Лапласиан по мере и задача Дирихле Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 27 (66) № 1 (2014), с. 21-30.

УДК 517.98+517.954 MSC2000: 28C20+35R15

Ю.В. Богдлнский, Я.Ю. Санжаревский

ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ

Для функций на сепарабельном вещественном гильбертовом пространстве H (dim H ^ то) предложена версия оператора Лапласа, порождённого заданной на H (борелевской неотрицательной конечной) мерой ц. Исследованы существование и единственность решений (в т.ч. "слабых") задачи Дирихле для эллиптического уравнения в области G, согласованной с исходной мерой ц. Приведён модельный пример согласования меры ц с областью G.

Ключевые слова: гильбертово пространство, борелевская мера, дифференцирование мер, эллиптические уравнения, задача Дирихле.

E-mail: bogd__@ukr.net, jamfoteur@gmail.com

1. Предварительные сведения

Пусть H - сепарабельное вещественное гильбертово пространство (dimH ^ то); ß — конечная (неотрицательная) борелевская мера на H.

Обозначим через Cb = Cb(H) пространство всех ограниченных и непрерывных функций f: H — R; символом Cb(H; H) обозначим пространство всех непрерывных ограниченных векторных полей H — H; через Cb = C^(H) (соответственно C^(H; H)) обозначим пространство всех функций f € Cb (соответственно, векторных полей X € Cb(H; H)), дифференцируемых по Фреше в каждой точке x € H с непрерывной и ограниченной на всём H производной f (•) (соответственно X'(-)).

Пусть Ф4 = if — поток векторного поля Z € Cb(H; H). Пусть мера ß дифференцируема вдоль поля Z в сильном смысле (по Фомину). Это означает, что для каждого борелевского множества A € B(H) существует предел §(A) =

lim b (ß($tA) — ß(A)), откуда следует, что § = dZß является борелевской (знакопе-t^-0 t

ременной) мерой, абсолютно непрерывной относительно меры ß. Соответствующую

плотность ^ принято называть логарифмической производной меры / вдоль поля Z или дивергенцией поля Z (относительно меры /): ё1у Z = Z = ^.

Сильная дифференцируемость меры / вдоль поля Z равносильна существованию функции р = р^ € Ь1(И, /л), которая для всех функций и € С1 (И) удовлетворяет равенству:

У и ■ рй/ = — J (grad и, Z) й/. н н

При этом р = ё1ум Z.

Пусть С — ограниченная область в И с границей Б = дС. Через С1(С) обозначим семейство всех функций на С, допускающих продолжение на И до функций класса С; символом С0(С) обозначим семейство функций из С 1(С), носители которых лежат в С. Аналогично определяем С (С) и С (С; И).

Через Ь2(С) = Ь2(С,/) обозначим пространство интегрируемых с квадратом

измеримых функций на С по отношению к мере /\а. Аналогично через Ь2(С; И) =

Ь2(С; И,/) обозначим пространство квадратично интегрируемых векторных полей

на С. Норму в Ь2(С; И) задаём формулой: |\^\\\2 = / |^(ж)||2 (интегрируемость

а

векторного поля понимаем в смысле конструкции Бохнера).

Граница Б области С предполагается гладким вложеным в И подмногообразием коразмерности 1; поле единичной внешней нормали границы Б предполагается продолжимым до векторного поля п € С1 (И; И).

Дополнительно предполагаем также, что мера / дифференцируема вдоль поля п. Существование поля п с указанными выше свойствами постулируем и говорим о "согласованности Б с мерой (см. [1]).

Пусть е > 0. Символом Бе обозначим е-окрестность множества Б. В работе [2] (формула (13)) доказано, что при согласованности Б с мерой имеет место равенство: /(Бе) = О(е) (е — 0), а потому ([1], предложение 1) С0(С) плотно в Ь2(С).

