О производной логарифмического потенциала двойного слоя Текст научной статьи по специальности «Математика»

2019 Математика и механика № 62

УДК 517.2; 519.64 MSC 45E05; 3Ш10

DOI 10.17223/19988621/62/4

Э.Г. Халилов, М.Н. Бахшалыева

О ПРОИЗВОДНОЙ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА ДВОЙНОГО СЛОЯ1

Дана формула для вычисления производной логарифмического потенциала двойного слоя и изучены некоторые основные свойства оператора, порожденного производной логарифмического потенциала двойного слоя в обобщенных пространствах Гёльдера.

Ключевые слова: уравнения Лапласа, кривая Ляпунова, производная логарифмического потенциала двойного слоя, криволинейный сингулярный интеграл, обобщенные пространства Гёльдера.

Известно [1], что краевые задачи для уравнения Лапласа приводятся к сингулярному интегральному уравнению, зависящему от нормальной производной логарифмического потенциала двойного слоя

^(*) = 1дфП£гр^у' х - ь,

Ь дп(у)

где Ь с К2 - простая замкнутая кривая Ляпунова с показателем 0 <а< 1, п(у) - внешняя единичная нормаль в точке у е Ь , р(у) - непрерывная функция на кривой Ь , а Ф(х, у) - фундаментальное решение уравнения Лапласа, т.е.

1 1 2

Ф( х, у) = — 1п---, х, у е К2, х Ф у.

2п х - у

Построенные Ляпуновым контрпримеры показывают [2], что для потенциалов простого и двойного слоев с непрерывной плотностью производные, вообще говоря, не существуют. Следует отметить, что в работе [3] доказана ограниченность оператора, порожденного прямым значением производной акустического потенциала простого слоя в обобщенных пространствах Гёльдера, а в работе [4] дана приемлемая формула для вычисления производной акустического потенциала двойного слоя и изучены основные свойства оператора, порожденного производной акустического потенциала двойного слоя в обобщенных пространствах Гёль-дера. Исходя из этих результатов, в работе [5] построена кубатурная формула для нормальной производной акустического потенциала двойного слоя, а в работах [6-8] исследованы приближенные решения интегральных уравнений краевых задач для уравнения Гельмгольца в трехмерном пространстве. Однако до сих пор теоретически не обосновано исследование приближенных решений сингулярных интегральных уравнений краевых задач для уравнения Лапласа, зависящих от нормальной производной логарифмического потенциала двойного слоя. Причина заключается в том, что не найдена приемлемая формула для вычисления производной логарифмического потенциала двойного слоя и не исследованы основные

1 Работа выполнена при поддержке "Университетского гранта" АГУНП (грант №№ ADNSU-2018-1-01).

dW (х)

свойства оператора (^4р)(х) =-, х е L , в обобщенных пространствах Гёль-

dn (х)

дера, чему и посвящена настоящая работа.

2. Существование и формула вычисления производной логарифмического потенциала двойного слоя

Через C (L) обозначим пространство всех непрерывных функций на L с нормой ||р||ш = max|р(х)|, а для функции ф(х) е C(L) введем модуль непрерывности вида

xeL

ю(ф, 5) = 5 sup ^^, 8 > 0,

т>8 Т

где ю(ф,т) = max |ф(х) -ф(y)|.

|х - У <т

х, yeL

Теорема 1. Пусть L с R2 - простая замкнутая кривая Ляпунова с показателем 0 <а < 1, р(х) - непрерывно дифференцируемая функция на L и

diamL *

ra(gradp, t)

J m(graQp'f)dt <+».

о t

Тогда логарифмический потенциал двойного слоя Ж(х) имеет на Ь производную,причем

-, 1 .(ух, п(у)) ух

Егаа Ж (х) = — Г^-(р( у) -р( х) )Ьу +

п Ь |х - у|4 У

(Р(У)-р(х))^Ьу, хеЬ (1)

2п ' |х - у|2

L

|gadW (х )|< М [iPL+l j^M

dt

V х e L .

где последний интеграл в равенстве (1) существует в смысле главного значения Коши.

Доказательство. Известно, что [9]

— J

2 п J

(Ух,П(У)) dL =-1, х е L,

2п Ь |х-у|2 У 2

тогда выражение Ж (х) можно представить в виде

1 . (ух, п (у)) 1

Ж(х)= Т-Р, V Ш-р(х))Ьу -2р(х), х е Ь .

2п ь Iх - у\ 2

Функция р( х) непрерывно дифференцируема, поэтому, принимая во внимание неравенства2

|(ух,n (y))|<М\х-y|1+a , Vх,y е L ,

и

2 Здесь и далее через М будем обозначать положительные постоянные, разные в различных неравенствах.

получаем, что

(р( у)-Р( х))

- у|2

< м

\х - у |а , V х, у е Ь ,

и, следовательно, функция Ж(х) имеет на Ь производную, причем grad Ж (х) = — | grad

^^ (Р( у)-Р( х))

Iх - у|

¿Ьу --gradр(х) =

-Ч

тт <>

(ух, п(у))ух ^

iх - у|4

(р(у)-р(х))сЬу + (р(у)-р(х))Ьу, х е Ь .

