О проблеме порядка проективной плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.552.32+514.147.7

О ПРОБЛЕМЕ ПОРЯДКА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ

© 2008 г. И.А. Хубежты

Северо-Осетинский государственный университет, North-Ossetian State University,

362025, Владикавказ, ул. Ватутина 46 362025, Vladikavkaz, Vatutin St., 46,

indep@nosu.ru indep@nosu.ru

Получено некоторое решение указанной проблемы, а именно доказано, что не существует проективной плоскости порядка р, где р - составное число, отличное от степени простого числа, используя конфигурацию Кр, с квазитождеством 1+1. ..+1= р=0 и ее полное свободное расширение. Этим подходом были подтверждены все уже известные результаты Тарри и других об указанной проблеме.

Ключевые слова: проективная плоскость, порядок, квазитождество, конфигурация.

In work using geometrization Кр,, equality 1+1...+1=р = 0 and full free expansion k* of configuration theorem Кр it is proved, that the order of the projective plane is a simple number or a degree of a simple number.

Keywords: projective plane, order, quasiidentity, pattern.

Как известно [1, 2], порядок проективной плоскости есть либо простое число, либо его степень. Тарри доказал в [3], что не существует проективной плоскости порядка 6. Другими авторами [1, 2] было доказано несуществование проективных плоскостей порядков 14, 21, 22, ... и поставлена проблема существования проективных плоскостей порядков 10, 12,15, ... р = р1 ■ р2 •..., где р - различные простые числа или их степени.

В настоящей работе на основании геометризации

Кр, равенства р = 1 + ... + 1 = 0 и полного свободного

*

(многошагового [4]) расширения Кр конфигурационной теоремы Кр, дается некоторое решение проблемы порядка проективной плоскости. Приведем формулировку конфигурационной теоремы Кр и доказательство теоремы « Кр р = 0 » из [5].

К. теорема Кр 1. (рис. 1). Пусть для точек

1,2,...,р общего положения, где р - натуральное число, выполняются следующие инциденции:

/= [/~,7+2]п[Т^Т+Ц . ./ 3.....р 2.

(Р-1)'=[1,Р-2]п[Р,Р-3], 1'=[2,Р-1]п[3,Р];

2'=[3,Р]п[1,4] , Р' = [ 1, Р - 2] п [2, Р -1],

¥¡=[1,7+1] гл[7',(/"+!)'], / 1.....р 1.

Вр = [Р,1]п[Р-1,2]. S =[l,r]n[2,2']n...n[i5,i5'], (S, 1, Bi+вр).

Тогда будет выполняться и замыкающая инциден-ция (S, B1,...B_ i, в,,..., Bp).

Рис. 1. Кр

Теорема Кр состоит из Ър + 1 точек и Ър + 1 прямых и имеет ранг 4.

Имеет место

Основная теорема 2. Некоторым почти ограниченным квазитождеством конфигурационной теоремы К является равенство р = 0 (р >3).

Доказательство. Пусть в папповой плоскости образующие точки Кр имеют следующие координаты:

Р - / = (2р - 2i,2~1 (/ + 2)(/ +1)), ; = 0,... ,р -1,

(Р=(2р,1), Р -1 = (2р - 2,3), Р — 2 = (2р-4,6), .... Р--3 = (2/7 — 6,10). 2 = (4,р(р-1)-2-1), Т = (2,р(р + 1)-2-1). 3 = (6, (р - 1)(р - 2) ■ 2"1). 4 = (8,2-1 (Р - 2)(p - 3)) }.

Тогда, пользуясь аксиомами поля, получаем: Вр = [I, Р]п[2,~\]= [у = х/ + t]n[y = xfl+tl]=lnr

Р IlG>\ = 2p-f + t Тэе lö (p 2 + p)2A=2f + t

>2-\2-p--p) = 2(p-\)f-

-2-1(p2+p-2) = 2(p-D.f^-2-1(p-D(p + 2) = = 2(р-1)./^/ = -4"1(р + 2).

