впервые школьники знакомятся с понятием функции и некоторыми её свойствами в 7-м классе средней школы [3]. Здесь же они вычисляют по значениям аргумента значения функции, составляют соответствующие таблицы и, отметив на координатной плоскости точки, впервые строят графики непрерывных функций, соединяя эти точки плавными кривыми. Таким образом, пропуская изучение функций, заданных на множестве изолированных точек, школьники сразу же переходят к изучению несомненно более сложных объектов -непрерывных функций. На наш взгляд было бы рациональнее сначала закрепить понятия функции, её графика и основных свойств на функциях, заданных именно
на множествах изолированных точек. Дело в том, что, изучая на первоначальном этапе такие функции по их графикам не нужно вычислять значения функций, составлять таблицы значений функции и строить их графики. Сэкономив на этих операциях значительное время и уделив больше времени работе с «готовыми» графикам функций учитель имеет возможность быстро и эффективно изучить основные свойства этих функций. Такой подход был бы хорошей пропедевтикой для перехода к изучению более сложных объектов - непрерывных функций и их графиков. При этом на их изучение потребуется уже значительно меньше времени, поскольку схема и сам процесс исследования будут уже хорошо знакомы школьникам по ранее изученному материалу. Особенно эффективен такой подход при изучении таких, не самых простых понятий математики, как понятия точек убывания, возрастания и постоянства функции, точек экстремума и точек наименьших и наибольших значений функции.
Предлагаемый нами подход к исследованю функций, заданных на множествах изолированных точек, в качестве теоретической базы опирается на следующую систему определений.
Определение 1. Областью возрастания (убывания) функции называется множество точек возрастания (убывания) этой функции.
Определение 2. Точка х называется точкой возрастания функции у = /(х), если выполняется неравенство / (хг1) < / (хг) < /(хг +).
Т.е., если значение функции в данной точке больше значения функции в предшествующей точке, но меньше значения функции в последующей точке.
Определение 3. Точка хг называется точкой убывания функции у = /(х),
если выполняется неравенство / (хг-1) > /(хг) > /(хг+1).
Т.е., если значение функции в данной точке меньше значения функции в предшествующей точке, но больше значения функции в последующей точке.
Определение 4. Точка а = х1 функции у = /(х) называется точкой убывания (возрастания) справа, если выполняется неравенство /(х1) > /(х2)
(/ (х1) < / (х2)).
Т.е., если значение функции на левой границе её области определения 0( /) больше (меньше) значения функции в последующей точке.
Определение 5. Точка Ь = хп функции у = /(х) называется точкой убывания (возрастания) слева, если выполняется неравенство /(хп) < /(хп-1)
(/(Хп ) > /(Хп_1)).
Т.е., если значение функции на правой границе её области определения меньше (больше) значения функции в предыдущей точке.
Определение 6. Точка х{ называется точкой минимума функции у = /(х),
если выполняются неравенства / (хг ) < /(х_1) и /(х) < /(хг+1).
Определение 7. Точка хг называется точкой минимума функции у = /(х), если выполняются неравенства /(хг) > /(хг-1) и /(хг) > /(хг+1).
Определение 8. Точка хг называется точкой постоянства функции у = /(х), если выполняются неравенства /(хг) = /(хг-1) или /(хг) = /(хг+).
Определение 9. Множество всех точек постоянства функции называется областью постоянства функции.
Определение 10. Точкой наибольшего значения функции называется точка, которой она принимает своё наибольшее значение.
Определение 11. Точкой наименьшего значения функции называется точка, которой она принимает своё наименьшее значение.
Разумеется, что записывать и заучивать эти определения школьникам не следует. Все пояснения учителю лучше вести, используя термины «предшествующая точка», «последующая точка», «первая точка», «последняя точка», «точка постоянства», «точка минимума», «точка максимума».
Рассмотрим следующий пример.
Пусть нужно исследовать функцию / (х) = х2 с
Э(/) = {- 3; - 2; -1; 0; 1; 3}, график которой
изображён на Рис.1. Требуется найти области убывания и возрастания данной функции, а также наибольшее, наименьшее значения этой функции и её точки экстремума и экстремумы.
Решение. Воспользовавшись системой
^у
10' • ' •
5 ■ • ■
• 1 ■ ■ •
1 х
Рис. 1
определений 1-11, последовательно находим области убывания функции и
Обратим внимание на то, что проведённое исследование охватывает всю область определения исследуемой функции, тем самым классифицируя её, что не позволяет сделать традиционная методика, по которой точка минимума функции х = 0 включается как в промежуток убывания, так и в промежуток возрастания функции.
область нестрогого её возрастания, т.е. эти точки не классифицируются. И причина этого заключается в том, что эта функция просто недостаточно детально исследована.
Система определений 1-11 позволяет при исследовании функции на возрастание и убывание разбить все точки её области определения на шесть непересекающихся классов точек: область убывания, область возрастания, область постоянства, точки минимума, точки максимума и точки, не входящие в первые пять классов. В нашем примере имеем: область убывания Д = [а],
область постоянства функции Д = [Ь, с] и область возрастания функции Д = [С]. Т.е. как результат решения задания имеем три непересекающихся множества, покрывающих всю область определения функции.
