CC BY
53
УДК 517.1/.2: 372.851 ББК 22.161 Н 73
А.Д. Новиков
Кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа Армавирского государственного педагогического университета; E-mail: novikovnad@mailru
АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ СХЕМА И ИНСТРУМЕНТАРИЙ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ НА УБЫВАНИЕ И ВОЗРАСТАНИЕ В АСПЕКТЕ ФУНДАМЕНТАЛИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ
(РЕЦЕНЗИРОВАНА)
Аннотация. В результате анализа традиционного подхода к исследованию функций на убывание и возрастание в данной статье делается вывод о наличии неустранимых в рамках этого подхода противоречий. В качестве альтернативного подхода в аспекте фундаментализации математического образования автором предлагаются новая концепция, инструментарий и схема исследования функций на убывание и возрастание, отвечающая требованиям непротиворечивости и полноты теории и позволяющая классифицировать точки области определения функции.
Ключевые слова: методика преподавания математики; возрастание, убывание и постоянство функций, исследование функций, фундаментализация математического образования.
A.D. Novikov
Candidate of Pedagogy, Assistant Professor of the Mathematical Analysis Department of Armavir State Pedagogical University; E-mail: novikovnad@mailru
ALTERNATIVE SCHEME AND TOOLKIT OF DECREASING AND INCREASING FUNCTION RESEARCHES IN THE ASPECT OF THE FUNDAMENTALIZATION OF
EDUCATION
Abstract. As a result of the analysis of the traditional approach to function research on decrease and increase it is inferred that this approach has ineradicable contradictions. The new concept, toolkit and the scheme of function research on decrease and increase are offered by the author as an alternative approach in the aspect of the fundamentalization of mathematical education. This concept meets the requirements of consistency and completeness of the theory and allows a classification of domain points of the function definition.
Keywords: a technique of teaching mathematics; increase, decrease and a constancy of functions, research of functions, the fundamentalization of mathematical education.
Высокое качество образования невозможно обеспечить вне рамок непрерывного процесса его фундаментализации. Фундаментализация среднего и высшего образования - это сложный процесс, основой которого является сближение и интеграция образовательного процесса с научными знаниями в соответствующей области специализации на основе современных достижений методики обучения и воспитания.
Фундаментализация математического образования как в высшей школе, так и старших классах средней школы предполагает использование в процессе глубокого и основательного изучения математических дисциплин новых научных исследований и достижений математики, создание оптимальных условий для воспитания у школьников и студентов гибкого научного мышления. Значительную роль в таком образовательном процессе играют современные достижения методики обучения математике как научной области педагогики. При этом методика преподавания математики призвана не только оптимизировать процесс обучения, но и в контексте фундаментализации математического образования находить и заменять на более адекватные те традиционные подходы к изучению
некоторых тем и разделов математики, которые по мере развития математики начинают входить в противоречие с современным её содержанием. Одна из таких тем - это исследование функций. Основными критериями такой методической работы должны быть требования полноты и непротиворечивости предлагаемых новых концепций и соответствующих подходов к изучению этих тем или разделов математики.
Благодаря введению элементов математического анализа в школьный курс математики удалось не только существенно углубить и расширить математическую подготовку выпускников школ, но и открыло возможность детально проанализировать традиционные концепцию и подход к изучению функций на убывание и возрастание. Как будет показано ниже, этот подход содержит неустранимые в его рамках логические противоречия, связанные с самой постановкой основной задачи исследования функций. Однако, используя понятия точек убывания и возрастания функции, введённые в математику значительно позже понятий убывающей и возрастающей функций, нами разработана новая концепция и соответствующий подход к исследованию функций на убывание и возрастание, позволяющий полно и без противоречий проводить это исследование.