2!^о( p2- p)2-'=4f1+t, Р-1//'ö3 = 2( p-1) fx+tx

(p2- p-6)24=(4-2 p + 2)f,, (p + 2)( p-3)2 4 =2(3- p)f,=>

/! = -(p + 2)4-!. B. = (-(.P + 2J4-1) / /„;

= [P - 2, P -1] n [P, P - 3] = [y = x(-3 -2~l)+t] n n [y = x(-3 • 2"1) + и ] = (-3 • 2-1) / /„ , [Bp, Bp_2 ] = /м ; Bp_ , = [~1, Р ] n [Т, ^2 ] = [ У = *(-Т) +13 n [v = x(-4-\P + 4)) + i4] / О -1 = -4-1 (p + 4) « о 4 = p + 4op = 0; ^_1=(-1); =[P^3,P^2]n

n [P - 1,P - 4] = [у = x(-2) + i5] n [y = x(-2) + i6] = = (-2) / ; ^ = [1,2] n[3,P] = [v = x(-p ■ 2-1) +17] n n [y = x(-p • 4-1) + ig ] 2-1 = -p ■ 4-1

о 2 p =>p = 0; = (0); B2 = [2,3] n [1,4] = [y = = .г-(2->(р +1)) + tg] n [>' = 41-P)24 +i10] / /„ о 2-\p +1) = = (l-p)2_1<=>p + l = l-p=>p = 0; B2 = (2_1).

Далее имеем В k = [P-k,P-(k-\)]n[P-(k-2),P-(k+\)],

k = 2,...,p-2. При k = 0^Bp =[P,P + l]n[P + 2,P-l], Ä- = 1 => P ! = [P^,P] n [P+l,P+2] : ~

k = p-l=>Pj =

= [T,2]n[3,P-P], ¿ = = IP-P.Tlnll-Tl мы

не получаем прямых Kр.

Br-k= [у = xmi + п1]гл[у = xm2+ n2] =

= [y = -x • 2-1 (k +1) + 2-1 (k + Y)(2 + 2 p- Ä-)] n

n [y = ~{k +^ l~l(-k2+ k + 2pk + 2p + k)] =

= (—2 (/. +1)); (P - /)' = [P - (/ -1), P - (/ + 2)] n

n [P - (i + 1), P - (7 - 2)] = [y = 177! + Щ ] n n [y = X7;7j + /7?q] = [y = -(/' + 2)2_1 • x + + 2~l(-i2 -i + 2pi + 4p + 4)^ n [y = -(/ +1)2_1 • x + 2_1(-/2 + /' + 2pi + 2p + 4)] = = (2p - 2i,y(p_,y) = X(p_,y =2p- 2i <=>

o[P-f.(P-f)']n/M = [x = 2p-2;]n /„ =(«) =

= [Р,Р']п[Р-1,(Р-1)']п...п[1,Г] = 5.

Итак, из выполнения всех инциденций теоремы А р следует р - 0 в тернарном кольце папповой

плоскости для любого натурального числа р.

Доказательство соотношения р = 0 => Кр осуществляется обратным ходом выкладок, проведенных выше на основе системы образующих точек Кр:

P-7=(2/,(7 + 2)(7+l)2_1), / 0.1.....р 1. Теорема 2

доказана.

Сначала подтвердим уже известные вышеуказанные результаты, когда плоскость имеет порядок, являющийся простым числом или степенью простого числа. Подтверждение этих результатов проиллюстрируем на нижеследующих примерах.

1°. Пусть образующие точки конфигурационной теоремы А' имеют координаты (рис. 2): 1 = (2,3),

2 = (да), 3 = (3,3), 4 = (0,0), 5 = (0).