Согласованная с Б мера / индуцирует на Б поверхностную меру [1, 2], которую обозначим /б. Если и — ограниченная непрерывная функция на Б и и, — её продолжение до функции и € Сь(И), постоянной на траекториях поля п, то поверхностная мера /б корректно определяется следующей формулой, которая должна выполняться для всех ограниченных непрерывных функций на Б:

, й и й/з =

/ и й/ = и ■ рп й

4=0 ■> ■>

б Ф^а а

(см. [1]).

Далее предлагается следующая £2-версия оператора Лапласа. Рассматривается оператор grad: Ь2(С) — 1^2(С; И) с естественной областью определения С 1(С) (С 1(С) Э и — grad и € С (С; И)). Для корректного задания этого оператора следует проверить, что условия: и, V € С 1(С); и = /л) влекут за собой равенство:

gradи = grad г(шоё ¡). Данное требование выполнено для тех мер ¡, для которых неравенство ¡(V) > 0 имеет место для любого непустого открытого множества V. Последнее условие выполнено для квазиинвариантной меры ¡, т.е. такой меры ¡, для которой множество квазиинвариантных сдвигов К (¡ь(А) = ¡(А + К); ¡ь ~ ¡) содержит плотное в Н линейное подмногообразие £. Примером такой меры является гауссова мера л = ¡а в Н, ядерный корреляционный оператор которой имеет плотный образ в Н.

Дальнейшие построения предполагают выполнение следующих двух дополнительных условий на меру ¡:

а) оператор grad: Ь2(С) Э С 1(С) Э и ^ grad и € Ь2(С; Н) с областью определения С 1(С) корректно определён и допускает замыкание;

б) р^с € Ь^(С).

Модельный пример меры, согласованной с поверхностью 5, для которой выполняются также одновременно условия а) и б) предложен в заключительной части работы.

Совместное выполнение условий а) и б) позволяет корректно ввести оператор следа 7: Ь2(С) ^ Ь2(Б) = Ь2(Б,лз) с областью определения D(grad) (см. [1]). При этом для функций и € С1(С): 7(и) = и\я; 7 представляет собой ограниченный оператор из банахова в норме графика пространства D(grad) в Ь2(Б).

Пусть л дифференцируема вдоль поля Z € С(Н; Н); и € С^ (Н). В работе [1] получена формула: й

(И

J и (л = J (grad и, Z) йл + J и ■ р^ (¡.

ъ

4=0

ф2С с с

В работе [2] доказаны следующие равенства: й

(И

[ г! й

иаа = — 4=0-1 &

/ ийл =

4=0

ф2с ф(2> п)пс

а

/ (Z, п) ■ ийл = п) ■ и (¡в■

4=0 ■> ■>

(в силу равномерной непрерывности функции п) и в окрестности поверхности 5 — см. [1]).

Тем самым доказана формула:

У (Ъ, п) и = J (grad и, Z) d¡ + J и ■ р^ d¡ (1)

я с с

11/

Поскольку левая часть в формуле (1) обращается в ноль для функций и € С(Н), для которых и\я = 0, а Кег7 Э С^(С), то Кег7 плотно в Ь2(С). Формула (1) оправдывает введение ¿2-версии оператора ё1у в одном из следующих двух вариантов.

Вариант 1. Оператор ё1у: Ь2(С; И) — Ь2(С) определим формулой: ё1у =

— (vgradlкer 7

Вариант 2. Оператор ё1у: Ь2(С; И) — Ь2(С) определим формулой: ё1у =

— (^Ца)

В обоих случаях оператор Лапласа вводим формулой: Аи = ё1у ogradu. В отличие от работы [3] в данной работе рассматриваем второй вариант ¿2-версии оператора ё1у.

2. Исследование задачи Дирихле

В данном разделе предполагаем согласованность границы Б ограниченной области С с мерой / и выполнение условий а) и б), наложенных на меру

Лемма 1. Пусть и € D(grad); ф € С 1(С). Тогда и ■ ф € D(grad) и при этом grad(uф) = и grad ф + ф gradu.

