CC BY
104
ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ФУНКЦИЙ НА УБЫВАНИЕ И ВОЗРАСТАНИЕ...
УДК 517.1.2:372.851
Новиков Александр Дмитриевич
Кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа Армавирского государственного педагогического университета, novikovnad@mail.ru, Армавир
ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ФУНКЦИЙ НА УБЫВАНИЕ И ВОЗРАСТАНИЕ В КОНТЕКСТЕ ФУНДАМЕНТАЛИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Novikov Alexandr Dmitrievich
Candidate pedagogical sciences, docent chair of mathematical analysis of Armavir Pedagogical University, novikovnad@mail.ru, Armavir
STUDY OF THE FUNCTIONS ON THE DECREASE AND THE INCREASE IN THE CONTExT of fundamentalization MATHEMATICAL EDUCATION
В современном мире всё большую актуальность приобретает наращивание научного потенциала, и, в частности, через подготовку высококвалифицированных специалистов. В то же время взаимодействие образовательных систем различных стран существенно осложняется различиями образовательных стандартов, уровней подготовки и качества учебных программ. Поэтому 19 июня 1999 г. 29 европейских стран, с целью построения единого Европейского пространства высшего образования к 2010 г., подписали Болонскую декларацию. В ней подчёркивается ведущая роль университетов в укреплении интеллектуального, культурного, социального, научно-технического потенциала, а также создании общей базы «европейских знаний».
Основными целями декларации являются: принятие системы академических степеней; создание европейскими странами образовательных систем, основанных на учебных программах двух уровней - ведущих к получению степеней бакалавра и магистра; устранение препятствий для свободного передвижения студентов, преподавателей, а также исследователей и работников сферы высшего образования; формирование европейской системы обеспечения высокого качества высшего образования.
Одним и необходимых условий, обеспечивающих высокое качество образования, является непрерывный процесс его фундаментализации. Фун-даментализация общего и высшего образования - это сложный процесс, основой которого является сближение и интеграция образовательного процесса с научными знаниями в соответствующей области специализации и её методикой обучения и воспитания.
Фундаментализация математического образования в высшей школе и старших классах средней школы предполагает использование в процессе глубокого и основательного изучения математических дисциплин новых
научных исследований и достижений математики, создание оптимальных условий для воспитания у школьников и студентов гибкого научного мышления. Существенную роль в таком образовательном процессе играют современные достижения методики обучения математике как научной области педагогики. При этом методами методики преподавания математики можно не только оптимизировать процесс обучения, но и в контексте фундаментализации математического образования находить, подправлять и иногда даже заменять те традиционные подходы к изучению конкретных тем и разделов математики, которые по тем, или иным причинам начинают входить в противоречие с её современным содержанием. Основными критериями такой методической работы являются требования, предъявляемые к любой научной теории - это требования полноты и непротиворечивости предлагаемых новых методических концепций и соответствующих подходов к изложению некоторых тем и разделов математики.
Введение в середине 70-х годов прошлого века элементов математического анализа в школьный курс математики позволило не только существенно углубить и расширить математическую подготовку выпускников школ, но и открыло возможность детально проанализировать традиционные концепцию и подход к изучению функций на убывание и возрастание. Как показано ниже, этот подход содержит неустранимые в его рамках логические противоречия. Поэтому, использовав понятия точек убывания и возрастания функции, введённые в математику значительно позднее понятий убывающей и возрастающей функций, мы разработали новую концепцию и соответствующий подход к исследованию функций на убывание и возрастание, позволяющий полно и без противоречий проводить это исследование.
В учебниках математического анализа и высшей математике под основной задачей исследования функций на возрастание и убывание понимается определение множеств, на которых рассматриваемая функция соответственно возрастает и убывает. В школьном курсе алгебры и начал математического анализа (см., например, [4]) под этими множествами понимаются промежутки убывания и возрастания функций. В вузовских курсах математического анализа и высшей математики кроме промежутков убывания и возрастания функций находят также отдельные точки возрастания и убывания функции. Покажем далее, что в обоих случаях такая постановка задачи исследования неизбежно ведёт к неустранимым противоречиям, искажающим результаты исследования.