Я=1гл [1,5,6,10", 9] п [4,8,10', 7,2] п[6', 8", 9', 7"10] гл n [2', 7, V, 4',3] п [5,З7,1, 6",9"], K=[L,R,G,T,0] гл [2', 3', 6,7"8] г^ [4,9, 7, Щ1] г^

n[6',9"10",8',7] п [2,3,5', 6", 8"] n п [1',10",9',4',5], 0=[L,R,T,G,K] r,|I Г.8,8\8"|n [2,2',9',9,¥']гл гл [3,З7, Щ КУ, КГ] п [4,4', 6,б7, 6"] п [5,5', 7,7, 7].

Рис. 2. К5

Тогда, следуя таблице инциденций К5 и ее полного свободного расширения (рис. 3), 6 = [1,3] п [2,5], 7 = [1,3]п[2,4], 8 = [2,4] п [3,5],

9 = [3,5]п[1,4], 10[1,4]п[2,5], 2' = [2,9] п[4,5],

Г = [1,8]п[3,4], 4~' = [4,6]п[1,2], 5' = [5,7]п[2,3], 3' = [3,10]п[1,5], 9' = [2,9]п[6,7], ^ = [1,8]п[6,10], Т = [5,7] п [9,10], 6' = [4,6]п[8,9], 10 = [3,10] п [7,8], КГ = [7',9']п[6',8'], 6" = [8^КУ] гл [7*, 9*], 7" = [8',10]п[6',9'], 8" = [б7,9*] гл [/, КУ], 9" = [Г,10']п[6',8'], в= 1,2] п[8^9], Т = [4,5] п [6,7], 1 = [3,4]п[6,10], [Я = [1,5]п[7,8], К=[2,3]п[9,10], находим: 6 = (1), ^ = (0,1), 8 = (0,-1), 9 = (1,-1),

10 = (-1), 8'= (2), 2' = (1,0), Я=(0,-2), К=(-2,2), Т=(-1,0), С=(2,-1), Г = (-1,1), Ь=(-2), Г = (-1,2), У = (-1,-2), ~4' = (2,2), 5* = (-2,1), б7 = (-1,-1), 9' = (1,2), КУ = (0,2), 6" = (-2,-2), 7 = (2,1), 8" = (-2,0), 9" = (1,-2), 10" = (2,0), О = (1,1) (причем эти точки подчиняются требованиям регулярности, через каждую точку проходят 5+1 прямых и на каждой прямой лежат шесть точек) (рис. 3),

О = [1,2,4', 7,10"] п [Г, 2', ЛИ), 6"] п п [5,3,9,б7, 8] п [О, К,Я,Ь,Т] гл [6,7,9", 8", КУ] п п[4',5',9',8',У], [0,Т]= 1,Т = I гл\4', I', 8',9", 10] п 0^6,9,7,3] г^З7,6',7,V,2] п [^,6",7",Ю7,9] п [?,27,4,8'] -Ь= / п [У, 4', 7,8", 9] п [5,10,87,6,2] п п [7,6", 10", 9', 8] п [2', 6', КУ, ?Д] п [3,4, Г, V, 9"],

Рис. 3. К р

Получили полное свободное расширение К из 31 точки и 31 прямой, т.е. проективную плоскость над вР(5) порядка 5.

2°. Аналогичными выкладками можно показать, что К7,Кп,К13,...,Кр , где р - простое число, также

порождают проективные плоскости порядков 7,11,13,..., р, соответственно.

3°. Рассмотрим К8(К9). Пусть в действительной проективной плоскости образующие точки К (К ) имеют координаты: А'8{8 = (16,1), 7 = (14,3),

6 =(12,6), 5 =(10,10), 4 = (8,15), 3 = (6,21),

2 = (4,28), Т = (2,36)} , (К9{9 = (18,1), 8 = (16,3),

7 = (14,6), 6 = (12,10), 5 =(10,15), 4 = (8,21),

3 = (6,28), 2 = (4,36), Т = (2,45)}).

