CC BY
39
УДК 511.54
ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ДИОФАНТОВЫХ ЗАДАЧ
ВИДА — = — + — + !., СФОРМУЛИРОВАННОГО П. ЭРДЁШЕМ к х у z
Людвиг Хачатурович Асланян
Армянский государственный экономический университет, 0006, Армения, г. Ереван, Верхний Шенгавит, улица 11а, дом 18, кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики, тел. (0037493)16-16-06, e-mail: lyudvig.aslanyan@mail.ru
Работа посвящена исследованию известных в математике диофантовых задач, решаемых для инженерных целей способом Э. Эрдёша. Одной из таких задач является определение радиуса кривизны Земли с заданной точностью в точке с известными координатами. С целью реализации подобных задач автором разработан общий алгоритм нахождения натуральных решений диофантовых задач, обосновано существование этих решений на множествах {4q}, {4q + 1}, {4q + 2} и {4q + 3}. Приведены дополнительные сведения о гипотезе П. Эрдёша - Штрауса. В данной работе проблема решена на множествах {4q} и {4q + 2}, где параметры X, y и Z являются числовыми функциями, и показано, что задача всегда имеет натуральные решения для фиксированного числа n > 1.
Ключевые слова: диофантовое уравнение, гипотеза Эрдёша, натуральные числа, целая часть функции, разрыв функции второго рода.
Введение
С начала XVIII в. усилия ученых были направлены на определение параметров Земли (радиуса кривизны в экваторе, полярного сжатия и др.). Определение радиуса кривизны Земли можно выполнить различными способами [1, 2]. Точность выполненных расчетов такими способами удовлетворяет топографическим и картографическим работам. Однако для геодезических целей в большинстве случае требуется более высокая точность. В данной работе предлагается моделирование решения задачи, сформулированного П. Эрдёшем [3, 4], которое может применяться для точного расчета радиуса кривизны Земли в данной точке, при известных координатах точки на поверхности Земли. Задача П. Эрдёша имеет степень сложности P62, а именно: для каждого натурального числа n > 1 существуют натуральные числа x , y, z такие, что
4 111
- = - + - + -. (1) n X y z
В [3, 4] также сформулирована задача В. Серпинского, которая имеет степень сложности P63, а именно: для каждого натурального числа n > 1 сущест-
5 1 1 1 Л/Г
вуют натуральные числа х , у,2 такие, что — = —I---+ —. Многолетние ис-
п х у 2
следования гипотезы П. Эрдёша показывают, что задача всегда имеет натуральные решения. В [5] отмечено: «Египетские дроби ставят ряд трудных и по сей день нерешенных математических проблем. Гипотеза Эрдёша - Штрауса (еп: Егёбв-ЗйаивсощесШге) утверждает, что для всякого целого числа п > 2
4 1 1 1
существуют положительные целые х , у и 2 такие, что — = —I---1—. Ком-
пху2
пьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех п < 1014, но доказательство пока не найдено». Время от времени всплывают новые сведения о данной проблеме [6]. Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительного к существует такое N, при котором для всех п > N
к 111,
существует разложение — = —I---1— (эта гипотеза принадлежит Анджею
п х у 2
Шинцелю (еп: Апёце] БсЫп2е1)) [7]. Автор данной работы, в свою очередь, сформулировал другое обобщение со следующим содержанием: для любого
Р
фиксированного натурального числа к > —, на отрезке [1, 3к], существуют
р 111
многочисленные натуральные числа р, при которых уравнение — = —I---+ —
к х у 2
имеет натуральные решения [8]. Теоретическая концепция и доказательство этих четырех гипотез (Эрдёша - Штрауса, В. Серпинского, А. Шинцеля и Л. Асланяна) представлена в [7-9].
Основные результаты исследования
Если к = 1, то численное значение левой части уравнения (1) будет 4, а наибольшее значение выражения правой части уравнения будет 3, когда х = у = 2 = 1. Следовательно, предположение П. Эрдёша о том, что для натуральных чисел к > 1, верно и уравнение (1) - полностью истинно. Преобразуем уравнение (1) следующим образом:
4 11 1 (2)
- — = - + (2)
кху2
или
4х - к у+ 2
к (3)
к • х у • х
Исследование задачи проведем на множестве натуральных чисел. Поэтому
т ЛГ
обозначим левую и правую части уравнения (3) дробью —, где т, п е N
п
и (т, п) = 1. Оценим значение выражения правой части уравнения (3). Поскольку числа х, у и 7 рассматриваются на множестве натуральных чисел, то у + г < у • г, при у Ф1, 7 Ф1.