2п

Iх - у|

Как видно, интеграл

.(ух, п(у)) ух

Р , 4 (р(у) -р(х))СЬу

- у\4

(2)

сходится как несобственный и

- у|4

(р( у)-р( х) )СЬу = |

.(ух, п(у)) ух

^ , 4 (р(у)-р(х))СЬу

Очевидно, что п( у)

ь|х - у|2

Из неравенства

п( у) - п( х)

(р( у) -р( х) )СЬу + п( х) |

ь Iх - у|2 (у) - п(х)| < М|х - у |а , Vx, у е Ь,

Р( у) -р (х)

Iх -у|

СЬу .

2 у

получаем, что интеграл

•п( у) - п( х)

Ь iх - у|2

сходится как несобственный, причем •п( у) - п( х)

(р( у) -р( х) )СЬу

- у\2

(р( у) -р( х)) СЬу

< М

Остается доказать, что интеграл

■р( у) -р( х)

ь iх - у|2 у

существует в смысле главного значения Коши. Пусть С > 0 есть радиус стандартной окружности для Ь [9] и Ьс (х) = {у е Ь : |у - х| < С}, х е Ь . Так как существует такая точка у = х + 6 (у - х), что

р(у) - р(х) = ^гаф(у), ху), х, у е Ь,

поэтому

■р( у) -р( х)

I |2

. Iх - у|

сьу = !

р( у) -р( х)

Ь\ЬС (х) Iх у|

СЬу +

2 у

d ю(

с л (gradp, t)

: M I —-'-dt < +œ.

t

. (gradp(y) - gradp(x), xy) l . (gradp(x), xy)d

+ J I ¡2 dLy + J | ¡2 dLy,

Ld (x) Ix y\ Ld (x) Ix y|

где 6 = (б1,62 ) и 6i e (0,1), i = 1,2. Как видно, интеграл

f P( y) -P( x)dL J _I ¡^"^

L/Ld (x) Ix y|

существует как собственный. Кроме того, принимая во внимание формулу вычисления криволинейного интеграла, получим

r (gradp(y) - gradp(x), xy)

J -2- dLy

Ld (x) lx - y

Теперь докажем, что интеграл

j igra^x^Sy =Mx) J zL^LdLy +de(x) J zlZ^dLy

LdJx) |x - y| y d xi LdJx)|x - y|2 y ^ LdJx)|x - y|2 y

существует в смысле главного значения Коши. Известно (см.[9]), что для любой точки x e L окрестность Ld (x) пересекается с прямой, параллельной нормали

n(x), в единственной точке, либо вообще не пересекается, т.е. множество Ld (x) однозначно проектируется на промежуток Od (x), лежащий на прямой Г(x), касательной к L в точке x. На куске Ld (x) выберем локальную прямоугольную систему координат (u, v) с началом в точке x, в которой ось v направим вдоль нормали n(x), а ось u направим вдоль положительного направления касательной прямой Г(x). Тогда координатами точки x будут (0,0 ). Кроме того, в этих координатах окрестность Ld ( x) можно задать уравнением v = f (u ), u e Od ( x), причем

f e Hi a (Od (x)) и f (0) = 0, f '(0) = 0. Здесь через HL a (Od (x)) обозначено линейное пространство всех непрерывно дифференцируемых на Od (x) функций f , удовлетворяющих условию

If'(ui) - f'(u2)| < Mf lu - ul |a, Vui, ul eOd (x), где M f - положительная постоянная, зависящая от f, а не от uL и u2. Обозначим через rd (x) часть касательной прямой Г(x) в точке x e L , заключенной внутри окружности радиуса d с центром в точке x. Известно [10], что если y e Г(x) есть проекция точки y e L , то

|x - y| < |x - y| < C |x - _y|, mesLd (x) < C2 mesTd (x), где C1 и C2 - положительные постоянные, зависящие лишь от L , а через mesLd (x) обозначена длина кривой Ld (x). Пусть d0 = d / CL. Очевидно, что (-d0, d0 ) с Od (x). По формуле вычисления криволинейного интеграла, получаем

у - ^Ь = ! + (/'(п))2 Си =

Г ^1+(/'(м))2 Си + ? Си+

Л ..2 , < -г/..\\2 5 и

Ь,с(х) Iх-у| П,(х) и + (/(и)) П,(х)\(-С0,С0) и + (/(и)) -С М

л

С0 и (V1 + (/'(и))2 -1) С0

+ 1 У 2 ,(„ч)2 ¿и +1

1

с0 и1 + (/(и))

___1_

+ (/ (и) )2 и 2

Си .

Слагаемые интегралы в правой части этого равенства обозначим через А1, А2, А3 и А4 соответственно.

