CC BY
25
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 151, кн. 2
Физико-математические пауки
2009
УДК 519.95
О ЧИСЛЕ МНОЖЕСТВ, СВОБОДНЫХ ОТ СУММ
A.A. Сапооюепко
Аннотация
Дап обзор результатов исследования числа множеств, свободных от сумм. Приводятся формулировки утверждений, обсуждаются идеи и техника доказательств.
Ключевые слова: множества, свободные от сумм, абелевы группы, циклические группы.
Введение
Пусть на множестве М задана операция сложения (быть может частичная). Подмножество А С М называется свободным от сумм (сокращенно МСС), если а + Ь € А для любых а, Ь € А. Семейство всех подмножеств, свободных от сумм в М, обозначим через 5(М). В качестве множества М чаще всего рассматривается либо множество элементов аддитивной группы, либо множество натуральных чисел. В случае некоммутативных групп используется операция умножения и вместо МСС рассматриваются множества, свободные от произведений. Понятие множества, свободного от сумм. было, по-видимому, введено Шуром, доказавшим знаменитую теорему о том, что интервал [1, те] нельзя разбить на фиксированное число попарно непересекающихся МСС, если п достаточно велико по сравнению с числом подмножеств.
Вопрос о числе МСС в отрезке [1,п] ив группах стал интенсивно изучаться после опубликования в 1988 г. статьи Камерона и Эрдёша [12]. Обозначим через [д,р] множество натуральных чисел х таких, что д < х < р. Семейство всех подмножеств А С \Ь, п], свободных от сумм, обозначим через £(£, п). Пусть далее в(£, п) = |£(¿,п)|, а в(п) = |£(1,п)|. В упомянутой статье 1988 г. Камерон и Эр-дёш [12] предположили, что в(п) = 0(2п/2). Они доказали, что в(п/3, п) = 0(2п/2) и, кроме того, что существуют константы с0 и с\ такие, что
в(п/3,п) - со2Г"/2! (1)
п
в(п/3,п) - с\2^п/2 (2)
для нечетных п. Заметим, что константы со и С1 ^^^^^^^^^^^ точноетью до 0.015 К.Г. Омельяновым в [1]. Он доказал, что
6.07097 < с0 < 6.09942, 4.81030 < с1 < 4.83350. (3)
Обозначим через Nа (п) множество целых чисел а отрезка [1,п], для которых а = а( шоё 2^ а € {0,1}. Заметим, что нижняя оценка вида в(п ) > П(2п/2) следует из того, что множество N 1(п) всех нечетных чисел, а также множество Рп чисел отрезка [[п/2] + 1,п] свободны от сумм (вместе с их подмножествами).
140
А.А. ел НОЖКИ КО
Вскоре после выхода статьи [12] были получены верхние оценки, из которых вытекает асимптотика логарифма величины s(n). Н. Калкин [11] в 1990 г. и Н. Алон [10] в 1991 г. независимо доказали, что1
logs(n) < (n/2)(1 + o(1)). (4)
В этих статьях использовались довольно сильные средства. Н. Калкин использовал известную теорему Семереди о существовании сколь угодно длинной арифметической прогрессии во множестве чисел положительной плотности. Н. Алон использовал локальную лемму Ловаса, теорему Краскала-Катоны и др. Впоследствии неравенство (4) передоказывалось различными авторами в работах, касающихся проблемы Камерона Эрдёша (см.. например. [2. 13]). В статье Н. Алона [10] эта оценка была получена с помощью сведения задачи к оценке числа независимых множеств в графах Кэли. Там же получена верхняя оценка числа I(G) независимых множеств в регулярном степени k графе G па n вершинах. Оценка имеет
I(G) < 2(«/2)(1+°(fc-0'1)). (5)
Обозначим через SF(G) число МСС в группе G. В [10] показано, что для всякой
n
s(G) < 2(n/2)(1+o(1)). (6)
Неравенство (6) следует из (5) с учетом того, что всякое МСС A является независимым в графе Кэли Cb (G) на множестве вершин G, порожденном B С A. В качестве B может быть взято произвольное непустое подмножество множества A. В [10] в роли B берутся МСС мощности, не превышающей log |G|. Верхняя log s(n)
Н. Алона поставлена задача об оценке числа МСС в абелевых группах.