т
Если у = г = 2, то имеет место равенство у + г = уг . В этом случае — = 1
п
4 х - к к
или -= 1, откуда х =-. Так как к > 1, то вероятными значениями к
к • х 4 - к
будут к = 2 и к = 3, для того чтобы х е N. Если к = 2 , то х = 1. Если к = 3, то х = 3. Нетрудно заметить, что решения (1; 2; 2) и (3; 2; 2) удовлетворяют уравнению (1).
Если г = 1, а натуральное число у больше 1, то у + г > у • г и у + г > 1
у7
т
или — > 1 . п
т
Таким образом, при условии 1 < — < 2 задача также имеет натуральное реп
шение. Например, решения к = 2, х = 2, г = 1, у = 2 удовлетворяют уравнению (1). Если г = 1, у = 12, х = 4, к = 3, то они также удовлетворяют уравне-
т
нию (1). Можно привести многочисленные примеры, что при условии 1 < — < 2
п
т
задача имеет натуральные решения. Таким образом, при условии 0 < — < 2
п
уравнение (1) имеет натуральные решения. Поскольку мы обозначили левую
т
и правую части уравнения (1) через —, то получим следующую систему
п
уравнений:
пк
х = ■
4п - тк (4)
п • г
у=■
т • г - п
От системы (4) отделим неизвестные у иг. Для этого равенство
п • г у г
у =-преобразуем в вид — =-и обе части умножим на число т Ф 0.
тг - п п т • г - п
у • m zm z • m
Получим-=-. Отделим целую часть дроби-. Имеем
п mz - П mz - П
ym zm - П + п л П =-= 1 +-
п mz - П mz - П
или
У • m - П П
1-=-• (5)
п mz - П
Значение левой и правой частей уравнения (5) обозначим через a . Полу-
п(a + 1) п(а +1)
чим z =-, у =- или у = а • z . Выдвинем новую гипотезу: могут
m • а m
ли существовать тройки натуральных чисел (т, п, а), для того чтобы числа х , у , 7 были натуральными. Так как в начале задачи мы предположили, что (т, п) = 1, следовательно, числа а и а +1 также будут взаимно простыми чис-
п (а +1)
лами. Рассмотрим числовую функцию 7 =
т • а
Теорема 1
Для того чтобы значения числовой функции 7 были натуральными числами, необходимо и достаточно, чтобы имели место следующие условия: а +1 = т • г и п = А • а, где А е N.
Имеем а = т • г -1 или а = -1(шоёт) и п = А • а. Получим представление числовых функций 7 = А • г, у = а • г = (тг -1) • А • г. Нетрудно заметить, числовые функции г и у всегда принимают натуральные значения. Теперь исследу-
п • к
ем числовую функцию х =-. Линейная форма 4п - тк всегда принимает
4п - тк
любое действительное значение, в том числе и натуральное, за исключением
. 1 „ тк
тех значений, при котором 4 • п - тк = 0 или п =-, так как она находится
4
в знаменателе. То есть, числовая функция х имеет разрыв второго порядка
тк
в точке п
4
г тк тк л
Линейная форма 4п - тк непрерывна на интервале -ю,- и
4 ) \ 4 ,
следовательно, его числовые значения существуют в каждой точке данного интервала. Поскольку данная задача рассматривается на множестве натуральных
чисел, то нас интересуют все те числа которые принадлежат интервалу
^ к тк V . (тк Л , 1 ч „
У —,, эти числа являются делителями элемента (п • к). Другими
4 4
4
ут т у V т у
словами, нас интересует существование натуральных решений уравнения вида 4п - тк = р, где р, - какой-либо делитель элемента (п • к). Из данного уравне-
тк + р,
ния найдем п, имеем: п =--, где количество всевозможных уравнений
4
есть х + X +1, где т = (1 + а^(1 + ^) • • • (1 + а,) [4], т. е. т показывает количество делителей числа к , а X является количеством уравнений вида 4п - тк = р, • п, где рI меньше числа 4. Другими словами, X показывает количество всех возможных комбинаций рI • п, при котором уравнения 4п - тк = р, • п имеют натуральные решения, а единица показывает число уравнений вида пк = ¿(4п - тк). Для того чтобы доказать, что числовая функция х принимает натуральные значения, сформулируем следующую теорему.