Предварительно заметим, что различия в постановке основной задачи исследования функций на убывание и возрастание в средней школе и вузе появилось лишь в конце 80-ых годов прошлого столетия, когда понятия точек возрастания и убывания функции были без какого-либо анализа и объяснения причин удалены из учебников алгебры и начал анализа. Это привело к невозможности полноценного исследования функций на возрастание и убывание в школе и вызвало серьёзную озабоченность и справедливые нарекания учителей средней школы и преподавателей вузов.
Рассмотрим пример наглядно подтверждающий сказанное выше. Современный выпускник средней школы оказывается не в состоянии правильно исследовать на убывание и возрастание даже следующую, довольно простую функцию
,У:
~, х Ф 0, 1 х 0, х = 0.
В самом деле, старшеклассники, в качестве результата исследования этой функции напишут, что она убывает на промежутках (- ^ о) и (о, +. При этом точку области определения функции х = 0 (точка возрастания) они никак не классифицируют, поскольку не знакомы с понятиями точек убывания и возрастания функции, которые, как было сказано выше, были изъяты из школьных учебников математики. И лишь студенты вузов, изучающие полные курсы математического анализа, смогут классифицировать эту точку.
Этот контрпример позволят сделать нам следующий вывод: изъятие из учебников алгебры и начал анализа понятий точек убывания и возрастания функций необосновано, поскольку привело к невозможности полноценного исследования функций на убывание и возрастание. Второй вывод автоматически вытекает из первого: необходимо вернуть в школьные учебники алгебры и начал анализа понятия точек убывания и возрастания функций.
Рассмотрим теперь наиболее существенный изъян традиционного подхода к исследованию функций на убывание и возрастание.
Рисунок 1
В статье [1], А. Я. Блох, отвечая на вопрос учителей о включении или нет точек экстремума в промежутки возрастания (убывания) функции, пишет “ ... одна и та же экстремальная точка принадлежит сразу двум множествам: одному из промежутков возрастания и одному из промежутков убывания функции”. И далее автор приводит пример исследования на монотонность функции У = х (см. рис. 1). По его мнению, исследование функций на монотонность должно сводится к нахождению их промежутков убывания и возрастания (см., например, [4]). Поэтому данная функция, как он считает, убывает на полуинтервале (-те; о] и возрастает на полуинтервале [0; + га).
Отнесёмся к этому выводу критически, исследовав метод получения такого результата. Первая часть утверждения получена в результате применения определения функции, убывающей на множестве к функции У = х 2 с областью определения (-~; о], а вторая - в результате применения определе-
_ 2
ния возрастающей на множестве функции к функции У = х и областью определения [0; +~). Другими словами, исследуется не сама функция У = х 2 с областью определения (-”= + те), а две другие функции: У =х 2 с областью определения (- “, + “) и У = х 2 с областью определения (- тс, + тс). Спрашивается, а где же исследование заявленной функции у = х с областью определения (-“, + га) ? Его просто нет. Ведь в ходе такого «исследования» потерян сам его объект - исследуемая функция. Дело в том, что исследованием двух, отличных от заявленной функций, нельзя заменить исследования данной функции. Даже если все три функции задаются одинаковой формулой, но они имеют различные области определения. Если же определения монотонных на множестве функций применить к функции У = х с областью определения (- , то единственный результат, который может быть получен
_ 2
на основе этих определений таков: функция У = х с областью определения (-”’ + те) не является монотонной. Таким образом, исследуемая на возрастание и убывание функция У = х с областью определенияD(У) =(- ^, + так и
осталась неисследованной.
Аналогичная ситуация складывается и при исследовании любой другой функции, содержащей в своей области определения как точки возрастания, так и точки убывания. Это означает, что такие функции остаются фактически неисследованными. Причина этого заключается, прежде всего, в некорректности концепции подхода к исследованию. А именно, в разбиении области определения исследуемой функции на промежутки с последующим исследованием получившейся совокупности функций на этих промежутках. То есть, происходит фактическая подмена исследования исходной функции исследованием совокупности других функций.
Более того, как будет показано ниже, выбор инструментария исследования (определения монотонных функций и определения точек убывания и возрастания функции) неадекватен поставленной задаче. Дело в том, что, пользуясь определениями возрастающей и убывающей на множестве функции, можно лишь выяснить, является ли исследуемая функция возрастающей или убывающей. И не более того, что следует из самой сути этих определений.