Тогда из выполнения всех инциденций К8 (К) в плоскости получаем непротиворечивое квазитождество: А"8о8 = 0=>2 = 0 (К9 о9 = 0=>3 = 0) (выкладки опускаем). Отсюда видно, что К8(К9) не вырождается, и поэтому имеет полное свободное расширение.

Для нахождения полного свободного расширения К8(К9) ее образующие точки нужно оснастить ко-

ординатами, взятыми из GF(23) ( GF(32) ), и далее

провести алгебраизацию всех ее инциденций. В результате мы получим проективную плоскость порядка 8 (9).

4°. Аналогичными рассуждениями можно показать и существование проективной плоскости порядка

/? = <?", где q - простое число. Это будет плоскость над GF(qn), которую порождает Kp. Образующие

точки плоскости имеют координаты из GF(qn ).

Теорема 3. Полное свободное расширение конфигурационной теоремы Кр, где р=р\р2, Pi и р2 - различные простые числа, не есть проективная плоскость порядка р(р = 6,10,12,14,15).

Доказательство. 3.1. Пусть /> = 6 = 2-3 и К6 (рис. 4) имеет образующие точки: 1,2,3,4,5,6 и таблицу инциденций: Y = [3,6]п[2,5], 2'= [3,6] n [1,4], Г = [2,5]п[1,4], 4' = [3,6]п[5,2] = Г, 5' = [Î,4]n[3,6] = 27, б7 = [2,5]n [1,4] = З7, ß!=[l,2]n[Г,Г], В2=23п2'3\ В3= 3,4]гл\3',4'Ъ [В4 =[4,5]о[47,57] , ЯН^п^б7], В6 =[6Д]п[6',Г], B^l,!}^',2% В2 =[2,3]n[2,3'], J83=[3,4]r^[3', Р], В4 = [4,5] n [Г, 2'], В5= [ 5,6] n [2', З7], В6 = [6,1] n [З7, Г], S= [1,Г]п[2,Г]п[3,Т]п[4,Г]п[5,Г]п n [6,31 => î7 = 2' = У - ( S,BX,B2,B3,B4,B5,B6 ).

Рис. 4. К6

Из проведенных выкладок (см. Г=2'=3'=4'=5'=6') следует вырожденность К6 . В самом деле, если в К6

положить

J6 = (12,1),5 = (10,3),4 = (8,6) I 13 = (6,10),2 = (4,15),1 = (2,21)!

то получим:

S= [ 4,1] n [6,3] n [2,5] = [у = xirii+ti I n |v = xm2+t2] n

5 3

n [y = xm3+t3]=[y = -- x+26] n [y = -- x+19] n

5 3

n [y = -2x+23], S=[y = -- x+26] n [у = -- х+19].

17 17

I [y = -2x+23] Cï> S=(7, — ) I, I [y = -2x+23] <=> — =

= -14+23 О 17=18« 1=0, S=[y = -|x+26] n [y =

5 5

= -2х+23] « — х+26 = -2х+23 о (— +2)х = -3, х = 6,

3

у = -12+23=11, §=(6,11) I [у= — х+19] о 11= 3

----6+19 о 11=10=> 1=0.

2

Дальнейшая алгебраизация других инциденций К6 приведет к тому же противоречию 1 = 0 (выкладки опускаем). Поскольку нет нетривиального тернара из-за 1 = 0, над которым можно было бы строить проективную плоскость порядка 6, то нет и нетривиального полного сводного расширения К . Таким образом, вышеуказанным подходом подтвержден результат Тарри [3] о несуществовании проективной плоскости порядка 6.

3.2. Пусть /> = 10 и К10 имеет образующие точки (рис. 5): 10 =(20,1), 9 =(18,3), 8 =(16,6), 7 =(14,10),

3 =(6,36), 2 =(4,45), 1 =(2,55), 6 =(12,15), 5 =(10,21),

4 =(8,28).