Теорема 2
Для того чтобы значения числовой функции х е N, необходимо и достаточно, чтобы существовало хотя бы одно или несколько или все из следующих предполагаемых условий: 1) 4п - тк = 1; 2) 4п - тк = рь ..., 4п - тк = Pj;
а ■
) + 1)4п - тк = р1 • п , ...; ) + X) 4п - тк = р^ • п и пк = ?(4п- тк), где t е N .
Доказательство
Исходя из целесообразности, возьмем р, равным 1, так как единица является делителем для любого натурального числа. Получим п = тк +1, где к > 1,
4
следовательно, при его делении на 4 в остатке останется одно из чисел: ноль, единица, двойка, тройка. Поскольку задача рассматривается на множестве натуральных чисел, а к является произвольным представителем этого множества, то выберем предметом исследования основополагающие понятия из теории чисел. То есть, сравним натуральные числа по модулю 4. Получим числа с остатком 0, 1, 2 и 3. Объединив числа с равным остатком, получим числовые множества с полным вычетом вида {4ц}, {4ц +1}, {4ц + 2} и {4ц + 3}, объединение которых дает множество натуральных чисел без числа «1». На каждом множестве числовая функция х имеет следующее представление: х = дт х = (4д +1)п х = (2ц + 1)п и х = (4ц +3)п
.А — . .А — . .А — Д. —
п - цт 4п - (4ц + 1)т 2п - (2ц + 1)т 4п - (4ц + 3)т Исходя из этого, проведем исследование задачи поэтапно.
Алгоритм решения задачи П. Эрдёша на множестве к е {4д} Подставив значение к = 4д в уравнение (1), получим
4 1 1 1 1 (6)
— = - = - + - + -. (6)
4д д х у г Согласно полученному алгоритму, можем написать, что х = п д .
п - дт
Теорема 3
Для того чтобы х е N, необходимо и достаточно, чтобы существовало хотя бы одно или несколько или все из следующих предполагаемых условий:
а) п - д • т = 1;
б) п - дт = д ;
в) п • д = £(п - дт).
Сначала предположим, что д является простым числом, а если будет составной, то д будет представлено в канонической форме, т. е.
д = р^1 • ра ••• ра [4]. Тогда будут исследованы все возможные существующие варианты. То есть будут исследованы все уравнения вида п - тд = р1 и по известному факту, х = (1 + а1)(1 + а2) ••• (1 + а1) [4] и считается количеством делителей элемента д .
Исследование условия п - д^т = 1
Имеем: п = дт +1, если т е п, то п е N, х = д^пеN. Выбранным методом доказывается, что х принимает натуральное значение. Испытаем значение па-
(д + 1)(а +1)
раметра т . Если т = 1, то п = д +1, х = п^д = д(д +1), г =-.
а
Если а = 1, то г = у = 2(д +1), х = д(д +1). Если а = д +1, то г = д + 2, у = (д + 1)(д + 2), х = п^ д = д(д +1). При изменении значений параметра т получаются разные аналитические представления числовых функций х , у, г , п и а . Полученные результаты доказывают, что числовые функции г и у также принимают натуральные значения.
Для компактности работы сведем некоторые решения в представленную табл. 1.
Таблица 1
Суммарные решения диофантовых задач
т п = тд +1 а х у Условие
1 д +1 1 д(д+1) 2(д +1) 2(д +1) п - тд = 1 (а)
1 д +1 д +1 д(д+1) (д + 1)(д + 2) д + 2
2 2д +1 1 д(2д+1) 2д +1 2д +1
2 2д +1 2д +1 д(2д+1) (д + 1)(2д +1) д +1
т п = д(т +1) а х у I п - mg = д или п = д(т +1) (б)
1 2д 1 2д 4д 4д
1 2д 2 2д 6д 3д
1 2д 2д 2д 2д(2д +1) 2д +1
1 2д д 2д 2д(д +1) 2(д +1)
2 3д 3 3д 6д 2д
2д д(2д +1) 1 д(2д +1) 2д +1 2д +1
2д д(2д+1) 2д +1 д(2д+1) (д + 1)(2д +1) д +1
д + 1 д(д + 2) д д(д+2) д(д+2) д + 2
п т п дг т г - д ' если г=д+1 а = 1 х=г = д + 1 2д(д+1) 2д(д +1) пд=г(п - тд)
а = д +1 х = г = д +1 д(д + 1)(д + 2) д(д+1)
а = д(д +1) х=г = д + 1 д(д+1)(д + д+1) ^ + д +1
а = д х = г = д д(д+1) (д +1)2
Теперь на частном примере объясним алгоритм решения, когда д является составным. Например, д = 20, то есть к = 80 и требуется решить уравнение
— = 1 +1 +1 20 х у I
20 • п 22 • 5 • 4
V / / V/ Г тт
Согласно полученному алгоритму, х =-=-. Делителями
п - 20т п - 20т
числа 20 являются 1, 2, 4, 5, 10, 20, г = (1 + 2)(1 +1) = 6.
