CC BY
39
2. Божович Л.И. Личность и ее формирование в детском возрасте. - М., 1968.
3. Кон КС. Психология юношеского возраста. - М.: Просвещение, 1979. - 175 с.
4. Ремшмидт X. Подростковый и юношеский возраст: Проблемы становления личности.
- М., 1994.
Мымрикова Анна Игоревна
Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347922, . , . , 2.
Тел.: +78634312016. "
Истратова Оксана Николаевна
E-mail [email protected].
Mymrikova Anna Igorevna
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
2, Chehova St., Taganrog, 347922, Russia.
Phone: +78634312016.
Istratova Oksana Nikolaevna
E-mail: [email protected].
УДК 517.1/.2 : 372.851
АД. Новиков
НОВЫЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ В КОНТЕКСТЕ ФУНДАМЕНТАЛИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
В результате анализа существующего в настоящее время подхода к исследованию функций на убывание и возрастание, в данной статье делается вывод о наличии неустранимых в рамках этого подхода противоречий. В качестве альтернативного подхода в контексте фундаментализации математического образования автором предлагаются новая концепция, в основу которой положены не определения монотонных функций, а определения точек убывания (возрастания) и постоянства функций. Предложены инструментарий и схема исследования функций на убывание и возрастание, применимые в вузовских и школьном курсах математического анализа. Классификация точек области определения функции рассматривается как конечный результат исследования.
Методика преподавания математики; возрастание; убывание и постоянство функ; .
A.D. Novikov
A NEW APPROACH TO THE STUDY OF FUNCTIONS IN THE CONTEXT THEORIZATION MATHEMATICAL EDUCATION
An analysis of currently existing approaches to the study of functions on the decrease and increase, this article concludes that there is unrecoverable under this approach contradictions. As an alternative approach in the context of the fundamental nature of mathematical education of the author proposes a new concept that draws on its determination not monotone functions, and determining the points of decrease (increase) and the constant functions. Proposed tools and study design features on the decrease and increase, applicable to university and school course in ma-
2l4
thematical analysis. Classification points of the function definition is considered as the end result of the study.
Methods of teaching mathematics; increase; decrease; constant functions; the study offunc-tions; fundamentalization mathematically education.
B условиях всемирной глобализации, стремительного расширения информационного пространства и насущной потребности стран в развитии инновационных технологий в современном мире особую актуальность приобретает наращивание
, ,
специалистов. Однако, взаимодействие образовательных систем различных стран существенно осложняется различиями образовательных стандартов, уровней и качества учебных программ. Поэтому, с целью построения единого Европейского пространства высшего образования (European Higher Education Area) к 2010 г. была составлена Болонская декларация, указывающая на ведущую роль университетов в укреплении интеллектуального, культурного, социального, научно, « ».
Одной и важнейших компонент, обеспечивающих высокое качество образова-, . математтеского образования в высшей школе и старших классах средней школы предполагает использование в процессе глубокого и основательного изучения математических дисциплин новых научных исследований и достижений математики, создание оптимальных условий для воспитания у школьников и студентов гибкого . -рают современные достижения методики обучения математике как научной облас-.
оптимизировать процесс обучения, но и в контексте фундаментализации математического образования находить и исправлять те традиционные подходы к изучению конкретных тем и разделов математики, которые по тем, или иным причинам начинают входить в противоречие с современным её содержанием. Основными критериями такой методической работы являются требования, предъявляемые к любой научной теории - это требования полноты и непротиворечивости предлагаемых новых концепций и соответствующих подходов некоторых тем и разделов математики. Введение элементов математического анализа в школьный курс математики позволило не только существенно углубить и расширить математическую подготовку выпускников школ, но и открыло возможность детально проанализировать традиционные концепцию и подход к изучению функций на убывание . , -ках логические противоречия. Однако, с использованием понятия точек убывания и возрастания функции, введённого в математику значительно позже понятий убывающей и возрастающей функций, нами разработана новая концепция и соответствующий подход к исследованию функций на убывание и возрастание, позволяющий полно и без противоречий проводить это исследование.