Рис. 5. K10

Тогда, следуя подходящей данному набору образующих точек таблице инциденций K10, получаем:

Ï7 = [2,9] п[ЩЗ] = [У = -Зх+57] n [у= -1- х+71]=(28,-27),

- —- -- 7 9

2 =[Ю,3]п[1,4] =\у=-~ х+71] n [у=-- х+64]=

191 - -- -- 9

= (-7.— ). 3' = [1,4]n[2,5] = [у = - — х+64] n [у =

= - 4х+61] = (6,37), 4' = [2,5],гл[3,6] = [у = -4х+61] n n [у = --j х+57] = (8,29), 57 = [3,6]п[4,7] = [у =

= --J х+57] n [у = -Зх+52]=( 10,22), б7 = [4,7] n [5,8] =

=[у= - Зх+52] n [у = х+36] = (32,-44), 7 = [5,8] n [6,9] =

= [у = -|х+36] п[у = -2х+39] = (- 6,51),

8^ = [6,9] n[7,ÎÔ] =[t = -2х+39] n [у= х+31]=(16,7),

---- - 3 7

9' = [7,10]п[1,8] = [у = -— х+31] п[у= -— х+62]=

3131 — - - - - 7

=(Т'Т}' 10' = №1пР>91 = [у = --х-Н>2] п[у =

- - - - 9

= -Зх+57] = (10,27),В2= [2,3]п[1,4] = [у = -— х+63] п

п [у= х+64] = (- |) В!=[и] п[Г,Г] =

- -----7 7

= [1,2] п [3,10] =|у = -5х+65] п |у = - - х+71]=(-5)=(- - ),

В3=[3,4]п[2,5] =[у= -4х+60] П [у= -4х+61]=(-4),

[В2,В3]= /оэ1ВьВ4=[4,5]п[3,6]=[у=-|х+56] п [у=

7 7 - - - -

= -- х+57]=(- - ), В5= [ 5,6] п [4,7] = [у= -Зх+51] п [у=

= —Зх+51]=(—3), В6=[6,7]п[5,8] =[у= х+45] п [у=

5 5 - - - -

= -- х+36]=(- - ), В7=[7,8]п[6,9] =[у= -2х+38] п [у=

= -2х+39]=(-2), В8=[8,9]п[7,10]=[у= -|х+30|п|у=

3 3 --- -

= --Х+31М- -), в9=[ 9,10] п [1,8] =[у= -х+21] п [у=

7 7 --- -

= -- х+62]=(-1)=(-- ), В10=[Ю,1]п[2,9] =[у =

= -Зх+61] п [у= -Зх+51]=(-3), =(8,ВьВ2,...,Вю)

7 7

=> ВгВ5,В,1(я -- = -5о ЗЮ,В91о -1=-- о

о 2=7 5=0, [1,Г]п[2Лп[3,ЗЧп.....п[Ш,10']=8,

[х=6] = [3,37М4,4;] = [х = 8М5,57] = [х=10],

[8,8'] = [х=16], 8 = [3,3']п[4,4']п[8,8'] = (оо),[6,6'] I

£о12 = 32=>20 = 0, [7,Г] I (со) 14 = -6 « 20 = 0 =>

----31

=>2-10 = 0 [9,9'] I (оо)о 18 = — о36 = 31^>5 = 0,

[10,ЙУ] I (оо)=>10= 20 =>10 = 0 {3=0,5=0 =>2=0, 3=0 1=0}.

Полученное противоречие 1=0 доказывает, что нет нетривиального тернара, и что полное свободное расширение К не порождает нетривиальной проективной плоскости порядка 10.