Теорема 4
Для того чтобы .х е N, необходимо и достаточно, чтобы существовало хотя бы одно или несколько или все из следующих предполагаемых условий: а) n - 20m = 1; б) n - 20m = 2; в) n - 20m = 4; г) n - 20m = 5; д) n - 20m = 10; е) n - 20m = 20; з) 20n = t(n - 20m); где t е N .
Нетрудно заметить, что в случае всех условий задача имеет многочисленные решения. Теперь рассмотрим случай, когда k = 4q + 2, это означает, что следует решить уравнение
2 2 111
=-+-+-. (7)
4q + 2 2q +1 х y z
Алгоритм решения задачи П. Эрдёша на множестве к е {4д + 2}
Согласно алгоритму х = —(2д +1 п—. Предположим, что 2д +1 есть про-
2п - (2д + 1)т
стое число. Сформулируем теорему.
Теорема 5
Для того чтобы х е N, необходимо и достаточно, чтобы существовало хотя бы одно или несколько или все из следующих предполагаемых условий:
а) 2п - (2д + 1)т = 1;
б) 2п - (2д + 1)т = п;
в) 2п - (2д + 1)т = 2д +1;
г) 2п - (2д + 1)т = (2д +1) • п;
д) (2д +1) • п = (2п - (2д + 1)т) • г (2д +1) • п = (2п - (2д +1) т) • г, где г е N .
тт \ (2д + 1)т +1 т +1 „ л(
Из условия а) следует п = ^—^-= дт +—2—. Если т = -1(шоа2)
или т = 2г -1, то п = (2д +1) • г - д. Если г = 1 или т = 1, то п = д +1
и 2 = (д + 1) • (а + 1) . Если а = 1, то г = 2(д + 1), у = 2(д + 1), а
х = (2д +1) • п = (2д +1) • (д +1). Если а = д +1, то г = д + 2, у = (д + 1)(д + 2), х = (2д + 1)(д +1). Полученные решения удовлетворяют уравнению (7). Нетрудно заметить, что при всех условиях задача имеет многочисленные решения. Если число вида 2д +1 составное, то решение задачи находится по тому же алгоритму. Сведем результат некоторых решений уравнения (7) в табл. 2, для случаев условий а) и д).
Таблица 2
Некоторые решения уравнения П. Эрдёша
т (2д + 1)т +1 п = ^--- 2 а У 2
1 д +1 1 (д + 1)(2д +1) 2(д +1) 2(д +1)
1 д +1 д +1 (д + 1)(2д +1) (д + 1)(д + 2) д + 2
3 3д + 2 3д + 2 (2д + 1)(3д + 2) (д + 1)(3д + 2) д +1
т (2д + 1)( т + 1) 2 а У 2
1 2д +1 1 2д +1 2(2д +1) 2(2д +1)
1 2д +1 2д +1 2д +1 2(д + 1)(2д +1) 2(д +1)
3 2(2д +1) 2 2(2д +1) 2(2д +1) 2д +1
2д +1 (2д+1)(д+1) 1 (2д + 1)(д +1) 2(д +1) 2(д +1)
2д +1 (2д + 1)(д +1) д +1 (2д + 1)(д +1) (д + 1)(д + 2) д + 2
п п (2д + 1)? а X = ? У 2
т т 2? - (2д +1)
п т (д + 1)(2д +1) 1 д +1 2(д + 1)(2д +1) 2(д + 1)(2д +1)
п т 2д +1 2д +1 2д +1 2(д + 1)(2д +1) 2(д +1)
Работа имеет продолжение при к = 4д + 3.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Морозов В. П. Курс сфероидической геодезии. - М. : Недра, 1979. - 296 с.
