CC BY
16
УДК 511.92
О ПРОБЛЕМАХ ФИГУРНЫХ ЧИСЕЛ
АВАНЕСОВ Э.Т., ГУСЕВ В. А., кандидаты физ.-мат. наук
Приводится анализ некоторых проблем фигурных чисел и решения соответствующих диофанто-вых уравнений.
Ключевые слова: фигурные числа, диофантово уравнение.
FIGURATE NUMBERS PROBLEM
AVANESOV E.T., Ph.D., GUSSEV V.A., Ph.D.
Последовательные замены x =
u - 1
y = V
и далее 72У = т, 6и = п приведут уравнение (3) к виду т2 = п3 - 36п.
Использование оценки (2) при г = 36, э = 0
даст
max
{I "fVj
<243 (•363
,6,5
13
The article contains the analysis of some problems with figúrate numbers and the solution of corresponding Diophantine equation.
Key words: figúrate numbers, Diophantine equation.
Одну из интересных глав диофантова анализа составляют фигурные числа. Известные проблемы фигурных чисел касаются квадратов, треугольных, тетраэдральных и пирамидальных чисел [6].
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Числа вида tx = |x (x+1),
где х - натуральное число, называются треугольными.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Тетраэдральными чис-
1
лами называются числа вида Ту =—y (y + 1)(y + 2)
при натуральном у.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Пирамидальными чис-
1
лами называются числа вида pz =—z (z + 1)(2z +1)
при натуральном z.
Попарное приравнивание таких чисел приводит к проблемам, решение которых привлекает особое внимание[3].
Исследование подобных задач может эффективно опираться на следующую теорему.
ТЕОРЕМА (В.А. Демьяненко). Если (х,у)-точка с целочисленными координатами кривой у2 = x3 + rx + s (1)
над полем Q, то
max {|x31, |rx|, |s|,y2 j < 243 max6+e {4 |r31, 27s2 j, (2)
є < 0,5.
Приведем анализ некоторых проблем.
ЗАДАЧА 1. Найти все пирамидальные числа, являющиеся одновременно квадратами натуральных чисел.
Согласно определению 3, имеем дио-фантово уравнение
Из этого следует Щ < 24(• 363)6 .
Возвращаясь к переменной х, получим
IX<526574188274.
Компьютерный поиск обнаружил единственную нетривиальную пару решений диофантова уравнения (3): x = 1, |у| = 1 и x = 24, |у| = 70.
ЗАДАЧА 2. Найти все треугольные числа, являющиеся одновременно пирамидальными числами.
Из определения треугольных и пирамидальных чисел следует уравнение 3у (у +1) = x (x +1)( 2х +1). (4)
Полагая 2х + 1 = М и 2у + 1 = N, получим 3N2 = M3 -M + 3. (5)
Умножив почленно на 27 и применив подстановку 9N = u, 3M = V, находим u2 = V3 - 9V + 81.
Применяя оценку (2), получим
max{|V3|,|9V|,U2} < 243 max{4 • 93,27 • 812},
Из этого следует
(6)
2+-
13 ' 6
1
y = — x (x + 1)(2x +1).
(3)
Заметим, что неопределенное уравнение (3) было решено с помощью эллиптических функций [8], Люнггрен [4] дал решение, основанное на анализе уравнения Пелля в квадратичных полях. Морделл [5] указал на необходимость построения элементарного решения, которое и предлагается ниже.
| |< 24тах 3 {4 • 729,27 • 6561} < 24 • 177147 '
Выполненный расчет при |У| = 3|М| и М = 2х + 1 дает |х| < 940697295606.
Компьютерное вычисление выявило нетривиальные значения х для уравнения (4), а именно: х1 = 1, х2 = 5, х3 = 6, х4 = 85 . Значит, кроме чисел 1, 55, 91 и 208335, не существует других треугольных чисел, являющихся одновременно пирамидальными числами [2, 7].
© ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»
Аналогичное исследование можно провести для решения известной проблемы Эско-та-Серпинского ([7]).
ЗАДАЧА 3. Найти все треугольные числа, являющиеся одновременно тетраэдральными.
Задача сводится к решению диофантова уравнения
3у (у +1) = х (х + 1)(х + 2). (7)
Замена и = 36(2у + 1), V = 12(х + 1) приводит к уравнению
и2 = V3 -14^ +1296, (8)
для решения которого применима оценка (2):
13
IV < 24тах 6 (4 • 1443,27 • 12962) или
IV <932082607175481998 и
|х| < 77673550597956833.
Соответствующий компьютерный расчет для уравнения (7) дает следующие целые положительные решения х1 = 1, х2 = 3, х3 = 8, х4 = 20, х5 = 34.
Это позволяет установить решение проблемы Эскота-Серпинского в следующей формулировке: кроме чисел 1, 10, 120, 1540 и 7140 не существует других тетраэдральных чисел, являющихся одновременно треугольными числами.
ЗАДАЧА 4. Морделл [5] сформулировал гипотезу: диофантово уравнение
6у2 =(х +1)(2 - х + 6) (9)
имеет только следующие решения для х: х = -1; 0; 2; 7; 15; 74.
Указанное уравнение равносильно уравнению у2 = сх + с1х + сх + сх.
Представляется интересным элементарное решение поставленной задачи. Для этого умножим почленно уравнение (9) на 216, тогда имеем
(36y)2 = 216x3 + 1080x +1296.
Выполнив подстановку 36y = U, 6x = V, получим U2 = V3 + 180 V + 1296.
Применим оценку (2):
max {|V3|, U2}< 243 • max6+—{ 4 • 1803, 27 • 12962},
из этого следует
2+—
IV < 24 • max 6 {4 • 5832000, 27 • 1679616} =
= 24 • 45549632 6, є<-, 2
x =
13
< 6 • (45349632)6 < 233020653163248413.
Компьютерный расчет дает решение уравнения (9), совпадающее с предположением Морделла.
Список литературы
1. Аванесов Э.Т. Решение одной проблемы фигурных чисел // Acta Arithmetica. - 1967. - Т. 12. - № 4.
2. Аванесов Э.Т. Диофантово уравнение
3у(у+1)=х(х+1)(2х+1) // Волжский математический сборник. -1971. - № 8.
3. Guy R. Unsolved probiems in number theory // Springer-Verl. - New York, 1981.
4 Ljunggren W. New solution of a problem proposed by E.Lucas // Norsk Mat/ Tidskr. - 1952. - 34.
5. Mordell L.J. Diophantine Equations // Academic Press. - London and New York, 1969.
6. Sirpinski W. Elementary Theory of Numbers. -Warszawa, 1987.
7. Uchiyama S. Solution of a Diophantine Problem // Tsukuba Jorvin. Math. - 1984. - 8. - № 1.
8. Watson Y. N. The problem of a square pyramid // Messenger of Math. - 1918. - 48.
Аванесов Эдуард Тигранович,
Пятигорский государственный технологический университет,
кандидат физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики,
телефон 8-928-360-37-49.
Гусев Владимир Алексеевич,
ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В. И. Ленина»
кандидат физико-математических наук, профессор,
зам. декана факультета информатики и вычислительной техники,
e-mail: dekan@ivtf.ispu.ru
© ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»