Доказательство. Пусть последовательность ип € С 1(С) такова, что ип — и (в Ь2(С)); grad ип — Z = gradu (в Ь2(С; И)). Поскольку ф € Ь^(С), то имеют место соотношения: ип ■ ф — и ■ ф; grad(un ■ ф) = grad ип ■ ф + ип ■ grad ф — ф ■ gradu + и ■ grad ф, откуда и следует утверждение леммы.

□

Лемма 2. Пусть X € ^(ё1у); ф € С 1(С). Тогда ф X € ^(ё1у) и при этом: ё1у(фХ) = (grad ф, X) + ф ■ ё1у X.

Доказательство. По определению оператора ё1у для каждой функции и € С0(С) имеет место равенство:

У (grad и, X) й/ = — J и ■ ё1у X й

аа

Но ф ■ и € С0(С) и, следовательно, / (grad(u ■ ф), X) й/ = — / и ■ ф ■ ё1у X й/,

аа откуда, в силу леммы 1, следует равенство:

У (grad и, фX) й/ = — J (и (grad ф, X) + ф ■ ё1у X) й/,

аа что и доказывает лемму.

□

Пусть f € ¿2(С); к € С 1(С); а € С (С); к(х) ^ 5> 0 (Уж € С); а(х) ^ а> 0 (Уж €

С). _

Пусть и € ^(А). Тогда gradu € ^(ё1у); в силу леммы 2 имеет место включение: к ■ gradu € ^(ё1у). Для и € ^(А) рассмотрим уравнение

£(и) = ё1у (к ■ gradu) — а ■ и = f (2)

и поставим вопрос о поиске решения задачи Дирихле для уравнения (2) с краевым условием.

7 (и) = Ф, (3)

(здесь ф € 1ш(7)).

Конечномерный вариант поставленной задачи в случае инвариантной меры исследован, например, в [4].

Рассмотрим сначала случай ф = 0. Тогда и является решением задачи (2)—(3) с ф = 0 в том и лишь в том случае, если и € Кег 7 и при всех V € 00(0) удовлетворяет уравнению

У V ■ (ё1у (к ■ ¡гаЗи) — аи) й, = J V/ й,. (4)

о о

Это следует из плотности 00(0) в Ь2(С). Уравнение (4) преобразуем в следующее:

¡(к (¡¡таз», ¡гаЗ v) + а ■ и^ й, = — / ,,/й,. (5)

оо При данных условиях на функции к и а левая часть уравнения (5) представляет собой скалярное произведение (и, v)l в ^(¡гаЗ); норма У ■ Ц1, индуцированная этим произведением эквивалентна норме графика. При этом существует число О > 0 такое, что при всех V € 00(0) выполняются неравенства: |/„/ й,\ ^ \\/\\ь2(о) ■

\МЫо) < У/\\ыо) ■ О\\v\i. 0

Пусть теперь Н(О) — замыкание 00(0) в ^(¡гаЗ) в норме графика оператора

¡гаЗ. Н(О) — гильбертово пространство, наделённое скалярным произведением

о

(■, Потому в силу теоремы Рисса существует единственная функция и € Н(О) С Кег 7, которая удовлетворяет уравнению (5) при всех V € 00(0). Пусть и — решение (5) при всех V € 00(0). Перепишем (5) в виде:

/(к¡гази, ¡газ«О й, = — /V(/ + аи)й,

оо

П/

Справедливость последнего равенства при всех V € 00(0) означает, что к ■ ¡гаЗи € ^(ё1у) и при этом ё1у (к ■ ¡гаЗи) = / + а и. Поскольку к € 01 (0), то в силу леммы 2, ¡гаЗи € ^(ё1у) и, следовательно, и € ^(Д).

Тем самым для граничного условия 7(и) = 0 доказаны существование решения

о

задачи (2)—(3) и его единственность в функциональном пространстве Н(0). Замечание 1. В отличие от классической конечномерной ситуации вопрос о сов-

о

падении пространств Кег7 и Н(0) является открытым, а потому открыт и вопрос о единственности решения поставленной задачи.