В современных учебниках по математическому анализу под основной задачей исследования функций на возрастание и убывание понимается определение ,
убывает. В школьном курсе алгебры и начал математического анализа (см., например [4]) под этими множествами понимаются промежутки убывания и возрас-. -ки кроме промежутков убывания и возрастания функций находят также отдельные точки возрастания и убывания функции.
Заметим, что в средней школе в конце 80-ых годов прошлого столетия понятия точек возрастания и убывания функции были вообще изъяты из учебников по алгеб-
ре и началам анализа. Это привело к невозможности полноценного исследования функций на возрастание и убывание в школе и вызвало серьёзную озабоченность и справедливые нарекания учителей средней школы и преподавателей вузов.
В статье [1] А.Я. Блох, отвечая на вопрос учителей о включении или нет точек экстремума в промежутки возрастания (убывания) функции, пишет " ... одна и та же экстремальная точка принадлежит сразу двум множествам: одному из промежутков возрастания и одному из промежутков убывания функции". И далее автор приводит пример исследования на монотонность функции у = x2. По его мнению, совпадающему с точкой зрения авторов современных школьных учебников по алгебре и началам математического анализа (например, [4]), исследование функций на монотонность сводится к нахождению их промежутков убывания и возрастания. Поэтому данная функция, как он считает, убывает на полуинтервале (— то; 0] и возрастает на полуинтервале [0; + то).
Отнесёмся к этому выводу критически и проследим метод получения такого результата. Первая часть утверждения получена в результате применения определения функции, убывающей на множестве, к функции у = x2 с областью определения (— то; 0], а вторая - в результате применения определения возрастающей на
множестве функции к функции у = x2 и областью определения [0; + то). Спрашивается, а где же исследование заявленной функции у = x2 с областью определения (— то, + то)? Его просто нет. Ведь в ходе такого «исследования» потерян
сам его объект - исследуемая функция. Дело в том, что исследованием двух, отличных от заявленной функций, нельзя заменить исследования данной функции. Действительно, все три функции, задаются одинаковой формулой, но име ют различные области определения. Поэтому, если определения монотонных на множестве функций применить к функции у = x2 с областью определения (— то, + то), то единственный результат, который может быть получен на основе этих определений, таков: функция у = x2 с областью определения (— то, + то) не является монотонной. Другими словами, исследуемая на возрастание и убывание функция у = x2 с областью определения D(у) = (— то, + то) так и осталась неисследо-.
функции, имеющей как точки возрастания, так и точки убывания. Это означает, что такие функции остаются фактически неисследованными. Причина этого за, , .
,
с последующим исследованием получившейся совокупности функций на этих промежутках. То есть, фактической подменой исследования исходной функции исследованием совокупности других функций.
, ,
(определения монотонных функций и точек убывания и возрастания функции) неадекватен поставленной задаче. В самом деле, считая, что основной задачей исследования функций на возрастание (убывание) определение её промежутков возрастания и убывания, мы одновременно отказываемся от исследования исход, , задаваемых той же формулой, но с другими областями определения. Уже этого факта достаточно для того, чтобы отказаться от столь противоречивого и логически необоснованного подхода. Пользуясь же определениями возрастающей и убы-
вающей на множестве функции, можно лишь выяснить, является ли исследуемая функция возрастающей или убывающей. И не более того, что следует из самой сути этих определений.
Сказанное выше позволяет утверждать, что существует серьёзная методическая проблема в самой концепции (постановка задачи, инструментарий) подхода к исследованию функций действительной переменной на убывание и возрастание. , , соответствующего подхода к исследованию функций посвящена эта работа.