3.3. Пусть р = 12 и образующие точки К12 в действительной проективной плоскости имеют координаты: {12 = (24,1), П = (22,3), 10 = (20,6), 9 = (18,10), 8 = (16,15), 7 = (14,21), 6 = (12,28), 5 =(10,36),

B1 = [1,2]п[12,3] = [у = 6]п[у = хр + 1],

3/<i5>7 = 6p + l=> р = 1,

6 = х + 1=>х = 5 =>,£>! =(5,6);

В2 = [2,3] п [1,4] = | .v = xf + .v | гл | у = xf'+s' |,

2/о6 = 4/ + s ,

_ J 1 = 2/ => / = 2,s = 7- 6/ = 7- 3 = 4.

3/o7 = 6/ + s

Iio6= 2 f'+s' 4 / ö -3 = -4 f+s xf + s = xf '+s'o x(f-f ') = s'-s

9 = 6/'=> /'= —, s'= 6-3 = 3

1

■x = (s'-s)(f-f)-1 =(3-4)1---

9

в2=\\- LB3 =[3,4] n[2,5] =[y = X/ + rj n[y = x/2 +r2]:

3/-»7=6/1+r1 4 / <=> -3 = -4/ + rj

2 / Ci> 6 = 4/2 + r2 5/«0 = -2/2+r2

•10 = 10/ ^/1=l,ri=l;

6 = 4/2 + 2/2 => /2 = 1 r2 = -2/2

= (l),/i =/2=1, (BUB2,B3) «|/i,./i2| / 53 BlI <^>6 = 5q + p

B1B2=[y = xq + p], 9

r 9 л 15

6 — = 4o = — . 4 4

15

q = —, p = ■

16

15

16;

- ±1-11 y~x'l6 16

/(l)ö —= löl = 0. 16

B4 =[4,5]n[3,6] =[y = xsi + t1]r^[y = xs2+t2] = B4I ВгВ2 o- = —-— = 0^>9 = 0^>3 = 0,

2 16 16

7

B5=[5,6]n[4,7] = [y = x-2 + 4]n[y = -3]=| ---3

7 15 15 „ (1 Л15

-----о -3= - + 1 — с

2 16 16 U J16

B51 [Bi,B2^-3 = -

5 9

о1 =---о32 = 45о8 = 9о1 = 0.

16 2

(Другие выкладки опускаем). Полученное противоречие 1=0 показывает, что К12, К6 и К10 не имеют полного свободного расширения в виде плоскости порядка 12.

3.4. Вышеуказанным подходом мы придем к ре-4 = (8,45), 3 = (6,55), 2 = (4,66), 1 = (2,78) }, а в зультату [1, 2] о несуществовании проективной плос-

плоскости над кольцом Р12 классов вычетов по модулю 12 - координаты: {12 = (0,1), 11 = (-2,3), 10 = (-4,6), 9 = (6,-2), 8 = (4,3) , 7 = (2,-3), 6 = (0,4), 5 = (-2,0), 4 = (-4,-3), 3 = (6,7), 2 = (4,6), Т = (2,6)} .

Найдем координаты точек Л',./ - 1.....12 и алгеб-

раизируем все инциденции К12 . Имеем

кости порядка 14=2^7, если в действительной проективной плоскости образующие точки К зададим

координатами: {14 = (28,1), = (26,3), 12 = (24,6), 11= (22,10), 10 = (20,15), 9 = (18,21), 8 = (16,28), 7 = (14,36), 6 = (12,45), 5 =(10,55), 4 = (8,66), 3 = (6,78), 2 = (4,91), I = (2,105)}, а в плоскости над кольцом классов вычетов по модулю 14 - координа-

-1

9

2

тами: {14 = (ОД), 13 = (-2,3), 12 = (-4,6), 11 = (-6,10), 10 = (6,1), 9 = (4,7), 8 = (2,0), 7 = (0,8), 6 = (-2,3), 5 =(-4,-1), 4 = (8,-4), 3 = (6,8), 2 = (4,7), 1=(1,7)}, и алгебраизируем все инциденции Ки. Имеем Вх = [Т,2]п[3,14] = [у = 7]п[у = хт + 1], 3/^8 =