Под основной задачей исследования функций на возрастание и убывание в современных учебниках по математическому анализу понимается определение множеств, на которых рассматриваемая функция соответственно возрастает и убывает. В школьном курсе алгебры и начал математического анализа (см., например [4]) под этими множествами понимаются промежутки убывания и возрастания функций. В вузовских курсах математического анализа и высшей математики кроме промежутков убывания и возрастания функций находят также отдельные точки возрастания и убывания функции, определения которых в конце 80-х годов прошлого были необоснованно и без всякого обсуждения изъяты из школьных учебников по алгебре и началам анализа. Это привело к невозможности полноценного исследования функций на возрастание и убывание в школе и вызвало серьёзную озабоченность и справедливые нарекания учителей средней школы и преподавателей вузов.
Московский автор, А.Я. Блох, отвечая на вопрос учителей о включении или нет точек экстремума в промежутки возрастания (убывания) функции, в статье [1] пишет « ... одна и та же экстремальная точка принадлежит сразу двум множествам: одному из промежутков возрастания и одному из промежутков убывания функции". И далее автор приводит пример исследования на монотонность функции у = х2. По его мнению, совпадающему с точкой зрения авторов современных школьных учебников по алгебре и началам математического анализа (например, [4]), исследование функций на монотонность сводится к нахождению их промежутков убывания и возрастания. Поэтому данная функция, как он считает, убывает на полуинтервале (— ¥; о] и возрастает на полуинтервале [о; + ¥). Другими словами, точка х = 0, не являясь ни точкой убывания, ни точкой возрастания функции у = х2, а, являясь точкой минимума этой функции, оказывается включённой как в промежуток убывания, так и в промежуток возрастания.
Отнесёмся к этому выводу критически и проанализируем метод получения такого результата. Первая часть утверждения получена в результате применения определения функции, убывающей на множестве к функции у = х2 с областью определения (— ¥ о], а вторая - в результате применения определения возрастающей на множестве функции к функции у = х2 и областью определения [0; + ¥) . Спрашивается, а где же исследование заявленной функции у = х2 с областью определения (— ¥ , + ¥ ) ? Его просто нет. Ведь в ходе такого «исследования» потерян сам его объект - исследуемая функция. Дело в том, что исследованием двух, отличных от заявленной функций, нельзя заменить исследования данной функции, поскольку все три функции задаются одинаковой формулой, но имеют различные области определения. Если же определения монотонных на множестве функций применить к функции у = х2 с областью определения (— ¥ , + ¥ ), то единственный результат, который может быть получен на основе этих определений, таков: функция у = х2 с областью определения (— ¥, + ¥) не является монотонной. Другими словами, исследуемая
на возрастание и убывание функция у = х2 с &(у) = (— ¥, + ¥) так и осталась неисследованной. Этот пример также наглядно неадекватность инструментария исследования (определения монотонных на множестве функций) решению поставленной задачи (исследованию функции на убывание и возрастание).
Аналогичная ситуация складывается и при исследовании любой другой функции, имеющей как точки возрастания, так и точки убывания. Это означает, что такие функции остаются фактически неисследованными. Причина этого заключается, прежде всего, в некорректности концепции подхода к исследованию. А именно: в разбиении области определения исследуемой функции на промежутки с последующим исследованием получившейся совокупности функций на этих промежутках. То есть фактической подменой исследования исходной функции исследованием совокупности других функций.
Более того, как было отмечено выше и будет показано далее, выбор инструментария исследования (определения монотонных функций и точек убывания и возрастания функции) неадекватен поставленной задаче. В самом деле, считая, что основной задачей исследования функций на возрастание (убывание), определение её промежутков возрастания и убывания, мы одновременно отказываемся от исследования исходной функции, так как она неизбежно заменяется совокупностью других функций, задаваемых той же формулой, но другие области определения. Уже этого факта достаточно для того, чтобы отказаться от столь противоречивого и логически необоснованного подхода. Пользуясь же определениями возрастающей и убывающей на множестве функции, можно лишь выяснить, является ли исследуемая функция возрастающей или убывающей. И не более того, что следует из самой сути этих определений.
Опираясь на изложенное выше, приходим к выводу, что используемая ныне постановка основной задачи исследования функций на возрастание и убывание некорректна, поскольку поиск «промежутков возрастания и убывания функции» автоматически приводит к потере объекта исследования - исследуемой функции.