1. МСС в группах простого порядка
Простейшими среди абелевых групп являются циклические группы Zp простого порядка р. В. Лев и Т. Шон [21] доказали, что
(р - 1)2Кр-2)/з] (! + 0(2-р)) < SF(^р) < 2р/2-,
где е, 6 — положительные константы. Б. Грин и И. Ружа получили в [15] верхнюю оценку вида в(^р) < 2р/3+о(р). Тем самым была получена асимптотика для ^ |SF(^р)|. Обозначим через Ра множество простых чисел вида 3к + а, а £ { —1,1}- А.А. Сапожепко получил асимптотику для |SF(^р)|. В [5] доказана следующая
Теорема 1. Существуют, абсолютные константы са, а £ { —1,1}, такие, что для всякого е > 0 существует N такое, что для любого р £ Ра, удовлетворяющего неравенству р > N, выполняется неравенство
SF(Zp)/ ((p - 1) • 2L(p-2)/3J) -,
< е.
Это неравенство получено с помощью фактов, касающихся структуры «больших» МСС в . Полож им к * А = {ка : а £ А}. Постановка задачи и первый результат относительно структуры «больших» МСС в Zp представлены в статье [19]. Наиболее сильным утверждением в этом направлении является следующая
-^езде log m = log2 m.
Теорема 2 (Ж.-М. Дезуйе и В. Лев [17]). Для всякого свободного от сумм множества A С Zp такого, ч то |A| = m > 0.318p, существует k, 1 < k < (p —
— 1)/2, для которого
kA С [m,p — m]. (7)
Обозначим через Sp[t] семейство вcex A e SF(Zp) таких, что A С [_p/3j + 1 —
— t, _2p/3j] +t. Теорема 2 показывает, что каждое достаточно большое A e SF(Zp) отображается в t-центрщтьное с t = |_p/3J + 1 — |A| «умножением» на некоторую константу. Это позволяет получить требуемые ограничения на число МСС, содержащихся в МСС, близких к максимальным в Zp. На самом деле для доказательства теоремы 1 достаточно аналогичного утверждения, касающегося МСС размера m > 0.33p. Это неравенство получено в работе В. Льва [19]. Отметим ещё, что Ж.-М. Дезуйе и Г.А. Фрейман в [17] доказали аналогичный результат для m > 0.324p. Заметим, что как показали независимо О. Сисаск и A.B. Дайняк2, эти
m
p/4 + 2
Доказательство теоремы 1 основано на том, что каждое МСС содержится в некотором нерасширяемом, то есть в таком МСС, что при добавлении к нему любого элемента оно перестает быть свободным от сумм. Семейство Mp всех нерас-ширяемых МСС делится на два подсемейства Mp, состоящее из тех A e Mp, для которых |A| > 0.33p, и Mp = Mp \ Mp. Б. Грин и И. Ружа [14] доказали, что |Mp| < 2o(p). Поэтому |Mp'| < 2(0'33+o(1))p. Из результата В. Льва [19] следует, что для всякого множества A e Mp такого, что |A| > 0.33p, существует k, 1 > k < (p —1)/2, что kA e Sp[t] для t < (1/3 — 0.33)p. Простые соображения
позволяют вывести отсюда асимптотическое соотношение
\SF(Zp)\~^\Sp[t]\-
Таким образом, задача сводится к получению асимптотики для |Sp[t]|. Эта асимптотика получается с помощью оценки числа независимых множеств в графах, полученной в [7].
2. МСС в абелевых группах
В 2001 г. В. Лев, Т. Лучак и Т. Шон [20] получили асимптотику числа МСС в абелевых группах четного порядка.
Теорема 3. Существует абсолютная константа S такая, что число множеств, свободных от сумм, в абелевои группе G порядка n равно
^v(G) — ^ 2п/2 + O (2(1/2-й)^ ,
где v(G) - число компонент четного порядка в каноническом разложении груп-G
Из доказательства следует, что величина S имеет порядок 10-8. A.A. Сапо-женко независимо доказал в [4] следующие неравенства.
nG порядка n с числом подгрупп индекса 2, равным t, справедливы неравенства
t • 2n/2 — 2(n/4)(1+o(1)) < |SF(G)| < t • 2n/2 + 2n(1/2-c), (8)
где c > 0.017.
2Личное сообщение.
142
А.А. ел НОЖКИ КО
Эти две теоремы устанавливают асимптотику величины |SF(О)| для абелевых групп четного порядка. Т. Петросян [3] доказал аналог теоремы 8 для некоммутативных групп. В [20] доказана следующая
Лемма 1. Для всякого графа Г = (У,Е) со средней степенью вершины, <*(Г) > (1 — А)|У| существует, Г = (У,Е') такой, что г) \У \ > (1 - '
и) й(Г) > (1 — 2-ч/А)|V|; где й(Г) минимальная степень вершины, в графе Г.