. , 7 „ 7,7 36 8 f 8 „ ,

= 6m+l=>m = —, 7 = х--+1=>6 = -х=>х =— = -, л, = -,7 I 6 6 6 7 7 17

В2 = [2,3] n [ 1,4] = [у = хда + /] п [у = хда'+f] = (-6,2),

—

B I <=> 7 = — p + q B1B^[y = xp + q], 1 7p q

B2 Io 2 = -6 p + q

B10 =[10,1 l]n[9,12] =[y = xmj + vj n[y = xmj'+Vj'] = (-3):

B^[9,10]n[—,11]=[y = x^ + p^[y = xM4p'] = | --

B8 = [8,9] n [7,10] = [y = xs-j + tx ] n [y = xv,'] = (-4),

9n

B7 = [7,—] n [6,9] = [y = xk + f ] n [y = xk'+f'] = | - -

B6 = [6,7] n [5,8] = [y = xp + r]n[y = xp'+r'] = (-5),

lf

B5= [ 5,6] n [4,7]= [ y = xk1+11 ] n [ y = xk1 Ч-/1 '] = y~J B4 = [4,5] n [3,6] = [у = xu + /] n [y = xu'+f ] = (-6) ;

B3=[3,4]n[2,5] = [y = xp+v]n[y = xp'+v'] = -

13

5 =--p=> p = -7 = p = 7

^ = 2 + 42 = 44 = 2,

BjB2 =[y = 7x + 2];

1 6

B3 = [3,4] n[2,5] = [y = xf + r] n[y = xf'+r'] = | --,-

6

1

6

Л3/[51;В2]о- = --7 + 2О- = Ь6 = 7О1 = 0, В4 = [4,5\ п[3,6\ =[У = ХР!+ <21 \ п[у = ХР2+ q2\ =

ш

= -— • 7 + 2 О -— = —4 1 = 14 => 1 = 0. 7 7

Итак, К14 =>1 = 0', и поэтому полное свободное расширение К14, как и К6, К10 и К12, не представляет проективной плоскости.

3.5. р = 15 = 3-5, ^15{15 = (30,1), 14 = (28,3), 13 = (26,6), 12 = (24,10) , И = (22,15), 10 = (20,21), 9 = (18,28), 8 = (16,36), 7 = (14,45), 6 = (12,55), 5 =(10,66), 4 = (8,78), 3 = (6,91), 2 = (4,105), Т = (2,120)} => В13 = [13,14]п[12,15]= \у = х/ + 1\сл 3^

п = xf'+Ц = -J, В12 = [12,13] n[11,14] = [у = xfx + tx ] n

o[y = x/1'+i1']=(-2), [B12,B13] = laa,

Bl = [T, 2] n [3,15] = [y = xs + p]n[y = xs'+p'],

1 / о 120 = 2s + p 2/o 105 = 4s + p 31 <=>91 = 6s'+p' 15/öl = 30s'+p

=>15 = -2s => s = ■

-15 2

>90 = -24s'^-s' = -

15

^Bj/o2 = 0,

B2 = [2,3] n [ 1,4] = [y = x<7 + r] n[y = x<7'+r'] = (-7),

17

B15 = [15,1] п [14,2]= [ y = xs1+ ^ ] n [y = x^'+k1' ] = —

B14 = [14,15] n [13Д] = [y = xp + q] n [y = xp'+q'] =

( 19^1 19

= = B14 Ilx <=>-1 = -—<=>4 = 19 <=>15 = 0,

B11=[n,-2]r^[-0,-3]=[y = m+v]r^[y = xu]+V]=\ -

15'= [1,13] n [2,14] = [y = x^ + p] n[y = xk'+p'] \ I 4>\20 = 2k + p 13 / «> 6 = 26k + p

11, Л „7 7 19 259

=> 114 = -24Ä; => Ä; =--,p=-,

4 2

2 / <ü> 105= 4&'+p' 14/<=>3 = 28A:'+p'