Как видно, интеграл А1 существует как собственный, а интеграл А2 существует в смысле главного значения Коши и равен нулю. Кроме того, учитывая, что (см. [9])

\/'(и) < М\и\а (3)

находим

А =

Г

1(/'(и) )2

(и2 + (/(и))2 ) + у1 1 + (/'(и))2 )

Си

<М Г\и\2а 1 Си <М

Так как

I/(и) =| /(и) - /(0)1 < М|;

11+а

(4)

то для интеграла А4 имеем

| и(/(и))2 _ Сии

-С,

Следовательно,

и2 (и2 + (/(и))2 )

у1 - х1

„.у

< М Г |и|2а-1 Си < М .

¿с(х)I

-у

2 СЬу

-С0

< М .

Кроме того, принимая во внимание (4), имеем

у2 х2

¿с(х)I

-у

СЬу

2 у

Г /(и)У1 + /(и))2 Си

а;{х) и2 +(/(и))2

< М г

Пс ( х)

|и |а 1Си <М .

В результате получаем, что

р( x), ху) 1г,

-2-СБу

< М gradр , V х е Ь .

Ьс (х) Iх - у1 Этим и завершается доказательство теоремы.

Следствие 1. Пусть Ь с К2 - простая замкнутая кривая Ляпунова, р(х) непрерывно дифференцируемая функция на Ь и

&атЬ

t)

С( < +ГО .

t

Тогда логарифмический потенциал двойного слоя Ж(х) имеет на V х е Ь нормальную производную, причем

дЖ(х) 1 г(>'x,п(У))(Ух,п(х)) , ^ ч

- --р-^^-(Р(У)-Р(х))СЬу +

дп (х) п ■

У 4

1 г (п(у),п(х))( +2П.1 I-¡2 (р(у)-р(х))СЬу, хеЬ'

П Ь

2п- |х - У 2

(5)

дЖ (х) ( < М

дп (х) V

Hgrad.pl +[

II Ида л

ю

(ёгайр, л)

Л

сИ

V х е Ь ,

где последний интеграл в равенстве (5) существует в смысле главного значения Коши.

3. Некоторые свойства оператора, порожденного производной логарифмического потенциала двойного слоя

Сначала докажем справедливость оценки А. Зигмунда для производной логарифмического потенциала двойного слоя.

Теорема 2. Пусть Ь с К2 - простая замкнутая кривая Ляпунова с показателем 0 <а < 1, р(х) - непрерывно дифференцируемая функция на Ь и

&атЬ

' ю^гаСр, t) Л

сл < .

Тогда при 0 <а< 1

,_. ( ,_. ч к ю(¿гаСр, t) с'атЬ ю(¿гаСр, /) Л

ю(gradЖ,к)<Мр ка+ю(гаСр,к) + / —К—-'-Ж + к / —-'-Сл

а при а -1

,— ч (. , ,—• ч кю(¿¡гас!р,t) ю(¿мр,л ^

ю(гаСЖ,к)<Мр к|1пк| + ю(гаСр,к)+ / —--'-Ж + к / —-Сл

V О к I у

где Мр - положительная постоянная, зависящая лишь от Ь и р .

Доказательство. Пусть 0 <а< 1. Возьмем любые точки х', х" е Ь , такие, чтобы величина к - |х' - х"| была достаточно малой. Принимая во внимание формулу (1), имеем

¿гаС Ж(х') - ¿гаС Ж(х") -

тт *

(ху,п(У))^(р(у)-р(х'))- (х"у,Я(У))^ (р(У)-р(х"))

|х' - У4

х" - У4

СЬу +

-П/

"Л

1 г[р( У) -р( х ') р( У) -р( х " )

|х' - у|2 |х" - у|2

п(у)СЬу .

(6)

Слагаемые интегралы в правой части равенство (6) обозначим через Q(х' , х") и К(х', х " ) соответственно.

и

Так как (2) является интегралом со слабой особенностью, то нетрудно доказать, что

16(х ',х '' )| <М(к\|р||ш + Иа |.

Оценим выражение К(х', х " ). Ввиду того, что существуют такие точки у' = х + 6 ' (у - х) и у" = х " + 6 '' (у - х "), что

р( у) -р( х) = ( gradр( у'), ху) (7)

р( у) -р( х '') = ( gradр( у ''), х^),

(8)

где 6' = (6;,6 2), 6'' = (6],622) и 6;,6' е (0,1), I = 1,2, то в этом случае выражение К(х', х") можно представить в виде

К( х', х" ) = 2- Г

Ь \Ьс (х ') V

"Л

р( у) -р( х) р( у) -р( х " )

п(у)СЬу +

¿с (х' )\ ( Ьш( х' )УЬЛ/2( х"))

.С(х ') V Iх - у| Iх "- у|' ,

(gradр(у') - gradр(х),х 'у) (gradр(у") - gradр(х " ),х "у)

--П г

Ч /2( х )

-П Г 3,

ЬИ /2(х" )

|х' - у 2 |х" - у 2

(gradр( у' ) - gradр( х '), х 'у) (gradр( у " ) - gradр( х" ), х"у)

|х ' - у|2 |х" - у|2

(grad р( у' ) - grad р( х), х 'у) (grad р( у " ) - grad р( х" ), х"у)