Рассмотрим ещё один пример исследования функции, график которой изображён на Рис.2. В рамках традиционного исследования эта функция нестрого убывает на множестве О э = {а, Ь, с} и
нестрого возрастает на множестве О & = {Ь, с, й}.
а Ь с
х Отсюда видно, что точки х = Ь и х = с входят как в область нестрогого убывания функции, так и в
Рис. 2
Таким образом, предлагаемый нами подход к исследованию функций на возрастание и убывание представляет собой не только полноценную, но и, скорее всего, безальтернативную схему, позволяющую классифицировать все точки области определения исследуемой функции (см. Рис.3). Желательно, чтобы в начале урока эту схему все учащиеся изобразили у себя в тетрадях, поскольку она в дальнейшем будет использоваться в качестве опорной при исследовании функций и построении их графиков.
Эта же схема исследования функций на основе классификации их областей определения прекрасно работает для непрерывных и кусочно-непрерывных функций, если в качестве инструментов исследования используются окрестности исследуемых точек [1]. Однако в данной статье мы ограничимся лишь пропедевтикой исследования произвольных функций посредством изучения функций, заданных на множествах изолированных функций.
Рис. 3. Схема классификации точек области определения функции
При исследовании функций по этой схеме школьники, не записывая в тетради определения 1-11, подробно под руководством учителя решают 2-3 примера, фиксируют их условия и решения в тетради. А затем приступают к
самостоятельному решению аналогичных примеров у доски и в тетрадях под наблюдением учителя, подправляющего, если это необходимо, их действия. Если класс оборудован интерактивной доской, то, несомненно, изучение материала будет проходить особенно эффективно как во времени, так и по качеству его усвоения. Если же интерактивной доски нет, то можно воспользоваться предварительно заготовленными плакатами с графиками соответствующих функций или рисунками, заранее выполненными на обычной доске. При этом основной упор лучше сделать на устную работу с классом по предварительно подготовленному наглядному материалу.
Для более системного и прочного усвоения нового материала по исследованию функций на наш взгляд полезно воспользоваться технологией УДЕ (укрупнённых дидактических единиц) [4]. Т.е. предложить учащимся выполнить задания, в которых требуется не только исследовать функцию в соответствии со схемой на Рис. 3, но и решить обратную задачу, а именно: по заданным компонетам схемы на Рис.3 требуется построить график соответствующей функции. Следующий этап - это самостоятельное составление и решение учащимися прямой и обратной задач.
Конечно, при вкраплении изучения этого материала в рабочую программу учителя на его изучение потребуется 2-3 урока. Однако в ходе дальнейшего изучения функций затраченное время с лихвой окупится. Можно, конечно, этот материал изучать и на факультативных и кружковых занятиях, но тогда этот материал окажется доступным лишь для значительно меньшего числа школьников.
Таким образом, опираясь на систему определений альтернативного подхода к исследованию функций на убывание и возрастание в средней школе и вузе, изложенного в [1] и предлагаемого в этой статье варианта его адаптации к исследованию функций, заданных на множествах изолированных точек, приходим к следующим выводам и предложениям:
1) определения точек убывания и возрастания необходимо вернуть в школьные учебники алгебры и начал анализа;
2) предлагаемый подход к пропедевтике понятий убывания и возрастания функций в точке, основанный на системе определений 1-11 и схеме на Рис.3, позволит сформировать первоначальное представление об этих понятиях уже в 7-м классе средней школы;
3) использование технологии обучения УДЕ даёт возможность школьникам 7-го класса получить прочные и устойчивые во времени знания, существенно облегчающие дальнейшее исследование функций на убывание и возрастание в старших классах средней школы;
4) предложенная схема исследования функций на убывание и возрастание позволяет классифицировать (один из признаков любой научной теории) все точки их области определения, что невозможно при традиционном подходе в силу его внутренней противоречивости.
Библиографический список
1. Новиков, А.Д. Возрастание и убывание функций на дискретных множествах [Текст] //Высшее образование сегодня. - 2008. - № 12. - C. 83-85.
2. Алгебра и начала анализа [Текст]: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова. - 14-е изд. - М.: Просвещение, 2004. - 384 с.
3. Алгебра [Текст]: Учеб. Для 7 кл. сред. шк. /Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под. ред. С. А. Теляковского. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1991. -240 с.
4. Эрдниев, П.М. Обучение математике в школе. Укрупнение дидактических единиц [Текст]: книга для учителя /Л.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев. - 2 изд. испр. и доп. - М.: АО «Столетие», 1996. - 320 с.
Bibliography
1. Algebra and ABC of Analysis [Text]: Textbook for 10-11 Grades of General Educational Institutions / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn and others, ed. by A.N. Kolmogorov. - 14th Ed. - M.: Education, 2004. - 384 p.
2. Algebra [Text]: Textbook for 7 Grades of Comprehensive Schools / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuc, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. by S.A. Telyakovsky. - 2nd Ed. - M.: Education, 1991. - 240 p.
3. Erdniev, P.M. Teaching Mathematics at School. Integration of Didactic Units [Text]: Teachers’ Book / P.M. Erdniev, B.P. Erdniev. - 2nd Ed. Rev. and Enl. - Moscow: "Century" Joint Company, 1996. - 320 p.
4. Novikov, A.D. Functions Increase and Decrease on Discrete Sets [Text] // Higher Education Today. - 2008. - № 12. - P. 83-85.