Для исправления этой ситуации мы предлагаем исследовать функции на возрастание и убывание на основе другой, непротиворечивой системы определений, считая основной задачей такого исследования определение областей возрастания и убывания функций [5].
Определение 1. Областью возрастания (убывания) функции называется множество точек возрастания (убывания) этой функции.
Определения точек возрастания и убывания функций приведены в [2, с. 224] и [3, с. 175] и используют понятие 8 -окрестности точки. Однако в силу симметрии 8 -окрестности относительно исследуемой точки х0 в случае дискретных функций с её помощью далеко не всегда можно найти все точки возрастания (убывания) функции. Поэтому обобщим определения точек убывания и возрастания функции, отказавшись от использования только симметричных окрестностей точек.
Определение 2. Точка х0 области определения функции У = /(х) называется точкой убывания, если существует такая окрестность этой точки (х0 — 815 х0 + 8 2), в которой /(х) > /(х0> при х < х0, х е П(/) и /(х) < /(х0> при х > х0, х е П(/) .
Определение 3. Точка х0 области определения функции У = /(х) называется точкой возрастания, если существует такая окрестность этой точки (х0 —81з х0 + 8 2), в которой /(х) < /(х0) при х < х0, х е П(/) и /(х) > /(х0) при х > х0, х е П(/).
В соответствии с этими определениями, где &(/) - область определения функции, точка минимума этой функции х = 0 в примере, рассмотренном выше, не может быть включена ни в область возрастания, ни в область убывания исследуемой функции. Аналогичные заключения, очевидно, будут иметь место и для точек экстремума любых других функций. Такой результат исследования существенно отличается в лучшую сторону от соответствующего результата при традиционном исследовании, поскольку позволяет
классифицировать точку х = 0 .
Ясно также, что если функция не определена справа (слева) от рассматриваемой точки, то определения 2 и 3 для этих точек неприменимы. Поэтому для их классификации потребуются ещё два определения.
Определение 4. Точка х0 называется точкой убывания функции У = /(х) справа (слева), если существует такая правосторонняя (левосторонняя) окрестность этой точки
[х0, х0 + 8) ( (х0 — 8 , х0 ] ), в которой /(х) < /(х0) ( /(х) > /(х0)) при х > х0 ( х < х0 ),
х е &(/) .
Определение 5. Точка х называется точкой возрастания функции У = /(х) справа (слева), если существует такая правосторонняя (левосторонняя) окрестность этой точки
[х0, х0 + 8 ) ((х0 — 8 , х0] ), в которой /(х) > /(х0) (/(х) < /(х0)) при х > х0 (х < х0),
х е &(/) .
Заметим, что определения 4 и 5 можно использовать при исследовании функций на возрастание и убывание, лишь применяя их к наименьшему и наибольшему значениям независимой переменной из области определения функции. Так, например, для функции у = х2 с -О(у) = (— м , + м ) определения 4, 5 не применимы для точки х = 0, поскольку данная
функция определена как слева, так и справа от этой точки.
Остановимся далее на точках, в которых функция нестрого убывает или возрастает. Для этого достаточно
воспользоваться системой определений, аналогичной
системе определений 2-5.
Рассмотрим пример исследования такой функции, график которой изображён на Рис.1., имеет область нестрогого
убывания & з = [а, с] и область нестрогого возрастания & & = [Ь, d]. Отсюда видно, что отрезок, параллельный оси (х),
входит как в область нестрогого убывания функции, так и в область нестрогого её возрастания, т.е. не классифицируется. Поэтому разумно ввести понятие области постоянства функции &— .
Определение 6. Областью постоянства функции называется объединение множеств точек области определения функции, содержащих не менее двух точек. При этом значения функции одинаковы во всех точках каждого, отдельно взятого множества.
Как и для выявления точек убывания и возрастания функции, в качестве инструментария определения точек постоянства функции используются окрестности точек.
Определения 2-6 вместе с определениями точек экстремумов позволяют при исследовании функции на возрастание и убывание разбить все точки её области определения на шесть непересекающихся классов точек: область убывания, область возрастания, область постоянства, точки минимума, точки максимума и точки, не входящие в первые пять классов.