2. Бугаевский Л. М. Математическая картография : учебник для вузов. - М. : Златоуст, 1998. - 400 с.
3. Серпинский В. (Waclaw 81егр1пвк1). Сто простых, но одновременно и трудных вопросов арифметики. - М., 1961. - 273 с.
4. Серпинский В. (Waclaw 81егр1пвк1). 250 задач по элементарной теории числа. - М. : Просвещение, 1968. - 258 с.
5. Открытые проблемы. Современная теория чисел [Электронный ресурс]. - Режим доступа: Ьйр^г^ёоГГ.т^Ы/Египетские^роби.
6. Гипотеза Эрёша - Штрауса. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза_Эрдёша_—_Штрауса.
7. Виноградов И. М. Основы теории чисел. - М. : Наука, 1981. - 476 с.
8. Асланян Л. Х. Алгоритмы решения диофантовых задач гипотезы Эрдеш - Штрауса и В. Серпинского. - Части I и II. - Ереван, 2015. - 236 с.
9. Асланян Л. Х. Алгоритмы решения обобщенных диофонтовых задач гипотезы Эрдеш - Штрауса и В. Серпинского. - Часть III. - Ереван, 2015. - 347 с.
Получено 09.06.2016
© Л. Х. Асланян, 2016
INVESTIGATION AND ALGORITMS FOR SOLVING DIAPHANTINE
PROBLEMS VIEW, — = — + — + -, FORMULITE ERDOS
k x у z
Ludvig Kh. Aslanyan
Armenian State Economic University, 0006,Yerevan, Armenia, 18 Verkhniy Shengavit St., Ph. D., Asoociate Professor, Department of Higher Mathematics, tel. (0037493)161606, e-mail: lyudvig.aslanyan@mail.ru
The work is devoted to solving non-trivial way to calculate the latitude and radius of curvature of the Earth to the space coordinates and the theory and practice of a second-order problem that has formulated P. Erdos in geodetic works. A general algorithm for finding natural solutions of Di-ophantine problems, justify the existence of these decisions on the sets{4q}, {4q + 1}, {4q + 2} and {4q + 3} . Provides additional information on the hypothesis Erdos-Strauss. In this paper, the problem is solved on the sets {4q} and {4q + 2}, where the parameters X , y and z are numerical functions, and it is shown that the problem is always the natural solution for a fixed number of n > 1.
Key words: diophantine equation, the hypothesis Erdos, integers, the integer part of the functions of the second kind of function gap.
REFERENCES
1. Morozov, V. P. (1979). Kurs sferoidicheskoy geodezii [Course of spheroidal geodesy]. Moscow: Nedra [in Russian].
2. Bugaevskiy, L. M. (1998). Matematicheskaya kartografiya [Mathematical cartography]. Moscow: Zlatoust [in Russian].
3. Serpinskiy, V. (1961). Sto prostykh, no odnovremenno i trudnykh voprosov arifmetiki [One hundred simple but at the same time and difficult arithmetic questions]. Moscow [in Russian].
4. Serpinskiy, V. (1968). 250 zadach po elementarnoy teorii chisla [250 problems in elementary number theory]. Moscow: Prosveshchenie [in Russian].
5. Otkrytye problemy. Sovremennaya teoriya chisel [Open the problem. The modern theory of numbers]. Retrieved from http://gruzdoff.ru/wiki/Египетские_дроби [in Russian].
6. Gipoteza Eresha-Shtrausa [Hypothesis Eresha - Strauss]. Retrieved from https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза_Эрдёша_—_Штрауса [in Russian].
7. Vinogradov, I. M. (1981). Osnovy teorii chisel [Fundamentals of the theory of numbers]. Moscow: Nauka [in Russian].
8. Aslanyan, L. Kh. (2015). Algoritmy resheniya diofantovykh zadach gipotezy Erdesh-Shtrausa i V. Serpinskogo [Algorithms for solving diophantine problems hypothesis Erdos-Strauss andSierpinski]: Part I, II. Erevan [in Russian].
9. Aslanyan, L. Kh. (2015). Algoritmy resheniya obobshchennykh diofontovykh zadach gipotezy Erdesh-Shtrausa i V.Serpinskogo [Algorithms for generalized diofontovyh tasks hypothesis Erdos - Strauss and V. Serpinskogo]: Part III. Erevan, 2015 [in Russian].
Received 09.06.2016
© L. Kh. Aslanyan, 2016