п( у)СЬу +

п(у)СЬу +

х' - у|2

^ "- у|2

П(у)СЬу +

2п

Г

¿с (х ' )\ ( Ьк/2( х ' )иЬЛ/2( х''))

'ЁЁ*^ (п( у) - П( х (( у) - П( х-))

-1- Г

ЬЛ /2( х )

-П Г

9тт Л

ЬИ/2(х'О

|х' - у

(grad р( х' ), х у) |х' - у

(gradр( х '), х 'у)

|х''-у2

(grad р( х " ), х^) 2 (п (у) - П (х') --г—*- ((у) - П (х" ))

СЬу +

|х" - у|2

(gradр( х'), х"у) (П(у) - п (х') --¡- (П (у) - П (х" ))

х '- у| Iх "- у|

СЬу +

СЬу +

1( х') - п( х" ) г (graФ( хX х 'у) сь +

2п

п( х'')

Г

¿с(х ')

Ьс(х ') Iх' -у|'

(gradр( х'), х 'у) (gradр( х "), х"у)

|х ' - у|2

|х"- у|2

СЬу.

(9)

и

Слагаемые интегралы в равенстве (9) обозначим через Я1(х',х"), Я2(х',х"), Я3( х', х " ), Я4( х ', х" ), Я5( х' , х" ), Я6( х' , х " ), Я7( х', х " ), Я8( х', х " ) и Я9( х ', х" ) соответственно.

Очевидно, что | Я)(х',х" ) | <МИ||р||ш .

Выражение Я2 (х', х") представим в виде

Я2 (х, х »)=^ | (ёгайрсу) - Е1аар(х" ), х>)

(х ' )\

(Ч/2 ( х' )и Ч /2( х''))

1

1

х - у2 |х" - у2

п(у)СЬу +

-П г

2л,-1,

( х ' )\

( Ч / 2 ( х' )и /2( х''))

(¿гаф( у) - ¿гаф( у ), х'у) (¿гаф( у') - ¿гаф( х'), хх")

|х" - У2

|х" - У2

п(у)ёЬу +

2П

Г п(у) п(2х ')(^(х-)--(х),хУ)у +

Ч (х')\(Ч/2(х'№/2(х''))

-у

ФО

2П

г

(¿гаф (х")- ¿гаф (х '), х 'у)

ёЬу .

Чс (х')\(ЧЛ/2(х')иЧи/2(х")) Iх' у1

Слагаемые интегралы в правой части последнего равенства обозначим через Я21( х, х " ), Я22( х' , х " ), Я23( х' , х " ) и Я24( х' , х" ) соответственно.

Так как для любого у е (х') \ (ЬИ/2 (х') и ЬИ/2 (х " ))

|х - у < |х - х"| + |х" - у < 3|х" - у, х" - у < 31 х - у,

а также то имеем

|Я21(х,х')|<МИ Г(8гас1р-.

2

и 1

Очевидно, что существует такая точка х = х' + 6(х " - х'), что р( х") - р( х') = (¿га1р( х), хх),

где 0 = (01,62), 6г- е (0,1), I = 1,2. Тогда учитывая равенства (7), (8) и (10), получаем, что

(мгаф( х), хх ) = р(х" ) - р(х') = (р(у) - р( х ')) - (р( у) - р( х " )) = = ((р( у'), ху) + (гаф( у "), х>) = = (|*гаЗр( у') - ¡¡йф( у' ), ху) + (¡¡йф( у' ), х^х1 ),

(10)

а значит,

(¿гаф(у') - ¿гаф(у"), ху) = (¿гаф(х) - ¿гаф(у"), хх').

+

В этом случае нетрудно показать, что

|Л22(x',x")| <Mhí

ra(gradp, t) t2

dt.

Очевидно, что | К2 3 (х', х" ) | < М ю (gradр, к).

Оценим выражение К2 4 (х' , х " ). Для этого на куске Ьс (х' ) выберем локальную прямоугольную систему координат (и, V) с началом в точке х', в которой ось V направим вдоль нормали п(х'), а ось и направим вдоль положительного направления касательной прямой Г(х '). Тогда координатами точки х ' будут (0,0), а координаты точки х" обозначим через (и",/(и")). Пусть к0 = |и"| и через Пк/2(х',х ") обозначим проекцию множества Ьк/2 (х ')и Ьк/2 (х ") на касательной прямой Г(х ') .Тогда по формуле вычисления криволинейного интеграла, получаем, что . ^гаф(х') - gradр(x"), х'у)

Ld ( x' )\( Lh/2( x' )U Lh/2( x'')) _(dp(x') dp(x" )

x' - У2

'-dLy _

1 dx2 dx2 .

>(x ') dp(x'' )л

v dx1 dx1 )

dp(x') dp(x '' Л

f (u)^1 + (f' (u ))2 du

'(V 1 + (f (u))) -1)

du +

dx

dx J

1 / Qd (x')\Qh/2(x', x")

dp(x' ) 5p(x" )

+ (f (u) )2 u 2

du +

ex.

ex.