Сказанное выше подтверждает также исследование на возрастание и
убывание дифференцируемых функций. Например, функция у = - имеет
1 х производную у'=- х? < 0 на всей области определения данной
функции D=(-~,0) и (0, + <*>). Следовательно, эта область D и является областью её убывания, под которой понимается множество точек, в каждой из которых данная функция убывает. И в то же время функция у = х с D(у) = (- 0) и (0, + ~)
не является убывающей, так как не удовлетворяет соответствующему определению убывающей функции. Тем не менее, говорить, что эта функция является убывающей на промежутках (-~0) и (0, + м) бессмысленно, посколь-
ку тогда, на самом деле, речь пойдёт уже о двух других функциях у=х с областью определения D = (-^, 0) и у = х с областью определения (0, +^).
Опираясь на изложенное выше, приходим к двум выводам:
1) используемая ныне постановка основной задачи исследования функций на возрастание и убывание некорректна, поскольку поиск промежутков возрастания и убывания функции автоматически приводит к потере объекта исследования;
2) инструментарий исследования функций на убывание и возрастание (определения монотонных функций) недостаточен, поскольку он позволяет исследовать только монотонные функции.
Поэтому мы предлагаем исследовать функции на возрастание и убывание на основе другой, непротиворечивой системы определений, считая основной задачей такого исследования определение областей возрастания и убывания функций [5-7].
Определение 1. Областью возрастания (убывания) функции называется множество точек возрастания (убывания) этой функции.
Определения точек возрастания и убывания функций приведены в [2, с. 224] и [3, с. 175] и используют понятие д -окрестности точки. Однако в силу симметрии д -окрестности относительно исследуемой точки в случае дискретных функций с её помощью далеко не всегда можно найти все точки возрастания (убывания) функции, что показывает следующий пример.
Пусть требуется выяснить, является ли точка х =1 точкой возрастания функции /(х) = х2 с областью определения D(f) = {- 3; - 2; -1; 0; 1; з}. Требуется также найти области возрастания и убывания данной функции.
Рисунок 2
В этом примере (см. график на рис. 2) определение точки возрастания функции на основе понятия д -окрестности точки не позволяет классифицировать точку х = 1 как точку возрастания данной функции, поскольку не существует такой д-окрестности этой точки, в которой /(х1) < /(х) </(х2), где х1е(1 - д; 1) и х2 е(1;1 + д). В то же время, как видно, например, из графика данной функции точка х = 1 есть точка возрастания заданной функции. Этот пример позволяет сделать вывод, что определения точек возрастания и убывания функций, базирующиеся на понятии д-окрестности, успешно позволяют находить эти точки только при исследовании непрерывных функций и беспомощны в случае дискретных функций. Если же обобщить эти
определения, заменив в них понятие д -окрестности на понятие окрестности, которая может быть и несимметричной относительно исследуемой точки, то точка х =1 в рассмотренном выше примере будет классифицирована как точка возрастания функции. Сформулируем обобщённые определения точек убывания и возрастания функции.
Определение 2. Точка х области определения функции У = /(х) называется точкой убывания, если существует такая окрестность этой точки
(х0 - д1, х0 + д2), в которой /(х) > /(х0) при х < х0, х6 ^(/) и /(х) < /(х0) при х > х0, х 6 В(/).
Определение 3. Точка х° области определения функции У = /(х) называется точкой возрастания, если существует такая окрестность этой точки (х0 - д1, х0 + д2 ), в которой /(х) < /(хо) при х < х0, х6 ^(/) и /(х) > /(х0) при х > х0, х 6 Б(/)’.
В соответствии с этими определениями, где ^( /) - область определения функции, точка минимума функции х = 0 в примере не может быть включена ни в область возрастания, ни в область убывания исследуемой функции. Аналогичные заключения, очевидно, будет иметь место и для точек экстремума любых других функций.
Исследуем далее точки х = -3 и х = 3 из предыдущего примера. Ясно, что поскольку функция не определена слева от точки х = -3 и справа от точки х = 3, а значит определения 2 и 3 для этих точек неприменимы. Поэтому для их классификации потребуются ещё два определения.