Направление поиска и формирования новой концепции и подхода к исследованию функций на убывание и возрастание можно усмотреть, изучая
дифференцируемые функции. Например, функция у =1 имеет производную
x
у = —— < 0 на всей области определения данной функции, т.е. для всех точек
x2
множества О = (— то, 0) и (0, + то), каждая точка которого является точкой убывания этой функции. Поэтому, эту область О и будем считать областью убывания данной функции. В то же время функция у =1 с областью определения
x
О(у) = (— то, 0) и (0, + то) те является убывающей, так как не удовлетворяет соответствующему определению убывающей функции. Итак, говорить, что эта функция является убывающей на промежутках (— то, 0) (0, + то) бессмыслен, , других функциях: у =1 с областью определения О = (—то, 0) у =1 с обла-x x
стью определения (0, + то). Итак, найденную область убывания данной функции
и будем считать результатом исследования, поскольку эта область совпадает с областью её определения.
, , функции на убывание и возрастание на основе другой, непротиворечивой системы
,
возрастания и убывания функций [5].
Определение 1. Областью возрастания (убывания) функции называется множество точек возрастания (убывания) этой функции.
Определения точек возрастания и убывания функций приведены в [2] и [3] и используют понятие 8 -окрестности точки. Однако в силу симметрии
8 -окрестности относительно исследуемой точки X0 в случае дискретных функций с её помощью далеко не всегда можно найти все точки возрастания () .
Например, пусть требуется классифицировать точку x = 1 функции /^) = X с областью определения О(/) = {— 3; — 2; — 1; 0; 1; 3}, а также найти области убывания и возрастания этой функции. В этом примере определение точки возрастания функции на основе понятия 8 -окрестности точки не позволяет классифицировать точку x = 1 как точку возрастания данной функции, поскольку не существует такой 8 -окрестности этой точки, в которой
/(x1) < /(x) < /(x2), где x1 е(1 — 8;1) и x2 е (1;1 + 8) . В то же время ясно, что поскольку f (0) < f (1) < f (3), то точка x = 1 есть точка возрастания . ,
функций, базирующиеся на понятии 8 -окрестности, позволяют находить эти точки только при исследовании непрерывных функций и не срабатывают в случае . ,
8- ,
относительно исследуемой точки, то точка x = 1 в рассмотренном выше примере будет классифицирована как точка возрастания функции. Приведём формулировки обобщённых определениий точек убывания и возрастания функции.
Определение 2. Точка X0 области определения функции у = f (x) называется точкой убывания, если существует такая окрестность этой точки (0 —81, X0 +82), в которой f(x) > f(x0) при x < X0, X е D(f) и
f (X) < f (Xo) при .X > x0, x е О ().
Определение 3. Точка X0 области определения функции у = f (X) называется точкой возрастания, если существует такая окрестность этой точки ( — 81, X,, + 82 ), в которой f (X) < f (X0) при X < X0 , Xе О(f) и
f (X) > f (Xo) при x > Xo, X е О( f ).
В соответствии с этими определениями точка минимума функции X = 0 в примере не может быть включена ни в область возрастания, ни в область убывания . , , для точек экстремума любых других функций.
Исследуем далее точки X = —3 и X = 3 из последнего примера. Ясно, что поскольку функция не определена слева от точки X = —3 и справа от точки X = 3, то определения 2 и 3 для этих точек неприменимы. Поэтому для их классификации потребуются ещё два определения.
Определение 4. Точка X0 называется точкой убывания функции у = /(X) справа (слева), если существует такая правосторонняя (левосторонняя) окрестность этой точки [*;0, x0 +8) (^0 — 8, x0]), В которой f (X) < f (X,,)
(f (X) > f ^0)) при X > x0 (X < x0), Xе О(f).
Определение 5. Точка Xo называется точкой возрастания функции у = / (X) справа (слева), если существует такая правосторонняя (левосторонняя) окрестность ЭТОЙ ТОЧКИ ^0, X0 + 8) ( X — 8, x0 ]), В которой f (X) > f (x0)
( f (X) < f (x0)) при X > x0 (X < x0), Xе ).