Лемма играет существенную роль в доказательстве и представляет самостоятельный интерес. Другим важным для доказательства утверждением в [20] является
Лемма 2. Для всякого А С О, любого р £ (0,1) и любого цел ого К > 0 такого, что р2К > 61пи, существует подмножество Я С А, обладающее следующим,и свойствами:
г) |Я|< 2р|А|;
гг) Вк(А) С Я - Я.
Основная идея доказательства теорем 3 и 4 состоит в том. чтобы показать, что почти все МСС в FS(О) являются подмножествами смежных классов по подО
плохшш. В обеих обсуждаемых статьях доказывается, что плохих МСС «мало».
е > 0 и
ведливо неравенство
|{А £ SF(О): |А| < (1 - е)и/4}| = о(2(1/2-е2/7)").
Остается доказать, что плохих МСС большой мощности «мало». Для этого в обеих статьях используется следующая теорема М. Кнезера [18]. Положим А + В = {а + + Ь : а £ А, 6 £ В}.
А В О
кие, что |А + В| < |А| + |В|-1. Тогда существует подгруппа Н группы О такая, что
А + В + Н = А + В и |А + В| > |А + Н| + |В + Н| - |Н|. (9)
Теорема Кнезера накладывает ограничения на структуру множества А + В в случае, когда |А + В| < |А| + |В|- 1. С использованием этой теоремы получается оценка числа плохих МСС.
В статье [4] также используется теорема Кнезера, но верхняя оценка числа плохих МСС проводится с помощью следующих трех теорем, дающих верхние оценки числа независимых множеств в регулярных графах [8].
Теорема 6. Пусть Г - и-вершинный регулярный граф степени к. Тогда при ик
Эта теорема улучшает остаточный член в неравенстве Алона (5).
Теорема 7. Для любого и-вершинного регулярного графа Г степени к и числа в такого, что 0 < в < 1, пусть 1р(Г) - число независимых множеств А графа Г таких, что ||А| - и/4 > ви/4. Тогда при достаточно больших и и к
1[3{Г) < 2("/2)(32/(21п2)+°(>/(1ое к)/к )) (И)
Теорема 8. Пусть О = (V; Е) - п-вершинный регулярный граф степени к -является 3 -расширителем для некоторого 0 < 3 < 1. Тогда при достаточно пк
\1{С)\ < 1-<5/7+о(1/(1О8 ) ) ^^
Результаты последних трех теорем были усилены и обобщены на почти регулярные графы [6]. Эти три теоремы используются следующим образом при оценке числа плохих МСС. Пусть К - произвольная подгруппа индекса 2 группы О, К' = = О \ КиА С О - плохое МСС. По определению А П К' = 0. Пусть Св (К') -граф Кэли, порожденный множеством В = А П К та множестве К'. Ясно, что В € ЙЕ (К), а А \ В - независимое множество в графе Св (К'). Отсюда
|ЙЕ (О)|< £ I (Св (К')). (13)
вeSF (к)
Далее рассматриваются случаи в зависимости от размера множеств В, С = А П К' и В + В. Если |В| мало, используется то обстоятельство, что число всех подмножеств В С К малой мощности мало, а для числа множеств С используется теорема 6. Если |В| не слишком мало, но все же |В| < (п/4)(1 — в), то для оценки числа ВС Если |В| > (п/4)(1 — в), используются теорема Кнезера и теорема 8.
Бен Грин и Пмре Ружа в [14] получили асимптотику логарифма числа МСС в абелевых группах с заданным размером максимального по мощности МСС. Ими доказана следующая
Теорема 9. Пусть размер .максимального по мощности МСС в абелевой группе О равен р(О)п. Тогда
|ЙЕ (Яр)| = 2(^(с)+°(1))п. (14)
В [14] абелевы группы разбиты на три класса следующим образом.
Определение. Если |О| делится та простое число р гада р = 2(шой3), то О относится к типу I. Если |О| та делится та простое число р гада р = 2(шой 3), но | О| 3 О О
типу III.
Далее определяется величина ^(О), принимающая значения из отрезка
[2/7,1/2].
Если О - абелева группа типа I, то ^(О) = 1/3 + 1/р, где р — наименьший простой делитель величины |О| гада р = 2(шой3).