Определение 4. Точка х0 называется точкой убывания функции у = /(х) справа (слева), если существует такая правосторонняя (левосторонняя) окрестность этой точки [х0, х0 + д) ((х0 - д, х0 ]), в которой /(х) < /(х0) ( /(х) > /(х0)) при
х > х0 ( х < х,), х 6 Б(/).
Определение 5. Точка х0 называется точкой возрастания функции у = / (х) справа (слева), если существует такая правосторонняя (левосторонняя) окрестность этой точки к, х0 +д)((х0 -д, х0]), в которой /(х) >/(х0) (/(х) </(х0)) при х > х0 ( х < х0), х 6 В(/).
Применяя определения 4 и 5 соответственно к точкам х = -3 и х =3, приходим к выводу, что точка х = -3 - это точка убывания справа, а точка х = 3 - точка возрастания слева. Следовательно, областью убывания функции из предыдущего примера является множество ^ ={- 3, - 2,-1} , а областью возрастания - -От={1,3}. Заметим, что практикуемый ныне в средней и высшей школе подход к исследованию функций, подобных той, что приведена в только что рассмотренном примере, вообще неприменим (средняя школа), либо приводит, как было показано выше, к подмене объекта исследования (высшая школа).
Ясно также, что при первоначальном введении функциональной зависимости и изучении свойств функций в 7 классе средней школы сразу же вводить такое, далеко не самое простое для усвоения понятие, как понятие окрестности точки привело бы к некоторым методическим затруднениям. Это понятие разумнее было бы ввести при последующем изучении функций в
8-ом и 9-ом классах. И всё же, если в 7-ом классе при изучении функций, заданных на множествах изолированных точек заменить определения 2-4 на эквивалентные им определения, в которых используются гораздо более простые для усвоения понятия - понятия предшествующей и последующей точек дискретного множества, то сформировать правильные начальные представления учащихся о точках убывания и возрастания функций вполне возможно. Это тем более уместно, поскольку графики функции строятся с помощью таблиц значений функции, составаленных для отдельных точек её области определения.
Определение 2'. Точка х, называется точкой возрастания функции У = /(х), если выполняется неравенство /(х;-1) < /(х) < /(х;+1), т. е. если значение функции в данной точке больше значения функции в предшествующей точке, но меньше значения функции в последующей точке.
Определение 3'. Точка х называется точкой убывания функции У = /(х), если выполняется неравенство / (^-^ > / (х) > / (л^, т. е. если значение функции в данной точке меньше значения функции в предшествующей точке, но больше значения функции в последующей точке.
Определение 4'. Точка а = х1 функции у = / (х) называется точкой убывания (возрастания) справа, если выполняется неравенство /(х1) >/(х2) ( / (х,) < / ( х2}).
Т. е., если значение функции на левой границе её области определения ®(/) больше (меньше) значения функции в последующей точке.
Определение 5'. Точка ь = хп функции у = /(х) называется точкой убывания (возрастания) слева, если выполняется неравенство /(хп) </(х»-1)
( / (хп ) > / (х,-1)).
Т. е., если значение функции на правой границе её области определения меньше (больше) значения функции в предыдущей точке.
Заметим, что определения 4, 5, 4', 5' можно использовать при исследовании функций на возрастание и убывание лишь, применяя их к наименьшему и наибольшему значениям независимой переменной из области определения функции. Так, например, для функции у = х 2 с в( у) Ч-^ + ~) определения 4, 5 нельзя применять для точки х0 = 0, поскольку данная функция определена как слева, так и справа от этой точки.
Остановимся далее на выявлении множеств точек, в которых функция нестрого убывает или возрастает. Для этого достаточно воспользоваться системой определений, аналогичной системе определений 2-5, в которой знаки > и < заменены на знаки — и —.
Рассмотрим пример исследования такой функции, график которой изображён на рис. 3., имеет область нестрогого убывания 1= [а1, с] и область нестрогого возрастания 0±= [Ь, й]. Отсюда видно, что отрезок, параллельный оси (х) входит как в область нестрогого убывания функции, так и в область нестрогого её возрастания, т. е. точки этого отрезка не классифицируются, а значит, функция недостаточно детально исследована. Поэтому разумно ввести понятие области постоянства функции &-.
Определение 6. Областью постоянства функции называется объединение множеств точек области определения функции, каждое из которых включает в себя не менее двух точек, значения функции в которых одинаковы.