í

du u

Qd (x ')\Qh/2(x '■x ') Учитывая (3) и (4), получаем, что

y¡1 + (f '(u))2 -1 <M|u|2a , Vu eQd(x')

1___1

u 2 +(f (u) )2 u:

<M|u|2a 2, Vu e Qd(x')\0.

Следовательно

dp(x') 5p(x" )

1 dx2 dx2

rsp(x ') dp(x '' )

1 dx1 a*i

dp(x ') dp(x'' ^

í

f (u)y¡1 + (f (u ))2 u 2 +(f (u) )2

u ^ 1 + (f (u ))2 -1)

du

du

0x1

0x1

1 / Qd(x')\Qh/2(x',x")

u 2 +(f (u) )2 u 2

du

<M o(gradp, h), <M o(gradp, h) < M ю (gradp, h).

и

и

Так как

то

е Си 2 Си г Си

г - =г --=

(-С0,С0 )\(-2И,2И) и -С0 и 2И и

др(х ') др(х " ) дх1 дхх

°С (х')\°И /2(х' ,х")

Си и

др(х ') др(х" ) дх1 дх1

(

\

Си Си

г -+ г -

и и

ЧОс (х')\(-Со,Со) (-2й,2й)\аЛ/2(х',х") )

Отсюда имеем

др(х ') др(х" ) дх1 дх1

Си

J 11

°С (х')\П*/2(х^х")

< М

2И Си I

ю(гаф,И) + ю(аф,И) ) — < Мю(гаф,И

И / с,

а значит,

| Я2 4 (х' , х" ) | < М ю (¿га1р, И).

В результате находим

IЯ2(х ',х " ) | <МГ„(ЛТй1р,И) +

Л

г

V И

Также, принимая во внимание полученные выше неравенства, можно доказать,

что

(

ю^гаф, /)

Л

|Я3(х, х" )| < М ю((га1р,И) +

Ж

ю^гаф, /)

| Я4 (х, х " ) | < МI ю ((р, И) +

а

и | Я5 (х' , х" ) | < М ^(¿г^рИ + Иа ¡¿^Ц^).

Учитывая неравенство

И/2 < |у-х"|< 3И/2, у е 1И/2(х'),

имеем

|Яб( х ', х '' )| <

1М4

(

2л

( И/2

Г СЬу + Г

СЬ,

МИРИ Г

VЬи/2(х') Iх' у| " Ьи/2(х') Iх" у1

Си mesLИ /2( х ') ^

(И /2)1

ШИа ¡¿^Ц^

|Я7(х',х '' )| <МИ0

и

Так как интеграл

г (gradр(х), х 'у)

I -2—~сьу

Л I ! |2 у

х - у|

Ьс(х ')

сходится в смысле главного значения Коши, то

. (gradр(х), х 'у)

Г -=—СЧ

¿с(х ')

|х' - у|2

ш\ lgrad^IU.

Тогда

| К8(х' ,х')| <Мка ||grad^||^. Представим выражение К9 (х' , х " ) в виде

п(х") (др(х ') др(х")Л г у - х

К9( х' , х" ) =

I £

V ^ дх1 ) ь/(х) |х' - у| п(х") ( др(х ') др(х")Ь у2 - х2

СЬу +

2 у

2п V дх

дх2

I

2 ) ¿с ( х' )1

х ' - у

СЬу +

2у

п(х") др(х")

(

дх

I № СЬу - I

у - х1

п(х") др(х")

V ЬС ( х') {

\х ' - у|

Ьс ( х')

|х" - у|

2 СЬу

дх-,

I ¿2

VЬс(х') Iх у| Ьс(х')|

Слагаемые в правой части последнего равенства обозначим через К91 (х', х" ). К9 2 (х', х" ), К9 3 (х', х" ) и К9 4 (х', х " ) соответственно. Ввиду того, что интегралы

СЬ„ -

2 у

х" - у|

2 СЬу

I Т^ СЬУ и I

у 2

2 СЬу

22 - у| Ьс (х ") Iх - у|

сходятся в смысле главного значения Коши, то

|К9,1(х,х " )| <Мю(gradр,к) и |К9 2(х' ,х " )| <Мю(gradр,к). Известно, что в смысле главного значения Коши

- = 0 .

с0 и '+ с0-к0 С Си с Си

I — = о и I -

•'.и , ; , и - и

-С0 и -С0 + П0

Тогда выражение К9 3 (х', х " ) можно представить в виде

К93( х' , х" ) =

п(х") др(х")

дх

Си

+ I

Пс( х ' )\(-С0,С0

(-С0,С0 ))(и"-С0+к0,и"+ С0

и - и

+ (/(и))2 (и - и")2 +(/(и) - /(и"))2

^ + (/' (и) )2

Си +

I

1 + (/'(и))2 -1)

Си +

+

(-С0,С0 )\((-й0/2,й0/2)и(и ''-й0/2,и *+ Ль/2)) и + (/(и) )

Г (и - и") ((и - и")2 - и2 + (/(и) - /(и"))2 -(/(и))2 )