Если теперь ф € Y (D(A)), то существует функция w € D(A), для которой ф = Y (w). В этом случае к ■ gradw € D(div), а потому определено L(w) и функция u1 = u — w должна удовлетворять задаче:

Lu1 = div (к ■ gradui) — a ■ u1 = f — div (к ■ gradw) + aw; (6)

Y(ui) = 0. (7)

Задача (6)—(7) допускает решение описанным выше приёмом. При этом задача (6))—(7) описанным выше приёмом сводится к задаче поиска функции u1 € Ker Y, которая при всех v € C0(G) удовлетворяет уравнению:

f{k (iïsa„1, grad,) + am v)d,.

G

J (v f + k (gradw, grad v) + awvj d^.

G

Для ф € 1т 7 существует функция ш € для которой ^('м) = ф- Докажем

существование функции п\ € Кег Y, которая при всех V € С0(С) удовлетворяет уравнению (8). Тогда функция и = и + ш может быть истолкована как "слабое решение" задачи (2)-(3).

Действительно, существуют числа С1, С2 > 0 такие, что при всех V € С0(С) выполнены неравенства:

У (v f + k (gradw, grad v) + awv) d^

G

<

< \\f + aw\\L2(G) ||vHl2(g) + suP Л(') • III gradw i ЫС;Н) • i grad v|||l2(G;H) <

G

^ Ci \\v\\ + C2 I gradv11|

и приведённые выше соображения позволяют, используя теорему Рисса, сделать вывод о существовании слабого решения задачи (2)—(3) для произвольной ф € Im 7.

Тем самым для ф € Y (D(A)) доказано существование решения задачи (2)-(3) (а для ф € Im y доказано существование слабого решения задачи (2)-(3)). Полученный результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1. Пусть граница S ограниченной области G согласована с мерой ц, а сама мера удовлетворяет условиям а), б). Тогда задача (2)-(3) в случае ф € Y (D(A)) имеет решение u € D(A). Если ф € Im y, то задача (2)-(3) имеет слабое решение, т.е. существует функция u € D (grad), удовлетворяющая условию (3) и при всех v € C0(G) уравнению (5). Если же ф = 0, то задача (2)-(3) имеет

о

единственное решение в функциональном пространстве H(G).

Замечание 2. В том случае, если оператор ё1у определить равенством: ё1у = — ^гаЗ|Кег^ (вариант 1), результат теоремы 1 более содержателен: задача (2)-(3) для ф € 7 (В(Д)) имеет и притом единственное решение и € О(Д); в случае ф € 1т 7 задача (2)-(3) имеет и притом единственное слабое решение (при этом слабое решение определено аналогично с заменой Сд (О) на Кег 7).

3. Модельный пример

В данном разделе приводится пример меры, согласованной с поверхностью 5 = дО, для которой выполнены условия а), б) п°1.

Пусть п € С1(И; Н); Фг — поток векторного поля п; л — (неотрицательная) конечная борелевская мера на Н; ф: М ^ М — непрерывно дифференцируемая

неотрицательная функция, для которой [ ф(г) бг < то; ф и ф ограничены на М.

к

Отображение М х Н Э (г, х) ^ Ф^х € Н является непрерывным и потому для

каждого борелевского множества А € В(Н) множество {(г,х) | Ф^х € А} В(М) ®

В(Н) - измеримо. Поэтому для всех А € В(Н) функция г ^ л (Ф4А) = / ]а ◦ Ф— б/

н

является В(М)-измеримой (и ограниченной) ([5], с. 225-226). Тем самым определён интеграл / ф(г) л (Ф^А) бг. Формула

/ф(А) = 1 ф(й) л (ФА) бг (9)

корректно определяет неотрицательную конечную борелевскую меру на Н. Мера Лф дифференцируема вдоль векторного поля п и при этом для каждого А € В(Н) имеет место равенство:

б

бг

/ф (Ф4А) = — ф'(в) л (ФвА) бе. ) ^

Пусть, дополнительно, существует константа С, для которой при всех в € М выполнено неравенство |ф'(в)| ^ Сф(в). Тогда для каждого борелевского множества А С Н имеет место неравенство:

ф'(г) / (ф4а) бг

< С I ф(г) л (ФА) бг,

откуда \б/Ф(А)\ ^ СлФ(А), а потому р^ = € Ь^(Н,лф). Примером такой

функции ф является сглаженная в окрестности нуля функция

ф(в) = е-аа > 0. (10)

Если теперь Фга — продолжение на Н поля единичной внешней нормали к 5, то 5 согласована с мерой /ф и при этом мера /ф удовлетворяет условию б).