Как и для выявления точек убывания и возрастания функции, в качестве инструментария определения точек постоянства функции, используются окрестности точек.
Определения 2-6 вместе с определениями точек экстремумов позволяют при исследовании функции на возрастание и убывание разбить все точки её области определения на шесть непересекающихся классов точек: область убывания, область возрастания, область постоянства, точки минимума, точки максимума и точки, не входящие в первые пять классов.
Таким образом, предлагаемый нами подход к исследованию функций на возрастание и убывание представляет собой не только полноценную и, скорее всего, безальтернативную схему, позволяющую классифицировать все точки области определения исследуемой функции (схема).
Схема классификации точек области определения функции.
Используя определения 2-6, нетрудно получить следующие результаты исследования функции, график которой изображён на рис. 3: область убывания D = [а, Ь), область постоянства В- = [ь,с], область возрастания В1= (с ^]. Здесь точки х =ь и х = с включены в область постоянства функции, поскольку существуют их односторонние окрестности, содержащие эти точки, во всех точках которых значения функции одинаковы. Определения нестрого возрастающих и убывающих функций, как видно из приведённого при-
мера, становятся излишними в процессе исследования, ввиду того, что выполненное исследование более детально.
Заметим также, что при определении области убывания (возрастания) функции в качестве инструмента классификации необходимо пользоваться двусторонней окрестностью исследуемой точки. И только при классификации точек, соответствующих наименьшему и наибольшему значениям аргумента (если они существуют) используются односторонние окрестности этих точек. В качестве универсального инструмента выявления точек постоянства функции следует пользоваться замкнутыми окрестностями исследуемых точек.
В ходе дальнейшего изучения свойств функций важно обратить внимание на необходимость уточнения терминологии при исследовании функций на непрерывность и с помощью производных. А именно:
- при исследовании функций на непрерывность вместо термина «промежутки непрерывности» следует пользоваться термином «область непрерывности»;
- при вычислении производной функций действительной переменной вместо терминов «промежутки дифференцируемости» функции следует пользоваться термином «область дифференцируемости» функции;
- при исследовании функций действительной переменной на выпуклость (вогнутость) вместо терминов «промежутки выпуклости функции» и «промежутки вогнутости функции» правильно использовать термины «область выпуклости функции» и «область вогнутости функции».
Таким образом, в результате детального анализа традиционного подхода к исследованию функций на убывание и возрастание в средней школе и вузе приходим к следующим выводам и предложениям:
1) традиционный подход содержит неустранимые внутренние противоречия, связанные с некорректной постановкой основной задачи и неадекватностью инструмента исследования;
2) предложены новая концепция исследования функций на убывание и возрастание, соответствующий ей подход и адекватный инструментарий;
3) в рамках нового подхода сформулирована основная задача исследования функций на убывание и возрастание, разработана схема исследования функций на основе классификации точек её области определения;
4) разработаны методические рекомендации реализации нового подхода в средних школах и вузах.
Библиографический список
1. Блох А. Я. Возрастание функции в точке и на множестве [Текст]/ А. Я. Блох// Математика в школе. - 1978. - № 6 - С. 21-23.
2. Ильин В. А. Математический анализ. Начальный курс [Текст]/ В. А. Ильин,
В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов В 3-х т. Т. 1. - М.: Изд-во МГУ, 1985. - 425 с.
3. Райков Д. А. Одномерный математический анализ [Текст]: учеб. пособие/ Д. А. Райков - М.: Высш. школа, 1982. - 415 с.
4. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова. - 14-е изд. - М.: Просвещение, 2004. - 384 с.
5. Новиков А. Д. Новый подход к исследованию функций на возрастание и убывание в вузе и школе [Текст]/ А. Д. Новиков // Наука и Школа. - 2008 - № 1 -
С. 23-26.
6. Новиков А. Д. О корректном введении определения возрастающей (убывающей) на множестве функции [Текст]/ А. Д. Новиков// Высшее образование сегодня. - 2008 - № 2, с. 70-72.
7. Новиков А. Д. Возрастание и убывание функций на дискретных множествах. [Текст]/ А. Д. Новиков//Высшее образование сегодня.- 2008 - № 12 - С. 83-85.