(-Л )\ (и2 +(/(и) )2 )((и - и")2 +(/(и) - /(и") )2) '

((-к)/2Л/2)и (и"-ЛЬ/2,u"+ к)/2))

V2 и 1 + ^./" '(и))2 -1) и -+у2и У 1+(/' (и))2 -1)

-1)ии + I -^-"2-^Си + I v ;

Си -

-Лъ/2

и 2 + (/(и ))2

('-к)/2 и 2 +(/(и ))2

Й0/2 (и - и"

^ Си

-к./2(и - и'')2 + (/(и) - /(и''))2

1 + (/'(и" ))2 - 1

1 + (/ '(и'') )2

"\\2 1 u"+hЬ/2

Г

Си

и+к0 /2 (и - и'1 + (/ '(и) )2 ->/ 1 + (/ '(и'') )2 ) и'-1/2 (и - и")2 + (/(и) - /(и"))2

и" +к0/2 1 ( (и - и")2

и-ЛЛ / 2 Си -

1+(/'(и"1 )2 -1).!,_ ии-7

I

Г (

(^Л))

(и "-,0+к0,и ',+Су

и"-Л /2 1

л

и2 +(/(и))2 и 2

(и - и")2 + (/(и) - /(и"))2 1 + (/'(и"))2

-(и - и'')

Си +

(и-и")2 +(((и)-/(и"))2 (и-и)2

Си +

Си +

((-,0 +Л),и "+,0-к) )\ ((-hЬ/2,hЬ¡/2}.J(u "-Л>/2,и ''+^0/2))

и 2 + (/(и) )2 и 2

((- йь/2,йь/2)u(u "-йЬ/2,u ''+^/2))

1

1

и2 + (/(и))2 (и - и")2 +(/(и) - /(и"))2

1

(и - и") Си +

-ль/2 к0 /2 (

+ 1

-к0 /2

и"+Лъ/2 ^ и"-Л /2

(и - и")2 (1 + (/'(и"))2 ) и

0/2 ( 1 1 К U"+к)/2 ( 1 1

I -;---7 иСи+ I ------

¿/2 Vи2 + (/(и))2 и2 J ^1/2 Vи2 +(/(и))2 и2

иСи +

(и - и")2 (1 + (/'(и"))2 ) (и - и")2 +(/(и) - /(и"))2 1 1

(и - и")2 (1 + (/'(и"))2 ) (и - и")2 +(/(и) - /(и"))2

(и - и" )Си +

(и - и")Си

Так как существует такая точка и* = и" + 0 (и - и"), что /(и) - /(и'') = /'(и*)(и - и''), где 0 е (0,1), то нетрудно убедиться, что

|Я93(х ', х '' )| < м||gгad^||^ Иа .

Также можно показать, что

|Я9 4(х', х '')| < М|¡¿г^^ Иа.

Следовательно,

| Я9 (х', х " ) | < М (Иа ||gгadp||^ + ю(gгadp,И)),

а значит,

( И , \ С1атЬ , Г Л

I я(х' ,х' )| <М и-рйр^+ш^аар,И)+рЕааЁ£^+И т юсиа^с/ .

V ш 0 1 И 1

В результате, суммируя полученные оценки для выражений Q(х' , х") и Я(х', х"), получаем, что если 0 < а< 1, то

¡дМЖ(х') - ¿¡гак!Ж(х '' )| <

< М

(¿гоЗр, t) ^^ ю ((гаф, ^

Иа (( +1раарЦ^) + ю ((га1р, И) + Г 1 ^ 'сг + И |

12

И

С

Из доказательства теоремы ясно, что если а = 1, то I ёга1 Ж (х') - Ж (х' )| <

< М

, ,,_. ,, V ,_. . И ю^гаЙр, Г) (^¿ИЗР, А

И|1пИ|(р||ш+|^га1р|и + ю(га1р,И) + ] —---Ж + И ] —-Л

И

Рассмотрим функцию

у(И ) =

С(, если 0 < а < 1,

12

,_. . И ю(¿и^р, Г) £атЬ ю(¿ш1р, t)

Иа+ю(gгadp, И)+ Г 1 'Л + И Г У 2 '

о t И t

_. И. (»(¿и^р, t) ^ (^¿изр, t)

И|1пИ| +ю(gгadp,И) + Г—---С + И Г —-—2- если а = 1.

г

И

Учитывая, что Иш И ) = 0, функция И) не убывает, а функция И) / И не

возрастает, получим доказательство теоремы.

Следствие 2. Пусть Ь с Я2 - простая замкнутая кривая Ляпунова с показателем 0 <а< 1, р(х) - непрерывно дифференцируемая функция на Ь и

С1атЬ . ; .