Применяя определения 4 и 5 соответственно к точкам X = —3 и X = 3 , приходим к выводу, что точка X = —3 - это точка убывания справа, а точка X = 3 - точка возрастания слева. Следовательно, областью убывания функции из предыдущего примера является множество О х={— 3, — 2,— 1}, а областью
- О т={1,3}.
школе подход к исследованию функций, подобных той, что приведена в только
что рассмотренном примере, вообще неприменим (средняя школа), либо приводит, как было показано выше, к подмене объекта исследования (высшая школа).
Остановимся далее на выявлении точек, в которых функция нестрого убывает или возрастает. Для этого достаточно воспользоваться системой определений, аналогичной системе определений 2-5.
Рассмотрим пример исследования такой функции, (рис. 1), которая имеет область нестрогого убывания О э = [а, с] и область
нестрогого возрастания О & = [ь, й] . Отсюда видно, что отрезок, параллельный оси (X) входит как в область нестрогого убывания , -X растания, т.е. не классифицируется. По-
этому разумно ввести понятие области
постоянства функции О_.
Определение 6. Областью постоянства функции называется объединение множеств точек области определения функции, каждое из которых включает в себя не менее двух точек, в которых значения функции одинаковы.
Как и для выявления точек убывания и возрастания функции, в качестве инструментария выявления точек постоянства функции используются окрестности точек (в некоторых случаях - замкнутые).
Определения 2-6 вместе с определениями точек экстремумов позволяют при исследовании функции на возрастание и убывание разбить все точки её области определения на шесть непересекающихся классов точек: область убывания, об, , , -, .
, -растание и убывание представляет собой не только полноценную и, скорее всего,
,
( . 2).
Рис. 1
Рис. 2. Схема классификации точек области определения функции
Используя определения 2-6, нетрудно получить следующие результаты исследования функции, график которой изображён на рис.1: область убывания О х = [а, Ь), область постоянства О_ = [Ь, с], область возрастания О - (с, й]■
Определения нестрого возрастающих и убывающих функций, как видно из приведённого примера, становятся излишними ввиду исчерпывающего исследования функции. Заметим также, что при определении области убывания (возрастания) функции в качестве инструмента классификации необходимо пользоваться двусторонней окрестностью исследуемой точки. И только при классифи-,
(если они существуют) используются односторонние окрестности этих точек. В качестве универсального инструмента, позволяющего найти все точки постоянства , .
, ,
,
действительной переменной на убывание и возрастание. Оновная задача такого исследования заключается в классификации точек области определения изучаемой .
В ходе дальнейшего изучения свойств функций важно обратить внимание на необходимость уточнения терминологии при исследовании функций на непрерывность и с помощью производных. А именно:
♦ при исследовании функций на непрерывность вместо термина «промежутки непрерывности» следует пользоваться термином «область непрерывности»;
♦ при вычислении производной функ ций действительной переменной вместо терминов «промежутки дифференцируемости» функции следует пользоваться термином «область дифференцируемости» функции;
♦
( ) « » «промежутки вогнутости функции» правильно использовать термины
« » « ».
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Блох А. Я. Возрастание функции в точке и на множестве // Математика в школе. - 1978.
- № 6. - C. 21-23.
2. Ильин В.А., В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов Математический анализ. Начальный курс: В 3-х т. Т.1. - М.: Изд-во МГУ, 1985. - 425 с.
3. . . : . . - .: . ,
1982. - 415 с.
4. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А.Н. Кол-
, . . , . . . / . . . . - 14- .
- М.: Просвещение, 2004. - 384 с.
5. . .
и школе // Наука и Школа. - 2008. - № 1. - C. 23-26.
Новиков Александр Дмитриевич
Армавирский государственный педагогический университет.
E-mail: [email protected].
352900, . , . , 159.
Тел: 89284149847.
Novikov Alexander Dmitrievich
Armavir State Pedagogical University.
E-mail: [email protected].
352900, Armavir, Krasnodar Region, st. Rosa Luxemburg, 159.
Phone: +79284149847.