Таким образом, предлагаемый нами подход к исследованию функций на возрастание и убывание представляет собой не только полноценную и, скорее всего, безальтернативную схему, позволяющую классифицировать все точки области определения исследуемой функции (рис.2).
Рис. 1. Немонотонная функция
Точки убывания функции
Точки минимума функции
Область определения функции
Остальные точки функции
Точки
возрастания функции
Точки
максимума функции
Рис. 2. Схема классификации точек области определения функции.
Используя определения 2-6 и схему на Рис. 2, нетрудно получить следующие результаты исследования функции, график которой изображён на Рис.1: область убывания Б с = [а, Ь), область постоянства Д. = [ Ь, с], область возрастания Б -= (с, d]. Определения нестрого возрастающих и убывающих функций, как видно из приведённого примера, становятся излишними ввиду исчерпывающего исследования функции.
Заметим также, что при определении области убывания (возрастания) функции в качестве инструмента классификации необходимо пользоваться двусторонней окрестностью исследуемой точки. И только при классификации точек, соответствующих наименьшему и наибольшему значениям аргумента (если они существуют), используются односторонние окрестности этих точек. В качестве универсального инструмента для выявления точек постоянства функции удобно пользоваться замкнутыми окрестностями исследуемых точек.
Таким образом, мы приходим к схеме исследования функций на убывание и возрастание, изображённой на Рис. 3., где под символом * в обозначении Б* понимается один из трёх символов |, |, _.
©---------------.©------------
Определения точек убывания, возрастания и постоянства
функции
Монотонность функции на интервале
Л
Определения точек убывания и возрастания функции в односторонни х
окрестностях
Монотонность функции на полуинтервала х и отрезках
©
т
Производная функции
I
Н
Точки
минимума
сі
к
Л
с
«
к
а
и
х
&
й
3
х
к
о
13
X
X
<и
ч
и
«
и
Л
с
а.
Область
убывания
Возможно, убывающая функция
Область
постоянства
Область
возрастания
Точки
максимума
Возможно,
постоянная
функция
Возможно, ►(возрастающа я функция
Рис. 3. Схема исследования функций на убывание и возрастание
На схеме (см. Рис. 3) цифрами 1 и 2 обозначены определения, позволяющие классифицировать точки области определения функции; цифрами 3 и 4 обозначены обобщения определений 1 и 2 на любые промежутки; цифрой 5 обозначена производная функции, используемая только для исследования дифференцируемых функций. Блок, обозначенный цифрой 6, представляет собой непересекающиеся классы точек области определения исследуемой функции, что в совокупности с определениями монотонных функций и является конечным результатом исследования.
Заметим, что понятия монотонных функций в предлагаемой схеме используются лишь на заключительном этапе исследования функций наряду с другими пятью понятиями блока 6, что позволяет провести полное и непротиворечивое исследование любой функции действительной переменной на убывание и возрастание.
Предложенная концепция и соответствующий подход к исследованию функций действительной переменной представляют собой альтернативу традиционному, содержащему неустранимые противоречия, подходу и будет полезен авторам школьных и вузовских учебников по математическому анализу при изложении соответствующих разделов. Материалы данной статьи могут быть также использованы для чтения спецкурсов и курсов
по выбору в высших учебных заведениях и в ходе дополнительных занятий с учащимися старших классов средних учебных заведений.
Примечания:
1. Блох А.Я. Возрастание функции в точке и на множестве // Математика в школе. 1978. № 6. С. 21-23.
2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Начальный курс: в 3 т. Т. 1. М.: Изд-во МГУ, 1985. 425 с.
3. Райков Д.А. Одномерный математический анализ: учеб. пособие. М.: Высш. шк., 1982. 415
с.
4. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобраз. учреждений / под ред. А.Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 2004. 384 с.
5. Новиков А.Д. Новый подход к исследованию функций на возрастание и убывание в вузе и школе // Наука и Школа. 2008. № 1. С. 23-26.