г ю(gгadp, л ,

Г —<+да.

t

Тогда при 0 <а< 1

(dW Л ( /_- ч h ю(gradp, t) diamL ю(gradp, t) Л

ю^, h J< Mp ha + ю (gradp, h)+ J V ^ ' dt + h J У - ' dt

а при a = 1

(dW Л ( , , /-• ч h ro(gradp,t) diamL ю(gradp,t) Л

1 h l<Mp h|lnh\ + ю(gradp,h)+ J —--dt + h J —:-—---dt

' l o t h t

't

dn

где Mp - положительная постоянная, зависящая лишь от L и p.

Пусть фе%. Через H(ф) обозначим линейное пространство всех непрерывных на L функций p , удовлетворяющих условию

|p( *)-p(>0|< C^(|x - y| ) , x y £ L , где Cp - положительная постоянная, зависящая от L и p, а не от x и y . Обозначим также через H1 (ф) линейное пространство всех непрерывно дифференцируемых на L функций у , удовлетворяющих условию

I grady (x)- grady (y) | < Суф(х - y|), x, y £ L, где Су - положительная постоянная, зависящая от L и у, а не от х и y. Известно [11], что пространства H (ф) и H1 (ф) является банаховыми пространствами с соответствующими нормами

И „„,= sup I p(x i+suplElib^

' x£L x,y£L ф^ - y|)

x^ y

,_ , gradp(x)- gradp( y )l

и Ин1(ф) = suP |p(x)l + sup|gradp(x )+ sup --——-L.

x£L x£L x,y£L y|)

x^ y

Из теоремы - вытекает

Теорема 3. Пусть L с R2 - простая замкнутая кривая Ляпунова и ф £ J0 (S). Тогда оператор (Bp)(x) = gradW(x), x £ L , ограниченно действует из H1 (ф) в H (Z (ф)) , причем

INI H (z (ф))< Ml bll Hi (ф).

Через Hр (L) обозначим пространство всех непрерывных на L функций g , удовлетворяющих условию Гельдера

|g (x)-g (y )|< Mg\x - y|P, Vx, y £ L ,

где 0 <p< 1 и Mg - положительная постоянная, зависящая от g , а не от x и y . Известно [11], что пространства Hp(L) и Hjp(L) являются банаховыми пространствами с соответствующими нормами

||g||р= sup|g(x)| + sup |g(x)-gp(y)!

x£L x,y£L x - y

x^ y

111,р = su

xeL

. ( .. I—-j ( u |gradp(x)-gradp(y)| p |p(x )| + sup|gradp(x )|+ sup ------1.

x, yeL |x - y|

x^ y

Следствие 3. Пусть Ь с Я2 - простая замкнутая кривая Ляпунова с показателем 0 <а< 1, а ре^1р( Ь). Тогда логарифмический потенциал двойного слоя

Ж(х) имеет на Ь непрерывную производную, причем

(а) если а < р < 1, то grad Ж е На (Ь) и |а < М||р| 1 р;

(б) если р<а< 1, то gradW е Нр (Ь) и ||gradw||p < МЦрЦ^; (с) если а = 1, р < 1, то gradW е Нр (Ь) и ||gradw|^ < М||р|^ р;

(д) если а = 1, р = 1, то gradW е Ну (Ь) и ||grad<М|рЦ 1, где уе (0,1).

Следствие 4. Пусть Ь с Я2 - простая замкнутая кривая Ляпунова и фе J0 (£). Тогда оператор А ограниченно действует из Н1 (ф) в Н (2 (ф)), причем

11Ар| Н (2 (ф))< М1 N1Н1 (ф).

и

ЛИТЕРАТУРА

1. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987. 311с.

2. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: Гостехиздат, 1953. 415 с.

3. Халилов Э.Г. О свойствах оператора, порожденного производной акустического потенциала простого слоя // Сибирский журнал чистой и прикладной математики. Т. 17. № 1. 2017. С. 78-90.

4. Халилов Э.Г. Некоторые свойства оператора, порожденного производной акустического потенциала двойного слоя // Сибирский математический журнал. 2014. Т. 55. № 3. С. 690-700.

5. Khalilov E.H. Cubic formula for the normal derivative of a double layer acoustic potential // Transactions of NAS of Azerbaijan, series of physical-technical and mathematical sciences. V. 34. No. 1. 2014. P. 73-82.

6. Халилов Э.Г. О приближенном решении одного класса граничных интегральных уравнений первого рода // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 9. С. 1277-1283.

7. Халилов Э.Г. Конструктивный метод решения краевой задачи для уравнения Гельм-гольца с импедансным условием // Дифференциальные уравнения. 2018. Т. 54. No. 4. С. 544-555.

8. Khalilov E. H., Aliev A.R. Justification of a quadrature method for an integral equation to the external Neumann problem for the Helmholtz equation // Mathematical Methods in the Applied Sciences. V. 41. № 16. 2018. P. 6921-6933.

9. ВладимировВ.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 527 с.

10. Кустов Ю.А., Мусаев Б.И. Кубатурная формула для двумерного сингулярного интеграла и ее приложения // Деп. в ВИНИТИ. № 4281-81. 60 с.

11. Гусейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1980. 416 с.

Статья поступила 07.03.2019 г.