Если О - абелева группа типа II, то ^(О) = 1/3.
Если О - абелева группа типа III, то ^(О) = 1/3 — 1/3т, где т — наибольший О
В [14] доказаны следующие утверждения.
О
р(О) = ^(О). (15)
О
|ЙЕ (О)| = тр2^(с)п(1 + Ор(1)), (16)
144
A.A. CA НОЖ KU КО
где ¿р - число элементов порядка р в группе О, а р - наименьший простой делитель вида р = 2(шой3) числа |О|. При этом Ж = 1 при р = 2 и Ж = 1/2 в противном, случае. Через ор(1) обозначается функция, стремящаяся к 0 при и ^ то и зависящая от р.
Теорема 11 обобщает теоремы 3 и 4 на случай абелевых групп типа I.
3. Гипотеза Камерона — Эрдёша
Гипотеза Камерона-Эрдёша о числе МСС в отрезке [1, n] была доказана независимо Б. Грином [13] и A.A. Сапожеико [7] в 2003 г. Напомним, что гипотеза состояла в том, что для числа s(n) МСС, содержащихся в отрезке [1, n], справедливо равенство s(n) = O(2n/2).
Теорема 12. Существуют положительные константы c0 и ci такие, что s(n) — е02Г"/2Т для четных nu s(n) — c'^"^2 для нечетн ых n.
Заметим, что существует связь между константами со и ci из (1) и (2) и константами с0 и ci из формулировки теоремы 12. Именно, справедливы равенства
с0 = со + 1, ci = ci + 1. (17)
Напомним, что для co и ci справедливы неравенства (3). Пусть, как и прежде, Ni(n) - множество всех нечетных чисел, a Pn - множество чисел отрезка [|_n/2j + + 1 , n]
асимптотическое равенство
s(n) - 2|n 1(n)| +2|pn|. (18)
Отсюда и из (1), (2) вытекает теорема 12, а значит, и равенства (17), поскольку |N i(n)| = 2 Гп/21 _
Идея доказательства теоремы 12 в [7] основана на понятии системы контейнеров. Пусть A и B - два семейства подмножеств множества X. Семейство B назовем системой контейнеров для A, если для вся кого A G A существует B G B такое, что A Ç B. Если B является системой контейнеров для A, то, очевидно,
|A|< £ 2|B|. (19)
beb
[1, n]
ся системой контейнеров для семейства S([1, n]) всех МСС отрезка [1,n]. В рассматриваемом случае имеется два «больших» контейнера - это множество Ni(n) нечетных чисел отрезка [1, n] и отрезок [n/3, n]. МСС, содержащиеся в этих двух «больших» контейнерах, назовем «стандартными», а остальные «нестандартными». Теперь теорема 12 равносильна утверждению о том, что для семейства Sn нестандартных МСС отрезка [1,n] справедливо соотношение
|Sn| = o(2n/2). (20)
Для доказательства соотношения (20) в [7] строится так называемая правильная
Sn
Будем использовать обозначение Bip для множества B П [i,p], и пусть Bfp = = BijP П Nа (n). Систему B контейнеров для Sn будем называть правильной, если выполнены следующие условия:
1) для достаточно больших n и любого B £ B
|B| < n(1/2 + o(1)); n
|B| < 2o(n);
3) для любых i и достаточно больших p
||Bi,p |- p/21 = o(p);
4) для любых а £ {0,1}, i и достаточно больших p
ВД — p/41 = o(p).
Заметим, что асимптотика величины log s(n) вытекает из (19) и существования правильной системы контейнеров для семейства нестандартных МСС. Более того, достаточно, чтобы выполнялись условия 1) и 2). Для доказательства асимптотики величины s(n), наряду с условием существования правильной системы контейнеров, используется еще следующая теорема
Теорема 13 (Г.А. Фрейман [9]). Если множество K целых чисел таково, что |K + K| < 2|K| — 1 + Ь, где 0 < b < |K| — 3, то K содержится в арифметической прогрессии длины |K | + Ь.
Теорема Фреймана позволяет учесть взаимодействие фрагментов правильной системы контейнеров и показать, что, грубо говоря, в каждом из контейнеров оказывается существенной доля элементов, не принадлежащих нестандартному множеству.
Тройкой Шура называется неупорядоченный набор чисел a, b, с, если эти числа, взятые в некотором порядке, удовлетворят уравнению x + y = z. Идея «системы контейнеров» использовалась и в статье Б. Грина [13] в следующем виде.