Пусть в H существует полная система векторов, вдоль которых исходная мера ц ¿2-дифференцируема (т.е. такая система векторов h € H, вдоль которых производная меры dhц имеет плотность р^ = € L2(H)). Примером такой меры является гауссова мера, корреляционный оператор которой имеет плотный образ в H.

Теорема 2. Пусть конечная борелевская (неотрицательная) мера ц удовлетворяет приведённому выше условию. Пусть, дополнительно, ц(и) > 0 для любого непустого открытого множества U в H. Тогда мера цф, определённая формулой (9) с функцией ф, представляющей собой сглаженную в окрестности нуля функцию ф (см. (10)), согласована с S и удовлетворяет условиям а) и б) п°1.

Доказательство. Осталось проверить лишь корректность и замыкаемость оператора grad: Ь2(С,цф) D Cl(G) Э u ^ grad u € L2(G; H, цф).

Если U — открытое непустое множество в H, то, в силу (9), Цф(и) > 0. Поэтому, если u,v € C1(G); u = v (mod ц), то grad u = grad v (mod ц), а поэтому оператор grad определён корректно.

Из (9) для ограниченных борелевских функций f получим равенство:

У fd^ = J <p(t) dt J f о Ф-t dц. (11)

H R H

Формула (11) обобщается на случай неотрицательных функций f € L1(H, цф).

С этой целью строим последовательность ограниченных измеримых функций

fn, для которых fn У f. Тогда при каждом t € R имеет место сходимость:

hn(t) = f fn о Ф_ dц У h(t) (h(t) € [0;+го]). Поскольку числовая последователь-н

ность J ф(t) hn(t) dt ограничена сверху интегралом / f d^, то по теореме Беппо

RH Леви функция h(t) интегрируема на R по мере фdt и h(t) почти всюду конечна.

Итак, f о Ф_ € L1(^) для почти всех t и равенство (11) верно для f € L1(H, цф);

f > 0.

Пусть um € C 1(G); um ^ 0 в L2(G,ц^); grad um ^ Z в L2(G; H^v). Предстоит доказать, что Z = 0 (mod цф).

Допускаем противное: пусть ||\Z\| 2^2{с-н = ^ > 0. Пользуясь тем, что ^(S) = 0 (следствие согласованности S и цф) выберем такое е > 0, что

J ||Z(.)||2 d^ > 2

G\Ss

Пусть функция п € C0 (G) такова, что 0 ^ п(х) ^ 1 и при этом п(х) = 0 при х € S2; п(х) = 1 при х € G \ S£. Тогда num ^ 0 в L2(G, цф); grad(num) =

П grad um + um grad n ^ nZ. При этом ||| n Z ||| L2(G.H ) > § > 0. Потому, не теряя общности, можно считать, что um € C0(G) и supp um С G \ S£ .

Поскольку теперь ит € С0(С), то, применив формулу (11), сходимость §гаЗит — Z в Ь2(С; Н, перепишем в виде:

! ф(г) сИ I ||(§гаа ит)(Ф-г х) - Z(Ф-t х)\\2 й/ - 0. (12)

Переходя к подпоследовательностям из (12) получим для почти всех t сходи-

мость:

У ||(grad птк)(Ф—t x) - Z($-t x)\\2 df - 0,k -ж. (13)

H

Однако, (grad(um о Ф-))(х) = [ЦХ(Ф—t x)] * (gradПт)(Ф—t x), откуда

grad(пт о Ф—t)(x) -

lx(Ф— x)