Khalilov E.H., Bakhshaliyeva M.N. (2019) ON THE DERIVATIVE OF THE DOUBLE-LAYER LOGARITHMIC POTENTIAL. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 62. pp. 38-54

DOI 10.17223/19988621/62/4

Keywords: Laplace equations, Lyapunov curve, derivative of the double-layer logarithmic potential, curvilinear singular integral, generalized Holder spaces.

In the paper, it is proved that if L c R2 is a simple closed Lyapunov curve with exponent 0 <a< 1, and p(x) is a continuously differentiable function on L , where

diam L r

f m(gradp,')dt<+», 0 '

then the logarithmic potential of the double layer

-d®( x, y)

W (x) = P( У ,

J dn( y)

L

has a normal derivative on V x e L ; moreover,

dW(x) 1 rhx^У^У^n(x)), / N / N, n

= i--(p( y) - p( x)) dLy

(р(у) - P(x))dLy, x e L, (1)

L \x - y

and dW (x) < M

d П (x) V

,,_,|i d ro(gradp, t)

gradp -- dt

II Ида J t

\

, V x e L .

where ro(/,t) denotes the modulus of continuity of the functions f , n(y) is the external unit normal at the point y e L , ®(x,y) is the fundamental solution of the Laplace equation, i.e.

1 1 2

0(x, y) =— ln---, x, y e R , x * y ,

2n |x - y|

and the last integral in equality (1) exists in the sense of the principal value of Cauchy.

Let ^ex = { f : f t, lim f (8) = 0, f (8) / 8^}. Wedenoteby H (9) the linear space of all

I 8^0 )

continuous functions p on L satisfying the condition

|p(x )-p( y )|< C>(|x - y|) x, y e L ,

where Cp is a positive constant depending on L and p , not on x and y . We also denote by H1 (9) the linear space of all continuously differentiable functions y on L satisfying the condition

| grady(x) - grady) | < Cy^x - y\), x,y e L ,

where Cy is a positive constant depending on L and y , not on x and y .

In addition, the paper shows the validity of A. Zygmund's estimate for the normal derivative of the logarithmic potential of a double layer, and it is proved that the operator dW (x)

(Ap)(x)=— ,x e L, operates boundedly from a generalized space H1 (9) to a generalized dn (x)

space H (Z (9)), where

Z «

h

AMS Mathematical Subject Classification: 45E05; 31B10

Financial support. This work was supported by the University Grant of the ASOIU (grant no. ADNSU-2018-1-01).

Elnur H. KHALILOV (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of "General and Applied Mathematics" of the Azerbaijan State Oil and Industry University, Baku, Azerbaijan). E-mail: [email protected]

Mehpara N. BAKHSHALIYEVA (PhD student of the department of "General and Applied Mathematics" of the Azerbaijan State Oil and Industry University, Baku, Azerbaijan). E-mail: [email protected]

1. Colton D.L., Kress R. (1983) Integral equation methods in scattering theory. John Wiley & Sons. 271 p.

2. Gyunter N.M. (1967) Potential theory and its applications to basic problems of mathematical physics. F. Ungar Publ. Co. 338 p.

3. Khalilov E.H. (2018) Properties of the operator generated by the derivative of the acoustic single layer potential. Journal ofMathematical Sciences. 231(2). pp. 168-1 80.

4. Khalilov E.H. (2014) Some properties of the operators generated by a derivative of the acoustic double layer potential. Siberian Mathematical Journal. 55(3). pp. 564-573. DOI: https://doi.org/10.1134/S0037446614030173.

5. Khalilov E.H. (2014) Cubic formula for the normal derivative of a double layer acoustic potential. Transactions of NAS of Azerbaijan, series of physical-technical and mathematical sciences. 34(1). pp. 73-82.

6. Khalilov E.H. (2016) On an approximate solution of a class of boundary integral equations of the first kind. Differential equations. 52(9). pp. 1234-1240. DOI: https://doi.org/10.1134/ S0012266116090147.

7. Khalilov E.H. (2018) Constructive method for solving a boundary value problem with impedance boundary condition for the Helmholtz equation. Differential Equations. 54(4). pp. 539- 550. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266118040109.

8. Khalilov E.H., Aliev A.R. (2018) Justification of a quadrature method for an integral equation to the external Neumann problem for the Helmholtz equation. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 41(16). pp. 6921-6933. DOI: https://doi.org/10.1002/mma.5204.

9. Vladimirov V.S. (1971) Equations of mathematical physics. New York: Marcel Dekker publ. 426 p.

10. Kustov Yu.A., Musaev B.I.(1981) Kubaturnaya formula dlya dvumernogo singulyarnogo integrala i ee prilozheniya [The cubature formula for a two-dimensional singular integral and their applications]. Submitted to VINITI. 4281-81. 60 p.

11. Guseinov A.I., Mukhtarov Kh.Sh. (1980) Vvedenie v teoriyu nelineynykh singulyarnykh integral 'nykh uravneniy [Introduction to the Theory of Nonlinear Singular Integral Equations], Moscow: Nauka publ. 416 p.

Received: March 7, 2019

REFERENCES