17

=>102 = -24Ä:'=>Ä:'=--,p'=122,

4

x-ik-k^ip'-p) - —+ —j ^122 259 J _ -ff]—

15 = 5,^pj, I' = [3,15] n [2,14] = [y = xS1 + i5!] n

17 Г 199

^[y = -— x + 122] = l 17,—

S = [!,!'] n [15,15'] = [y = xp + <7] n [y = xp'+<7'] I / 120= 2p+ q

- 199

1/ <=>-= 17p + o

4

3881

281 4

; = -15p,

p = -

281 __

60' q~ 30

229 1C , , 229

--= 15p => p'=--.

4 60

15/ <=> 1 = 30p'+g'

— 233

15' Ici> — = 15 p'+ q' 4

231

q'=— ^//o0«(p) = (p')«

281 229

О--=--О 281= 229 О 52 = 2-2-13 = 0,

60 60

15 = 0, 2 = 0 => 13 = 0, 0 = 15 = 2-7+1 = 0-7+1 = 1 = 0,

13 = 2-6+1 = 0-6+1 = 0 = 1, 2'= [1,4] п[3,15] =

= {у = хг + Пгл[у = хг'+/'] = [у = -7х +134] гл 302 312\

TP 13

п

15 227

y =--x-\--

4 2

[2,2'] = [у = xv + w],

2/«105 = 4v + w

- r 372 302

2 1 --=--v + w

13 13

1737 250 1737

-=--v=>v =--,

13 13 250

1737

16599 0 229) - - 22Г

w =-, S = \--/ 2,2' о--1 =--

125 60 60 250

2

4

<^>229-25-1737-6 = 0<»5715-10422=0, 4707= 0<=> 313-15+ 12 = 12 = 0 <=>3 = 0, 15 = 0,2 = 0,3 = 0^1 = 0. (Остальные выкладки опускаем). Полученное противоречие 1=0 доказывает, что нет проективной плоскости порядка 15.

3.6. В общем случае р = рхр2, где р] и р2 - различные простые числа, имеем: К РхР2 = 0 р^ = 0, р2 Ф 0, либо рх ^0,р2 = 0, либо рх=0 = р2. Это означает, что К вырождается, и поэтому ее

полное свободное расширение К рр не есть проективная плоскость порядка р (В К * будет меньше, чем

р2 + р +1 прямых. Это следует из того, что р1= 0 влечет за собой выполнение всех инциденций конфигурации К р и, следовательно, коллинеарности точек

В},...^^1 Кр1сК*р. Все прямые [В\,В\\,..,

[В ,,В\ ] сливаются в одну прямую [В\,...,В1 ..V11 =

р\ п п

= I а Кр. Допущение существования проективной

*

плоскости wp порядка р приводит к существованию в

этой плоскости конфигурационной теоремы Lp с квазитождеством р = 0, и следовательно, к соотношению р1-р2=0^>{р1 = 0, р2 0} или {р\ t- 0,р2 = 0} или же { р1 = 0 = р2 }. Каждый из этих выводов приводит к вырожденности конфигурации Lp, и следовательно, отсутствию проективной плоскости порядка p.

Таким образом, полное свободное расширение конфигурации Kp представляет проективную плоскость порядка p , если и только если p есть простое число или степень простого числа. Теорема доказана.

Литература

1. Картеси Ф. Введение в конечные геометрии. М., 1980.

2. Холл М. Комбинаторика. М., 1970.

3. Tarry G. Le probleme de 26 officiers // C.K. de Pac. France. 1900. № 1. Р. 122-123; 1901. № 2. Р. 170-230.

4. Никитин А.А. О свободно порожденных проективных плоскостях // Алгебра и логика. 1981. Т. 22. № 1. С. 61-78.

5. Хубежты И.А. О некоторых классах алгебр и плоскостей. Владикавказ, 2005.

Поступила в редакцию

2 октября 2007 г.