Z^—t x)

<

<

\§x(Ф-x>)*

• ||(grad Пт)(Ф—г x) - Z(Ф—t x)\\ <

< eC ltl ||(grad ПтКФ—t x) - Z(Ф—t x))\\ , где C = sup ||n'(•)!•

H

Теперь из (13) делаем вывод: для почти всех t имеет место сходимость:

H

grad^k о Ф—t)(x) -

dx(Ф—x)

Z(Ф—t x)

df — 0, k -ж. (14)

Исходное условие итк — 0 в Ь2(С,й/ф) из тех же соображений приводит к сходимости (для почти всех ¿):

птк о Ф— df — 0, s -ж.

(15)

H

Покажем, что в условиях теоремы оператор §гаЗ: Ь2(Н,/) э С£(Н) Э V — §гаЗ V € Ь2(Н; Н,/) замыкаем.

Действительно, положим: vm — 0; §гаЗ vm — Z (здесь vm € С^(Н)). Тогда для ф € С^(Н) выпишем формулу интегрирования по частям в направлении Н (р% € Ь2(Н, /)):

/ ф Н) й/ = -1 т ф, Н) й/ -1 т А /

н н н

(см., например, [6], с. 179).

Предельным переходом получим: / фН) = 0 и осталось заметить, что из по-

н

следнего равенства следует ортогональность Z в Ь2 (Н; Н,/) всевозможным линейным комбинациям индикаторов открытых подмножеств в Н (с векторными коэффициентами), которые плотны в ^(Н; Н,/).

*

2

*

Теперь из (14)—(15) можно сделать вывод: для почти всех t имеет место равенство:

Z($_t x) = 0 (mod /)

lx (Ф_Х)

откуда, в силу невырожденности оператора ^(Ф— x), Z($_t x) = 0 (mod /). Отсюда:

|2

l|Z||2 = j <p(t) dt J ||Z о Ф_4||2 d/ = 0

H R H

Полученное противоречие доказывает теорему 2. □

Список литературы

[1] Богданский Ю. В. Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона в Ь2-версии // УМЖ. - 2011. - 63, №9. - С. 1168-1178.

[2] Богданский Ю. В. Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса-Остроградского // Укр. мат. журн. - 2012. - 64, №10. - С. 1299-1313.

[3] Богданский Ю. В., Санжаревский Я. Ю. Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом пространстве // Укр. мат. журн. - подано в печать 18.03.2013.

[4] Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных // М.: Наука, 1976. - 392 с.

[5] Богачев В. И. Основы теории меры // М.; Ижевск: РХД, 2006. - т. 1 - 584 с.

[6] Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна // М.; Ижевск: РХД, 2008. - 544 с.

Лаплас1ан по м1р1 та задача Д1р1хле Для функцгй на сепара-бельному дгйсному ггльбертовому прострорг H (dim H ^ то) запропоно-вано версгю оператора Лапласа, породженого заданою на H (борелгвсь-кою невгд'емною скгнченною) .мгрою /л. Дослгджено гснування та едингсть розв'язкгв (в т.ч. "слабких") задачг Дгргхле для елгптичного ргвняння в об-ластг G, що погоджена з вихгдною мгрою Наведено модельний приклад погодження мгри / з областю G.

Ключов1 слова: гшьбертав простар, борел1вська м1ра, диференщювання м1р, елш-тичш р1вняння, задача Д1р1хле.

Laplacian on measure and the Dirichlet problem It vjas proposed Laplace operator уег,?гои on functions on a separable real HUbert space H (dim H ^ то) that гs generated by the (non-negative fimte Borel) measure / defined on H. It was sturMed both of exгstence and umqueness of solutions (г^ЫПщ "weak" ones) of the БгН^Ш peoblem for the eltiptic equation гn a regгon G that гs agreed wгth an гnгtгal measure It was gгven an example of agreeAng of a measure / wгth a regгon G.

Keywords: Hilbert space, Borel measure, differentiation of measures, elliptic equations, Dirichlet problem.