Теорема 14. Существует семейство F, обладающее следующими свойствами:
i) Каждый член семейства F имеет не более o(N2) троек Шура;
ii) Всякое М С С А содержится в некотором F ef;
iii) |F| < 2o(N).
Семейство F из теоремы 14 называется в [13] грануляцией.
Работа поддержана РФФИ (проект Л*1' 07-01-00444).
Summary
A.A. Sapuzhenku. Он the Number of Sum-free Sets.
A survey of results concerning the number of sum-free sets is presented. Statements, ideas of proofs, and techniques are discussed.
Key words: sum-free sets, Abelian groups, cyclic groups.
Литература
1. Олшлъяиоо К.Г. Оценки констант Камерона Эрдёша // Дискр. матем. 2006.
Т. 18, Вып. 2. С. 55 70.
146
A.A. ел нож KU КО
2. Омельятв К.Г., Сапожепко A.A. О числе множеств, свободных от сумм, в отрезке натуральных чисел // Дискр. матем. 2002. Т. 14. Вып. 3. С. 4 7.
3. Пе.троеяп Т.Г. О числе множеств, свободных от произведений, в группах четного порядка // Дискр. матем. 2005. Т. 17, Вып. 1. С. 89 101.
4. Сапожепко A.A. Асимптотика числа множеств, свободных от сумм, в абелевых группах четного порядка // Докл. РАН. 2002. Т. 383, 4. С. 454 457.
5. Сапо'же.ико A.A. Асимптотика числа множеств, свободных от сумм, в группах простого порядка // Докл. РАН. 2009. Т. 424, Л» 6. С. 1 2.
6. Сапожепко A.A. Верхняя оценка числа независимых множеств в графах // Докл. РАН. 2007. Т. 373, 4. С. 467 470.
7. Сапожепко A.A. Гипотеза Камерона Эрдёша//Докл. РАН. 2003. Т. 393, Л'6. С. 749 752.
8. Сапожепко A.A. О числе независимых множеств в расширителях // Дискр. матем. 2001. Т. 13, Вып. 1. С. 56 62.
9. Фреймап Г.А. Сложение конечных множеств // Изв. вузов. Матем. 1959.
6 (13). С. 202 213.
10. Alon N. Independent, sets in regular graphs and sum-free subsets of Abelian groups // Israel J. Mat.li. 1991. V. 73. P. 247 256.
11. Calkin N. On t.lie number of sum-free set // Bull. London Mat.li. Soc. 1990. V. 22, No 2. P. 141 144.
12. Cameron P.J, Erdos P. On the number of sets of integers with various properties // Number theory (Banff, AB, 1988), 61 79, de Gruyter, Berlin, 1990.
13. Green B.J. The Cameron-Erdos conjecture // Bull. London Mat.li. Soc. 2004. V. 36, No 6. P. 769 778.
14. Green В., Ruzsa I.Z. Sum-free sets in Abelian groups // Israel J. Mat.li. 2005. V. 147. P. 157 189.
15. Green В., Ruzsa I.Z. Counting sumsets and sum-free sets modulo a prime // St.udia Sei. Mat.li. Huiigarica. 2004. V. 41, No 3. P. 285 293.
16. Deshouillers J.-M., Lev V.F. Refined bound for sum-free sets in groups of prime order // Bull. London Mat.li. Soc. 2008. V. 40, No 5. P. 863 875.
17. Deshouillers J.-M., Freiman G.A. On sum-free sets modulo p // Functiones et Approximate. 2006. V. 35. P. 51 59.
18. Kneser M. Ein Satz über abelsclien Gruppen mit. Anwendungen auf die Geometrie der Zahlen // Mat.li. Zeit.. 1955. Bd. 61. S. 429 434.
19. Lev V.F. Large sum-free sets in Z/pZ // Israel J. Math. - 2006. - V. 154. - P. 221-234.
20. Lev V.F. Luezak Т., Schoen T. Sum-free sets in Abelian groups // Israel J. Math. -2001. V. 125. P. 347 367.
21. Lev V.F., Schoen T. Cameron-Erdos modulo a prime // Finite Fields Appl. 2002. V. 8, No 1. P. 108 119.
Поступила в редакцию 24.03.09
Сапоженко Александр Антонович доктор физико-математических паук, профессор факультета ВМК Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.
E-mail: s apozhenko втаИ. ru
